PENYELESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE

  

PENYELESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN

MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE

_*)

Wartono , M. N. Muhaijir

  Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sultan Syarif Kasim Riau, Pekanbaru 29293-Indonesia _*) e-mail: wartono@uin-suska.ac.id

  

ABSTRAK

Makalah ini membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan menggunakan metode

dekomposisi Adomian Laplace (LADM). Metode dekomposisi Adomian Laplace merupakan metode semi

analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial nonlinier yang mengkombinasikan antara tranformasi

Laplace dan metode dekomposisi Adomian. Berdasarkan hasil perhitungan, metode dekomposisi Adomian

Laplace dapat menghampiri penyelesaian persamaan diferensial biasa nonlinear.

  

Katakunci: Metode Dekomposisi Adomian Laplace, Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear, Persamaan

Riccati.

  

ABSTRACT

This paper discusses the solving of Riccati differential equation by using Laplace Adomian Decomposition

Method (LADM). This method is a semi analytical method to solve for the nonlinear ordinary differential

equation that combine between Laplace transform and Adomian Decompositiom Method. Based on the

calculation results, the Laplace Adomian decomposition method can solve the solution of nonlinear ordinary

differential equation..

  

Keywords: Laplace Adomian Decomposition Method, Nonlinear Ordinary Differential Equation, Riccati

Equation

  PENDAHULUAN

   

    lim _{n n n n}

   y y (5)

  dan bentuk suku nonlinear Ny merupakan jumlah polinomial Adomian yang dibe-rikan oleh

    

   _{n n}

  A Ny (6)

  dengan A n adalah polinomial yang dihi-tung berdasarkan

  !

  1  

      

    

    _i ^{i i n n n}

    

  y f d d n

  A

  untuk n = 0, 1, 2, ... Berdasarkan persamaan (5) dan (6), maka persamaan (4) dapat ditulis kembali menjadi

     

      

       ^{1 1 1} _{n n n n} A L y R L g L y (7)

  dengan y =  + L

  1 g y n = L

  1 Ry n-1  L

  1 A n-1 , n 1.

  b. Metode Dekomposisi Adomian Laplace

  Metode dekomposisi Adomian Laplace (LADM) merupakan kombinasi metode dekomposisi Adomian dan kemudian

   

  Penyelesaian y merupakan jumlah deret tak hingga

  Persamaan diferensial Riccati meru- pakan representasi matematis yang berasal dari persoalan-persoalan teknik, rekayasa dan sains terapan, seperti pemrosesan random, diffusi, stokastik, sintesa jaringan dan matematika finansial.

  dengan _n ⁿ

  Oleh karena persamaan Riccati merupakan persamaan diferensial nonlinear dengan bentuk persamaan yang cukup kompleks, maka beberapa teknik analitik tidak dapat menyelesaian per-soalan ini. Untuk itu dikembangkan metode semi analitik yang dikontruksi dengan menggunakan deret.

  Beberapa metode semi analitik telah dikembangkan untuk menyelesaikan persa- maan diferensial Riccati, seperti dekomposisi Adomian [2,5], iterasi variasi [3,7], transformasi diferensial [4], dan pertubasi homotopi [1].

  Pada makalah ini akan dibahas penerapan metode dekomposisi Adomian Laplace (LADM) pada persamaan diferensial Riccati. Metode dekompsisi Adomian Laplace merupakan metode semi analitik yang mengkombinasikan antara metode dekomposisi Adomian (ADM) dengan transformasi Laplace.

  Beberapa peneliti menerapkan metode ini untuk menyelesaikan beberapa tipe persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear.

  Syam dan Hamdan [8] menggunakan metode Dekomposisi Adomian Laplace untuk menyelesaikan persamaan Bratu. Yusufoglu [9] juga menggunakan algoritma Dekomposisi Laplace untuk mencari penyelesaian persamaan Duffing.

  Perkembangan selanjutnya, Kiymas [5] juga melakukan kombinasi antara transformasi Laplace dengan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinier orde dua dengan koefisien variabel.

