Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Dengan Menggunakan Teori Floquet

  JURNAL FOURIER | Oktober 2016, Vol. 5, No. 2, 71-84

ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Dengan Menggunakan Teori Floquet Syarifah Inayati

Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Ahmad

Dahlan, Jl. Prof. Dr. Soepomo, S.H., Janturan, Warungboto, Umbulharjo, Yogyakarta 55164, Indonesia

Korespondensi; Email: syarifah@math.uad.ac.id Abstrak

Analisis matematis dari berbagai macam masalah fisis banyak menghasilkan suatu perumusan yang melibatkan

persamaan diferensial. Salah satu diantaranya yaitu jenis persamaan diferensial Hill yang merupakan suatu

persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik. Bentuk persamaan diferensial tersebut

dapat diselesaikan dengan menggunakan teori Floquet. Kata Kunci: Persamaan diferensial; persamaan diferensial Hill; teori Floquet Abstract

The mathematical analysis of a wide range of physical problems many produce a formulation involving differential

equations. One of them is the type of differential equations Hill which is a second order differential equation with

coefficients in the form of a periodic function. The shape of the differential equations can be solved using Floquet

theory. Keywords: Differential equations; differential equations Hill; Floquet theory Pendahuluan

  Pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sering menggunakan penerapan matematika, diantaranya di bidang fisika, geometri, biologi, psikologi, kimia, dan ekonomi. Banyak masalah pada bidang-bidang tersebut yang model matematikanya menghasilkan suatu persamaan diferensial. Dari berbagai jenis persamaan diferensial yang dihasilkan, salah satu diantaranya adalah persamaan diferensial Hill, yaitu suatu persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik.

  Persamaan diferensial Hill banyak digunakan terutama di bidang fisika. Banyak analisis matematis berbagai macam masalah fisis yang menghasilkan suatu perumusan menyangkut persamaan diferensial jenis ini. Masalah-masalah fisis tersebut diantaranya masalah getaran batang penggerak lokomotif, perambatan arus listrik dalam rangkaian penapis dan struktur listrik periodik yang lain, teori modulasi dalam telegrafi tanpa kawat, getaran harmonik sederhana, teori kestabilan bandul terbalikkan oleh gerak periodik titik tumpunya, teori kuantum logam, teori kemantapan penyelesaian beberapa persamaan diferensial nonlinear, dan sebagainya [3]. Hal ini menunjukkan bahwa betapa pentingnya persamaan ini dalam fisika matematis.

  Suatu survai tentang sifat dasar analisis yang timbul dari penerapan-penerapan praktis menunjukkan bahwa analisis penyelesaian persamaan diferensial Hill dapat dibagi dalam dua kategori utama, yaitu: (1) Dalam kategori pertama, masalah-masalah yang menimbulkan persamaan diferensial Hill sebagai akibat dari pemisahan variabel suatu masalah nilai batas. Dalam hal ini penyelesaian yang sesuai dituntut merupakan fungsi periodik; (2) Dalam kategori kedua, masalah-masalah yang dapat dipandang sebagai masalah nilai awal yang didalamnya melibatkan persamaan jenis ini. Dalam hal ini penyelesaian-penyelesaian tidak terbatas pada penyelesaian periodik [3]. Dalam makalah ini akan dibahas suatu metode penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan teori Floquet.

  72 Syarifah Inayati

  Landasan Teori Persamaan Diferensial

  Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan atau diferensial dari satu atau lebih variabel terikat terhadap berturut-turut satu atau lebih variabel bebas. Secara umum persamaan diferensial orde yang lebih tinggi dapat dibawa ke bentuk sistem persamaan diferensial orde satu yang

  ( n ) ( n  1 ) n ug ( u , u ' ,..., u , t ) g

  ekuivalen. Untuk membawa suatu persamaan diferensial orde ke- , dengan

  (  n 1 ) u , u ' ,..., u , t

  adalah fungsi yang ditentukan ke bentuk sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen dapat dilakukan dengan mendefinisikan

  (  n 1 )

