BAB V APLIKASI PD TINGKAT DUA - BAB V APLIKASI PD ORDE DUA

BAB V APLIKASI PD TINGKAT DUA

Tujuan Instruksional:

• Mampu membuat model PD pada Sistem Gerak • Mampu memahami klasifikasi Sistem Gerak • Mampu membuat model dan penyelesaian PD pada klasifikasi Sistem Gerak • Mampu membuat model dan penyelesaian PD pada rangkaian listrik LC dan RLC seri

5.1 Sistem Gerak

Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas, ditunjukkan pada Gambar 23. Pemodelan sistem gerak pada Gambar 23, didasarkan pada Hukum Newton II, yaitu:

dengan: = gaya-gaya yang bekerja pada benda = massa benda = percepatan gerak benda

Gaya-gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas:

adalah gaya tarik gravitasi benda, = massa benda dan = gravitasi. Arah gaya ini ke bawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini sering

disebut sebagai berat benda.

2. =−(+∆) , = adalah gaya pegas, = konstanta pegas, = posisi benda, ∆ = perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas ke atas dan ke

bawah. Jika pegas ditarik negatif, arah gaya ke atas dan jika pegas ditekan positif, arah gaya ke bawah.

3. =−. , = gaya redam, arah gaya berlawanan dengan gerak benda. = konstanta redaman,

= kecepatan benda. Jika

>0 sistem disebut

Sistem Teredam (Damped Systems), jika = 0 sistem disebut Sistem Tak- teredam (Undamped Systems)

= gaya eksternal, arah gaya dapat ke atas atau ke bawah. Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas.

Gambar 1 Sistem Gerak Benda pada Pegas

Gambar 2 A. Sistem Gerak dengan Peredam

B. Sistem Gerak dengan Peredam dan Gaya Luar F(t)

Berdasarkan Hukum Newton II di atas maka:

adalah percepatan benda sehingga:

adalah gaya-gaya yang bekerja pada benda,

atau

untuk sistem dalam kesetimbangan .=∆ , sehingga persamaan menjadi:

atau

Model persamaan terakhir menghasilkan persamaan diferensial orde-2. Persamaan diferensial orde-2 di atas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. Jika ()=0 (tanpa gaya eksternal) sistem disebut sistem gerak bebas (unforced), jika

()≠0 disebut sistem gerak paksa (forced). Jika =0

maka sistem disebut sistem takteredam (undamped) dan jika

>0 maka

sistem disebut sistem teredam (damped).

5.1.1 Sistem Gerak Bebas Takteredam ( ( ) = 0 , = 0)

Model sistem gerak harmonik bebas takteredam:

Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD di atas. Jika persamaan dibagi dengan m, maka PD menjadi:

persamaan karakteristik PD di atas: !+

akar-akar persamaan karakteristik: ! ", = ±$ akar-akar persamaan karakteristik: ! ", = ±$

%(&) = ' ( ')* + , &+' - *./ + , &

Jika persamaan dikali dan dibagi dengan 0' (- +' -- maka:

%(&) = 0' (- +' -- 1 ')* + , &+

0' (- +' --

Jika didefinisikan :

3 = 0' (- +' -- ' (

0' (- +' -- ' -

0' (- +' --

maka persamaan menjadi:

%(&) = 35')* 4 ')* + , & + *./ 4 *./ + , &6

atau

%(&) = 3 ')* (+ , & − 4)

dengan 3 disebut amplitudo sistem gerak harmonik

4 disebut sudut fasa disebut frekuensi =

jika satu siklus gerak harmonik yang terjadi digambarkan dalam unit waktu 2 π , maka frekuensi didefinisikan menjadi

maka periode gerak harmonik π

Gambar 3 Ilustrasi Gerak Harmonik ( ) = ? @AB ( − C)

Gambar 4 Ilustrasi Hubungan c1, c2, R dan θ

Contoh kasus: Sistem gerak harmonik benda yang tergantung pada pegas seperti Gambar 23, jika massa benda m=1/4 kg dan konstanta pegas k= 16 N/m, redaman = 0. Pegas saat tertarik benda bertambah panjang 1 m dan mulai bergerak ke atas dengan kecepatan 8m/det. Sistem tidak diberi gaya luar.

a. Tentukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak harmonik pada pegas pada contoh kasus di atas!

b. Tentukan persamaan gerak benda!

c. Tentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi dan periode gerak benda!

Penyelesaian:

a. Model persamaan sistem gerak harmonik pada pegas.

pada contoh kasus diketahui redaman d=0, gaya luar ( ) = 0 , massa m= ¼ kg , konstanta pegas k= 16 N/m, sehingga model persamaan gerak harmonik pada pegas menjadi:

dengan kondisi awal: posisi awal benda (0) = 1 dan

kecepatan awal benda

b. Persamaan gerak benda. persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan model PD (a), yaitu:

penyelesaiannya adalah:

• persamaan karakteristik dari PD di atas ! + 64 = 0 • akar-akar persamaan karakteristik ! = ± $8 • solusi umum PD:

()=@ " @AB 8 + @ B$I 8

dengan memasukkan syarat kondisi awal maka:

sehingga persamaan gerak benda:

( ) = @AB 8 − B$I 8

c. Menentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi dan periode dengan membentuk persamaan

( ) = − dalam satu sinus/cosinus. Bentuk umum persamaan satu sinus/cosinus sistem gerak pada pegas:

( ) = ? @AB(

− C) = ? @AB (8 − C)

dengan:

@ IC=

K := L

sehingga:

MN$ O A ? = 01 + (−1) = √2

:!Q OQIB$ : =

MQ!$A Q ; = π

I C = −1( O ! I RS)

BO O : B C =

( ) = ? @AB (8 − C)

7π = √2@AB U8 −

Gambar 5 Ilustrasi Sudut Fasa pada Contoh Kasus

G -0.5

Waktu(t)

Gambar 6 Harmonik Benda pada Pegas, ? = √2; : = π ; C= W

Latihan Soal: Tentukan persamaan gerak harmonik benda pada model persamaan diferensial berikut! Tentukan Ampitudo, Frekuensi, Periode dan sudut fasa dari persamaan gerak harmoniknya!

