Mt I Geometri Bidang Datar

A. GEOMETRI BIDANG DATAR
Pengertian Geometri : Geometri dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu
ukur) yang ada.
Perkembangan Geometri
Fase I
Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda
alam yang berada di sekeliling kita ini). Contoh: batu,batako,kayu,besi,dll. Mengamati bendabenda yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd
objek yang ada). Setelah menggunakan metode impiris, diproleh rumus dengan menggunakan
metode induksi.
Setiap hari, para siswa akan melihat, bekerja, dan mengotak-atik benda-benda yang
berbentuk bangun-bangun geometris seperti: permukaan kertas, permukaan meja, bola,
tempat kapur, dos,tempat es-krim, maupun topi ulang tahun; bermain di lapangan petak
umpet, lapangan bola;bekerja/bermain dengan buku, pensil, penghapus, papan tulis, meja,
kursi, mobil-mobilan.Travers dkk (1987:6) menyatakan bahwa: “Geometry is the study of the
relationships among points,lines, angles, surfaces, and solids”. Geometri adalah ilmu yang
membahas tentang hubungan antaratitik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Ada
dua macam geometri , yaitu geometridatar dan geometri ruang. Geometri Bidang (G Datar
atau G Dimensi Dua) membicarakanbangun-bangun datar; sedangkan G Ruang membicarakan
bangun-bangun ruang dan bangunbangundatar yang merupakan bagian dari bangun ruang.
Suatu bangun disebut bangun datar apabila keseluruhan bangun itu terletak pada satu
bidang. Suatu bangun disebut bangun ruang apabila titik-titik yang membentuk bangun itu

tidak semuanya terletak pada satu bidang yang sama. Yang akan dibahas sekarang adalah
Geometri Dimensi Dua, dimulai dengan sudut.
KONSEP BANGUN DATAR
A. Segiempat dan Lingkaran
1. Segiempat
Sebagai pembukaan, guru dapat memperlihatkan sebuah model segiempat
sebarang dari kawat dan kemudian menyuruh siswa “menelusuri” segiempat itu dengan
sebuah jari, kemudian siswa diminta untuk menceritakan hasil pengamatannya yaitu:
Segiempat mempunyai empat sisi, sisi-sisinya garis lurus, mempunyai empat sudut,

semua sisinya tidak sama panjang, ruas garis-ruas garis yang membentuk segiempat
dinamakan sisi, perpotongan ruas garis-ruas garis disebut titik sudut, sudut dibentuk
oleh dua ruas garis yang bertumpu pada satu ttik yang sama, segiempat diberinama
menurut titik-titik sudutnya secara berurutan.
Adapun bangun segiempat sebarang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

titik sudut sisi

titik sudut

sudut

sudut
sisi
sudut

Daerah
segiempat

sisi

sudut
titik sudut

sisi
titik sudut

2. Macam-macam segiempat
Ada bermacam-macam segiempat berdasar unsur-unsurnya, diantaranya adalah
sebagai berikut:

a. Persegi adalah segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat
sudutnya siku-siku, atau persegi adalah belahketupat yang salah satu sudutnya sikusiku, atau persegi adalah persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan sama
panjang.
D

Sifat-sifat persegi ABCD
 CD  DA
AB  BC

C
S

 DAB  A BC   BCD  C DA  90
AC  BD
AS  SC  BS  SD

B

A

b. Persegipanjang adalah segiempat yang keempat sudutnya siku-siku atau jajargenjang
yang
salah satu sudutnya siku-siku.
Sifat-sifat persegipanjang ABCD, C
AD //
// DC ;

D
BC.danAB

AB

S

A

 DC dan AD  BC

AC  BD ; AS  SC
 SD

dan BS

B

c. Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar , atau
segiempat
yang memiliki tepat dua pasang sisi yang sejajar.
D

C

Sifat-sifat jajargenjang ABCD,
AD // BC ;  DAB

P

A

 BC D ;