   , xu

  x u , x u ' , n

  1

  2 Sehingga diperoleh suatu bentuk sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen:

x  ' x

  1

  2

x  ' x

  2

  3

x '  x

   n 1 n

x '  g ( x , x ,..., x , t )

n

  1 2 n

Definisi 1. [2] Bentuk umum suatu sistem dari n persamaan diferensial orde satu untuk n fungsi

x ( t ), x ( t ),..., x ( t ) yang tidak diketahui adalah

  1 2 n x '  f ( x , x ,..., x , t ) , ( i

  1 , 2 ,..., n ) i i

  1 2 n dengan , , . . . , dan . f adalah fungsi dari (n + 1) variabel i

  Dalam notasi vektor sistem persamaan diferensial orde satu pada Definisi 1 dapat ditulis dalam bentuk ′ = f ( ,t). Sistem persamaan diferensial ini dikatakan sistem persamaan diferensial linear

  f ( ,t) adalah fungsi

  = ( ) + g (t ) jika yang linear, sehingga dapat dituliskan dalam bentuk ( ) adalah matriks fungsi x t. Jika dengan yang berukuran dan g (t ) adalah vektor fungsi

  g ( t )  maka disebut sebagai sistem persamaan diferensial linear homogen orde satu.

  

Definisi 2. [2] Misalkan ( ), ( ), … , ( ) adalah n penyelesaian dari sistem persamaan diferensial

linear homogen

  = ( ) dan ( ) = [ ( ), ( ), … , ( )] adalah matriks berukuran n x n,

  penyelesaian dari:

  = ( )

  Jika ( ), ( ), … , ( ) bebas linear, maka adalah fundamental matrix dan jika (t ) = I , n

adalah principal fundamental matrix, sedangkan yang disebut Wronskian adalah determinan dari

fundamental matrix tersebut,

  ( ) = ( ) Dari Definisi 2, jika ( ) fundamental matrix yang merupakan penyelesaian dari = , maka

  ( )C juga merupakan penyelesaian, untuk matriks konstanta non-singular C. Apabila dimisalkan ( ) = ( )C, maka ( ) adalah matriks non-singular dan C = . Dapat dilihat

  = C =

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  73 bahwa kolom-kolom dari matriks Y adalah kombinasi linear dari kolom-kolom matriks , dan penyelesaian

  ( ) = ( )

  n vektor dengan komponen c , c ,..., c dengan ( ) = [ ( ), ( ), … , ( )] dan adalah .

  1 2 n

Teorema 3. [2] Misakan ( ) adalah Wronskian sebagaimana disebutkan pada Definisi 2. Apabila

untuk suatu t I ,

  ( ) = 0, maka ( ), ( ), … , ( ) tak bebas linear dan ( )= 0 untuk

  t

  I semua t I . Sebaliknya, jika ( ) ≠ 0 untuk suatu , maka ( ), ( ), … , ( ) bebas linear dan ( ) ≠ 0 untuk semua ∈ , dan

  ( ) ( ) = ( )

  Fungsi Periodik

Definisi 4. [2] Suatu fungsi f (t ) dikatakan periodik apabila fungsi tersebut terdefinisi untuk setiap t

real, dan terdapat suatu bilangan positif sebarang T sedemikian hingga:

   

f ( t T ) f ( t ) , untuk semua t

  Dari Definisi 4, fungsi f (t ) juga periodik dengan periode kT, untuk sebarang bilangan bulat k

    ( k   1 ,  2 ,...) , sehingga f ( t kT ) f ( t ) .

  Lemma 5. [2] Misalkan f (t ) fungsi yang periodik dengan periode T sehingga: f ( tT )  f ( t ),

  ∀t,

  maka t T Tf ( s ) dsf ( s ) ds t T   t

  

Bukti. Dimisalkan ( t )  f ( s ) ds , maka ' ( t )  f ( tT )  f ( t )  . Karena f (t ) merupakan fungsi

   t T (t ) ( )

  yang periodik, maka adalah konstanta yang sama dengan . Dimisalkan pula ( t ) f ( s ) ds

  

  , dengan mengambil t = 0, maka ' ( t )  f ( T )  f ( )  Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

  

  (t ) juga berupa konstanta yang sama dengan (t ) , sehingga bukti lemma terpenuhi.■ Pembahasan Masalah Persamaan Diferensial Hill

  Grimshaw [2] menyatakan bahwa persamaan diferensial Hill adalah suatu persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik, yang secara umum dapat dituliskan ke dalam bentuk

    ,   (untuk semua t) (1) u ' ' a ( t ) u a ( t T ) a ( t )

  74 Syarifah Inayati

  2 d u u  '' u yang tidak diketahui serta turunan-turunannya, sedangkan a(t)

  dengan dan suatu fungsi

  2 dt merupakan suatu fungsi periodik dengan periode pokok T.