1. YY + = 0 (0) = 1

Y (0) = 0

2. YY + = 0 (0) = 0

Y (0) = 1

3. YY + = 0 (0) = 1

Y (0) = 1

4. YY + 9 = 0 (0) = 1

Y (0) = 1

5. YY + 4 = 0 (0) = 1

Y (0) = −2

5.1.2 Sistem Gerak Bebas Teredam (](&) = , , ^ ≠ ,)

Model sistem gerak benda bebas teredam:

Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD di atas. Untuk mengilustrasikan gerak benda pada sistem pegas bebas teredam akan diuraikan pada tiga kasus, yaitu sistem teredam kurang (underdamped), sistem teredam kritis (critically damped), dan sistem teredam lebih (overdamped), dimana masing-masing ditentukan dari nilai diskriminan

Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah:

_. ` - + ^. ` + a = ,

sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya: (lihat subbab 4.5)

−^ ± √^ - − b_a

` (,- =

5.1.2.a Sistem Teredam Kurang (underdamped) , c^ - − b_a < 0e

Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang (underdamped)

didapatkan jika −4 <0 , dimana akar-akar persamaan karakteristik

adalah:

persamaan solusinya adalah: (lihat pembahasan pada subbab 4.5) (α g hβ)&

(α i hβ)&

%=' ( f +' - f ; ^f/jk/ α = −^/-_ , β =

2 =f (i / 9) (l')* β + m *./ β )

bentuk satu sinus/cosinus persamaan di atas adalah:

= ?Q (i / 9) @AB (β − C) ? = 0n + o

o IC= n

) (t 0.5

e ra -0.5

Waktu(t)

Gambar 7 Osilasi pada Gerak Benda Bebas Teredam Kurang

Program MATLAB untuk Gambar 28 sebagai berikut: %gerak benda bebas teredam kurang

%R=2^0.5, alfa=-2, beta=8 teta=pi/4

clear all ; close all ; clc; t=(0:0.01:2); yt=2^0.5*exp(-2*t).*(cos(8*t-pi/4)) plot(t,yt, 'k' , 'linewidth' ,3)

hold on

amp1=2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp1, 'r' , 'linewidth' ,2)

hold on

amp2=-2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp2, 'r' , 'linewidth' ,2) xlabel( 'Waktu(t)' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)' , 'fontsize' ,14)

Faktor kosinus ')* (β& − C) menyebabkan osilasi bernilai antara +1 dan -1. Perioda osilasi jika dilihat pada Gambar 28 bukan perioda asli atau sering disebut sebagai perioda bayangan (quasi-period) atau perioda teredam (damped-period), didefinisikan sebagai:

q= 0(4

Frekuensi dinyatakan sebagai frekuensi bayangan (quasi frequency) atau teredam (damped-frequency), yaitu

:= r . Sedangkan 3f (i / 9) disebut

amplitudo teredam (damped-amplitude).

5.1.2.b Sistem Teredam Kritis (critically damped) , c^ - = b_ae

sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu: (lihat pembahasan pada subbab 4.5)

Pada sistem teredam kritis

Persamaan solusinya :

% = (' ( +' - &) f ti9u&

waktu (t)

Gambar 8 Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c 1 ,c 2 positif)

Program MATLAB untuk Gambar 29 adalah sebagai berikut:

%gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2

clear all ; close all ; clc; t=(0:0.01:4); for c2=1:5:25 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt, 'b' , 'linewidth' ,2)

hold on end

xlabel( ' waktu (t)' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)' , 'fontsize' ,14)

) (t 0

d a n e -1

k B ra e

G -2

waktu (t)

Gambar 9 Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c 2 negatif)

Program MATLAB untuk Gambar 30 sebagai berikut: %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2 Program MATLAB untuk Gambar 30 sebagai berikut: %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2

t=(0:0.01:4); for c2=-20:4:-2 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt, 'b' , 'linewidth' ,2)

hold on end

xlabel( ' waktu (t)' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)' , 'fontsize' ,14)

5.1.2.c Sistem Teredam Lebih (overdamped) , c^ - >4e

Pada sistem teredam lebih

sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah: (lihat pembahasan pada subbab 4.5)

−^ ± √^ - − b_a

` (,- =

Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah:

%(&) = ' f ` ( & +' f ` - ( & -

Pada kenyataannya nilai ` (,- < 0 sehingga untuk & → ∞ maka %(&) = ,. Jika ( ) kita turunkan, yaitu:

% ′ (&) = '

( ` ( f +'

=f ` ( & c' ` +' ` f (` - i` ( ( )& ( - - e

maka % Y (&) = , hanya jika c'

(` - i` (

( +' - ` - f e=,

Jadi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai perilaku yang sama dengan sistem teredam kritis, yaitu

&→∞ maka %(&) = , dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum

pada &>0 seperti ditunjukkan pada Gambar 29 dan Gambar 30.

