Diklat Adaptif Matematika Terapan

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 1 dari 25

  

Diklat Adaptif Matematika Terapan

Oleh :

Rahmat Hendrawan

modul matematika terapan

  Kegiatan Pembelajaran 1 Relasi dan Fungsi A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat membedakan relasi dan fungsi

B. Uraian Materi Pembelajaran 1. Relasi

  Simaklah permasalahan berikut:

  Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 1:

  Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain bola basket. Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka gambarkan hubungan di atas! Apa yang dapat Anda simpulkan?

  Setelah Anda menemukan jawaban problem 1 di atas, bacalah uraian berikut kemudian bandingkan dengan jawaban Anda. Untuk memahami apa yang disebut relasi perhatikan contoh berikut ini: Via : aku senang permen dan coklat Andre : aku senang coklat dan es krim Ita : aku suka es krim

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 2 dari 25

• Himpunan A adalah himpunan nama orang
• Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan B = { es krim, coklat, permen }

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 3 dari 25 Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

  A = { Via, Andre, Ita }

  Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan :

a. Diagram panah b. Himpunan pasangan berurutan

  { (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)} c.

   Diagram Cartesius

  Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa relasi dari himpunan A ke

  

himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota himpunan A dengan anggota-

anggota himpunan B.

  Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

  1. Diagaram panah

  2. Himpunan pasangan berurutan

  3. Diagram Cartesius

  via Andre Ita permen coklat es krim via andre ita p er m e n c o k la t e s k ri m Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 4 dari 25 2.

   Fungsi

  Simaklah permasalahan berikut: Pada relasi di atas, adakah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B di mana setiap anggota A mempunyai pasangan satu di anggota B? Relasi seperti ini disebut fungsi atau pemetaan. Jadi, suatu fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah : Suatu relasi khusus, sehingga setiap anggota himpunan A dipasangkan

A. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu, kemudian tanyakan nomor sepatu mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.

  dengan tepat satu anggota himpunan B.

  Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 2:

  a. Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!

  b. Jika B himpunan nomor sepatu teman-temanmu, tulislah anggota B !

  c. Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah, dengan relasi nomor sepatu.

  d. Adakah anak yang memiliki nomor sepatu lebih dari satu?

  B. Lakukan wawancara sederhana terhadap 10 orang temanmu, kemudian tanyakan bulan kelahiran mereka. Kemudian, jawab pertanyaan berikut, a. Jika P himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota P!

  b. Jika Q himpunan nama-nama bulan kelahiran teman-temanmu, tulislah anggota Q! c. Nyatakan relasi himpunan P ke Q dengan diagram panah, relasinya bulan kelahiran.

  d. Adakah anggota P mempunyai bulan kelahiran lebih dari satu?

  e. Adakah anggota P yang tidak mempunyai bulan kelahiran?

  f. Apa yang dapat kita simpulkan dari relasi di atas?

A. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari-jari r lingkaran tersebut.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 5 dari 25 Berikut ini akan diuraiakan secara umum tentang fungsi dan cara menyajikan fungsi. Fungsi muncul bilamana satu besaran tergantung pada yang lain. Tinjaulah empat situasi berikut ini.

  Aturan yang mengkaitkan r dan A diberikan oleh persamaan . Dengan setiap bilangan positif r terdapat satu nilai yang berhubungan dengan A, dan kita katakana bahwa A adalah fungsi dari r.

  B. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut ini memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.

  Sebagai contoh, P(1950) 2.520.000.000. Tetapi untuk setiap nilai waktu t terdapat nilai padanannya P, dan kita katakana bahwa P adalah fungsi dari t.

  Tahun Populasi (Juta) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1996

  1650 1750 1860 1070 3200 2520 3020 3700 4450 5300 5770

  C. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengkaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan untuk menentuka C bilamana w diketahui.

  D. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi dari waktu terlewat t. Untuk suatu nilai t yang diberikan grafik tersebut menyediakan nilai padanan a.