  BAHAN DAN METODE

  Metode dekomposisi Adomian adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial non- linier berdasarkan nilai awal dan hasil perhi- tungannya cukup efektif untuk menghampiri penyelesaian eksak. Secara umum dapat dituliskan

  Ly + Ry + Ny = g(x) (1)

  atau

  Ly = Ry  Ny + g(x) (2)

  dx d L  adalah operator dife-rensial.

  adalah integral ganda dari 0 sampai x dan  = y(0) + y'(0) x.

  Diasumsikan bahwa invers operator ada, dan merupakan integral sebanyak orde pada terhadap dari sampai .

   L 1

  Ly = L 1 g (x)  L

  1 Ry  L

  1 Ny (3)

  dan penyelesaian umum persamaan (3) adalah

  Ny L Ry L g L y ^{1 1 1}   

       (4) dengan  adalah konstanta integral dan memenuhi L

   = 0. Jika L adalah operator diferensial orde satu, maka L

  1

  adalah integral tentu dan  = y(0), dan jika L adalah operator diferensial orde dua, maka L

  1

a. Metode Dekomposisi Adomia

     

  y = s

  L{y ^{1 } +}

  y ^{2 =} s Q t ) (

  L{A }

  s R t ) (

  L{y } +

  y ^{1 =} s Q t ) (

  1 L{P(t)} sedangkan untuk n  1, diperoleh

  

  Untuk n = 0, diperoleh rekursi

  L{A ^{1 }} 

  (15) Berdasarkan pada definisi Adomian, bahwa penyelesaian y diperoleh dalam bentuk penjumlahan suku dan persamaan (15) meru- pakan bentuk rekursi untuk n = 0, 1, 2, ....

• s

  A

    0 ^{n n}

     

  L  

  R t ) (

    0 ^{n n} y + s

  s R t ) (

  y n+1 = s Q t ) (

  L  

  Pada sub-bab ini, algoritma dekomposisi Adomian Laplace akan diterapkan pada beberapa kasus persamaan Riccati.

  s L{y}  y(0) =  L{y ²

  1, P(t) = 1 dan  = 0. Penerapan transformasi Laplace pada persamaan (16) memberikan

  , (16) dengan y(0) = 0 Berdasarkan persamaan (11) diperoleh Q(t) = 0, R(t) =

  dt dy

  1 ²    y

  Tentukan penyelesaian persamaan Riccati berikut.

  Contoh 1.

  b. Hasil Numerik

  L{y n } +

  ) ( ) ( t t y e _{n n}   

  Akurasi hampiran metode dekomposisi Adomian Laplace yang melibatkan jumlah galat didefinisikan oleh

  Oleh karena penyelesaian persamaan berbentuk deret, maka akurasi penyele-saian bergantung kepada banyaknya suku-suku yang terlibat.

   lim _{n n n n}  y

     

  y = 

  L{A n } Penyelesaian persamaan (11) merupakan jumlah deret  _n dan dapat dituliskan sebagai

  s R t ) (

• s
• s R t ) (

  1 L{P(t)} +

  s Q t ) (

  y y dan 

    0 ^{n n}

     

  L  

  maka L{Ly} = L{g(x)}  L{Ry}

  A Ny

   _{n n}

   

   _{n n}

  Persamaan Riccati secara umum ditulis ), ( ) ( ) ( ² P t y t R y t Q

    

  Oleh karena

   L{Ry} L{Ny} (9)

  (8) Penerapan transformasi Laplace pada persamaan (8) akan diperoleh L{Ly} = L{g(x)}

  = g(x)  Ry  Ny

  Ly

  Pandang kembali persamaan (2) dalam bentuk

  mentranformasikan dengan bentuk Laplace. Metode ini telah digunakan untuk menyelesaikan beberapa persa-maan diferensial, misalnya persamaan Bratu [8], persamaan diferensial orde dua [5], persamaan Duffing [9].

