Aljabar Matriks | Mathematic's Blog
DETERMINAN
DETERMINAN
Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan . Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.1 |B| = 25 C =
2
2
3 Det(A) = -7. B =
2
1
1
3
4
1
4
2
5
A =
2 Det(C) = 0
1
3
1
2
1
1
2
2
1
1
3
1
1
Cara menghitung determinan :
1. Definisi determinan
2. Sifat-sifat determinan
3. Ekspansi minor dan kofaktor
4. Kombinasi cara 2 dan 3 Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan.
MELALUI DEFINISI DETERMINAN
A =
22
21
12
11 a a a a
Det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21 Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?
Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . .
A =
- a 12 a 23 a 31 Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah.
- – a 12 a 21 a 33 Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3
- a 13 a 21 a 32 Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah.
- – a 13 a 22 a 31 |A|
- – – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33<
- + = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a
9
33
32
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a
Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda : a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.
Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 = a 11 a 22 a
33
– a 11 a 23 a 32 Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 311 a a a a a a
13
33
32
31
23
22
21
12
Det(A) = ? Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku terdiri dari empat faktor.
11 a a a a a a a a a
32
31
22
21
12
Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS Det(A) =
11 a a a a a a a a a a a a a a a a
A =
33
44
43
42
41
34
32
12
31
24
23
22
21
14
13
21
a 32|A| =
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
= – 6 |C| =
2
2
1
3
1
1
1
1
2
|B| =
7 = 26
3
4
1 = 0 Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan. SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |A T | = |A|
7
2
2
6
5
7
8
= 0 det(C) =
2
1
3
6
|A| =
5
det(B) =
2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
Akibatnya :
semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
4 7 = 26
3
2
7 = 26 |A T | =
3
4
2
= 0
3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A |A| =
3
1
1
1
2
1
4
2
3
2
12
1
1
8
1
9 = 3
4
2
= 4
2
3
1
1
2
3
1
1
2
2
6
4
1
3
1
2
|A| = 5 Jika baris kedua dikalikan dengan 7
28
21
1
2
= 35 = 7 |A| Akibat sifat ini :
28
21
2
12
= 7
4
3
1
2
= 7 (5) = 35 Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
2
1
1
1
2
1
4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.
5
2
3 7 = 31 Baris pertama ditukar baris kedua = – 31
2
3
7
5
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
1
1
1
7
2
2
3
2 = 0 = 0
3
3
7
2
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
1
2
1
1
1
4
2
2 |B| = Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0
1
6
1
3
1
2
1
1
7. Determinan dari matriks persegi A = (a ) berdimensi n yang baris ke -i ij (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.
5
4
3
1
8
5
5
3
4
1 =
6
9
6
9
6
9
6
5
3
5
5
5
3
5 =
8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
3
3
2
1
1
4
3
1
= (3)(-1)(5) = - 15
3
7
2
1
5
4
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.
= 11 Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan
3
1
1
4
2 = 11 Jika b1 – b2
9
1
1
2 = 11 Jika k2 + 3k1
3
1
= (-3)(-2)(4)(1) = 24 Gunakan sifat determinan untuk menghitung :
1
1 b3 – 2 b1
1
2
2
1
2
3
1 b3 + 3 b2
2
2
1
2
3
3
2
1
2
1
2
2
1
1
1 b2 + 3b1
2
2
3
5
4
2
= (1)(-1)(3) = - 3 Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9 Submatriks / matriks bagian :
Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks A =
1
5
3
7
5
6 Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :
2
1
3
7
8
5
3 Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks :
1
2
5
6
2
1
3
7
8
5
3
Minor dan Kofaktor
Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor.
M rs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.
Andaikan A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 M 11 = a 22 a 23 a 32 a 33 = a 22 a 33 – a 23
a
32 M 32 = a 11 a 13 a 21 a 23 = a 11 a 23 – a 13 a 21 Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ?Matriks tersebut mempunyai 9 minor Kofaktor
Kofaktor yang berhubungan dengan minor M rs adalah C rs = (-1) r+s M rs .