  Gambar 1. Grafik Kecepatan tegak tanah selama gempa

  Masing-masing contoh ini menguraikan aturan di mana, untuk bilangan yang diberikan (r,

  

t, w, dan t) ditetapkan bilangan lain (A, P, C atau a). Dalam kasus ini kita katakan bahwa

bilangan kedua merupakan fungsi bilangan pertama.

  

Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara

tepat satu elemen yang disebut f(x) dalam himpunan B. Biasanya kita meninjau fungsi di

  mana himpunan A dan B merupakan himpunan bilangan real. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x) adalah nilai f pada x dan dibaca “ f dari x”. Darah hasil (range) f adalah himpunan semua nilai f(x) dimana x berubah sepanjang daerah A.

  Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang di daerah asal fungsi f disebut variable bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut variable tak bebas. Akan bermanfaat untuk membayangkan fungsi sebagai sebuah mesin (lihat Gambar 2). Jika x adalah daerah asal fungsi f, maka pada waktu f memasuki mesin, dia diterima sebagai masukan dan mesin menghasilkan keluaran f(x) menurut aturan fungsi. Jadi, kita dapat memikirkan daerah definisi sebagai himpunan semua masukan yang mungkin dan daerah hasil sebagai himpunan semua keluaran yang mungkin.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 6 dari 25

  x f f(x) (keluaran) (masukan)

  Gambar 2. Diagram mesin untuk fungsi f

  Cara lain untuk menggambarkan fungsi adalah dengan diagram panah seperti dalam Gambar 3. Masing-masing panah mengaitkan suatu elemen dari A ke suatu elemen dari B. Panah menunjukkkan bahwa f(x) dipadankan dengan x, f(a) dipadankan dengan a, dan seterusnya. x f(x) a

  f(a) f

  A B Gambar 3. Diagram panah untuk fungsi f

  Metode yang paling umum untuk memvisualisasikan fungsi adalah grafiknya. Jika f merupakan fungsi dengan daerah asal A, maka grafiknya merupakan himpunan pasangan }. terurut {(x, f(x)) | x Sehingga berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa penyajian suatu fungsi dilakukan empat cara yaitu secara lisan (dengan uraian kata-kata), secara numeric (dengan table nilai), secara visual ( dengan grafik), dan secara aljabar (dengan rumus eksplisit).

  Contoh fungsi/pemetaan: Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 7 dari 25 Contoh bukan fungsi/pemetaan: Perhatikan gambar di bawah ini

  Himpunan A = { Nia, Tuti, Adi, Iman}, disebut daerah asal atau domain. Himpunan B = {37, 38, 39, 40}, di sebut daerah kawan atau kodomain. {37, 38, 39} disebut daerah hasil atau range, yaitu himpunan B yang mempunyai kawan di himpunan A.

  Merumuskan Suatu Fungsi

  Diketahui bahwa anggota himpunan P dipasangkan dengan anggota himpunan B sebagai berikut:

  1. Tiga kurangnya dari 4 , ditulis 1 → 4 2.

  Tiga kurangnya dari 5, ditulis 2 → 5

  3. Tiga kurangnya dari 6, ditulis 3 → 6

  4. Tiga kurangnya dari 7, ditulis 4 → 7

  Jika relasi di atas adalah f, maka : f : 1 →1 + 3 f : 2 → 2 + 3 f : 3 → 3 + 3 f : 4

  →4 + 3 Dalam bentuk notasi fungsi menjadi : f : x

  → x + 3 Dan rumus fungsinya adalah f(x) = x + 3

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 8 dari 25

  CONTOH 1

1. Fungsi f memetakan setiap x anggota daerah asal ke 2 x + 1 dari daerah kawan.

  a. Tulislah notasi fungsi f

  b. Tulislah rumus f

  c. Tentukan nilai f(2) Jawab :

  a. Notasi fungsi f adalah f : x → 2 x + 1

  b. Rumus fungsi f adalah f ( x ) = 2 x + 1

  c. Rumus fungsi f ( x ) = 2 x + 1 f ( 2 ) = ( 2 x 2 ) + 1

  f ( 2 ) = 4 + 1 f ( 2 ) = 5

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 9 dari 25

  Kegiatan Belajar 2 Penerapan Konsep Fungsi Linier A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi linear