  A (10) HASIL DAN PEMBAHASAN a. Aplikasi LADM Pada Persamaan Riccati

  dt dy

  } + L{1} Penyelesaian persamaan (16) diperoleh

  L{y ² } (13) Oleh karena

  

    0 ^{n n} y = s

     

   

  maka persamaan (11) dapat dibentuk kembali menjadi L

   lim (14)

    ⁿ _{i i n n} y y

     

  L{y}

     (11)

  s Q t ) (

  1 L{P(t)} +

  

  s

  L{y} =

   y(0), (12) maka diperoleh

  Penyelesain persamaan (11) ditentukan dengan menggunakan transformasi Laplace L{y'} = s L {y}

    ) ( y dengan Q(t), R(t) dan P(t) adalah koefi-sien dan  adalah nilai awal.

• s

  1

  1 ² L{y} = L{1} L{y } (17)  dengan menjumlahkan suku-suku sampai tak

  s s

  hingga dalam bentuk Oleh karena

    y = lim   _{n n} y

   y  y _n ⁿ

     _{n n}

   

  sehingga diperoleh maka persamaan (17) menjadi

  1 ₃

  2 ₅

  17 ₇

   

    y  t  t  t  t   (18)  

  1

  1 L y = L{1}  L A  n   n 

  3 15 315

    s _{n 0  n 0 } s

    Persamaan (18) merupakan deret Taylor

  Untuk itu diperoleh, sehingga dapat dibentuk menjadi _{2 t}

  1

  1 e 

  1 y = L {1} y  _{2 t} s e

  1 

  dan

  1

  1 Contoh 2. y ^{1 = L {A }}

  

  s

  Pertimbangkan persamaan diferensial Riccati

  1 kuadrat berikut

  1 y ^{2 = L {A 1 }}

  

  dy s ²

     2 y y 1 (19)

   dt dengan syarat y(0) = 0.

  Secara umum Selanjutnya, dengan menggunakan tras- 1 formasi Laplace persamaan (19) menjadi

  1 y = L {A } _{n+1  n 2} s L{y}  y(0) = 2L{y}  L{y } + L{1} s

  atau Dengan menyelesaikan invers trans-formasi

  1

  2

  1 Laplace diperoleh, ² ₃ L{y} = L{1} + L{y}  L{y } (20)

  2 ⁴

  s s s

  

  A ^{1 =}

  2 t t Oleh karena

  3

  

  7 _{4 5}

  17 ₆   _n

  

  3

  45 _{n 5 146 6} 

  22 ⁷

  62 ⁸ maka persamaan (20) dapat ditulis kembali   

  A ^{3 =}

  2 t t t t

   

  45 15 315 

  1

  2    L y = L{1} + L y

   n   n  dan

    _{n n} s s

   0   0 

  y  t

  

   

  1

  1 ₃ L A (21) 

   n 

   y   t ₁ s _n

   0 

  3

  2 ₅

  y  t _{2 Berdasarkan persamaan (21), diperoleh}

  15 bentuk rekursi,

  17 ₇ untuk n = 0,

  y   t ₃

  315

  1

  1 y = L {1}

  Jumlah suku-suku yang digunakan adalah

  s

   = t dan untuk n  1,

  1 ₃

  2

  1 = t  t

   ¹

  1 1 y = L {y } L {A } _{1 }

  3

  s s

  1 ₃

  2 ₅

  2

  1 = t  t  t

   ²

  1 1 y = L {y } L {A } _{2 1  1}

  3

  15

  s s

  1 ₃

  2 ₅

  17 ₇ 

  =  ^{3 t  t  t  t}

  3 15 315 Secara umum ditulis

  

  y _n+1

  3

  17

  t t

     ⁴

  = ^{5 4 3 2}

  15

  7

  1

  17

  3

  1

  t t t t t

      _{9 8 7 6} 2835

  62 315

  62 315

  45

      _{7 6} 315

  5

  t t t t t

  15

  2

  3

  2

  3

  1

       ³

  t t t t t

  = ^{5 4 3 2}

  5

  3

  3

  1

  3

  1

  163

  1

  t t t

  [1] Abbasbandy, S. “Homotopy pertuba-tion

  2

  1 2 tanh 2 ( 1 ) t t y

  KESIMPULAN

  Pada makalah ini, metode dekomposisi Adomian Laplace berhasil menentukan penyelesaian hampiran pada persamaan Riccati, tanpa melakukan linearisasi atupun pertubasi. Penyelesaian hampiran yang diperoleh bergantung kepada banyaknya suku-suku yang digunakan.

