MAtematika Diskrit (1)Matematika Diskrit (1)Matematika Diskrit (1)Matematika Diskrit (1)Matematika Diskrit (1)

1.2. Logika Predikat
Pada pembahasan pasal sebelumnya kita telah
membahas logika proposisional yang terdiri dari
proposisi tunggal (disebut juga atom atau primif)
dan proposisi majemuk.
Kelemahan utama dari logika proposisional
adalah tidak boleh mengandung peubah.
Hal ini berkaitan dengan definisi dari proposisi,
yaitu hanya mempunyai nilai benar atau salah;
tidak keduanya.
Berarti pada logika proposisional tidak boleh
mengandung peubah.

Misalnya pernyataan 2x + 1 = 3 dengan daerah asal
bilangan ril. Padahal dalam banyak hal pernyataanpernyataan dalam matematika dan/atau ilmu
komputer dinyatakan dalam bentuk rumus-rumus.
Kelemahan lain dari logika proposisional adalah dari
segi effisiensi, karena tidak menjelaskan tentang
banyaknya kuantitas yang terlibat dalam pembahasan.
Jika kita ingin menyatakan keseluruhan dari 1000
orang mahasiswa STMIK “”, maka kita harus

menulis satu persatu proposisi dari masing-masing
mahasiswa tersebut, misal :

Adi adalah mahasiswa STMIK “”
Benny adalah mahasiswa STMIK “”
Chairul adalah mahasiswa STMIK “”
⋮
Zainal adalah mahasiswa STMIK “”
Kelemahan lain dari logika proposisional adalah
pada saat kita harus menarik kesimpulan (inferensi)
suatu argumen, maka kesimpulannya harus terkait
dengan hipotesis atau premis.

Perhatikan
Modus Ponens

pq
p
∴q

Modus Tollens

pq
q
∴ p

pq
Silogisme Hipotesis qr
∴ pr

Perhatikan argumen berikut.
Semua makhluk hidup pasti mati
Kucing adalah makhluk hidup
∴Kucing pasti mati
Adalah hal yang masuk akal jika kita menarik
kesimpulan, Kucing pasti mati.
Akan tetapi menurut aturan inferensi pada logika
proposisional,
Kesimpulan harus mempunyai
kaitan dengan premis/premis-premisnya.

Untuk lebih jelas kita akan menggunakan simbol
proposisi pada argumen diatas.

p : Semua makhluk hidup pasti mati
q : Kucing adalah makhluk hidup
r : Kucing pasti mati
Jadi, p
q
r
Karena proposisi r tidak ada hubungannya dengan
proposisi p dan q, maka r bukan kesimpulan
dari argumen.
Karena beberapa kelemahan logika proposisi, maka
kita perlu untuk mempelajari logika predikat.

1.2.1. Predikat dan Fungsi Proposisional
Jika P(x) adalah pernyataan yang mengandung x dan
D sebuah himpunan, maka P disebut sebagai predikat
dan P(x) adalah fungsi proposisional dalam D jika

untuk setiap x dalam D, P(x) merupakan proposisi.

Contoh 1.38
Berikut adalah contoh-contoh fungsi proposisional:
a) x2 + x – 6 = 0, daerah asal adalah himpunan
bilangan asli.
Ditulis: Untuk setiap x > 0, P(x) : f(x) = 0
b) x + y = 4, daerah asal adalah himpunan
bilangan ril.
Ditulis : Untuk setiap x dan y (ril) Q(x, y) :
f(x) = 4

1.2.2. Kuantor
Telah dijelaskan pada pasal sebelumnya, bahwa logika
prosisional tidak menjelaskan tentang banyaknya
kuantitas yang terlibat dalam pembahasan.
Untuk menyatakan kuantitas yang terlibat dalam
pembahasan maka kita gunakan simbol kuantor,
yaitu  dan . Simbol  disebut kuantor universal
dan simbol  adalah kuantor eksistensial.

Kuantor universal () menunjukkan bahwa setiap
objek dalam semestanya mempunyai sifat dari
kalimat yang menyatakannya.
Sedangkan kuantor eksistensial () menunjukkan bahwa
sebagian (setidak-tidaknya satu objek) dalam semestanya
memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.

Misal terdapat kalimat berkuantor (xD), p(x).
Nilai kebenaran kalimat tersebut adalah benar jika dan
hanya jika nilai p(x) benar untuk setiap x dalam semesta
D dan bernilai salah apabila setidak-tidaknya ada satu
x dalam semesta D yang menyebabkan p(x) salah.
Nilai x yang menyebabkan p(x) bernilai salah disebut
contoh penyangkal (counter example).
Umumnya peubah x pada p(x) disebut peubah bebas.
Sedangkan peubah x pada (xD), p(x) disebut
peubah tak bebas.

Kalimat berkuantor (xD), p(x) mempunyai nilai
benar jika dan hanya jika setidak-tidaknya ada satu x

dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar dan
bernilai salah apabila semua x dalam semestanya
bernilai salah.
Dengan adanya kuantor maka p(x) dapat bernilai
benar saja atau salah saja; tidak keduanya.
Untuk p(x) yang memenuhi sifat proposisi disebut
fungsi proposional.

Contoh 1.39
Misal terdapat proposisi p: Makhluk hidup akan mati.
Jika makhluk hidup kita ganti dengan x, maka
pernyataan asal dapat ditulis menjadi p(x),
x akan mati.
Karena kita mengetahui bahwa semua makhluk hidup
akan mati, maka pernyataan diatas dapat ditulis
menjadi,
xD, p(x), dengan D adalah makhluk hidup.

Contoh 1.40
Misal terdapat proposisi p : Manusia disiplin.