B. Uraian Materi Pembelajaran

  Pada waktu kita mengatakan bahwa y adalah fungsi linier x, kita maksudkan bahwa grafik fungsi berupa garis lurus, sehingga kita dapat menggunakan bentuk kemiringan- perpotongan dari persamaan garis untuk menuliskan rumus fungsi sebagai berikut: Dengan m adalah kemiringan garis dan b adalah perpotongan sumbu y.

  y= f(x) = mx + b

  Ciri khas fungsi linier adalah dia tumbuh pada laju tetap. Misalnya, Gambar 4 memperlihatkan grafik fungsi linier f(x) =3x

• – 2 di tabel nilai sampel. Perhatikan bahwa

  bilamana x bertambah sebesar 0,1 maka nilai f(x) bertambah sebesar 0,3. Sehingga f(x) bertambah tiga kali lebih cepat dari x. Jadi, kemiringan grafik y = 3x – 2, yakni 3 dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan y terhadap x.

  y x f(x)=3x-2

  1,0 1,0 1,1 1,3

  y =3x-2

  1,2 1,6 1,3 1,9 1,4 2,2 1,5 2,5

  x

• -2

  Gambar 4. Grafik fungsi y =3x-2 Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 10 dari 25 Perhatikan contoh berikut ini sebagai bentuk penerapan fungsi linear.

  CONTOH 2

  a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu permukaan tanah adalah 20 C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10 C, nyatakan suhu T (dalam

  C) sebagai fungsi tinggi h (dalam km), dengan anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai b. Gambarkan grafik fungsi di bagian (a). Apa yang dinyatakan oleh kemiringan?

  c. Berapa suhu pada ketinggian 2,5 km? Jawaban:

  a. Karena kita menganggap bahwa T merupakan fungsi linier h, kita dapat menuliskan

  T = mh + b

  Diketahui bahwa T = 20 pada waktu h = 0, sehingga 20 = m . 0 + b = b Dengan kata lain perpotongan sumbu y adalah b = 20. Diketahui juga bahwa T = 10 pada waktu h = 1, sehingga 10 = m . 1 + 20 m = 10

• – 20 = -10 Sehingga kemiringan garis m = -10 dan fungsi linear yang diperlukan adalah

  T = -10h + 20 C/ km, dan ini

  b. Sketsa grafik pada Gambar 3. Kemiringan adalah m = -10 menyatakan laju perubahan suhu terhadap tinggi.

  c. Pada ketinggian h = 2,5 km, suhu adalah T = -10(2,5) + 20 = -5 C

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 11 dari 25

  Kegiatan Belajar 3 Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menggambarkan fungsi kuadrat

B. Uraian Materi Pembelajaran

  Sebelum membahas cara-cara untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, akan dibahas terlebih dahulu bentuk umum fungsi kuadrat. Untuk keperluan itu, simaklah beberapa fungsi berikut ini. ₂ f(x) = x -1 ₂ f(x) = 2x – 6x ₂ f(x) = x

• – 4x + 3
₃ f(x) = -3x + 4x -3 Perhatikan bahwa pangkat tertinggi bagi peubah x pada tiap fungsi di atas sama dengan dua. Fungsi yag mempunyai cirri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x.

  Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut. Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh ₂

  f(x) =ax + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x. ₂ Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax

• + bx + c dan grafik kuadrat disebut

  sebagai parabola. Sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-angkah sebagai berikut.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 12 dari 25

  Langkah 1:

  Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat ditentukan dengan memilih beberapa niai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian dihitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu biasanya lebih mudah disajikan dengan menggunakan daftar atau tabel.

  Langkah 2:

  Gambarkan kordinat titik-titik yang telah diperoleh pada Langkah 1 pada sebuah bidang koordinat atau bidang Cartesius.

  Langkah 3:

  Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang koordinat pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva yang mulus.

