A. Tujuan Pembelajaran - Identitas Trigonometri

  

Kegiatan Belajar 2

  A. Tujuan Pembelajaran

  Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat

  a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian

  b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan antara perbandingan trigonometri c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.

  B. Uraian Materi 2

Identitas Trigonometri

a). Identitas Pythagoras

• P (x, y) r y x

  Pada gambar di atas berlaku : _{2 2 2}

• x y r

  =

  y

  sin θ sin θ = y = r

  r x

  cos θ = x = cos θ

  r

  Sehingga titik P (x, y) kita bisa menuliskan menjadi P (r cos , r sin ) dengan menggunkan teorema Pythagoras maka akan didapat _{2 2 2}

  x y r

• =
_{2 2 2}

  r cos θ r sin θ r ( ) ( ) = + _{2 2 2 2 2 2 2} θ θ = + r cos r sin r _{2 2}

• r cos θ sin θ r
₂ = ( ) _{2 2}
• cos θ sin θ =
_{2 2 2} r cos θ sin θ

  1 =

Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebut identitas trigonometri dan sering disebut dengan identitas Pythagoras. Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya. _{2 2} 1 tan θ = sec θ
• a ).
_{2 2} b ). 1 cot θ cos ec &t
• =

  b). Identitas Kebalikan

  1

  1 1 . sin θ = atau cos ec θ = cos ec θ sin

  1

  1 2 . cos θ atau sec θ = = sec θ cos θ

  1

  1 3 . tan θ = atau cot θ = θ θ cot tan

  c). Identitas Perbandingan (Kuesien)

  sin θ 1 . tan θ = cos θ cos θ

  2 . cot θ = sin θ

  Contoh :

  5

  

o o

  1. Jika diketahui tan A dan 90 < A < 180 tentukan = −

  12

  a. sec A

  b. sin A

  Penyelesaian

  a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka _{2 2}

• 1 tan A = Sec A
₂

  5 ₂ 1 − + = sec A

  12 ₂

  25

  1 =

• sec A

  144

  25 ₂ sec

• 144

  A =

  144 169 sec A = 144

  13 sec A =

  12

  1 cos tan sec

  ( ) ( ) ( ) ( )

  2. Buktikan bahwa

  A A A A

  sin

  1 cos tan sec

  Penyelesaian

  Kita ubah ruas kanan

  A A A A A

  sin

  1 cos cos sin sec

  ( ) terbukti A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

  × = =

  = =

  =

  =

  = sec sec cos

  1 sec sin 1 cos

  1 sin sec sin 1 cos cos sin sin sec sin 1 cos

  . cos cos sin 1 sin sec _{2 2} Jadi, terbukti

  A A A A

  sin

  A A A A A A A A

  = − − =

  Karena 90

  12

  o

  < A < 180

  o

  terletak dikuadran II maka sec A =

  12

  13 −

  b. Dengan menggunakan identitas kebalikan

  13

  12 cos

  13

  12 sin cos tan sin cos sin tan

  1 cos sec

  1 cos − =

  − = =

  A A A A

  Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan

  13

  5 sin

  12

  5

  13

• =
• =
• =

  3. Sederhanakan bentuk dari a.

  1 cos sin sin cos sin ₂ ²

  = 3sin

  2

  ) = 3 – 3 + 3sin

  2

  = 3 – 3 (1 – sin

  2

  b. 3 – 3 cos

  × = =

  = =

  θ tan cos sin sin

  θ θ θ sin tan cos ²

  θ θ

  θ θ θ

  θ θ

  = θ

  . cos sin tan cos ^{2 2}

  θ θ θ sin cos sin

  θ θ

  θ θ

  2 Penyelesaian a.

  b. 3 – 3 cos

  

2

  Koordinat kutub

  P (3, 3)

  3

  

2

• Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai pada gambar di atas adalah

  o o

  45 . titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P (

  3 2 , 45 ) . o

  Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P (

  3 2 , 45 ) disebut sebagai koordinat kutub.

  Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, ) Kita telah mengetahui bahwa

  y

  sin θ =

  r x

  cos θ =

  r

  maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub θ

  y = r . sin x r . cos θ

  = _{2 2}

  r y x

  = +

  y x r = atau r =

  sin θ cos θ Contoh

  o

  1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150 )

  Penyelesaian o

• r = 4 = 150

  x = r cos θ _o

• ^o

• R(4, 150 )

  4 cos 150 =

  1

  4

  3 = − ^o

  150

  2

  = −

  2

  3

• y r sin θ

  = _o = 4 sin 150

  1 =

  4

  2 =

  2 Jadi koordinat titik R ( −

  2 3 , 2)

  2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)

  Penyelesaian _{2 2}

  3

  6 + r =

• •

  •

  P (6, 3)

  36

  9 = +

• • •

  =

  45 =

  3

  5

• •

  y

  sin θ =

  r

  3

• •

  sin θ

  =

  3

  5

• •

  1 sin θ =

  5

  5 sin θ = , 4472 _o θ

  27 ≈

  Jadi, koordinat kutub dari P(6,3) adalah P

  3 5 ,

  27

  ( )

C. Rangkuman 2

  1 cos = = atau θ

  = =

  x r atau y r

  θ θ cos sin

  x y r

  θ cos . r x = _{2 2}

  = θ cos θ sin . r y =

  r x

  = θ sin

  r y

  2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub

  

atau

  1 tan = =

  θ tan 1 cot cot

  θ θ

  1 sec sec

  1. Jenis-jenis identitas trigonometri

  θ θ cos

  θ θ

  ec

  θ ec atau

  1 sin = = θ θ

  c. Identitas kebalikan sin 1 cos cos

  =

  θ θ cos sin cot

  = θ

  θ θ cos sin tan

  b. Identitas Perbandingan θ

  θ θ ^{2 2} cos cot 1 ec = +

  1 = +

  a. Identitas Pythagoras 1 sin cos ^{2 2} = + θ θ θ θ ^{2 2} sec tan

• = atau

D. Lembar Kerja 2

  1. Sederhanakanlah

  a. cos x.tan x

  2

  2

  2

  2

  b. sin x. cot x + cos x. tan x

  c. sec x. tan x. cos x ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….

  2. Buktikan bahwa

  2

  a. (sin x – cosx) = 1 – 2 sin x cos x

  2

  2

  b. (sin + cos ) + (sin – cos ) = 2 1 cos x c. tan x

  − = cos x sin x sin x _{3 3}

• sin A cos A

  d. = 1 − sin A cos A

  A A

• sin cos

  1 − cos θ

  e. cos ec θ cot θ = − 1 cos θ

• ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

  3. Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana dengan mensubtitusikan x yang diberikan. ₂ a. 9 − x ; untuk x = ₂ 6 sin α b. 16 x ; untuk x 4 cos β − = ₂ c. 4 x ; untuk x 2 tan θ

• ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  =

  ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  4. Tentukan koordinat cartesius dari titik

  o o

  a. R (6, 30 )

  c. P (5, 240 )

  o o

  b. Q (2, 120 )

  d. T (8, 300 ) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  5. Tentukan koordinat kutub dari

  a. R (5, 13)

  c. P ( −

  2 15 , −

  2 10 )

  b. Q (- 24, 7)

  d. T (- 5, - 5) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… o

  6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037 . kecepatan rata-rata perahu itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah: a. Jarak dari pelabuhan

  b. jarak dari timur pelabuhan

  c. jarak dari utara pelabuhan ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

  7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke

  Atap C o

  kanan sebesar 30 . jika panjang tali 30 cm, hitunglah

  a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA) _o

  30

  b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC)

