1. Hendra Gunawan (ACB 104 026) 2. Zainatul Mualifah (ACB 103 029) - Makalah GETARAN KISI

  www.iyaif iles.blogspot .com Rangkuma n M ate ri G e t a r a n k i s i

  Disusun oleh :

  

1. Hendra Gunawan (ACB 104 026)

  

2. Zainatul Mualifah (ACB 103 029)

  

Pengantar

  Untuk semua macam bahan zat padat, atom-atom di dalamnya tidaklah diam, melainkan bergerak terhadap kedudukan seimbangnya. Penyerapan energi panas oleh zat padat menimbulkan terjadinya getaran atom. Energi total dalam zat padat terdiri atas dua bagian,yaitu energi panas dan bentuk lain yang dapat muncul pada temperatur rendah. Kedua macam energi tersebut dinamakan sebagai energi dalam ( internal energi ) U, dan energi inilah yang menentukan sifat termal suatu zat padat. Pada kajian ini, bahan zat padat yang di perhatikan berupa kristal. Di dalam kristal letak susunan atom-atomnya beraturan secara 3 dimensi. Dalam hal demikian itu, atom-atom kristal yang bergerak terhadap kedudukan seimbangnya tidaklah sukar untuk disebut sebagai getaran kisi-kisi yang berperan dalam membentuk energi dalam pada kristal. Ragam (modus) getarannya akan sangat menentukan sifat termal zat padat. Sedangkan pada logam, adanya konduksi elektron memberikan peran tambahan kepada kapasitas termalnya.

  

Kristal Satu Dimensi Dengan Syarat Batas Biasa

  Getaran kisi (lattice vibration) yang disebut juga gelombang kisi merupakan dasar dari adanya konsep fonon. Gejala ini merupakan getaran kolektif dalam suatu bahan, yang digambarkan secara sederhana dalam kristal satu dimensi. Kristal yang terdiri dari (N+1) atom sama, berbentuik rantai lurus monoatomik, dimana kedua ujungnya tetap dikatakan sebagai kristal dengan syarat batas biasa. Perhatikan gambar 1 berikut!

  a o

  1

  2

  

3

  4

  5 N

Gambar 1 Dimana: L = Panjang rantai (N a) a = Jarak antara dua atom, disebut vektor translasi m = massa atom

  Gaya antar atom bertetangga dekat, menghasilkan persamaan gerak dalam arah rantai (dalam hal ini sumbu x ). Dan u s adalah pergeseran posisi atom ke-s.

  u u u s s-1 s+1 (s-1) s (s+1)

Gambar 2

  Dari persamaan gerak HK Newton, diperoleh: ₂

  d u _s

M  c       dengan c sebagai konstanta pegas antar atom

_{2 1 2} dt

  dan

  1 = a +u s – u s-1

  ∆

  2 = u s+1 + a – u s

  ∆ sehingga terbentuk persamaan berikut. ₂

   d u  _s M  c  u  u  _{s 1 s 1 s} 2 u  ………………………………………... (1) ₂  

    dt

    Ini merupakan bentuk persamaan gerak untuk semua atom, hanya harga s yang berbeda.

  Dengan syarat batas, pada kedua ujung tetap u = 0 dan u = 0, maka persamaannya

  N

  adalah: u s (t

  1 x s ) = A exp I ( k s x –

  ωt )…………………………………………… (2) Posisi atom x dalam keadaan ( s+1) dan ( s-1 ) adalah x = (s+1)a dan x = (s-1)a dan

  s+1 s-1

  bila dimasukkan ke persamaan (2) akan menghasilkan: u s+1 = A exp i [k (s+1)a - ωt] u s-1 = A exp i [ k (s-1)a – ……………………………………. (3)

  ωt ] Kemudian dengan memasukkan hasil persamaan (2) dan (3) ke dalam persamaan (1), maka akan diperoleh:

  ₂ 2 c  1 cos atau

     ka  M _{1 / 2}

  4 c ka    

  …………………………………………………... (4)

    sin    

  M

  2    

  Be ntuk rumusan ω = ω(k) disebut sebagai frekuensi dispersi. Adapun persamaan (2) secara kenyataan tidak mungkin diterapkan pada gelombang berjalan, melainkan pada gelombang berdiri atau gelombang dengan bentuk persamaan berikut. u s = u(0) exp(- i ωt) sin(ksa)…………………………………………….. (5)

  Hal-hal yang dapat dikemukakan dari penjelasan di atas adalah sebagai berikut.

  a.

