METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN DIRECTION DAN NORMRERATA ARITMATIKA

NORMRERATA ARITMATIKA

  128 | Aksioma

METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN DIRECTION DAN

  Rukmono Budi Utomo Universitas Muhammadiyah Tangerang

  Email:

  

Abstract

This research is investigating of Steepest Descent numerical method with direction and norm

arithmetic mean. This research is begin with try to understand what Steepest Descent

Numerical is and its algorithm. After that, we constructing the new Steepest Descent numerical

method using another direction and norm called arithmetic mean. This paper also containing

numerical counting examples using both of these methods and analyze them self.

  Keywords: Steepest Descent Methods, Gradient, Direction, Norm Arithmetic Mean PENDAHULUAN

  Tidak selamanya solusi analitik dari suatu permasalahan matematika khususnya masalah optimisasi dapat dengan mudah ditemukan. Terkadang ditemukan kendala yang cukup rumit sehingga solusi analitik dari permasalahan optimisasi tersebut tidak mudah ditemukan. Berdasarkan hal tersebut solusi numerik merupakan sesuatu hasil yang cukup baik untuk dicari meski hasilnya merupakan hampiran atau pendekatan. Metode numerik merupakan suatu metode pendekatan (approximation) dari solusi sejati, dan berdasarkan hal tersebut terdapat besarnya angka kesalahan (eror) yang dihasilkan oleh perhitungan numerik. Kesalahan ini lebih sering diakibatkan baik karena pemotongan suku atau pembulatan nilai (Rinaldi, 2008). Masalah optimisasi merupakan persoalan yang banyak menggunakan metode numerik dalam mencari solusi penyelesaian tatkala solusi analitik sulit ditemukan.

  Menurut kendalanya (constrain), masalah optimisasi dibagi dua yakni masalah optimisasi dengan kendala dan tanpa kendala, sedangkan menurut variabel bebasnya masalah optimisasi juga dibagi atas dua, yakni masah optimisasi dengan satu variabel bebas dan banyak variabel bebas.Masalah optimisasi juga dibagi atas dua bagian berdasarkan banyaknya fungsi objektif yang dioptimalkan, yakni masalah optimisasi dengan satu fungsi objektif dan banyak fungsi objektif.

  Metode numerik untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan kendala dapat menggunakan metode Kuhn-Tucker atau pengali Lagrange, sedangkan untuk masalah optimisasi tanpa kendala dengan satu variabel bebas dapat menggunakan metode Golden Rasio, Fibonacci, Biseksi, Dichotomus dan Secant. Lebih lanjut untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat menggunakan metode Aksial, Newton, Hook and Jeeves, Stepest Descent, Arah Konjugasi, dan Rosenberg (Bazaraa, 2006). Untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan banyak fungsi objektif dapat menggunakan program linear multi objektif, namun hal tersebut tidak dibahas dalam tulisan ini

  Makalah ini membahas mengenai metode numerik Steepest

  Descent dengan arah pencarian Aksioma | 129

  (direction) dan keputusan berhenti (norm) berupa rerata aritmatika.

  X   

  Himpunan bagian W dari

  X Y    Definisi Ruang Bagian (Anton, 1991)

  X Y

  iv. | || || || || ||

  aX a X a R  

  iii. || || | ||| ||,

  aX

  ruang bagian dari

  ii. | || 0

  X 

  | || 0

  sebagai berikut i.

  X apabila memenuhi aksioma-aksioma

  dinamakan norm dari

  X

  V disebut

  V

  X Y

  V

  

  X a X 

  jika ₁ ^m _{i i i}

  X

  dari vektor-vektor i

  X disebut kombinasi linear

  maka

  vektor-vektor di

  jika

  1 i m  

  ,

  X

  Misalkan i

  Definisi Kombinasi Linear (Anton, 1991)

  ruang vektor dengan operasi jumlah dan kali sama seperti

  W

  dua vektor. Sembarang bilangan riil || ||

  ,

  Makalah Metode numerik Stepest Descent dengan rerata aritmatika sebenarnya sudah dibahas oleh penulis dan dibawakan pada seminar nasional matematika UM malang, namun pada makalah tersebut keputusan berhenti iterasi (norm) masih menggunakan