AP  PC ; AD  BC
AB // DC ;  ABC  A DC ;
B

BP

 PD ; AB

 DC

d. Belahketupat adalah segiempat yang keempat sisi-sisinya sama panjang, atau
belahketupat adalah jajargenjang yang dua sisinya yang berdekatan sama panjang,
atau belahketupat
adalah layang-layang yang keempat sisi-sisinya sama panjang.
Sifat-sifat belahketupat ABCD,

B

AB  BC  CD  DA
S

A

C

 BAD   BCD
 ABC  A DC
BS  SD, AS  SC,
AB // DC, AD // BC

D
e. Layang-layang

adalah segiempat yang dua sisinya yang berdekatan sama panjang,

sedangkan kedua sisi yang lain juga sama panjang.
Sifat-sifat layang-layang ABCD,
B

AB = BC ; AD = DC .

Sudut-sudut yang berhadapan sama
C
 ACB =  CAB

besar. A

BAD = BCD
 ACD =  CAD
D
f. Trapesium adalah segiempat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi yang lainnya tidak
sejajar.
D

Sifat-sifat trapesium ABCD,

C

AB // DC
AD dan BC

dis ebut kaki trapes ium

AB (s is i terpanjang)
A

B

dis ebut

dari trapes ium

alas trapes ium .

Pada umumnya ada dua macam trapesium:
1) Trapesium samakaki adalah trapesium yang kedua sisinya sejajar dan kedua
kakinya atau sisi tegaknya sama panjang, serta sudut-sudutnya tidak ada yang sikusiku.
Sifat-sifat trapesium samakaki:

D

C
AB // DC
AD  BC

A

B

  CBA

DAB
AC  BD

2) Trapesium siku-siku: adalah trapesium yang salah satu sudutnya siku-siku.
D

Sifat-sifat trapesium siku-siku:

C

DC // AB
 DAB 

90

B

A

Macam-macam segiempat dan hubungannya satu sama lain dapat digambarkan dengan
skema
berikut:
Segiempat
Layang-layang

Trapesium
Trapesium
Siku-siku

Trapesium
Samakaki

Jajargenjang
Persegipanjang

Belahketupat
Persegi

Adapun bentuk-bentuk segiempat tersebut dapat juga diperkenalkan kepada
siswa melalui peragaan dengan menggunakan:
 Model-model bangun datar yang relevan.
 papan berpaku dengan kelengkapannya berupa karet gelang.
 kertas berpetak.
 kertas bertitik.
Dengan menggunakan papan berpaku diharapkan siswa dapat berlatih untuk
menunjukkan pelbagai macam bentuk segiempat, bahkan bangun datar yang lain
yang sisinya

berupa

garis

lurus.

Untuk

siswa

secara

perorangan

dapat

melaksanakannya pada
sehelai kertas berpetak atau kertas bertitik.
karet gelang

Papan berpaku

A. Jajaran Genjang
Definisi : Jajaran genjang adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya sejajar

Dalil-dalil :


ABCD adalah jajaran genjang jika dan hanya jika sudut-sudut yang berhadapan sama
besar.



ABCD adalah jajaran genjang jika dan hanya jika sisi-sisi yang berhadapan adalah
sama panjang.



ABCD adalah jajaran genjang jika dan hanya jika kedua diagonalnya berpotongan
membagi dua sama panjang.

B. Persegi Panjang
Definisi : Persegi panjang adalah jajaran genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Dalil-dalil :


Diagonal-diagonal persegi panjang adalah sama panjang.



Jika diagonal-diagonal jajaran genjang adalah sama panjang maka jajaran genjang
tersebut merupakan persegi panjang.

C. Belah Ketupat
Definisi : Belah ketupat adalah jajaran genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang.

Dalil-dalil :


Diagonal-diagonal belah ketupat membagi sudut-sudut sama besar.



Diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus.



Jika diagoal-diagonal jajaran genjang membagi dua sudut sama besar, maka jajaran
genjang tersebut merupakan belah ketupat.