  Teori Floquet

  Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien periodik diberikan sebagai berikut: = ( ),

  (2) dengan, ( + ) = ( ), untuk semua t (3)

  Matriks koefisien A (t ) pada persamaan (2) berukuran n x n dan diasumsikan merupakan matriks fungsi t yang real dan kontinu, sehingga persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian. Teorema di bawah ini akan menjadi dasar untuk pengembangan teori umum dari persamaan (2).

  Misalkan fundamental matrix untuk (2) sebagaimana didefinisikan pada Definisi Teorema 6. [2] X (t )

2, maka juga merupakan fundamental matrix dan terdapat matriks konstanta non-singular B

  X ( tT ) sedemikian sehingga

  B, ( + ) = ( ) , untuk semua t (4) dan juga, det = ( )

  ∫ (5)

  X(t) merupakan fundamental matrix, maka menurut Definisi 2 Bukti: Karena

  X ' ( t )  A ( t ) X ( t ) . Misalkan Y ( t )  X ( tT ) maka dengan menggunakan (3) diperoleh Y ' ( t )  X ' ( tT )  A ( tT ) X ( tT ) fundamental matrix.

   A ( t ) Y ( t ) . Sehingga dapat disimpulkan bahwa Y ( t )  X ( tT ) juga merupakan 

  1 ( X ( t )) ( Y ( t )) Z ( t )

  Dimisalkan pula  maka Y ( t ) 

  X ( t ) Z ( t ) dan Y ' ( t )  X ( t ) Z ' ( t )  X ' ( t ) Z ( t ) ,

  atau dapat dituliskan sebagai A ( t ) Y ( t ) 

  

X ( t ) Z ' ( t )  A ( t )

X ( t ) Z ( t )  X ( t ) Z ' ( t )  A ( t ) Y ( t ) , sehingga Z(t) adalah matriks

  X ( t ) Z ' ( t )  , dan karena det X ( t )  maka Z ' ( t )  . Dengan demikian  1

    non-singular, sehingga dengan

  konstanta, dan karena det Z ( t ) det

  X ( t ) det  Y ( t )  , maka Z(t)     Z(t)=B persamaan (4) terbukti.

   t   

  Kemudian, untuk membuktikan (5), digunakan Teorema 3, yaitu 

  W ( t ) W ( t ) exp trA ( s ) ds  

   t   ( ).

  dengan ( ) = det ( ) adalah Wronskian dari Oleh karena itu

   t tT      

  W ( t T ) W ( t ) exp trA ( s ) ds trA ( s ) ds . Dari persamaan (4) diperoleh X ( tT )  X ( t ) B maka  

    t t  

  W ( t T ) det X ( t ) det B W ( t ) det( B ) det  X ( tT )   det  X ( t ) B  . Sehingga diperoleh    . Dari tiga

  persamaan di atas dan dengan memperhatikan Lemma 5 maka akan diperoleh

   t T T

      det B exp trA ( s ) ds exp trA ( s ) ds   , sehingga persamaan (5) terbukti.■

     

    t

      Karena persamaan (4) berlaku untuk semua t, maka matriks konstanta B dapat dinyatakan dalam

  fundamental matrix dengan mengambil t = 0,

  

1

B

X ( )

X ( T ) 

  (6)

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  75 X(t) sebagai principal fundamental matrix, sehingga Persamaan di atas akan digunakan untuk memilih X(0) = I dan B = X(T).

  n Misalkan  , ,...,  adalah nilai eigen dari matriks B (pada persamaan (4) atau (6))

  Definisi 7. [2]

  1 2 n

disebut juga sebagai pengganda karakteristik (characteristic multipliers) untuk (2). Eksponen karakteristik

  , ,....,

  (characteristic exponents)    didefinisikan oleh:

  1 2 n  T  T  T 1 2 n    1e ,  e ,...,  e 2 n

  (7)

  Floquet exponents). Eksponen

  Eksponen karakteristik pada definisi 7 disebut juga eksponen Floquet (

  2 i k , ,....,   

  karakteristik ini tidak tunggal, sehingga dapat digantikan dengan  ,

  1 2 n i i T

  ( i  1 , 2 ,..., n ) untuk sebarang bilangan bulat k   1  , 2 ,... dengan tanpa mengubah definisi persamaan (7).