  Diketahui bahwa metode

     

  Z X d ^ k

  penelitian ini arah pencarian dimodifikasi menjadi rerata aritmatika   ₁ ^k _{k k k}

  d Z X   , sedangkan pada

    k k

  pada umumnya menggunakan arah pencarian gradien biasa

  Steepest Descent

   

    ₁ , 1, 2, ^{k k k}

   ^   

  X k k

  Z

    ₁ , 1, 2, ^{k k k}

  tulisan kali ini bentuk keputusan berhenti suatu iterasi (norm) juga merupakan rerata aritmatika atau dengan kata lain

  Z X k      . Dalam

    , 1, 2, _k

  . Tidak hanya arah pencarian (direction) yang berupa rereta aritmatika, namun keputusan berhenti satu iterasi mestinya juga berupa rerata aritmatika. Berdasarkan hal tersebut dalam tulisan ini didefinisika norm

  Z

  Diberikan

      x y z x y z      iv.

  Definisi Norm (Anton, 1991)

      ab x a bx  x. 1x x 

    a b x ax bx    ix.

    a x y ax ay    viii.

    x x    vi. ax V  vii.

  V V     v. x V   sehingga

    0 V sehingga

  V   ii. x y y x    iii.

  X k k

  V   dan , a b R  sedemikian hingga memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: i. x y

  KAJIAN TEORI Definisi Ruang Vektor (Anton, 1991) Himpunan tak kosong V merupakan ruang vektor apabila , , x y z

  pencarian tersebut beserta analisis dan perbandingan keakuratan solusi antara keduanya.

  Steepest Descent dengan kedua arah

  Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Steepest Descent dengan arah pencarian gradien biasa kemudian menyusunalgoritma untuk metode Steepest Descent dengan arah pencariandirection dan keputusan berhentinormrerata aritmatika Dalam tulisan ini juga akan diberikan contoh perhitungan numerik untuk metode

    .

   ^   

  

  130 | Aksioma Definisi Bebas Linear (Anton, 1991)

  (boundary point) dari himpunan

  X disebut himpunan terbuka

  Himpunan

  X Definisi Himpunan Terbuka(Salmah, 2011)

  beberapa titik yang tidak berada di

  X dan

  memuat beberapa titik yang berada di

  x

  dari

  

  setiap sekitar

  X jika

  X   ฀ disebut titik batas

  X merupakan titik

  x

  Titik ⁿ

  Definisi Titik Batas (salmah, 2011)

  X  

  , B x

    sehingga  

  

  X jika

  disebut titik dalam (interior point) dari himpunan

  n x X   ฀

  Titik

  Definisi Titik Dalam (Salmah, 2011)

  jika setiap titik dari

  dalam dari

  dan radius

  1

  indefinite Teorema Fungsi Definit (Chong, 2001)

  tidak memenuhi keduanya, maka bentuk kuadratik tersebut dikatakan

  X AX  . Apabila

  sekurangnya satu vektor tak nol sedemikian hingga ^T

  X  dan terdapat

  untuk semua

  X AX  

  disebut positif (negatif) definit jika ( )0 ^T

  X AX

  Bentuk kuadratik ^T

  Definisi Fungsi Definit (Chong, 2001)

  2 , ,..., _n x x x

  fungsi bentuk kuadratik dengan n variabel bebas

  X . Lebih lanjut himpunan Y merupakan himpunan tertutup jika

  j n  disebut

  , 1 i  ,

  c R 

  dengan _ij

          

  ... ... ^{nn n} F X c x c x c x c x x c x x c x x

  Definisi Bentuk Kuadratik (Chong, 2001) _{2 2 2 11 1 1,3 1 3 23 2 3 2 2 12 1 2} ( ) 2 ...

  jika himpunan tersebut memuat semua titik batasnya.

  X disebut himpunan tertutup

  Himpunan

  Definisi Himpunan Tertutup(Salmah, 2011)

  komplemen dari himpunan terbuka.