Jika diagoal-diagonal jajaran genjang berpotongan tegak lurus, maka jajaran genjang
tersebut merupakan belah ketupat.

D. Bujur Sangkar
Definisi : Bujur sangkar adalah belah ketupat yang satu sudutnya sudut siku-siku

Dari definisi tersebut maka sifat-sifat: jajaran genjang, persegi panjang, dan belah ketupat
merupakan sifat-sifat bujur sangkar.

E.

Trapesium

Definisi : Trapesium adalah segi empat yang dua buah sisinya sejajar.

Jika sisi-sisi tegaknya sama panjang, maka disebut trapesium sama kaki.
Jika salah satu sudutnya siku-siku, m
aka disebut trapesium siku-siku.

Dalil-dalil :


ABCD trapesium sama kaki jika dan hanya jika sudut-sudut alasnya sama besar.



Trapesium sama kaki jika dan hanya jika diagonal-diagonalnya sama panjang.



Garis-garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan sisi-sisi tegak suatu
trapesium, sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya sama dengan
setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar.

B. SUDUT ANTARA GARIS DAN BANGUN
Pada dasarnya sudut dibentuk oleh dua buah sinar yang memiliki titik ujung yang sama.
Besar sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara garis tersebut dengan proyeksi
garis tersebut pada bidang.
Penyelesaian:
1. Jika antara garis dan bidang belum berpotongan, geserlah salah satu dari mereka agar
berpotongan.
2. Setelah berpotongan tentukan proyeksi garis tersebut terhadap bidang.
3. Buatlah segitiga dari garis dan proyeksi garis di atas.
4. Gunakan aturan kosinus untuk mencari sudutnya.
Contoh Soal:
1. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak √3 cm. Nilai
tangen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah...
A. 1/4 √2 cm
B. 1/2 √2 cm
C. 2/3 √2 cm
D. √2 cm
E. 2√2 cm
(UN 2012 B76 ZB)
Pembahasan
Ambil segitiga TDE

Tentukan panjang T ke E lanjutkan dengan tangen sudut α

SOAL-SOAL LATIHAN
1. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah
sudut antara garis AD dengan garis AH.
Tentukan nilai tan α dan α
Pembahasan
Ambil segitiga ADH dengan siku-sikunya di titik D

tan α = sisi depan : sisi samping = DH : AD
tan α = 8 cm : 8 cm = 1
Sudut dengan nilai tan sama dengan satu adalah 45°
2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah
sudut antara garis AD
dengan garis diagonal ruang HB.
Tentukan nilai tan α, sin α dan cos α

Pembahasan
Mana sudutnya, geser dulu garis AD ke garis tempat BC.Jadi sudut antara AD dengan HB

sama dengan sudut antara garis BC dengan HB. Tambahkan garis bantu agar terbentuk
suatu segitiga dengan siku di titik C.

Dengan demikian tan α, sin α dan cos α berturut-turut adalah

3. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah
α. Nilai sin α = ....
A. 1/2 √2
B. 1/2 √3
C. 1/3 √3
D. 2/3 √2
E. 3/4 √3
(UN Matematika 2012)
Pembahasan
Ambil segitiga AEP dengan siku di titik E.

Panjang EP adalah setengah dari panjang diagonal sisi yaitu 2 √ 2 cm. Panjang AP

Sinus sudut α dengan demikian adalah

4. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 12 cm.

Tentukan kosinus sudut antara bidang TAB dengan bidang CAB!
Pembahasan
Perhatikan cara pengambilan sudutnya seperti ini:
- Cari garis potong kedua bidang, disini garisnya yang warna biru atau garis AB.
- Dari titik P, ambil dua garis yang mewakili bidang TAB dan CAB. Kedua garis ini posisinya
harus tegak lurus AB. Agar lebih mudah dalam berhitung, titik P diambil ditengah antara
titik A dan titik B.