  Untuk kristal tak terhingga, harga k dapat berubah secara konstan di dalam batas

   

  daerah Brillouin :   k  . Gambar 3 menunjukkan grafik dari persamaan (3)

  a a ₂    k

  dan grafik dari persamaan energi yang merupakan persamaan ω = ω (k) E  _{( k )}

   

  2 M  

  parabola.

  ω(k)

  k

    

  2

  2 E (k)

  k

    

  2

  2 Gambar 3 b. = 0 dan u N = 0, maka harga k yang diperkenankan Dengan adanya syarat batas u berubah secara diskret. Nilai-nilai k yang memenuhi, disebut nilai Eigen (k n ) yang apabila dimasukkan kedalam persamaan (5) menghasilkan getaran yang diperbolehkan atau disebut ragam getaran kisi. Dengan menggunakan persamaan (4) yang diperbolehkan (disebut frekuensi eigen ).

  n

  akan memberikan frekuensi ω Perhatikan syarat batas : u = 0 dan u N = 0, jadi untuk s = N, maka persamaan (5) menjadi :

  ωt -

  u N = 0 = u(0)e sin ( k N a) berlaku bila kNa = nπ, dimana n = 0, 1, 2,….merupakan bilangan kuantum, yang menyatakan kediskritan. Sehingga diperoleh:

  n   k n _n   Na L

  2  Dari hubungan k  = panjang gelombang _n , λ n

   _n

  Akan didapat hubungan:

2 L

    ……………………….……………………………………. (6) _n n

  Beberapa kemungkinan nilai eigen dan panjang gelombang yang diperbolehkan digambarkan sebagai berikut : n = 0, k = ~

  = 0 dan λ

  

  n = 1, k = 2L ₁  dan λ

1 L

  2 

  n = 2, k  _{2 dan λ} 2 = L

  L 

  n = N, k = 2a _{n dan λ}  N

  a Gambar 4

  

N = 2a merupakan panjang gelombang terpendek yang dapat terjadi.pada ragam ini,

  λ semua atom selalu dalam keadaan diam, hingga tak dapat disebut terjadi gelombang.

  Sebagai contoh yaitu penerapannya secara khusus bila k<<0 atau k  , maka pada

  ka ka 

  persamaan (4) sin sehingga: _{1 /}

  2 ₂

  2 ka 4 c c

       ka

   

  2 M M    c

  Karena pada ,  2 (lihat gambar (4)) maka:

  k   _m a M 

   m 

  

     ka

  2   kontinue

  ω (k)

  diskrit k

    

  2

  2 Gambar 5 2 

  , maka kecepatan rambat gelombang (v) adalah:

  k 

  Dari hubungan ω = 2πf dan

    v  f dimana f adalah frekuensi getaran

   2  k

  Dalam keadaan dianggap sebagai daerah frekuensi kontinu, maka kecepatan

  k 

  rambat gelombang adalah:

   c

v   a  tan  ……………………………………..…………….. (7)

k M

• 10
• 26

  Untuk kristal a = 3 m, c = 30N/m, dan massa atom (M) = 3 x 10 gram Ǻ = 3 x 10 ₄

  (untuk berat atom sekitar 20), maka v  10 m / s . Ini merupakan kecepatan yang sama dengan kecepatan bunyi yang umumnya merambat dalam kristal.

   c ^{13 1}  m ¹²

  

  Mengingat  _m 2  6 x 10 s dan frekuensi getarnya f   _m 5 x

  10 Hz dan M

  2  c

  panjang gelombangnya  60  .

    m

  f _m

  Ini menunjukkan harga panjang gelombang yang sesuai dengan infra merah yang diserap kristal untuk getaran atom-atomnya.