Jika manusia kita ganti dengan x, maka pernyataan
asal dapat ditulis menjadi p(x) : x disiplin.
Kita telah mengetahui bahwa hanya sebagian
manusia yang disiplin, maka pernyataan diatas
dapat kita tulis menjadi : xD, p(x), dengan D
adalah manusia.

Contoh 1.41
Nyatakan kalimat berkuantor berikut dalam bahasa
sehari-hari !
xbilangan ril, x2  0
xbilangan ril, x2  0
mbilangan bulat, m2 = m
Penyelesaian :
d) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tak
negatif
b) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tidak
sama dengan nol.
c) Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama
dengan bilangan itu sendiri

Contoh 1.42

a) Misal D adalah himpunan bilangan bulat.
Buktikan bahwa pernyataan mD, m2 = m
bernilai benar.

b) Misal E adalah himpunan bilangan bulat antara
6 dan 10.
Buktikan bahwa kalimat mE, m2 = m bernilai salah.

Bukti :
a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1.
Sehingga untuk m=1, m2 = m. (terbukti)
b) Untuk m = 7 , m2 = 49
m = 8 , m2 = 64
m = 9 , m2 = 81
Tidak ada bilangan bulat antara 6 dan 10 yang
memenuhi m2 = m. Sehingga pernyataan
m, m2 = m bernilai salah (terbukti).

1.2.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor
Misal terdapat pernyataan “Semua mahasiswa
lulus ujian Matematika Diskrit”. Pernyataan
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang
salah
jika setidak-tidaknya terdapat satu mahasiswa
yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit.
Perlu diingat bahwa nilai kebenaran yang salah
merupakan ingkaran dari nilai kebenaran yang
benar.
Jadi ingkaran dari “Semua mahasiswa lulus
ujian Matematika Diskrit”
adalah “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian
Matematika Diskrit”.

Jika p : Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit
dan p(x) : “x lulus ujian Matematika Diskrit”, maka dalam
bentuk simbolik pernyataan tersebut dapat
kita tulis menjadi xmahasiswa, p(x).

Sedangkan “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian
Matematika Diskrit” dapat ditulis dalam bentuk simbol
menjadi xmahasiswa, p(x).

Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak
dicantumkan lagi pada penulisannya.
Jadi xmahasiswa, p(x) sering ditulis dalam bentuk
yang lebih sederhana seperti : x, p(x).

Secara umum ingkaran dari kalimat berkuantor
adalah sebagai berikut:
x, p(x)  x, p(x)
x, p(x)  x, p(x)
Contoh 1.47
Tulis ingkaran dari kalimat-kalimat berikut :
a) Semua orang sukses rajin bekerja
b) Sebagian ahli matematika adalah orang malas
c) Ada bilangan ril merupakan bilangan rasional.
Penyelesaian:

a) Misal p(x) : “x rajin bekerja”.
Maka kalimat a) dapat kita tulis dalam bentuk
simbol : xorang sukses, p(x) atau x, p(x).
Ingkaran x, p(x) adalah

x, p(x)  x, p(x)

b) Misal q(x) : “x adalah orang malas”.
Maka kalimat b) dapat ditulis dalam bentuk simbol
menjadi : xahli matematika, q(x) atau x, q(x).
Ingkaran x, q(x) adalahx, q(x)  x, q(x)
.

c) Misal r(x) : “x merupakan bilangan rasional”.
Kalimat tersebut dapat ditulis dalam bentuk simbol
menjadi : xbilangan ril, r(x) atau x, r(x).
Ingkaran x, q(x)  x, r(x)

Contoh 1.48
Tulis kalimat-kalimat berikut dengan menggunakan
simbol-simbol, kemudian tulis ingkarannya
(semestanya adalah himpunan bilangan bulat).
a) Untuk setiap x, jika x bilangan ganjil maka x2 + 1
bilangan ganjil juga.
b) Ada beberapa x sedemikian sehingga x merupakan
bilangan genap dan x merupakan bilangan ganjil.

Penyelesaian
a) Misal p(x) : x bilangan ganjil
q(x) : x2 + 1 bilangan ganjil
x, (p(x)  q(x))
Ingkarannya : x, (p(x)  q(x))
Ada beberapa bilangan bulat x yang merupakan
bilangan ganjil, tetapi (x2 + 1) bukan merupakan
bilangan ganjil.

b) Misal r(x) : x bilangan ganjil
s(x) : x2 + 1 bilangan ganjil
Kalimat semula x, (r(x)  s(x))
Ingkarannya x, (r(x)  s(x)) adalah
x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))
Semua bilangan x bukan merupakan bilangan genap
atau bukan merupakan merupakan bilangan ganjil

1.2.4 Kalimat Berkuantor Ganda
Kalimat berkuantor ganda adalah kalimat
yang menggunakan lebih dari satu kuantor.
Secara umum ekiovalensi dari kalimat
berkuantor ganda adalah sebagai berikut:
x y p(x,y)  y x p(x,y)
x y p(x,y)  y x p(x,y)
x y p(x,y)  y x p(x,y)
Sedangkan ekivalensi dari ingkarannya adalah:
x y p(x,y)  x y p(x,y)
x y p(x,y)  x y p(x,y)

Contoh 1.49

Nyatakan kalimat berikut ke dalam simbol logika.
) Setiap bilangan genap sama dengan 2 kali bilangan
bukat.
) Jika setiap dosen bermutu maka semua mahasiswa
antusia belajar.

enyelesaian:

) Misal p(x,y) : x sama dengan 2 kali y
x  bilangan genap y bilangan bulat p(x,y)
atau disingkat x y p(x,y)

) Misal p(x,y) : Jika x maka y
xdosen bermutu ymahasiswa antusias belajar
p(x,y), atau dapat disingkat x y p(x,y)