  Pada contoh 1 dan contoh 2 telah ditunjukkan bahwa semakin banyak suku- suku yang digunakan, maka jumlah-suku- suku dapat menghampiri penyelesaian eksaknya. Oleh karena penyelesaian yang diperoleh merupakan deret, maka penyelesaian eksanya dapat diperoleh dengan mengambil n-suku yang cukup besar (n 

  REFERENSI

  method for quadratic Riccati differential equation and comparison with Adomian’s decomposition method”.

  1

  Applied Mathematics and Computation, 172, pp. 485  490. 2006. [2] Bahnasawi, A. A. El-Tawil, M. A and

  Abdel-Naby, A.

  “Solving Riccati differential equation using Adomian decomposition method. Applied Mathematics and Computation. 157. pp.

  503  514. 2004. [3] Batiha, B., Noorani, M.S.M., and

  Hashim, I. “Application of Variational

  Iteration Method to a General Riccati Equation”. International Mathematical

  Forum. 2(56). pp. 2759  2770. 2007. [4] Biazar, J & Eslami, M. “Differential

  2 log

  2

  t t t t

  3

      Penyelesaian persamaan (19) diberikan oleh

  y =       ^{5 4 3 2}

  5

  3

  3

  1

  1

  1

  t t t t t

  atau

     

     

     

     

      

     ^{2 = 5 4 3 2}

  1 Journal of Nonlinear Science, 9(4), pp. 444  447. 2010

  =

  A ^{3 = 8 7 6 5}

  17

  2

  3

  7

  t t t

   

  315

  A ^{2 = 6 5 4}

  62

  15

  22

  45 146 2 t t t t

     dan

  y ₁

  = ^{3 2}

  45

  2 2 t t 

  1

  1

  s

  2 L

  1

  {y _n } 

  s

  1 L

  {A _n } Sedangkan bentuk nonlinear adalah

  3

  A = ² y

  A ^{1 = 2y y 1} A ^{2 = 2y y 2 + y 2} ₁ y

  A ^{3 = 2y y 3 + 2y y 1 y 2} Substitusikan invers transformasi Laplace,

  maka akan diperoleh,

  y = t dan A = ² y (22)

  Substitusikan persamaan (22) ke polinomial Adomian dan dengan meng-aplikasikan invers tranformasi Laplace diperoleh

  A ^{1 = 4 3}

  3

   t t y ₂

  3

  2835

  4

  45

  26

  15

  2

   t t t t   ₉

  62

  62

   t

  Penyelesaian eksplisit persamaan (19) merupakan aproksimasi jumlah takhingga dari

  y _i

  , i = 0, 1, 2,  dalam bentuk

   n =

    ^{n i i} y

  sehingga  = t  ^{1 = 3 2}

  7

  = ^{8 7 6 5} 315

  = ^{5 4 3}

   t t t  y ₃

  15

  2

  3

  2

  3

  2

  = ^{7 6 5 4} 315

   t t t t   y ₄

  17

  45

  17

  15

  11

  3

  1

  Transform Method for Quadratic Riccati Differential Equation”. International

  [5] Kiymaz, O. “An Algorithm for Solving

  Initial value Problems Using Laplace Adomian Decomposition Method ”.

  Applied Mathematical Sciences. 3(30). pp. 1453  1459. 2009. [6] Polyanin, A. D. “Handbook of exact

  solution for ordinary differenatial equations. CRC, Florida. 2003.

  [7] Jafari, H & Tajadodi, H.

  He’s variational iteration methods for solving fractional Riccati differential equation. International

• – Journal of Differential Equations. Pp. 1 8. 2010.

  [8] Reid, W. T.

  “Riccati differenatial equations (Mathematics sciences and engineering) . Academis press, New York.

  1972. [9]

  Syam, M. I and Hamdan, A. “An efficient

  method for solving Bratu equations”, Applied Mathematics and Computation.

  176. pp. 704  713. 2006. [10]Yusufoglu, E. “Numerical solution of

  Duffing equation by the Laplace decomposition algorithm

  ”, Applied Mathematics and Computation. 177. pp. 572  580. 2006.