  Kristal 1 Dimensi Dengan Syarat Batas Periodik

  Keadaan ini biarpun berbeda dengan bahasan pada syarat batas biasa, ternyata memberi hasil yang sama. Hal ini dikarenakan kristal adalah suatu susunan yang teratur dan periodik, maka dalam Fisika Zat Padat selalu di gunakan cara syarat batas yang periodik. Kristal sejarak L disambung hingga tersusun tak terhingga, dan diperoleh kristal ideal (lihat gambar 6).

  L = N a L = N a Gambar 6

  Untuk keadaan ini, persamaan geraknya serupa bentuknya dengan kristal yaitu : ₂

   d u  _s M  c  u  u  _{2 s  1 s  1 s} 2 u    dt

   

  yang menghasilkan persamaan: u s = u(0) exp i ( ksa – dengan syarat batasnya u (sa+L) = u sa ……… (8) ωt )

  Seperti halnya dengan keadaan pada kristal 1 dimensi dengan syarat batas biasa, maka akan diperoleh rumus frekuensi seperti terdahulu: 4 c ka

  

  ( k )  sin

  M

2 Dan dengan memakai syarat batas pada persamaan (8), dan nilai eigen k ditentukan dari hubungan exp ikL = 1 atau kL = n(2π), dimana n = 0, ±1, ±2, ±3,…..

  

2 Maka: k  n ………………………………………………………… (9)

  _n

  L Disini dengan tanda (-) diikut sertakan, karena ini menggambarkan gelombang berjalan dalam arah yang berlawanan. Disini arti fisisnya berbeda dengan keadaan syarat batas biasa.

  2  

  Mengingat adanya batas daerah Brillouin: n   sedangkan L = Na. Sehingga _max

  L a N

  didapat n   . Jadi nilai n ditentukan sebagai berikut: _max

  2

  n = 0, ±1, ±2, ±3,…, ±N/2……………………………………………….... (10)

  

ada N/2 ada N/2

n= -N/2 n = 0 n = N/2

k= - k=

π2 k = 0 π/2

  L = N a

Gambar 7

  N N

  Pada keadaan sekarang : n  dan n   akan memberikan panjang gelombang λ=

  2

  

2

  = ~ tetap tak ada getaran 2a, menggambarkan gelombang stasioner. Sedangkan n = 0, λ seperti pada gambar 4.

  Jadi jumlah nilai eigen k yang menggambarkan adanya ragam getaran gelombang

  n

  stasioner menjadi:

  N ( 2 x  1 )   n  1  macam, yaitu : n = 0, ±1, ±2,…..±N/2.

2 Fonon yang dinyatakan sebagai gelombang kisi dan mempunyai ragam getaran sesuai dengan k n disebut gelombang kisi yang terkuantisasi.

  h

  Energi fonon E = n , dimana (h = konstanta Planck) dan

  n kn

  ħω ħ =

  2 

  4 c 2 

     sin k a /

  2 . Momentum Fonon P = dengan   _{kn n}   n ħ k n _n

  M k _n

  Fonon seperti halnya foton untuk gelombang elektromagnet dinyatakan sebagai boson yang mengikuti distribusi Bose Einstein : ₂

  

     

  f  exp 

  1 ………………………………………………………. (11)  

  k T _B

   

  k T _B

  Bila temperature T = 0, maka f = 0, dan bila temperaturnya tinggi, maka f  . Di

   sini terlihat bahwa foton dapat timbul atau muncul bila temperaturnya dinaikkan.