Tinggal menghitung sudutnya dengan aturan cosinus, dengan TC = 12 cm, TP dihitung
dulu:

CP panjangnya sama dengan TP, CP = 6√3 cm juga.

5. Limas T.ABCD dengan alas persegipanjang ditunjukkan gambar berikut.

Tentukan kosinus sudut yang terbentuk oleh bidang TBC dan bidang ABCD!
Pembahasan
Sketsanya seperti berikut ini.

Ambil segitiga FTE

Cosinus α dengan demikian adalah

C. Sifat-Sifat Bangun Datar
Bangun datar merupakan bangun dua demensi yang hanya memiliki panjang dan lebar,
yang dibatasi oleh garis lurus atau lengkung. Bangun datar terdiri dari persegi panjang, persegi,
segitiga, trapesium, belahketupat, jajargenjang, layang-layang, dan lingkaran. Sifat-sifat bangun
datar adalah sebagai berikut.
Persegi Panjang
Sifat - sifat :
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Memiliki 2 pasang sisi sejajar, berhadapan dan sama panjang
 Memiliki 4 sudut yang besarnya 90 derajat
 Keempat sudutnya siku-siku
 Memiliki 2 diagonal yang sama panjang
 Memiliki 2 simetri lipat
 Memiliki Simetri putar tingkat 2
 Luas = p x l
 Keliling = 2(p+l)
Persegi
Sifat - sifat :
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
 Keempat sisinya sama panjang
 Keempat Sudutnya sama besar yaitu 90 derajat (siku-siku)
 Memiliki 4 simetri lipat
 Memiliki simetri putar tingkat 4
 Luas = s x s
 Keliling = 4 x s
Jajar Genjang
Sifat-sifat :
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
 Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip
 Sudut yang berhadapan sama besar
 Diagonalnya tidak sama panjang
 Tidak memiliki simetri lipat
 Memiliki simetri putar tingkat 2
 Luas = a x t



Keliling = AB + BC + CD + AD

Belah Ketupat
Sifat - sifat :
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Keempat sisinya sama panjang
 Memiliki 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar
 Diagonalnya berpotongan tegak lurus
 Memiliki 2 simetri lipat
 Memiliki simetri putar tingkat 2
 Luas = ½ AC x BD
 Keliling = AB + BC + CD + AD
Layang- layang
Sifat - sifat :
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Memiliki 2 pasang sisi yang sama panjang
 Memiliki 2 sudut yang sama besar
 Diagonalnya berpotongan tegak lurus
 Salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang
 Memiliki 1 simetri lipat.
 Luas = ½ x AC x BD
 Keliling = AB + BC + CD + AD
Trapesium
Sifat -sifat
 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
 Memiliki sepasang sisi yang sejajar tetapi tidak sama panjang
 Sudut - sudut diantara sisi sejajar besarnya 180 derajat
 Luas = (a+b) x t/2
 Keliling = AB + BC + CD + AD
Trapesium dibedakan menjadi 3 yaitu :
 Trapesium sama kaki : Sisi diantara sisi sejajar sama panjang. Memiliki 2 pasang sudut
yang sama besar, diagonalnya sama panjang, Memiliki 1 simetri lipat.
 Trapesium siku-siku : Memiliki 2 sudut siku-siku. Diagonalnya tidak sama panjang. Tidak
memiliki simetri lipat.
 Trapesium sembarang : Keempat sisinya tidak sama panjang, Keempat sudutnya tidak
sama besar. Diagonalnya tidak sama panjang, Tidak memiliki simetri lipat.
Segitiga
Sifat-sifat
 Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut




Jumlah ketiga sudutnya 180 derajat
Luas = ½ x a x t
Keliling = AB + BC + AC
Berdasarkan panjang sisinya segitiga dibagi menjadi 4 yaitu :
1. Segitiga samasisi :
Mempunyai 3 buah sisi sama panjang, yaitu AB=BC=CA;
Mempunyai 3 buah sudut yang besar , yaitu