Contoh kasus Pengaruh Peredaman: Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut:

Jika d=1, 2 dan 4, tentukan persamaan gerak benda! Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada gerak benda?

Penyelesaian: persamaan karakteristik dari model persamaan sistem adalah:

akar-akar persamaan karakteristik:

a. Jika d=1,

−4<0 disebut sistem teredam kurang

Akar-akar persamaan karakteristik adalah:

solusi umum persamaan gerak benda:

=Q (i / 9) (n@AB β + o B$I β )

(i"/ )

wn@AB

+ o B$I

subsitusi y (0) = 1, didapatkan: ti"u

=Q wn@AB

2 + o B$I 2x

= n@AB 0 = 1 → n = 1

subsitusi y ′ (0) = 0, didapatkan: Y

1 (i"/ )

wn@AB

2 + o B$I 2x

+Q (i"/ ) w−n

2 B$I

2 +o

2 @AB 2x

2 (n@AB0 ) + wo

2 @AB 0x

2 (1 ) + wo 2x→ o= √3

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kurang adalah:

=Q (i"/ )

w@AB

B$I √

bentuk satu sinus/cosinus:

Q (i"/ ) w@AB

2 − 6x

b. Jika d=2,

−4=0 disebut sistem teredam kritis

Akar-akar persamaan karakteristik adalah:

solusi umum persamaan gerak benda:

= (@ +@ )Q i "

subsitusi y (0) = 1, didapatkan:

(0) = (@ + @ 0) Q i " →@ " =1

subsitusi Y (0) = 0,, didapatkan:

Y (0) = @ Q i − (@

" + @ 0) Q

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kritis adalah:

= (1 + ) Q i

c. Jika d=4,

−4>0 disebut sistem teredam lebih

Akar-akar persamaan karakteristik adalah:

2 = −- ± √y

solusi umum persamaan gerak benda:

()=@ z { " Q +@Q z =@ " Q (i g√|) +@Q (i i√|)

subsitusi y (0) = 1, didapatkan:

1=@ ci g√|e " Q +@Q ci i√|e 1=@ " +@

subsitusi y ′ (0) = 0, didapatkan:

0=@ " ! " Q z { +@!Q z 0=@ " (−2 + √3) + @ (−2 + √3)

dari dua persamaan konstanta yaitu:

@ " +@=1 dan @ " (−2 + √3) + @ (−2 + √3) = 0

diperoleh

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam lebih adalah:

- + √y

−- + √y

f (i-g√y)& +

f (i-i√y)&

-√y

Pengaruh konstanta redaman d pada sistem gerak benda dijelaskan sebagai berikut:

• d=1 maka gerak benda ( ) → 0 menurut fungsi f i,.€& • d=2 maka gerak benda ( ) → 0 menurut fungsi f i&

• d=4 maka gerak benda ( ) → 0 menurut fungsi f (i-i√y)& =f i,.y&

disimpulkan bahwa pada d=2 (teredam kritis) gerak benda paling cepat ke posisi setimbang/y(t)=0, sedang paling lama pada d=4 (teredam lebih). Hal ini juga dapat dilihat pada Gambar 5.10

) 0.7 (t

a d 0.6 n

e 0.5 k B

ra 0.4

G 0.3

Waktu(t)

Gambar 10 Gerak Benda Pada Variasi Nilai Konstanta Redaman (d)

Latihan Soal: Tentukan komponen amplitudo, frekuensi dan sudut fasa pada model sistem gerak benda berikut! Gambarkan dengan MATLAB persamaan gerak benda-nya!

1. ( ) = 4Q i @AB (2 − p)

2. ( ) = 3Q @AB t√3 −

3. ( ) = 5Q i

@AB t − s

4. ( ) = 3Q i @AB (5 − p)

Tentukan apakah gerak benda berikut diklasifikasikan dalam sistem teredam kurang(underdamped), teredam kritis (critically damped) atau teredam lebih (over damped)!

5. YY +4=0

6. YY −2 Y +=0

7. YY +4 Y +4=0

8. YY +2 Y + =0; >0

9. YY +2 Y + =0; >0 I =

10. YY +2 Y + =0; > I <0

5.2 Rangkaian Listrik

Subbab berikut akan menjelaskan pemodelan rangkaian listrik beserta penyelesaiannya. Hal penting adalah dua fenomena fisik berbeda (yaitu: sistem gerak benda pada pegas dan rangkaian listrik) menghasilkan model persamaan matematika dan solusi yang sama.