  Jika dipilih X(t) sebagai principal fundamental matrix, sehingga B=X(T), maka pengganda karakteristik

  X(T), dengan X(0)=I adalah nilai eigen dari n .

  Misalkan  adalah pengganda karakteristik untuk (2) dan misalkan Teorema 8. (Teorema Floquet) [2]

  T e

pula  adalah eksponen karakteristik yang bersesuaian, sehingga , maka terdapat x(t)

penyelesaian dari (2) sedemikian hingga: x ( tT )   x ( t )

  , untuk semua t

  (8)

  Dan terdapat p(t) fungsi periodik, yaitu p(t+T)=p(t) untuk semua t, sedemikian hingga:

  ( ) = ( ), untuk semua t (9)

  B yang bersesuaian dengan nilai eigen sehingga Bukti. Misalkan adalah vektor eigen dari matriks B =  , maka diambil x(t)=X(t) , dan x(t) merupakan penyelesaian dari (2).

  Dari definisi tersebut dan dengan menggunakan (4) diperoleh: = ( ) = ( )

  ( + ) = ( + ) = ( ) sehingga persamaan (8) terbukti.

   t p ( t ) x ( t ) e

  Kemudian diambil,  dan dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh:

         ( t T )  t  T  T  t  T  t

p ( tT )  x ( tT ) e x ( t ) e ee x ( t ) e ex ( t ) ep ( t )

p(t) suatu fungsi periodik (dengan p(t+T)=p(t), ∀ t) berlaku

  Sehingga telah ditunjukkan bahwa untuk

    t  t p ( t )  x ( t ) e x ( t )  e p ( t )

  atau , dengan demikian persamaan (9) terbukti.■

  2  ik

  Perhatikan, apabila diganti dengan  , untuk sebarang bilangan bulat k

  T ( k   1 ,  2 ,...) , maka persamaan (9) menjadi

   t

x ( t ) e p ( t ) exp t

   2 ik

     T

   

  76 Syarifah Inayati

  2  ik t yang periodik

  pada persamaan di atas, dapat dilihat bahwa { p ( t ) exp t } merupakan fungsi

  T T, sehingga bentuk persamaan (9) tidak berubah dan yang tidak tunggal ini tidak

  dengan periode berdampak pada teori yang dikembangkan sekarang.

  , , … , n Bentuk penyelesaian umum dari (2) diperoleh dengan memisalkan bahwa adalah

   , ,...,

  vektor eigen yang bebas linear dari B yang bersesuaian dengan nilai eigen . Menurut

  1 2 n n penyelesaian yang bebas linear untuk (2), yang diberikan oleh

  Teorema 8, akan terdapat

  ,

  ( ) = ( ) (i=1,2,....,n) (10) p t) untuk i = 1,2,..., n adalah fungsi yang periodik dengan periode T. dengan (

  i

  Kemudian dimisalkan

  P ( t )  [ p ( t ), p ( t ),..., p ( t )  (11)

  1 2 n P t) adalah matriks fungsi t berukuran n x n yang non-singular dan periodik, maka P t+T)=P t)

  Maka ( ( ( untuk semua t. Berikutnya dibentuk fundamental matrix untuk (2) dari n penyelesaian (10) yang bebas linear, sehingga

  X ( t )  x ( t ), x ( t ),..., x ( t )  P ( t ) Y ( t )   (12)  t  t  t 1 2 n

  1

2 n

  dengan Y ( t )  diag [ e , e ,..., e ] Pada persamaan (12) di atas Y ( t) memenuhi

  Y  ' D Y D diag [ , ,..., ]

  dengan    (13)

  1 2 n yang merupakan matriks persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

  Bentuk umum penyelesaian untuk (2) adalah

  X ( t)C, dengan C sebarang matriks konstanta. Dari

  persamaan (9) yang merupakan penyelesaian (2) dapat dilihat bahwa (2) mempunyai penyelesaian