   .

  x

  Vektor _i

  didefinisikan sebagai

  X Y

  Diberikan dua buah vektor ,

  Definisi Hubungan Dua Vektor (Salmah, 2011)

        _{1 2} 1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1 ^{T T T} _n l l l       

  basis ortonormal didefinisikan dengan

  ฀

  , sedangkan untuk ⁿ

    ₂ 0,1 ^T l 

  dan

  

    ₁ 1, 0 ^T l

  ฀

  1

  Basis ortonormal di ²

  Definisi Basis Ortonormal (Salmah, 2011)

  , maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear.

  a 

  . Apabila pembuat nol hanya _i

  

  

  a X 

  disebut tak bebas linear jika dan hanya jika terhadap bilangan-bilangan riil tak semuanya nol sedemikian hingga _{1 m i i i}

  V

  , 1 i m   anggota-anggota

  X

  dengan

  2 { , ,..., } _n

  atau disebut bola terbuka dengan pusat

    Definisi Bola Terbuka (Salmah, 2011)

  x

  dari

  

  merupakan persekitaran

        ฀

  , ⁿ B x x x x

     

  Himpunan

    .

  serta

  x ฀

  Diberikan ⁿ

  x y  , 1, 2,..., i i n

  X x x x 

  jika dan hanya jika _{i i}

  X Y 

   , 1, 2,..., i i n   iii.

  X Y  jika dan hanya jika _{i i} x y

    ii.

  , 1, 2,..., i i n

  X Y  jika dan hanya jika _{i i} x y 

  . Pernyataan berikut dapat dibuktikan benar i.

  Y y y y 

  2 { , ,..., } n

  1

  dan

  Suatu matriks A dikatakan

  a. Positif definit jika dan hanya jika Syarat perlu agar

  X merupakan titik  _i 

  F X

  ekstrim dari fungsi ( ) adalah

  b. Negatif definit jika dan hanya jika

   F X ( )  dengan  _i   F F F    

  c. Positif semi definit jika dan hanya F X

   ( ) , ,...,    x x x

     _{1 2 n}  

  jika  _i 

  Algoritma Stepest Descent

  d. Negatif semi definit jika dan hanya

  (Bazaraa,2006)

  jika  _i  Diberikan dan

  Z  F X ( )  F x x ( , ,., x ) _{2 2 n}

  dengan merupakan nilai-nilai eigen

   _i

  akan ditentukan nilai

  X { , x x ,., x }  ^{1 2} _n

  dari matriks A dan ketidaksamaan

  F X

  yang meminimalkan fungsi ( ) dicapai untuk sekurang-kurangnya satu tersebut

  j . Lebih lanjut apabila tidak  _{i n} i. X  x x x  R yang

  Ambil { , ,., } _{1 1 2 n} memenuhi i,ii,iii,iv maka matriks A merupakan sembarang titik awal disebut indefinite dan ò  yang merupakan suatu

  Definisi Minimum Global (Chong,

  konstanta positif yang

  2001)

  menyatakan besarnya kesalahan

  F x ( )

  Fungsi dikatakan memiliki eror yang ditoleransi.

  x

  minimum global di dalam S jika ii. fungsi gradient Dibentuk

    Z  Z  Z  f x f x

  ( )  ( )

  dan

   Z X , ,  ,    

    x  x  x _{1 2 n}   Definisi Minimum Lokal Relatif (Chong, 2001)

  

  tentukan Z X dan lakukan

   

  1 F x

  Fungsi ( ) dikatakan memiliki

   Z X

  untuk

    _k x S

  minimum lokal di dalam jika

    

  iii. Z X , maka Apabila   k

  x

  terdapat sekitar  dari sehingga iterasi berhenti, sebaliknya

  x f x ( ) f x ( ) untuk setiap di dalam

  

  iterasi dilanjutkan persekitaran tersebut. iv.  dengan cara

  Tentukan _k

  Definisi Deret Taylor (Sawaragi,

  mencari titik ekstrim

  1985) 