2 C
2
= 0
C 23 = - M 23 = 0 C 31 = M 31 = 7 C 32 = - M 32 = - 9 C 33 = M 33 = 5
1
1
1
1
= 5 C 21 = (-1) 3 M 21 = - M 21 = -
1
3
2
1
= (-1) (9) = -9 C 13 = (-1) 4 M 13 = M 13 =
1
4
1
A =
3
4
1
1
11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2
1
1
1
3
4
2
1
1
= 1 (7) = 7 C 12 = (-1) 1+2 M 12 = (-1) 3
A =
33
32
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a
Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Atau ekspansi melalui baris ketiga :
Det(A) = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32 Dan sebagainya. Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan : B =
1 Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :
4
Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)
Det(B) = b 13 C 13 + b 23 C 23 + b 33 C 33 C 13 = M 13 = 2 C 23 = - M 23 = - 3
Det(B) = 33 Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga :
C 23 = - M 23 = - 3 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)
= 9 C 22 = M 22 = 3
2
1
1
2 Strategi menghitung determinan :
1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).
1
3
1
1
1
1
4
Det(B) = b 21 C 21 + b 22 C 22 + b 23 C 23 C 21 = - M 21 = -
2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.
3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.
4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.
Hitung determinan dari : E =
2
2
9
5
1
1
3
3
K3 – K1
2
7
9
5
1
5
3
2
|E| = e 21 C 21 + e 22 C 22 + e 23 C 23 |E| = e 21 C 21 + 0 + 0
K2 + K1
1
3
2
4
5
1
1
1
1
3
2 Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :
|E| =
2
4
5
1
1
1
|E| = (1) (-24) = - 24 C 21 = - M 21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24
Berapakah determinan dari F =
5
1
3
2
4
5
2
4
B3 + B1
1
3
2
4
1
1
2
|F| =
1 Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :
3
2
4
5
1
1
2
Det(F) = f 11 C 11 = (1) (6) = 6
Berapakah determinan dari G =
1
4
7
3
3
4
3
2
B3+B1
1
2
1
1
3
4
7
1
3
1
1
4 B3 – B2
4
7
3
3
4
5
5
7
2
3
3
4
3
2
1
Det(G) = g 13 C 13 = g 13 M 13 = (-1)
2
1
1
1
1
3
2
3
1
4
2
Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) =
1
1
3
2
1
2
1
3
3
2
1
B2 + B1
2
1
1
2
2
3
1
4
1
2
1
1
3
(-1) Det(G) = (-1) g 21 C 21 = (-1) g 21 (- M 21 ) = g 21 M 21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Matriks kofaktor : Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks.
3 C
2
5 Matriks adjoint : Transpose dari matriks kofaktor.
Adj (A) = K T =
3
4
5
2
22
12
21
11 C C C C
=
4
A =
5
4
2
11 = M 11 = -5 C 12 = - M 12 = - 4
C 21 = - M 21 = - 2 C 22 = M 22 = 3
Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K =
22
21
12
11 C C C C
=
3 Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A A =
1 C
(b) Det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 c 13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
2
3
2
1
1
A adj(A) = ?
2
4
1
5
1
7
1
2
1
9
1
1
I = 9
= |A|
9
7
=
2
4
1
5
1
5
11 = M 11 = 2 C 12 = -M 12 = - 5
33
T
C C C C C C C C C C 33 = M 33 = 5 (a) adj(A) = K T =
C 31 = M 31 = -1 C 32 = -M 32 = 7
C 22 = M 22 = -1 C 23 = -M 23 = -2
C 13 = M 13 = - 1 C 21 = -M 21 = 4
2
31
3
2
1
1
1
2
32
23
Adj(A) A = ?
13
=
11 C C C C C C C C C
21
31
12
22
32
23
22
33
=
11
12
13
21
= 9
=
9
9
9
2
1
1
1
= |A|
I Sifat :
I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)
1
3
1
5
2
1
7
1
5
4
2
2
2
1
1
1