   2 i

  yang periodik dengan periode T jika eksponen karakteristik  (modulo ) atau bersesuaian

  T

  dengan pengganda karakteristik  . Selain itu terdapat pula penyelesaian yang periodik dengan

  1 2  i 2  i

  periode mT (m = 2, 3, ...) untuk  (modulo ) atau bersesuaian dengan pengganda

  mT T 2  i m

   

  

1

karakteristik  exp sedemikian hingga  . m

  Penyelesaian seperti pada persamaan (9) di atas, akan diperoleh bila pengganda karakteristik dan eksponen karakteristik

  bernilai real. Apabila dan bernilai kompleks, persamaan (9) tetap

  berlaku dengan X ( t) juga bernilai kompleks.

  Pertama, apabila bernilai real dan negatif ( < 0), sehingga bernilai kompleks, untuk

  memperoleh fundamental matrix yang bernilai real, diambil = + , dimana = −

  (14)

  v bernilai real dan persamaan (9) menjadi

  maka

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  77 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) dengan ( ) = ∙ ( ) (15)

   i

   

  Dari persamaan terakhir, dapat dilihat bahwa karena exp t mempunyai periode 2 dan p(t)

    T

   

  mempunyai periode T, maka q(t) periodik dengan periode 2T, yaitu q(t+2T)=q(t) untuk semua t. Dengan

  q(t) bernilai real, maka didapat fundamental matrix bernilai real. Untuk setiap pengganda

  mengambil

  

  karakteristik  ; ditentukan dengan persamaan (14) dan q (t ) ditentukan dengan persamaan

  i i i

  (15). Sedangkan kolom p ( t) dalam P ( t) pada persamaan (11) diganti dengan q ( t), sehingga menjadi

  i i   i t i t

Q ( t )   q ( t ), q ( t ),..., q ( t ) 

1 2 n

  Unsur-unsur dalam Y ( t) diganti dengan dan unsur-unsur diganti dengan e e  dalam D  . i i

  Kedua, apabila bernilai kompleks maka dan merupakan pasangan konjugat-kompleks

  dari nilai eigen B sedangkan dan keduanya sebagai eksponen karakteristik. Berikut ini diberikan gambaran agar didapat penyelesaian bernilai real untuk (2), yaitu dengan memandang kasus n = 2.

  B adalah matriks berukuran 2 x 2 dengan nilai eigen dan

  Dengan demikian,

   , sedangkan T

  eksponen karakteristik yang bersesuaian adalah dan . Dimisalkan i  , dimana e dan arg ( )   T . Menurut Teorema 8, maka akan dihasilkan pasangan konjugat-kompleks

  p(t)=q(t)+ir(t) dengan q(t) dan

  penyelesaian-penyelesaian yang diberikan oleh (9), dengan memisalkan

  r(t) adalah fungsi t bernilai real yang periodik dengan periode T, persamaan (9) menjadi ( i  ) t

x ( t )  eq ( t )  ir ( t ) 

  Sehingga bagian real dan bagian imajiner dari persamaan di atas menghasilkan pasangan penyelesaian-penyelesaian bebas linear yang bernilai real untuk (2), yang diberikan oleh: t t

     

  

Re e p ( t )  e cos tq ( t )  sin tr ( t ) ;

   

t t

     

  

Im e p ( t )  e  sin tq ( t )  cos tr ( t ) 

 

  (16) Selanjutnya matriks P ( t) pada persamaan (11) diganti dengan matriks periodik:

  

Q ( t )   q ( t ), r ( t ) 

  (17)

  fundamental matrix X t) untuk (2) dibentuk dari dua penyelesaian yang bebas linear yang

  Dan ( ditentukan oleh (16), sehingga persamaan (12) menjadi:

  

X ( t )  Q ( t ) Y ( t )

  (18) cos  t sin  t  

   t

  dengan Y ( t ) = e  

   sin  t cos  t   dan Y ( t) memenuhi persamaan:

  = , dengan (19)

  = −

  A merupakan matriks berukuran n x n, fundamental matrix X t) diberikan

  Dengan demikian apabila ( oleh persamaan (12), dengan kolom-kolom P ( t) adalah fungsi t periodik dengan periode T (atau