  Z X  d yakni dengan   _{k k k}

  Deret Taylor untuk fungsi F X ( ) dengan cara menderivatifkan fungsi

  X x x x  { , ,..., } didefinisikan sebagai _{1 2 n (  ) dan X Z X   d '}

   k k k 

  

  F X (    x ) F X ( )   F X ( )  

  X H X ( )( )   x ₂

₃

  menyamadengankan dengan  merupakan suku berderajat

  3

  nol dengan arah pencarian besar, dan H X ( ) merupakan metrik

  d   Z X _{k k}  

  Hessian yang didefinisikan sebagai _{2 2 2 v. ditentukan dengan}

  X Nilai k

    F  F  F    ^{2 }  x  x x  x x _{1 1 2 1 n   }

  X X d k k  1 k  1 k 

  1   _{2 2 2}  

  F F F    

    ₂ H x x x x x METODE PENELITIAN     _{2 1 2 2 n}     Metode untuk melakukan penelitian  ..    . . .

    _{2 2 2 ini adalah studi literatur, yakni dengan}   F  F  F   ₂ membaca dan memahami konsep teori

    x x x x x

     _{n n n 1 2}  

  metode numerik untuk menyelesaikan Aksioma

  | 131 masalah optimisasi khususnya Stepest

  d   Z X

  , akan dikembangkan _{k k}   Descent. Buku yang digunakan untuk suatu metode Stepest Descent dengan melakukan penelitian ini antara lain arah pencarian rerata aritmatika. buku-buku seperti, An Introduction to

  Algoritma Stepest Descent Dengan Optimization karya Edwin K.P.Chong

  Arah Pencaraian Rerata Aritmatika

  dan Stanislaw H Zak, Theory of Diberikan fungsi

  Multiobjective Optimization

  karya

  Z F X ( ) F x x ( , ,., x ) dan akan   _{2 2 n}

  Yoshikazu Sawaragi, Hirotaka ditentukan

  X x x x yang  { , ,., }

  Nakayama dan Tetsuzo Tanino, ^{1 2 n}

  Nonlinear Programming Theory and

  meminimalkan fungsi F X ( ) tersebut}

  Algorithm karya Mochtar S Bazaraa, ⁿ i. X  x x x  R

  Ambil { , ,., } _{1 1 2 n} Hanif D Sherali dan C.M Shetty, titik sembarang titik awal dan

  Metode Numerik karya Rinaldi Munir , ò  suatu konstanta positif

  Diktat kuliah Optimisasi karya Salmah, yang menyatakan besarnya Prosiding Rukmono pada semnas UM kesalahan eror yang ditolerasnsi. yang berjudul Metode Numerik Stepest ii.

  Dibentuk

  Descent dengan Arah Pencaraian   Z  Z  Z 

  Rerata Aritmatika dan materi kuliah  Z X , ,  ,

        x  x  x _{1 2}

  metode numerik program studi n

   

  pendidikan matematika UMT yang kemudian tentukan untuk penulis tulis sendiri.

   Z X  Z X

  serta

      1 k

  Setelah memahami metode numerik

    

  iii. Z X , maka Apabila   k

  Stepest Descent dengan arah pencarian gradien d   Z X dikembangkan iterasi berhenti, sebaliknya _{k   k} iterasi dilanjutkan metode numerikStepest Descent dengan iv.  dengan cara mencari

  Cari _k arah pencarian rerata aritmatika dan _k titik ekstrim Z X   d

  Z X    k k k 

    k

   _{k  1}

  didefinisikan dengan

  d _k 

  yakni dengan cara

  k Z X  d

  dengan norm menderivatifkan  _k

    _{k k k}

  dan menyamadengankan nol

  Z

  X 

   k   _{k  1}

  . serta arah pencarian direction

  k   ,  1, 2,  _k k

    Z X   k

   _{k  1}

  dan keputusan _{d k}  _k berhenti iterasi norm _k

  Terakhir dilakukan simulasi

  Z

  X 

   k 

  perhitungan mencari solusi numerik  _{k  1}

  , k 1, 2,    

  dari masalah optimisasi dua variabel

  k

  dengan cara metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian gradient v.