  CONTOH 1 ₂ Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = x – 2x, jika

  daerah asalnya adalah D = {x |- 2 ≤ x ≤ 4 , x R } Jawaban: _{2 2} Grafik fungsi kuadrat f(x) = x

• -2x adalah sebuah parabola dengan persamaan y = x -2x Langkah 1: Buat daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

  x -2 -1

  1

  2

  3

  4

  8 3 -1

  3

  8

  y Langkah 2:

  Gambarkan titik-titik (-2, 8), (-1, 3), (0,0), (1, -1), (2, 0), (3, 3) dan (4, 8) pada bidang Cartesius seperti Gambar 5.

  Langkah 3:

  Hubungkan titik-titik pada Langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus, sehingga ₂ diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = x -2x seperti diperlihatkan pada Gambar 5. Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 13 dari 25 y y

  8

  8 ₂ y= x -2x

  6

  6

  4

  4

  2

  2 x x 0 1 2 3 4 5

  0 1 2 3 4 5 -1

• 1 -2
<
• 1
• 1

  P(1,-1)

• 2
• 2
₂ Gambar 5. Grafik f(x) = x -2x

  Berdasarkan grafik fungsi pada Gambar 2-5b, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

  1. Daerah Asal

  Daerah asal fungsi f adalah {x|- 2 ≤ x ≤ 4, x R}

  2. Daerah Hasil

  Daerah hasil fungsi f adalah {y|- 1 ≤ y ≤ 8, y R} 3.

   Wilayah Nol

  Untuk nilai x = 0 didapat f(0) = 0 dan untuk x = 2 didapat f(2) = 0. Dalam hal demikian x = 0 dan x = 2 dinamakan pembuat nol fungsi f. dan pembuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0. Perhatikan pula bahwa grafik fungsi f memotong sumbu x di A(0,0) dan di B(2,0), sehingga pembuat nol sebuah fungsi dapat ditafsirkan sebagai absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu x.

  4. Persamaan Sumbu Simetri

₂

Parabola dengan persamaan y = x
• – 2x mempunyai sumbu simetri (sumbu setangkup) yang persamaannya x = 1

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 14 dari 25

  5. Koordinat Titik Puncak atau Titik Balik

  Jika nilai x bertambah di dalam daerah asalnya dari -2 samapai dengan 4, maka nilai fungsi berkurang dari 8 menjadi -1 dan sesudah itu nilai fungsi bertambah ₂ dari -1 menjadi 8. Jadi, fungsi f(x) = x

• – 2x mengalami perubahan nilai dari turun menjadi naik. Tempat perubahan dari turun menjadi naik itu terjadi pada titik P(1,-1). Dalam hal demikian, titik P(1,-1) dinamakan titik balik atau titik puncak

  parabola. Pada titik P(1,-1), ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil pada kurva,

  sehingga titik p(1,-1) diberi nama titik balik minimum. Perhatikan pula bahwa sumbu simetri melalui titik P(1,-1).

  6. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi Untuk x = 1 diperoleh f(1) = -1. Nilai f(1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi f, sebab nilai itu adalah nilai fungsi f yang terkecil.

  Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum

  Sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum dapat digambar dengan cara menentukan terlebih dahulu: a. Titik potong dengan sumbu–x dan sumbu-y

  b. Titik puncak atau titik balik parabola

  c. Persamaan sumbu simetri

1. Titik Potong dengan Sumbu-x dan sumbu-y

a. Titik potong dengan sumbu x

  ₂ Titik potong dengan sumbu x diperoleh jika ordinat y = 0, sehingga ax + bx + c = 0 yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu x.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 15 dari 25

• – 4ac, menentukan banyak titik potong dengan sumbu x.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 16 dari 25 Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0, yaitu D = b ²

  Jika b ² – 4ac &gt; 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. Perhatikan Gambar 6. (a) dan Gambar 6. (d).

  Jika b ² – 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit. Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x. Perhatikan Gambar 6. (b) dan Gambar 6. (e).