5.2.1 Rangkaian LC seri

Rangkaian LC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 32. Dengan hukum Tegangan Kirchoff didapatkan model persamaan pada Gambar

V L adalah tegangan pada induktor L yaitu

V C adalah tegangan pada kapasitor C yaitu ‚ ƒR

R= „ dengan Q adalah muatan dalam Coulomb. Sehingga

diketahui bahwa

model persamaan dapat dituliskan:

…†R=‡

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka:

U V+ … † R = (‡)

… R = (‡)

Gambar 11 Rangkaian LC seri

Model persamaan untuk Gambar 33 dapat juga dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu:

R 1 + …†R=‡

U V+

Kasus A. Jika sumber baterai E= 0 t (‡) = 0u Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

R 1 + …R=0

atau

R 1 + …R=0

penyelesaian persamaan homogen orde-2 di atas adalah persamaan karakteristik dari PD di atas:

akar-akar persamaan karakteristik:

sehingga penyelesaian umum PD (lihat bahasan subbab 4.5)

=@ α Q (α g hβ)‰ +@ Q (α i hβ)‰ = nQ ‰

@AB βŠ + oQ B$I βŠ dengan @ " , @ , n, o = AIB I ; ! = α ± $β

maka:

( ) = n @AB

… + o B$I …

contoh kasus LC1: Tentukan kuat arus I(t) rangkaian LC seperti Gambar 32 jika L= 10 henry, C=0,004 farad, E=0 volt ! Penyelesaian:

Model persamaan rangkaian LC, dengan L= 10 henry, C=0,004 farad, E=0:

R + 25R = 0

persamaan karakteristik dari PD:

akar-akar persamaan karakteristik:

penyelesaian PD:

R( ) = n @AB 5 + o B$I 5

Latihan Soal: Tentukan kuat arus I(t) pada rangkaian LC seperti Gambar 32 jika:

1. L=0,2 henry, C=0,05 farad, E= 0 volt

2. L=0,2 henry, C=0,1 farad, E= 0 volt

3. L=0,2 henry, C=0,05 farad, E= 100 volt

4. L=0,2 henry, C=0,1 farad, E= 100 volt

5. L=10 henry, C=0,05 farad, E= 0 volt, I(0)=0, Q(0)=Q

6. Apa yang dapat disimpulkan dari jawaban soal 1-4?

Kasus B. Jika sumber baterai E= konstanta Menentukan kuat arus I(t) untuk kasus ini berdasarkan model persamaan

R( ) = „ . Model

diferensial Q(t), selanjutnya I(t) didapatkan dari hubungan

persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

atau

persamaan di atas adalah PD tak homogen orde-2, penyelesaiannya disebut penyelesaian lengkap terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Penyelesaian Homogen:

akar-akar persamaan karakteristik:

penyelesaian homogen:

ˆ ‹ ( ) = n @AB

… + o B$I …

Penyelesaian Takhomogen:

dengan menggunakan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1)

substitusi ()= pada PD, yaitu:

jadi penyelesaian tak homogen adalah

Penyelesaian lengkap

ˆ( ) = ˆ ‹ ()+ˆ Œ ( ) = n @AB

… + o B$I … + ‡…

Contoh kasus LC2: Jika pada contoh kasus LC1 di atas diketahui, E=250 volt, arus I(0)=0 dan muatan Q(0)=0 tentukan solusi khusus I(t) Penyelesaian: model persamaan rangkaian menggunakan fungsi Q(t), karena jika dipakai model fungsi I(t) maka substitusi Q(0) untuk mendapatkan solusi khusus, yaitu dengan integrasi solusi umum I(t) akan menghasilkan konstanta baru, sehingga solusi khusus I(t) tidak dapat ditentukan.

Model persamaan rangkaian LC seri dalam fungsi Q(t):

Penyelesaian model persamaan di atas disebut solusi lengkap/penyelesaian lengkap yang terdiri atas dua solusi PD, yaitu solusi homogen dan solusi takhomogen Solusi Homogen:

persamaan karakteristik dari PD:

akar-akar persamaan karakteristik:

penyelesaian PD homogen:

ˆ ‹ ( ) = n @AB 5 + o B$I 5

Solusi takhomogen:

substitusi Q p (t) = K 0 ke model PD didapatkan:

penyelesaian khusus takhomogen

solusi umum lengkap (solusi homogen+solusi tak homogen):

ˆ( ) = 1 + n @AB 5 + o B$I 5

substitusi nilai awal

ˆ(0) = 1 + n @AB 0 + o B$I 0 = 0 → n = −1 ˆ

= −5n B$I 5 + 5o@AB 5

R(0) = −5n B$I 0 + 5o@AB 0 = 0 → o = 0

Jadi solusi khusus lengkap:

ˆ( ) = 1 − @AB 5

dan Arus I(t) adalah

R( ) =

= 5 B$I 5

Kasus C. Jika sumber baterai E= E 0 cos ωt

Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

… ˆ = ‡ @AB

atau

‡ @AB

Penyelesaian model persamaan di atas adalah penyelesaian lengkap muatan fungsi

dan penyelesaian takhomogen. Penyelesaian Homogen:

waktu, terdiri

atas penyelesaian

homogen

persamaan karakteristik dari PD di atas:

akar-akar persamaan karakteristik:

penyelesaian homogen:

ˆ ‹ ( ) = n @AB

… + o B$I …

atau

1 ˆ ‹ ( ) = … @AB Ž … − C•

= " , maka

jika

ˆ ‹ ( ) = … @AB (

− C)

Penyelesaian Takhomogen:

‡ @AB

→ˆ Œ ( ) = •@AB + ‘B$I

Œ ( ) = − •B$I + ‘@AB ˆ YY

Œ ( ) = − •@AB − ‘B$I

’ YY “ ,’ “ ke persamaan didapatkan:

substitusi

1 ‡ − •@AB − ‘B$I +

@AB … (•@AB + ‘B$I ) =

@AB

… • − •V @AB + U … − ‘V B$I =

dengan menyamakan koefisiennya maka:

w x•=

jadi solusi takhomogen adalah:

) @AB

@AB

= " , sehingga:

jika didefinisikan

− ) @AB

Penyelesaian lengkap:

ˆ( ) = ˆ ‹ ()+ˆ Œ ( ) = … @AB (

− C) +

− ) @AB

Keluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang cosinus dengan frekuensi selaras yang disebut sebagai frekuensi dasar/alamiah (natural

frequency) besarnya

:= L .