  78 Syarifah Inayati

  2T bila pengganda karakteristik bernilai real dan negatif). Matriks Y ( t )

  mempunyai periode  t adalah matriks yang hanya mempunyai unsur tak nol pada diagonal utama dengan bentuk e , yang merupakan pengganda karakteristik . Submatriks-submatriks berukuran 2 x 2 dengan (18) terpusat pada diagonal utama, bersesuaian dengan setiap pasangan konjugat-kompleks dari pengganda karakteristik. Selanjutnya

  

D pada persamaan (13) adalah matriks yang hanya mempunyai unsur tak nol pada unsur-unsur

  diagonalnya yang berupa atau submatriks-submatriks berukuran 2 x 2 dengan bentuk F pada persamaan (19) terpusat pada diagonal utama.

  Selanjutnya, dalam membahas penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan teori Floquet, penulis merujuk pada metode yang dikembangkan oleh Grimshaw [2] dan Simakhina [4].

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Menggunakan Teori Floquet

  Dipandang persamaan diferensial Hill:

  u ' '  a ( t ) u

  (20) dengan   , untuk semua t.

  a ( t T ) a ( t )

  Penyelesaian persamaan diferensial Hill di atas dapat dicari dengan menerapkan teori Floquet, yang dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Menentukan sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen dengan persamaan diferensial Hill.

  Untuk membawa persamaan (20) yang merupakan persamaan diferensial orde dua untuk fungsi

  u(t) ke bentuk sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen sesuai dengan Definisi 1,

  terlebih dahulu ditentukan

  x u x u '

  (21)

  1

  2

  maka persamaan (20) ekuivalen dengan sistem persamaan diferensial orde satu berikut ini

  x '  x

  

1

  2 x '   a ( t ) x (22)

  2

  1

  dalam bentuk matriks dapat ditulis

  1

  x '   x     1 1

x ' ; A (t ) ; x

  

 

  =  

      x '  a ( t ) x 2 2

        matriks A(t) di atas dapat dilihat bahwa tr A(t) = 0.

b. Mencari fundamental matrix X(t) dan matriks konstanta non-singular B sedemikian hingga = (0) ( ), dengan (0) = .

  Bentuk fundamental matrix X(t) untuk (22), sedemikian hingga X(0) = I

  2 , adalah u ( t ) u ( t )

   

1

2

  = (23)

  X (t )   u ' ( t ) u ' ( t )

1

2

   

  dengan u ( t ) dan u ( t ) adalah penyelesaian (20) yang bebas linear, sedemikian sehingga

  1

  2

u ( ) u ( )

  =1, =0,

  1

  2

u ' ( ) u ' ( )

  =0, =1 (24)

  1

  2

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  79 Matriks B yang diberikan oleh persamaan (6), dengan X(0)= I adalah

  2 u ( T ) u ( T )

    1 2 B =

  (25)

    u ' ( T ) u ' ( T ) 1 2

    tr A(t) = 0, maka persamaan (5) menghasilkan

  karena

  T T

      det B  exp trA ( t ) dt  exp dt  exp 

  1 (26)

   

     

   

      Karena det B  1 , ini menunjukkan bahwa Wronskian dari (23) yang merupakan determinan dari

  fundamental matrix X(t) adalah u u ' u ' 1 , (untuk semua t). 1 2u2 1

  c. Menentukan pengganda karakteristik dan eksponen karakteristik dari matriks

  B, dengan , , merupakan fungsi dari suatu parameter ∅.

  ,

  Pengganda karakteristik yang merupakan nilai eigen B = X(T) diperoleh dari det(

  IB )  ,

  2 uu

    1 2 Perhatikan, IB2    u ' u ' 1 2  

  1

  2

  2

  det(

  karena , maka     atau sehingga

  IB )  ( u ' u ) 1  2  ( u '  u )  1 

  2

  1

  2

  2

  1

  2 2

  1   

   2  1  , dengan   u ( T )  u ' ( T )  (27) 1 2

  2

  jadi nilai eigen adalah fungsi dari parameter dan diberikan oleh

  1 ,

  2

  2

  

     1 (28)

  1 ,

2 Persamaan di atas mengakibatkan

   

  1 ,  2 (29)

  1

  2

  1

  2 T 1 , 2

  

  Dari definisi eksponen karakteristik dengan e dan (29) mengakibatkan 1 , 2   T

    cosh   (30)

  1

  2

  1

  d. Menentukan penyelesaian umum persamaan diferensial Hill berdasarkan sifat dari atau

  , , dalam ∅.