  Tali

  ………………………………………………………… ………………………………………………………… B

  A

  ………………………………………………………… …………………………………………………………

  Bandul

  ………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

E. Tes Formatif 2

  1. Jika 0 identik dengan … ≤ ≤ π, maka cos ₂ sec θ −

  1 ₂ a. ₂ d. 1 − cos θ sec θ tan θ sec θ . cos θ b.

  e. sec θ cos ec θ cot θ c. cos ec θ _{4 4} sin cos

  x − x 2. Betnuk sederhana dari = ....

  sin x cos x −

  3

  2

  a. sin x – cos x

  d. sin x – cos x

  3

  3

  b. sin x + cos x

  e. sin x + cos x

  2

  2

  c. sin x – cos x

  2 3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan x + 3 adalah….

  5

  3

  2 d. ₂

• a. −
₂

  2 sin x sin x

  5

  2 b.

  5 ₂ − ₂ cos x cos x

• 2 e.

  5

• c.
₂

  3 sin x 1 cos x

  −

  4. Bentuk yang senilai dengan bentuk adalah… sin x − sin x cos x a.

  d. 1 cos x 1 cos x + +

  − cos x sin x b.

  e.

  1 cos − x x sin x c.

• 1 sin

  1 cos x − _{2 2}

  5. Bentuk 1 − sin A tan A dapat disederhanakan menjadi…

  ( )

  2

  2

  a. 2 sin A – 1

  d. 1 – sin A

  2

  2

  2

  b. sin a + cos A

  e. cos A + 2

  2

  c. 1 – cos A

  2 . tan x

  6. Nilai dari adalah… ₂ 1 tan

• x

  a. 2. sin x. cos x

  d. 2 sin x

  b. sin x cos x

  e. 2 cos x

  c. 1 – 2 sin x

• 1 sec x

  7. Bentuk sederhana dari adalah…

• tan x sin x

  a. sec x

  d. cosec x

  b. sin x

  e. cos x

  c. tan x

  2

  2

  8. Diketahui p − q = cos x dan 2 pq = sin x maka p + q =…..

  2

  2

  a. sin x + cos x

  d. sin x + sin x

  2

  2

  2

  2

  b. sin x + cos x

  e. cos x – sin x

  2

  2

  c. sin x – cos x

  2

  2

  9. Untuk setiap sudut , maka bentuk (1 – sin )(1 + tan ) dapat disederhanakan menjadi…

  2

  a. 1 + sin

  d. 1

  2

  2

  2

  b. sin – cos

  e. sin

  2

  c. 1 + cos cos A

• 10. Bentuk sederhana dari tan A adalah… 1 sin
• A

  a. sec A

  d. tan A

  b. cos A

  e. cosec A

  c. cot A

  o 11. Koordinat kutub (8, 30 ) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah….

  a. 4 ,

  4

  3 d.

  4 2 ,

  4

  3

  ( ) ( ) b.

  4 3 ,

  4 e. 4 ,

  4

  2

  ( ) ( ) c.

  4 2 ,

  4

  ( )

  12. Koordinat kutub dari titik − 1 , 3 adalah..

  ( ) o o

  a. (2, 120 )

  d. (2, 330 )

  o o

  b. (2, 240 )

  e. (2, 360 )

  o

  c. (2, 300 )

  o

  13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2 , ), jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan berturut-turut adalah…

  o o

  a. 3 dan 30

  d. 2 dan 225

  o o

  b. 1 dan 45

  e. 1 dan 315

  o

  c. 1 dan 135

  o 14. Koordinat titik P adalah (3, 30 ). posisi P pada koordinat cartesius adalah..

  3

  3

  3

  a. ,

  3 d. 3 ,

  3

  2

  2

  2

  3

  3

  3 b. 3 , e. 3 ,

  3

  2

  2

  2

  3 c. 3 ,

  2

  1

  1

  15. Koordinat titik Q adalah 2 , 2 . Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..

  2

  2 π 1 π a.

  d. 1 , ,

  3

  2

  4 π π b. 1 , e. 1 ,

  6

  3 1 π c. ,

  2

  3