Amplitudo maksimum pada persamaan gelombang keluaran adalah:

– L – L n " 9•8 =

•(K

— dengan — =

L iK )

(K L iK )

— disebut faktor resonansi

Amplitudo maksimum ini tergantung pada

dan akan terjadi jika jika

(disebut resonansi).

n a 0.5

s o n r re k to -0.5

Gambar 12 Faktor Resonansi

Program MATLAB untuk Gambar 33 %faktor resonansi

clear all ; close all ; clc; wo=3 w=(0:0.1:6); p=(wo^2-w.^2).^-1; plot(w,p, 'b' , 'linewidth' ,3)

grid on axis equal hold on

xlabel( 'frekuensi' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'faktor resonansi p' , 'fontsize' ,14)

Jika terdapat kondisi awal yaitu Q(0)=0 dan Q’(0)=0 maka persamaan lengkap menjadi:

Untuk kondisi awal Q(0)=0:

ˆ( ) = … @AB (

− C) +

− ) @AB

0 = … @AB (0 − C) +

− ) @AB 0

… @AB (C) = −

Untuk kondisi awal Q’(0)=0 Y

ˆ ( ) = −… B$I (

− C) +

− ) B$I

0 = −… B$I (0 − C) +

− ) B$I 0

… B$I (C) = 0

Sehingga jika:

… @AB (

− C) = …@AB

@ABC + …B$I

B$IC

– L … @AB (C) = −

dengan substitusi

•(K dan

… B$I (C) = 0

L iK )

… @AB (

− C) = −

− ) @AB

sehingga:

ˆ( ) = … @AB ( − C) +

− ) @AB

( − ) @AB

− ) @AB

( − ) (@AB − @AB

@AB n − @AB o = 2 B$I ™i˜ B$I (buktikan!) maka: 2‡

˜g™

jika

− ) B$I

2 B$I

Gambar berikut mengilustrasikan osilasi Q(t) jika selisih ω dengan ω 0 kecil (Gambar 34 -36): Gambar berikut mengilustrasikan osilasi Q(t) jika selisih ω dengan ω 0 kecil (Gambar 34 -36):

-› K gK Gambar 13 Osilasi

š(&) = L

B$I

sumbu waktu (t)

, K L š(&) = ± iK B$I

-›

Gambar 14 Osilasi

sumbu waktu (t)

Gambar 15 Penyelesaian lengkap Q(t) untuk kasus ω-ω 0 kecil

Program MATLAB Gambar 36 %Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w) %wo-w = kecil clear all ; close all ; clc; E0=10; L=1; W0=1; W=0.84; A=(W0+W)*2^-1; B=(W0-W)*2^-1; t=(0:0.01:80); I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)) plot(t,I, 'r' , 'linewidth' ,2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I, 'b' , 'linewidth' ,2) hold on I=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I, 'b' , 'linewidth' ,2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B)); plot(t,I, 'k' , 'linewidth' ,4) xlabel( 'sumbu waktu (t)' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'Muatan Q(t)' , 'fontsize' ,14)

Dari Gambar 34 menunjukkan osilasi Q(t) lebih cepat daripada osilasi Q(t) pada Gambar 35. Gambar 36 adalah hasilkali persamaan Gambar 34 dan 35 yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian LC dengan + ≠ ω . Fenomena fisik model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat frekuensi dua sumber suara mendekati sama.

Kasus D. Jika sumber baterai E= E cos ωt dengan

Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

ˆ 1 + … ˆ = ‡ @AB

atau

+ˆ= ‡ @AB

Penyelesaian Homogen:

persamaan karakteristik dari PD di atas:

akar-akar persamaan karakteristik:

penyelesaian homogen:

ˆ ‹ ( ) = n @AB + o B$I atau ˆ ‹ ( ) = … @AB ( − C)

Penyelesaian Takhomogen:

+ˆ= ‡ @AB

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1) š ¡ (&) = &(•@AB + ‘B$I )

š Y ¡ (&) = •@AB − •B$I + ‘B$I + ‘@AB š YY ¡ (&) = − •B$I − •B$I −

•@AB + ‘@AB + ‘@AB − ‘B$I

= −2 •B$I −

•@AB + 2 ‘@AB − ‘B$I

substitusi ’ YY “ ,’ “ ke persamaan didapatkan:

−2 •B$I −

•@AB + 2 ‘@AB − ‘B$I

++ &(•@AB + ‘B$I ) =

œ ')* +& › ,

(2 ‘)@AB + (−2 •)B$I =

œ ')* +& œ ')* +&

jadi solusi takhomogen adalah:

¡ (&) = &(•@AB + ‘B$I ) = -+œ & *./ +&

Penyelesaian lengkap:

› , š(&) = š ¢ (&) + š ¡ (&) = š ¢ (&) = ž ')* ( & − 4) + -+œ & *./ +&

sumbu waktu (t)