  80 Syarifah Inayati

   

  Parameter pada (27) akan digunakan untuk mengelompokkan sifat dari atau dalam

  1 ,

  2 1 ,

  2 .

  

  (i)

  1 : Pada kasus ini, dengan memperhatikan (28), maka keduanya real dan positif, 1 ,

  2

  dan  1   . Akibatnya pada (30) adalah real dan positif, sedangkan  

   ( )

  1

  2 1 2 1

  adalah real dan negatif. Dari pembahasan tentang teori Floquet (lihat persamaan 12) dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum dari persamaan (20) adalah t t

   1  1 uc e p ( t )  c e p ( t ) (31) 1 1 2 2 p ( t T ) p ( t ) t).

  dengan   , (untuk semua 1 , 2 1 , 2 Secara umum, u   bila t   dan dapat dilihat bahwa tidak terdapat penyelesaian periodik.

  (ii)   : Pada kasus ini, dengan memperhatikan (28) maka keduanya real dan negatif

  1 1 ,

  2

    1   dan   . Akibatnya dengan mengubah tanda pada persamaan (14), diambil

  2

  1 i

    1   , cosh  T   (32) T

  Untuk kasus ini dengan memperhatikan (15) maka penyelesaian umum untuk (20) adalah: t t

     uc e q ( t )  c e q ( t ) (33) 1 1 2 2 q ( t

2 T ) q ( t ) t).

  dengan   , (untuk semua 1 , 2 1 , 2 Secara umum, u   bila t   dan dapat dilihat bahwa tidak terdapat penyelesaian periodik.

  

  1

  (iii)    : Pada kasus ini, keduanya bernilai kompleks dengan besaran satu

  1

  1 1 ,

  2 1 ,

  2  

  , dan diperoleh  i

    exp(  i  T ) ,   (34) 1 , 2

  1  

  dengan cos  T   T   Penyelesaian umum untuk persamaan (20) dengan menggunakan (16) adalah i  t i  t

  uc Re e p ( t )  c Im e p ( t ) (35) 1   2   dengan   , (untuk semua t). p ( t T ) p ( t )

  Fungsi p(t) merupakan fungsi periodik yang bernilai kompleks. Persamaan (20) akan mempunyai

  2 mT, bilamana  m=3,4,...

  penyelesaian periodik dengan periode T  untuk

  m

  (iv)

  1 : Kasus ini merupakan batas antara kasus (i) dan (iii) hanya terdapat pengganda

  karakteristik tunggal,  1 dan eksponen karakteristik yang tunggal,  . Ini dapat

  1 1 dianggap sebagai limit  pada kasus ( i), atau  pada kasus (iii).

1 Penyelesaian umumnya adalah:

1 T t p t p  

  T

   2  T .

  (39) dengan frekuensi dan periode

  = 0, sehingga persamaan (38) dapat ditulis menjadi

  T atau 2T.) Penyelesaian Masalah. Karena ingin dicari penyelesaian pada saat

  ( Petunjuk. Resonansi parametrik terjadi pada batas antara perilaku yang stabil dan tidak stabil. Hal ini ditandai dengan keberadaan solusi periodik dengan periode

  . Tentukan penyelesaian umum dari persamaan tersebut pada saat = 0 dimana menunjukkan keadaan terjadinya resonansi parametrik!

   2 

  Ambil

  dan periode

  

  Untuk = 0 persamaan di atas menggambarkan osilasi harmonik sederhana dengan frekuensi

  (38) Dengan ( + ) = ( ) (untuk semua t).

  Salah satu bentuk persamaan diferensial Hill adalah:

  Contoh Soal dan Penyelesaian

  Pertama, akan ditentukan sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen dengan persamaan (39).

  u x

  c

  2

  1 −

  ′ ′ =

  

  = ( )

  (40) Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai

  2

' x x 

 

  1

  1

  2 x

  1 x

   '

  , maka sistem persamaan diferensial orde satu yang ekuivalen dengan (38) adalah

  2 u x

  dan '

  2 = 0 akan terdapat penyelesaian dengan periode 2T.