  X  X , maka

  Apabila nilai k  ^{1 k} biasa dengan rerata aritmatika beserta analisis perhitungannya. hal ini disebut Rounding atau berputar putar, sehingga tidak

  

HASIL PENELITIAN DAN mungkin dilakukan iterasi

PEMBAHASAN selanjutnya. Berdasarkan hal

  tersebut, perhitungan harus Berdasarkan algoritma Stepest

  Descent dngan arah pencarian gradien dihentikan dan diambil kesimpulan bahwa nilai numerik

  132 | Aksioma

  . Apabila dicari lebih lanjut, akan diperoleh nilai ² 3 1 , 4 2

  1 7,0 Z X    .

  4  

  1

  dan berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh ₁

  1 7,0 d Z X   

  1

     

  maka iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian

    

  

  7 Z X

    ¹

  Karena norm

     

  X

  . Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat ditentukan

  X R   

  2 { 1, }

  1

  1

  2

  Tetap diambil sebarang titk awal

  Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian dan Norm Rerata Aritmatika

     dan langkah pengerjaannya hanya menbutuhkan dua iterasi.

     

  X

  , 4 2

7 Z X    

      

    _{k k} d Z X  

  X X

     yang kebetulan juga merupakan nilai analitiknya. Dengan

     

  X

  perhitungan diberhentikan. Berdasarkan hal tersebut nilai numerik diambil ₂ 3 1 , 4 2

  Rounding sehingga bagaimanapun

  , berdasarkan hal tersebut terjadi

      

    

  X X

  Perhatikan bahwa nilai ^{2 3} 3 1 , 4 2

      .

     

  3 1 , 4 2

    dengan

    sehingga ^{2 3}

  . Berdaarkan hal tersebut diperoleh ₂

  

             

         

  2 ^{k k} Z X Z X Z X d k

        ² _{1 2 1 7 2 2} ,0

  dan dengan arah pencarian rerata sebagai berikut

     

  

  2 Z X Z X

  7

      ^{1 2}

  , solusi numerik yang dihasilkan sama dengan solusi analitik yakni 3 1

  Aksioma | 133 dari suatu masalah optimisasi tanpa kendala adalah _k

  X atau 1 k

  1

  1 7,0 d Z X    dan berdasarkan hal

  1

     

  maka iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian

    ₁

  .Karena norm

  Z X   

  1 7,0

     

  optimisasi di atas dapat ditentukan

  X R    . Berdasarkan masalah

  2 { 1, }

  1

  1

  2

  Ambil sebarang titk awal

  0.03  ò Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Gradien

  dengan menggunakan metode Stepest Descent dengan toleransi kesalahan

  2  3 Z x x x x x x   

  ( , )

  yang meminimalkan _{2 2 1 2 1 2 1 2}

  

  { , } X x x

  Tentukan nilai _{1 2}

  Contoh Numerik 1 (Rukmono, 2016)

  . Nilai hampiran ini dapat berupa nilai analitik atau memang hanya berupa nilai pendekatan.

  X 

  tersebut dapat diperoleh ₁

  4   .

  X R   

  X x x 

  2 { 1, }

  1

  1

  2

  hal ini mengindikasikan bahwa solusi numerik ini sama dengan solusi analitiknya. Pada penyelesaian masalah optimisisasi tanpa kendala di atas, terlihat bahwa untuk nilai awal

    

  

    ₂ Z X

    . Karena

      

  X

  yang meminimalkan masalah optimisasi di atas adalah ₂ 3 1 , 4 2

  2 ,

  Apabila dicari lebih lanjut, akandiperoleh nilai ² 3 1 , 4 2

  2

  1

   

  . Berdasarkan hal tersebut iterasi berhenti sehingga nilai

    

  

    ² Z X

  norm

  2 0,0 Z X   dan

     

     dengan nilai gradien

     

  X

  dan arah pencarian

  demikian, solusi yang ditemukan 3 1  

  X

  , diperoleh ^{4 dengan nilai}    dengan metode ini sesuai dengan solusi

  4 2   aslinya. gradien  Z X  0,0 dan _{4  }

    Contoh Numerik 2 (Rukmono, 2016)

  sehingga iterasi

   Z X    ₄   Pandang kembali contoh numerik1.