  Jika b ² – 4ac &lt; 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Perhatikan Gambar 6. (c) dan Gambar 6.(f).

  Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika absis x = 0; sehingga y = a(0) ² + b(0) + c = c. Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,c).

  Jika c &gt; 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu y di atas titik asal O.

  Perhatikan Gambar 7. (a) dan Gambar 7. (d). Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu y tepat dititik asal O.

  Perhatikan Gambar 7. (b) dan Gambar 7. (e). Jika c &lt; 0,maka grafik fungsi f memotong sumbu y di bawah titik asal O.

  Perhatikan Gambar 7. (c) dan Gambar 7. (f). (a) (b) (c)

  (d) (e) (f)

  Gambar 6. Grafik Memotong Sumbu x

b. Titik potong dengan sumbu y

  y y y x x x

  (a) (b) (c) y y y x x x

  (d) (e) (f)

  Gambar 7. Grafik Titik Potong pada Sumbu y

2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri

  Titik puncak atau titik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat sempurna itu selanjutnya data pula ditentukan persamaan sumbu simetrinya. Sehingga diperoleh, ₂

• bx + c dengan a, b, c R dan a 0, mempunyai titik

  a. Parabola y = ax puncak atau titik balik b. Jika a &gt; 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas

  Jika a &lt; 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah ₂

• bx + c adalah

c. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 17 dari 25

  Kegiatan Belajar 4 Penerapan Konsep Fungsi Kuadrat,

  Eksponen, Logaritma dan Trigonometri A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi

kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma dan fungsi trigonometri.

  B. Uraian Materi Pembelajaran

  A. Model Matematika

  Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata seperti popuasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi hasil suatu reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang prilaku masa depan. Berikut ini merupakan gambar proses pemodelan.

  Rumuskan Persoalan Model Matematika

  Dunia Nyata Uji

  Pecahkan Prakiraan

  Kesimpulan Dunia Nyata Matematika

  Tafsirkan Gambar 7. Proses Pemodelan

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 18 dari 25 Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara lengkap dari situasi fisik. Ia merupakan pengidealan. Model yang baik menyederhanakan kenyataan sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga. Penting untuk menyadari keterbatasan model. Pada akhirnya, alamlah yang menentukan. Terdapat banyak jenis fungsi berlainan yang dapat digunakan memodelkan hubungan yang diamati di dunia nyata. Selanjutnya, kita membahas kelakuan dan grafik fungsi-fungsi ini dan memberikan contoh tentang situasi yang sesuai dimodelkan oleh fungsi-fungsi yang demikian.

  B. Penerapan Konsep Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat banyak digunakan dalam perhitungan nilai optimum pada kegiatan pemupukan, pemanenan, biaya produksi, jumlah produksi, dan lain-lain. Berikut contoh soal penerapan konsep fungsi kuadrat.

  CONTOH ₂ Pertumbuhan jumlah kalus memenuhi persamaan : Y = - X + 6X +16, dimana :

  Y = Jumlah kalus X = Dosis ZPT (ppm) ZPT yang digunakan adalah Cytokinin

  Ditanyakan : 1) Gambar grafik pemupukan ! 2) Berapa produksi maksimal yang dicapai dari luas lahan di atas ? 3) Berapa ppm cytokinin yang diperlukan untuk memproduksi kalus secara maksimal? 4) Jika dosis cytokinin yang diberikan 5 ppm berapa jumlah kalus yang diperoleh?

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 19 dari 25 Penyelesaian:

1. Penyelesaian soal di atas kita membuat sketsa grafik fungsi dengan terlebih dahulu menentkan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

  Titik potong dengan sumbu-x,diperoleh jika y = 0

  2

• x +6x+16 = 0 ↔ (-x-2)(x-8)=0 ↔ x

  1 = -2 atau x 2 = 8 Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (-2,0) atau (8,0) Titik potong dengan sumbu-y, diperoleh jika x = 0

  2 y = -(0) + 6(0) + 16 = 16

  Jadi titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,16) Koordinat titik puncak atau titik balik.