Gambar 16 Solusi Partikular untuk Kasus +=7

Program MATLAB Gambar 37 sebagai berikut: %Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t dengan

clear all ; close all ; clc; t=(0:0.01:4); I=10*t.*sin(5*t); plot(t,I, 'b' , 'linewidth' ,2) xlabel( 'sumbu waktu (t)' , 'fontsize' ,14) ylabel( 'Muatan Q(t)' , 'fontsize' ,14)

5.2.2 Rangkaian RLC seri

Rangkaian RLC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar

38. Model persamaan rangkaian didapatkan dengan hukum Tegangan Kirchoff, yaitu:

V R +V L +V C =E

dengan:

V R adalah tegangan pada resistor R yaitu RI •

V L adalah tegangan pada induktor L yaitu

V C adalah tegangan pada kapasitor C yaitu "

‚ ƒR

R= „ dengan Q adalah muatan dalam Coulomb.

diketahui bahwa

Gambar 17 Rangkaian RLC seri

Model persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai:

?R +

…†R=‡

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka:

?R+

U V+

… † R = (‡)

Model persamaan untuk Gambar 38 dapat juga dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu:

?R +

…†R=‡

U V+

^& (›) = ,u

Kasus A. Jika sumber baterai E= E 0 t

Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

R 1 +? + …R=0

penyelesaian persamaan homogen orde-2 di atas adalah persamaan karakteristik dari PD di atas:

akar-akar persamaan karakteristik:

sehingga penyelesaian umum PD (lihat bahasan subbab 4.5) Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai :

1. Jika 03 - − bœ/ž > 0 , maka ! ", adalah dua akar Real yang berbeda dengan ! ", ∈ R maka solusi umumnya:

%=' f ` ( &

+' - f

2. Jika 03 - − bœ/ž = 0 , maka ! " =!=! dengan ", ∈ R, maka solusi

umumnya:

%=' ( f `& +'

- ¤f

dengan α , β ∈ R maka solusi umumnya:

3. Jika 03 - − bœ/ž < 0 , maka ! ", = α ± i β

%='

(α i hβ)&

( f (α g hβ)& +' - f

dengan rumus Euler, yaitu

f ¥& = ')* & + . *./ & maka bentuk trigonometri

rumus dapat ditentukan: (α g ¥β)&

%=' (α i ¥β)& ( f +' - &f =' α &

f α ( ')* β& + . *./ β& ) + ' f ¦

( −')* βt – . *./ βt); −')* βt = ')* βt

= (' α ( +' - )f & ( ')* βt ) + .('

( −' - )f ( *./ βt )

Kasus B. Jika sumber baterai yaitu

(›) = ‡ @AB

Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

R 1 +? + … R = ‡ @AB

Penyelesaian model persamaan di atas terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Untuk penyelesaian homogen sama dengan penyelesaian pada kasus A. Penyelesaian TakHomogen:

R 1 +? +

… R = ‡ @AB

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1)

£ ¡ (&) = •@AB + ‘B$I £ Y ¡ (&) = − •B$I + ‘@AB £ YY

¡ (&) = − •@AB − ‘B$I substitusi « ,« YY “ “ ke persamaan didapatkan:

(− •@AB − ‘B$I ) + ?(− •B$I + ‘@AB )

, ')* +&

ž (•@AB + ‘B$I ) = ›

U ?‘ + U

V ‘V B$I = › , ')* +& ž−

V •V @AB + U− ?• + U

dengan menyamakan koefisiennya maka:

1 − ?• + U

V ‘ = 0 … … … . ($)

t1… − u

t 1… − u

Jika didefiniskan reaktansi −- = t

K‚ − u maka

?‘ + U

V•=› , … … … (..)

Jika kedua ruas dibagi dgn , maka

?‘ + U

V•=

? - • − B• =

−w

↔−w

- + -x • =

- x• =

−› , - ®= +(3 - +- - )

¯= -®= +(3 - +- - )

Jadi penyelesaian takhomogen adalah:

£ ¡ (&) = ° +(3 - +± - )² ')* +& + ° +(3 - +± - )² *./ +&

Contoh 1: Tentukanlah muatan Q dan I sebagai fungsi watku t dalam rangkaian RLC seri

jika R = 16 Ω, L = 0,02 H, C = 2×10 -4

F dan E = 12 volt. Anggaplah pada saat t= 0, arus I = 0 dan muatan kapasitor Q = 0

Penyelesaian: Persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan kasus ini:

F dan E = 12 volt, maka diperoleh:

Dengan substitusi R = 16 Ω, L = 0,02 H, C = 2×10 -4

(2 × 10 iW ) ˆ = 12 ˆ 800 ˆ

Penyelesaian Persamaan Homogen • 2 Persamaan karakteristik r + 800 r + 250.000 = 0, mempunyai akar-

akar:

´iµ ± √¶W .

i".