  , (untuk semua t). Demikian pula pada penyelesaian tersebut k juga merupakan konstanta yang boleh sama dengan nol. Dengan memilih

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  1  t p t ktp c t p c u  

  2 =0, akan terdapat suatu penyelesaian dengan periode T.

  k pada persamaan di atas boleh sama dengan nol. Dengan memilih c

  , (untuk semua t). Konstanta

  1 2 ,

  2 ,

  (36) dengan ) ( ) (

  1

  1   : Kasus ini merupakan batas antara kasus (ii) dan (iii), juga hanya terdapat pengganda

  

2

  1

  2

  ) ( ) ( ) (

   

  81

  (v)

  karakteristik tunggal,

  2 ( 2 , 1 2 , 1 T t q t q  

  ) ( ) ( ) (

  (37) dengan ) ( )

  1  t q t ktq c t q c u  

  1

  

2

  1

  2

   

  1

  Penyelesaian umumnya adalah:

  T  pada kasus (iii).

  sebagai limit  pada kasus (ii), atau

  i  Ini dapat dianggap

    dan eksponen karakteristik tunggal, . 1 T

  1

  • { + ( )} = 0
  • = 0

  82 Syarifah Inayati

1 Karena ( ) = ( ) = 0. Maka dengan menggunakan persamaan (5)

  − 0 , maka diperoleh diperoleh:

  T T

      det B  exp trA ( t ) dt  exp dt  exp 

  1      

   

     

  Kedua, akan dicari fundamental matrix X(t) dan matriks konstanta non-singular B sedemikian hingga

  = (0) ( ), dengan (0) = .

  Sebelumnya dapat dicari penyelesaian umum dari persamaan diferensial (39) adalah

    uc cos tc sin t , (40) 1 2

  

  2 dengan c dan c konstanta sebarang, yang merupakan fungsi periodik dengan periode T  . 1 2

  ( ) ( ) Perhatikan, diketahui bahwa ( ) = dan adalah penyelesaian

  ′( ) ′( ) , dengan bebas linear yang memenuhi syarat awal

  u ( ) 

  1 u ' ( )  u ( )  u ' ( ) 

  1 ; dan ;

  1

  1

  2

  2

  dari penyelesaian umum (40) diperoleh bahwa penyelesaian bebas linear dari (39) yaitu fungsi

  u ( t )  c cos t u ( t )  c sin t u ( t )  c cos t dan . Untuk terhadap kondisi awal yang pertama

  1

  1

  2

  2

  1

  1 u ( ) 

  1   c

  1

  u ' ( )   1  c cos dan terhadap kondisi awal yang kedua   c sin , 1 1

  1

  1

  1

  karena sin 0 = 0, maka persamaan tersebut berlaku untuk sembarang harga

  c . Jadi, solusi khusus

  1 u ( t )  c cos t . u ( t )  c sin t

  yang memenuhi kedua kondisi awal itu adalah Sedangkan, untuk

  

1

  1

  2

  2

u ( )    c sin

  terhadap kondisi awal yang pertama karena sin 0 = 0, maka persamaan

  2

  2 u ' ( ) 

  1  tersebut berlaku untuk sembarang harga c dan terhadap kondisi awal yang kedua

  2

  2

  1 1 c  cos  c

  . Jadi, solusi khusus yang memenuhi kedua kondisi awal adalah

2 2

  

  1 1 u ( t )  sin t . Sehingga diperoleh, u ( t ) cos  t dan u ( t )  sin  t . 2 1 2

  

  cos

    X(t) =

  Maka, −   cos

  

  1 B yang ditentukan oleh B X ( ) X ( T ) X(0)=I

  Matriks  dengan

  2 adalah

  cos

    B =

  −   cos

  

Ketiga, akan ditentukan pengganda karakteristik dan eksponen karakteristik dari matriks

  B, , , dengan merupakan fungsi dari suatu parameter .

  ,

  Perhatikan,

  Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill

  = 0 Karena dan bernilai real, dari teori umum pada teori Floquet (perhatikan persamaan (12)) dapat ditunjukkan bahwa

  cos

   

  −

  

  = cos

   ] , [ 2

1

t t e e diag

 

    ) ( ), ( ) ( 2 1 t p t p t X

  maka

  X

  ) ( ) ( ) ( t Y t P t

  ,