  P = ↔ P = ↔ P = (3, 25) Karena a = -1 (negative) maka P merupakan titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah. Persamaan sumbu simetrinya adalah x = 3.

  y P(3,25)

  25

  20

  15

  10

  5 x

• 2

  2

  4

  6

  8 ₂ Gambar 8. Sketsa Grafik fungsi Y = - X + 6X +16 Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 20 dari 25 Produksi kalus maksimal yang diperoleh sebanyak 25 kalus ( y makimum = 25)

  2. Banyaknya ppm cytokinin yang diperlukan untuk memproduksi kalus secara maksimal adalah 3 ppm

3. Jika dosis cytokinin yang diberikan 5 ppm maka jumlah kalus yang diperoleh

  2 f(5) = -(5) + 6(5) + 16 = -25+30+16 = 21 kalus

B. Penerapan Konsep Fungsi Eksponen

  _x Fungsi eksponen berbentuk f(x) = a , dengan bilangan dasar a adalah konstanta positif.

  Fungsi eksponen dimanfaatan untuk memodelkan banyak fenomena alamiah misalnya pertumbuhan populasi (jika a &gt; 1) dan peluruhan radoaktif (jika a &lt; 1), menentukan jumlah pembiayaan dengan menggunakan bunga bank. _x Grafik fungsi eksponensial y = a dapat dibedakan dalam tiga jenis. Jika 0 &lt; a &lt; 1, fungsi eksponensial tersebut turun; jika a = 1, fungsi tersebut konstan; dan jika a &gt; 1, fungsi tersebut naik. Ketiga kasus ini diperlihatkan dalam Gambar 9. di bawah ini. y y

  (0,1)

  1 _x x x _x (a). Grafik fungsi y = a , 0&lt;a&lt;1 (b). Grafik fungsi y = 1 y

  (0,1) _x x (a). Grafik fungsi y = a , a&gt;1

  Gambar 9. Ketiga Jenis Grafik Fungsi Eksponen Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 21 dari 25

  Contoh – contoh penerapan fungsi eksponen.

1. Sebuah koloni bakteri dapat berkembang dengan kecepatan 20% per jam. Artinya dalam setiap jam bakteri itu akan bertambah sebanyak 1,2 kali jumlah semula.

  Misalkan koloni bakteri itu semula berjumlah 800, maka perkembangan bakteri dapat dilihat pada tabel berikut: Waktu(jam) 0

  1

  2 3 t _t Jumlah 800 960 1152 1382,4 800(1,2) x1,2 x1,2 x1,2 x1,2

  Tampak bahwa harga satu koloni bakteri akan meningkat sesuai dengan fungsi eksponen _t

  J = 800(1,2)

  Berdasarkan fungsi tersebut tentukan jumlah bakteri:

  a. 5 jam dari sekarang

  b. 5 jam yang lalu Pembahasan: ₅

  1990,66

  a. J(5) = 800(1,2) Jadi jumlah bakteri 5 jam yang akan datang sekitar 1991 _-5

  771,35

  b. J(-5) = 800(1,2) Jadi jumlah bakteri 5 jam yang lalu sekitar 771

  2. Sejumlah dana yang disimpan di Bank dengan bunga majemuk kontinyu akan _it tumbuh secara kontinyu sesuai fungsi P = P . e , dengan pemisalan Pt = Jumlah _t dana setelah t periode P = Jumlah dana mula-mula i = Tingkat bunga (pertumbuhan dana). Uang $1000 disimpan di bank dgn bunga 8% per tahun selama 25 tahun, dengan bunga diperhitungkan secara kontinyu. Berapa nilai uang pada akhir tahun ke 25 ?

  Jawab : it 0,08x25

  P t = P .e = 1000.e = 1000 x 7,389056 = $7.389,056 14

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 22 dari 25

  _x

C. Penerapan Konsep Fungsi Logaritma

  merupakan fungsi turun atau naik, Jika a &gt; 0 dan a≠1, fungsi eksponensial f(x) = a _-1 dan karenanya fungsi satu-satu. Jadi ia mempunyai fungsi invers f , yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dan dilambangkan dengan , sehingga diperoleh Jadi, jika x &gt; 0, merupakan eksponen yang bila diterapkan pada bilangan pokok a akan memberikan x.