= -400 ± 300 i • Sehingga penyelesaian homogen:

‹ =Q

(…1 @AB 300 + … B$I 300 )

Penyelesaian TakHomogen • Dengan menggunaan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1), maka:

8 = n,

Substitusi

8 = n,

= 0 ke dalam persamaan :

Menghasilkan ˆ = 2,4 × 10 i| 8

Karena itu penyelesaian lengkap adalah,

ˆ( ) = 2,4 × 10 i| +Q iW (… " @AB 300 + … B$I 300 )

I (t) diperoleh dengan diferensiasi ˆ( ) didapatkan:

R( ) = „ = −400Q iW (… " @AB 300 + … B$I 300 ) +Q iW

(−300… " B$I 300 + 300… @AB 300 )

R( ) = Q iW 5(−400… " + 300… ) @AB300 + (−300… " − 400… ) B$I300 6

Bila diberlakukan syarat awal, t = 0, I = 0, Q = 0, maka:

Jadi penyelesaian lengkap muatan listrik adalah

Q(t) = 10 -400t [2,4 – e (2,4 cos 300t + 3,2 sin 300t)]

Contoh 2: Suatu induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02 farad dihubungkan secara seri dengan sutu baterai dengan ggl.E = 100 sin 3t. Pada t=0 muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adalah nol. Tentukanlah (a) muatan dan (b) arus pada t>0.

Penyelesaian: Misalkan Q dan I menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t, berdasarkan Hukum Kirchhoff, maka diperoleh persamaan:

2 ¹ + 16I +

„ = 100 sin 3t ,

Atau karena I=dQ/dt,

„ +8 „ + 25Q = 20 sin 3t

Selesaikan ini terhadap syarat Q = 0,dQ/dt = 0 pada t = 0, kita memperoleh hasil akhir:

25 (a) Q = -4t

52 (2 sin 3t – 3 cos 3t) +

e º (3 cos 3t + 2 sin 3t)

(b) I = „

75 25 = -4t (2 cos 3t + 3 sin 3t) - e (17 sin 3t + 6 cos 3t) º

Suku pertama adalah arus stabil (steady-state) dan suku kedua, yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertambah, dinamakan arus transien.

SOAL-SOAL

1. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan E=100 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

2. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=0,25F dan E=30 sin t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

3. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=10H, C=1/90F dan E=10 cos 2t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

4. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=10H, C=0,1F dan E=10t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

F dan E=10t 2 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan

5. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=2,5H, C=10 -3

kapasitor Q=0.

6. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan E=1 volt jika 0<t<1 dan E=0 jika t>1! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

7. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan E=1-e -t volt jika 0<t<∏ dan E=0 jika t>∏! Anggaplah bahwa pada saat

t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

8. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=4 Ω, L=1H, C=2x10 -4

F dan E= 220 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0, dan muatan kapasitor Q=0.

9. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=10H, C=10 -3

F dan E=100 cos t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0, dan muatan kapasitor Q=0.

10. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=200 Ω, L=100H, C=0,005F dan E=500 sin t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

11. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=5H, C=10 -2

F dan E=85 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

12. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=80 Ω, L=20H, C=10 -2

F dan E=100 volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

13. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=160 Ω, L=20H, C=2x10 -3

F dan E=481 sin 10t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

14. Tentukan arus dalam rangkaian RLC seri dimana R=6 Ω, L=1H, C=0,04

F dan E=24 cos 5t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

15. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=50 Ω, L=30H, C=0,025 F dan E=200 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

16. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=4H, C=0,5 F dan E=10 sin 10t volt. Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

17. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=8 Ω, L=2H, C=0,125 F dan E=10 sin 5t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

18. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC dimana R=15 Ω, L=5H, C=1,25x10 -2

F dan E=15 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

19. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=8 Ω, L=4H, C=0,125 F dan E=2 sin 2t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

20. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=250 Ω, L=125H, C=0,002 F dan E=250 sin 3t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

DAFTAR PUSTAKA

Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, 1988.

Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, 1987.

Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994

Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 2007

Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 2003

Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users, Cambridge University Press, 2006

GLOSARIUM

Bebas Linear Dua penyelesaian persamaan diferensial dikatakan bebas linear jika yang satu bukan kelipatan konstanta dari yang lain.

Bernoulli Suatu persamaan Bernoullidapat dituliskan dalam bentuk y’ + P(x)y = Q(x)y n . Jika n=0 atau 1 maka

persamaan adalah linear.

Derajat Derajat dari suatu persamaan adalah pangkat dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

Eksak Suatu persamaan eksak dapat dituliskan dalam bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dengan derivatif parsial dari M terhadap y sama dengan derivatif parsial dari N terhadap x. Selain itu dikatakan tidak eksak.

Faktor Integrasi Suatu faktor integrasi adalah suatu fungsi yang dipilih untuk memudahkan penyelesaian dari suatu persamaan diferensial.

Homogen Suatu persamaan diferensial adalah homogeny jika setiap suku tunggal memuat variable tak bebas atau derivatifnya. Persamaan diferensial yang tidak memenuhi definisi homogen diperhatikan sebagai tak homogeny.

Integral Khusus Sembarang fungsi yang memenuhi persamaan diferensial

tak

homogen

dinamakan integral

khusus.

Karakteristik Suatu persamaan polynomial yang diperoleh dari persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan dinamakan persamaan karakteristik.

Koefisien Tak Tentu

Metode

tentu adalah suatu pendekatan untuk mencari integral khusus dari persamaan

koefisien

tak

linear tak homogen menggunakan persamaan karakteristik.

diferensial

Masalah Nilai Awal Persamaan diferensial dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak diketahui dan derivatif- derivatifnya, semua diberikan pada nilai yang sama untuk veriabel bebas, dinamakan masalah nilai awal. Syarat tambahan tersebut dinamakan syarat awal.

Masalah Nilai Batas Persamaan diferensial dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak diketahui dan derivatif- derivatifnya diberikan pada lebih dari satu nilai variabel bebas dinamakan masalah nilai batas. Syarat tambahan tersebut dinamakan syarat batas.