  

Kristal 1 Dimensi Dengan 2 Macam Atom (Dwi-atom)

  Susunan atom-atomnya ditunjukkan seperti pada gambar 8, masing-masing atomnya mempunyai massa berbeda yaitu m dan M.

  b u v u v

u v

s-1 s-1

s s

s+1 s+1 m m

m M M M

b

  

Gambar 8

  Jarak antar dua gugus atom yang sama adalah b, pergesaran posisi atom m dinyatakan u ,

  s

  dan untuk atom M dinyatakan v s . Sedangkan c

  1 dan c 2 adalah tetapan.

  Persamaan gerak untuk setiap atom adalah: ₂

  d u _s m c u v c v u …………………………………. ( 12 ) _{2 }          _{2 s s 1 1 s s} dt ₂ d v _s m   c  v  u   c  u  v  ………………………………..…. ( 13 ) _{2 1 1 s s 2 s s} dt Dengan memperhatikan persamaan (12) dan persamaan (13) dan syarat batasnya, maka akan diperoleh hubungan dispersi : ω = ω(k) sesuai dengan hasil berikut ini: _{2 2 2  }

  1

  1

  1

  1 4 sin kb

        

     …………………………. ( 14 )    

  m M m M mM

      d engan α = konstanta pegas. Bentuk grafik ω (k) terlihat pada gambar 9.

  ω(k) 2  optik

  M

  1 1    2   

    m M

    2  m untuk m>M

  k

   k 

  2 b

Gambar 9

Dari gambar 9 terlihat adanya dua lengkungan dispersi atau adanya dua cabang.

  Lengkungan yang bawah sesuai dengan pengambilan tanda (-) dalam persamaan (14) dinamakan cabang akustik, sedangkan lengkungan atas disebut cabang optik. Tampak bahwa bahwa frekuensi ω untuk cabang optik, tidak berubah terlalu besar dengan perubahan k, acapkali frekuensinya dianggap konstan.

  

  2  2  Daerah frekunsi pada antara dan disebut “gap”, dalam keadaan

  k  2 b m M

  demikian kisi-kisi tidak dapat meneruskan gelombang atau dikatakan gelombang terpadamkan. Hal ini merupakan daerah frekuensi terlarang. Beda cabang akustik dengan cabang optic dapat dilihat pada daerah k  atau λ>>, panjang gelombangnya sangat besar. Disini yang diperhatikan adalah perbandingan amplitudo a/A, dimana a = amplitudo atom dengan massa m, sedangkan A = amplitudo atom dengan massa M. Kedua kasus untuk cabang dibahas dibawah ini . a.

  Untuk cabang akustik, bila k = 0 dan ω = 0, maka diperoleh a = A. Dalam keadaan ini, kedua atom memiliki amplitudo yang sama dan mereka bergerak (bergetar) dengan fasa yang sama. Artinya, molekul dwi atom dan keseluruhan kisi-kisi akan bergetar sebagai kesatuan, titik pusat massanya bergerak secara ulang-alik. Tetapi bila ω bertambah, maka a = A tidak berlaku secara tepat lagi, dan kedua atom bergerak hampir sefasa satu terhadap lainnya.

  m M M m

Gambar 10

  Dari sebutan cabang ini, maka getaran dicatat sebagai ada hubungannya dengan gelombang bunyi (akustik).

  b. Untuk cabang optik.

  1

  1 

  Bila diambil rumus     pada k = 0, maka akan diperoleh hubungan

  

  2   m M

    a M

  MA + ma = n atau   …………………………………..( 13 )

  A m

  Hal ini berarti getarannya sedemikian rupa sehingga titik pusat massanya tetap diam, dan kedua atom bergerak dengan beda fasa π. Tetapi bila k bertambah , frekuensi getaran dwi-atom akan berkurang, tetapi perubahannya tidak terlalu besar, dapat dianggap getaran masing- masing atom tetap mempunyai beda fasa mendekati π.

  

Gambar 11

Pada cabang ini efek yang penting adalah sifat penyerapan infra merah.