  berhenti dan solusi numeriknya juga

2 X   { 1,1}  R

  Apabila diambil ,

  1

  merupakan solusi analitik penyelesaian akan coba dilakukan dengan metode Steepest Descent dengan

  Solusi Stepest Descent dengan Arah kedua jenis arah pencarian. Pencarian dan Norm Rerata Aritmatika Solusi Stepest Descent dengan Arah

  2   

  Diambil

  X { 1,1} R sebarang nilai

  1 Pencarian Gradien

  awal. Berdasarkan hal tersebut Berdasarkan hal tersebut diperoleh diperoleh nilai gradient

     Z X 7,1 dengan norm

    1  

   Z X   7,1 dengannorm   1  

   Z X   50  . Karena norm masih   ₁

   Z X   50  . Karena norm masih   ¹

  lebih besar dari  , maka iterasi lebih besar dari  , maka iterasi dilanjutkan. Arah pencarian dilanjutkan. Karena arah pencarian

  d   Z X  7, 1 

  dan berdasarkan

     

  1

  1 d   Z X  

  7, 1 maka  

  1 1  

  50 hal tersebut dapat diperoleh .

    ₁

  berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh

  198

  50 Apabila dicari, diperoleh   . Apabila dicari, maka ₁

  198

   76 74 

  X ₂ ,

    

   99 99

   dengan 76 74

  X

    , akandiperoleh nilai _{2   } 99 99

   

   Z X  0.070,0.494

  dan nilai norm

     

  2

  dengan nilai gradien

   Z X    0.498 , berdasarkan hal   ₂

   Z X  0.070,0.494

  dan norm

     

  2

  tersebut iterasi dilanjutkan. Dengan cara

   Z X  Z X     _{1 2} analog, diperoleh  .

   3.544 

  2 d   Z X   0.070, 0.494 

  sehingga

     

  2

  2 d

  berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh Nilai arah pencarian ditentukan ₂ dengan

    0.49 . Lebih lanjut diperoleh niali

  2 ₂ Z X X 

   

  0.732,0.504 dengan nilai gradien   ₃   ^k

   Z X Z X

      _{k  1}   ^{1   2} d ₂     3.465, 0.747 

     

   Z X   0.072,0.008 dan nilainorm  

  2

  2 3  

   

  .Berdasarkan hal tersebut diperoleh

   Z X   

  adalah

  0.07 . Proses   ₃   0.002538

  sehingga dapat

  2

  dilanjutkan sehingga diperoleh arah pencarian ditemukan nilai

  X  0.7764,0.7455 3   d   Z X  

  0.072, 0.008 dan  

  3 3   .

    0.25 .Berdasarkan hal tersebut

  3 134 | Aksioma

  0.75 x  namun untuk ² ₂

  . Keduapada saat nilai

    ₁ ^{n k} _i Z X n

  iba –tiba berbalik lebih besar dari  . Hal demikian dapat terjadi karena salah satu bagian dari nilai

   _t

   

    ₁ ^{n k} _i Z X n

  kemungkianan mencapai 0.5, iterasi tetap tidak dapat berhenti dikarenakan ada kemungkinan untuk nilai norm

  2 x

  

  

    

  

    ₁ ^{n k} _i Z X n

   ฀ dan suatu saat akan berhenti ketika akan tetap berhenti saat

  x 

  0.5

  terlihat mendekati nilai aslinya yakni _{2 2}

  x  ฀

   

  semakin positif atau semakin membesar.