Orde

turunan tertinggi dalam PD

Penyelesaian

yang memenuhi persamaan diferensial dinamakan penyelesaian diferensial

Penyelesaian eksplisit Penyelesaian eksplisit dari suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian dimana variable tak bebas di tuliskan hanya dalam suku – suku dari variable

itu, penyelesaiannya dinamakan penyelesaian implisit Penyelesaian khusus

bebas.

Selain

Penyelesaian khusus adalah penyelesaian yang diperoleh dengan menentukan nilai khusus untuk konstanta

sembarang

yang muncul dalam

persamaan umum.

Penyelesaian lengkap Penyelesaian lengkap adalah jumlahan dari fungsi komplementer dan integral khusus

Penyelesaian umum

Penyelesaian

diperoleh dari integrasi persamaan diferensial dinamakan penyelesaian umum. Penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial biasa tingkat n membuat n konstanta sembarang yang dihasilkan dari integrasi n kali

yang

Peralihan Pada persamaan osilator harmonis teredam- terpaksa, penyelesaian homogeny yang mendekati nol

selama

waktu

bertambah dinamakan

penyelesaian peralihan

Persamaan Persamaan menggambarkan hubungan antara variable bebas dan tak bebas. Suatu tanda sama dengan

diharuskan

ada dalam setiap

persamaan

Persamaan diferensial Persamaan yang melibatkan variable-variabel tak bebas

derivative-detivatifnya terhadap variable-variabel bebas dinamakan persamaan

dan dan

Persamaan diferensial Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu biasa

variable bebas dinamakan persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial Persamaan diferensial yang melibatkan dua atau parsial

dinamakan persamaan

diferensial parsial

Reduksi tingkat

untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan membawa persamaan ke tingkat satu

Teredam Dalam system massa pegas terdapat tiga perilaku, yaitu teredam lebih jika persamaan karateristik mempunyai akar-akar real berbeda, teredam kritis jika persamaan karateristik hanya mempunyai satu akar riil, dan teredam kurang jika persamaan karateristik mempunyai akar-akar kompleks

Terpisahkan Suatu persamaan diferensial adalah terpisahkan jika variable bebas dan tak bebas dapat dipisahkan secara aljabar pada sisi berlawanan dalam persamaan.

Tingkat Tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah derivative tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

Trayektori Suatu sketsa dari penyelesaian khusus dalam bidang

fase

dinamakan

trayektori dari

penyelesaian

Trayektori ortogonal Keluarga kurva pada bidang yang memotong tegak lurus dengan suatu keluarga kurva yang lain dinamakan trayektori orthogonal

Variasi parameter Metode variasi parameter adalah metode umum menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogeny. Dalam metode ini, integral khusus diperoleh dari fungsi komplemeter dimana setiap suku dikalikan dengan fungsi tak diketahui yang harus ditentukan kemudian

Indeks

Analitik, 5 Aturan Dasar, 72, 73 Aturan Modifikasi, 72, 74 Aturan Penjumlahan, 72, 75 Bernoulli, 18, 20 Cauchy-Euler, 66, 67, 69 Ciri, 61, 67 Derajat, 2 dsolve , 10, 11, 13, 34, 35 eksak, 20, 21, 23, 24, 26 eksplisit, 3, 5 faktor integral, 19, 23, 24, 26, 39,

46 gaya eksternal, 85, 86 gaya pegas, 85 gaya redam, 85 Gerak Bebas, 86, 92, 95, 96 gravitasi, 84 homogen, 3 Hukum Newton II, 84, 85 implisit, 3, 5 integral parsial, 40, 44, 47, 50, 52 Integrasi Langsung, 10 Kirchoff, 37, 38, 41, 46 Koefisien Tak Tentu, 72, 73 komplementer, 56 Kualitatif, 6 LC seri, 102, 103, 107, 114, 117 Linieritas, 2 nonhomogen, 57 nonlinier, 57 operator, 56, 57 Orde, 1 orde satu, 1, 8, 10, 17, 23, 28, 46 Orde-2, 56 orde-n, 56, 60, 69

ortogonal, 28, 29, 30, 31, 32, 33,

35 Ortogonal, 28, 30, 36 Pemisahan Variabel, 12 peralihan, 41 Persamaan diferensial, 1, 2 Persamaan Diferensial Biasa, 1, 3 Persamaan Karakteristik, 61, 62,

63, 67 persamaan syarat, 79, 80 Rangkaian listrik, 37 RC seri, 46, 49, 51, 53 reduksi orde, 63 respon lengkap, 54 RL seri, 38, 41, 42, 44, 45, 54 RLC seri, 117, 121 Singular, 4 Sistem gerak, 84, 88 stabil, 41, 55 steady state, 41, 54 Superposisi, 60 syarat awal, 2, 3 syarat batas, 2 Tak Homogen, 71, 73, 74, 75, 76,

77 takbebas, 58, 59 Takteredam, 86 Teredam, 85, 92, 93, 94, 95, 96,

97 teredam kritis, 92, 94, 95, 96, 97,

99, 100, 101 tereduksi, 56 transient state, 41 trayektori, 28, 29, 30, 31, 32, 33,

35 variasi parameter, 78, 79, 80, 82 Wronski, 59

BAB V APLIKASI PD TINGKAT DUA - BAB V APLIKASI PD ORDE DUA