  Fungsi logaritma log a mempunyai daerah asal (0, ) dan daerah nilai R dan kontinu karena merupakan invers dari suatu fungsi kontinu yakni fungsi _x eksponensial. Grafiknya merupakan pencerminan dari grafik y = a terhadap garis y = x. _x

  Gambar 10. memperlihatkan kasus a &gt; 1. Fakta bahwa y = a merupakan fungsi yang naik sangat cepat untuk x &gt; 0 tercermin pada fakta bahwa y = merupakan fungsi yang turun sangat lambat untuk x &gt; 1. _x y=x y=a , a&gt;1 y=log x, a&gt; 1 _a x

  x

  Gambar 10. Grafik fungsi y = a , a&gt;1 Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 23 dari 25 Contoh penerapan konsep logaritma dapat dilihat pada soal di bawah ini. Misalkan sebuah isotop radioaktif meluruh dengan kecepatan 15% per hari. Jika sekarang ada 40 kg, tentukan

  Banyaknya radiaktif setelah 6 hari a. Waktu yang diperrlukan agar jumlah radioaktif tinggal 20 kg b. Pembahasan: Karena radioaktif itu meluruh maka jumlahnya akan berkurang dari jumlah semula.

  Setiap hari berkurang sebanyak 15% atau 0,15 kali jumlah sebelumnya. Maka yang tersisa adalah (1

• – 0,15) = 0,85 kali jumlah pada hari sebelumnya. Perhatikan tabel berikut ini:

  Waktu (hari)

  1

  2

  4

  t _t

  Jumlah 40 …. ….. ….. 40(0,85) x 0,85 x 0,85 x 0,85 x 0,85

  Tampak bahwa kecepatan sebuah isotop radioaktif meluruh sesuai dengan fungsi _t eksponen J = 40(0,85) ₆

  a. 15,1 Jika t = 6 hari maka J = 40(0,85)

  Jadi banyaknya radioaktif setelah 6 hari adalah 15,1 kg _t

  

20

_{t t}

  = (0,85) 0,5 = (0,85)

b. Jika J = 20 maka 20 = 40(0,85)

  

40

Dengan mengubah kedalam bentuk logaritma: _{t 0,85 log ,}

  5

  0,5 = (0,85) t = log 0,5 t = 4,265

  log ,

  85 Jadi waktu yang diperlukan supaya tinggal 20 kg radioaktif kira-kira 4,265 hari.

D. Penerapan Konsep Fungsi Trigonometri

  Grafik fungsi f(x) = sin x merupakan salah satu contoh dari fungsi trignometri dimana sin x bermakna sinus sudut yang ukuran radialnya x. Gambar 10. Berikut merupakan grafik sinus dan kosinus.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 24 dari 25 y

  1 x

• 1 y

  1 x

• 1 Gambar 11. Grafik fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x

  Perhatikan bahwa untuk fungsi sinus dan kosinus keduanya mempunyai daerah asal (- ) dan daerah nilai berupa selang tertutup [-1, 1]. Jadi untuk semua nilai x kita mempunyai

• 1 Juga, titik nol fungsi sinus terdapat pada keipatan bulat, yakni sin x = 0 bilamana x = n , n bilangan bulat. Sifat penting fungsi sinus dan kosinus adalah berupa fungsi periodik dan mempunyai periode 2 . Ini bermakna bahwa untuk semua nilai x, sin(x+2 )= sin x dan cos(x+2 )=cos x. Fungsi periodik fungsi-fungsi ini cocok untuk memodelkan fenomena yang berulang seperti peristiwa pasang, kawat bergetar, gelombang suara, gelombang bunyi, ayunan bandul dan peristiwa-peristiwa yang terkait ilmu fisika.

  Disusun : Rahmat Hendrawan Revisi : 0 Halaman 25 dari 25