KESIMPULAN DAN SARAN

  

  yang justru menjauhi nilai aslinya. Meski demikian

  x

  semakin akurat dengan solusi asli namun tidak sama halnya dengan ₁

  x yang

  menghasilkan nilai ₂

  

    

  1

  Dari penelitian yang telah dilakukan, terdapat beberapa hal yang dapat disimpulkan: i.

  pencarian

  Steepest Descent dengan arah

  nilai aslinya. Untuk metode

  x i  yang menjauhi

  Solusi masalah optimisasi dengan metode Steepest Descent dengan arah pencarian dan normrerata aritmatika dengan titik awal yang lain menghasilkan salah satu nilai dari , 1,2 _i

  solusi numerik Stepest Descent dengan arah pencarian negtif gradien biasa akan menghasilkan solusi yang identik dengan solusi analitik pada masalah optimisasi yang dibahas dalam tulisan ini. Begitu pula dengan solusi numerik yang dihasilkan oleh metode Stepest Descent dengan arah pencarian dan norm rerata aritmatika. Solusi yang dihasikan identik dengan solusi asli meskipun hal ini diakibatkan karena Rounding ii.

  1 X ,

  Dalam suatu masalah optimisasi dua variabel tanpa kendala dengan nilai awal tertentu

    ₁ ^{k k} _{k k} Z X d k

  Aksioma | 135

  Lebih lanjut

   

  X  dengan    

  4 0.7853,0.7429

   

  ditemukan

  3 0.00039   sehingga dapat

  dengan

  3 2.274, 0.6617 d  

  . Karena norm masih lebih besar dari  , maka iterasi dilanjutkan. Dengan cara yang sama akan diperoleh

  dan norm

  

     

  Z X 

    ³ ₁ 2.369 _{i i}

  dengan

  Z X  

  3 0.1056,0.4911

     

  4 0.1412,0.4858 Z X  

    ^{5 4} ₁ 1.781 _i

  x

  X 

  . Berdasarkan perhitungan ini terdapat dua hipotesa yang dapat diambil yakni Pertama nilai _{2 1}

  Z X    

    ₅ 1.428

  dan

  Z X  

  5 0.176,0.478

     

  dengan

  5 0.794,0.739

  Z X  

   

  demikian diperoleh nilai

  4 0.0053   . Berdasarkan hal

  dan

  4 1.6708, 0.6172 d  

   

  . Iterasi dilanjutkan sehingga diperoleh

     

   ฀ semakin menjauhi nilai aslinya yakni masih perlu diperiksa apakah Sawaragi, Yoshikazu. 1985. Theory

  ofmultiobjective optimization

  iterasi benar benar berhenti atau . suatu saat nlai norm justru London: Academic Press Inc. malah berbalik membesar lebih Utomo, Rukmono. Budi. 2016. dari nilai  Hal demikian dapat

  MetodeNumerik Stepest Descent

  terjadi karena salah satu bagian _n Dengan Arah Pencarian Rerata Aritmatika,

  

  Prosiding Semnas

  Z X   k

   _{i  1} Matematika UM.

  dari nilai semakin

  n

  Utomo, Rukmono. Budi. 2016. Materi positif atau semakin membesar Ajar Metode Numerik FKIP UMT.

  Adapun saran dalam penelitian ini adalah perlu dikonstrusi arah pencarian rerata aritmatika yang pas agar baik nilai x maupun x yang dihasilkan _{1 2} dapat menuju pada nilai yang seharusnya, yakni mendekati atau sama dengan solusi asalitiknya dan tidak memiliki kemungkinan menghasilkan nilai norm yang justru akan membesar.

  Lebih lanjut perlu diselidiki untuk masalah optimisasi yang lain dengan nilai awal X tertentu agar ditemukan

  1

  kesimpulan umum mengenai kecepatan iterasi menemukan solusi pada metode numericSteepest Descent dengan arah pencarian gradient biasa dengan gradient dan norm rerata aritmatika.

  DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. 1991. Aljabar Linier.

  Penerjemah PanturSilaban. Jakarta: Erlangga

  Bazaraa. S. Mochtar. 2006. Nonlinear

  Programming Theory and Algorithms . London: Willey

  Interscience K.P.Chong,, Edwin..2001. An IntroductionTo Optimization .

  USA: John Wiley & Sons, Inc. Munir, Rinaldi. 2008. Metode numerik.

  Bandung:Informatika Salmah. 2011. Diktat Optimisasi. Yogyakarya: FMIPA UGM

  136 | Aksioma