DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

  Oleh: Ratna Listiyani

  NIM : 023214017 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  2008

  DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS SKRIPSI Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics By: Ratna Listiyani NIM : 023214017 PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

  

“ Live is a great big canvas and you

should throw all the paint on it you

can “ (Dany Kave)

  PERSEMBAHAN :

“Skripsi ini aku persembahkan untuk ayah dan ibuku, adik-

adikku yudha, icha, dan surya yang selalu menyayangiku”

  

PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL

DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

ABSTRAK

  Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.

  

DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL

GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

ABSTRACT

  The equations of state for both ideal and real gases have been performed using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential, meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed oscillator harmonic potential.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN

  

GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA

KUANTUM”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

  Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.

  2. Dr. Ign. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

  3. Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku kaprodi Fisika dan dosen yang senantiasa memberikan kemudahan dalam memberikan materi kuliah.

  4. Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi skripsi ini.

  5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si. sebagai dosen yang telah memberikan pengajaran saat penulis menempuh masa perkuliahan.

  6. Ayah dan Ibuku serta adik-adikku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan, dan doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

  7. Ken yang selalu berusaha memberikan perhatian, semangat, dan seluruh kasih sayangnya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

  8. Manggar, Frida, mbak Ayuk, Sisca dan mbak Yuni yang telah menjadi sahabat yang sangat baik dan selalu menyayangiku dengan tulus.

  9. Mbak Yamidah dan mbak Tatik yang selalu sabar mengajariku ketika menemui kesulitan dalam mengerjakan skripsi ini.

  10. Mas Toro, mbak Lia, mas Yanto, mbak Prapti, mas Edi, mbak Sasti, dan seluruh keluarga besar yang tidak pernah lelah memberikan dukungannya.

  11. Teman-teman fisika diantaranya Adet, Danang, Inke, Bambang, Iman, Adit, Lius, Hari, Enzo, Minto, Ismeth, Mamat, Ridwan, Ade, Siska, Sujad dan Dian yang telah memberikan kenangan manis saat bersama-sama menempuh masa perkuliahan.

  12. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan pengajaran dan pendampingan. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun dari berbagai pihak.

  Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan khususnya pembaca.

  Yogyakarta, September 2008 Penulis

  DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ……………………………………………… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………… ii HALAMAN PENGESAHAN .….………………………………… iii HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………………...………… iv ABSTRAK ………………………………………………………… v ABSTRACT ….…………………………………………………… vi KATA PENGANTAR …..………………………………………… vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………… x DAFTAR ISI ………………………………………………………. xi BAB I. PENDAHULUAN………………………………………….

  1.5. Sistematika Penulisan …...…………………....…………

  22 Bab III. Metodologi Penelitian …...........................…………………

  2.3. Osilator Harmonik yang Terganggu …......……..…………

  16

  2.2. Osilator Harmonik ….......…………………………………

  6

  2.1. Teori kinetik Gas ….….…………………………...………

  6

  5 BAB II. DASAR TEORI …...………………………………………

  4

  1

  1.4.2. Manfaat Penelitian .…...……………………………

  4

  1.4.1. Tujuan Penelitian …..………………………………

  4

  1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………

  4

  3 1.3. Batasan Masalah ……...………………………………….

  1 1.2. Perumusan Masalah …………………………………….

  1.1. Latar Belakang ……………………………………………

  28

  3.3. Langkah-Langkah Penelitian ….......………………………

  28 Bab IV. Hasil dan Pembahasan …......………………………………

  29 4.1. Hasil Perhitungan ………………………………………..

  29 4.1.1. Persamaan Keadaan Gas Ideal…………...………..

  29

  4.1.2. Persamaan Keadaan Gas Real ……….……………

  31

  4.2. Pembahasan ………………………………………………

  33 BAB V. PENUTUP ………………………………………………

  35

  5.1. Kesimpulan ….....…………………………………………

  35

  5.2. Saran …......…………………………………………….…

  35 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………

  36 LAMPIRAN

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Secara fenomenologis dikenal tiga macam wujud zat, yaitu padat, cair, dan gas. Masing-masing wujud zat tersebut memiliki sifat makroskopik yang berbeda. Wujud zat padat memiliki kerapatan tinggi dan bentuk ruang yang tetap. Wujud

  zat cair memiliki kerapatan yang lebih rendah dibanding zat padat dan bentuk ruang mengikuti wadahnya. Wujud gas memiliki kerapatan paling rendah dan bentuk ruang mengikuti wadahnya (Rahayu, 2001).

  Sifat gas yang ditinjau dari pandangan makroskopik ditekankan pada kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal sistem. Oleh sebab itu, diperlukan penelitian untuk menentukan kuantitas makroskopik yang cukup untuk mendeskripsikan keadaan internal tersebut. Kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamik (Zemansky dan Dittman, 1986). Koordinat termodinamik suatu gas ditentukan oleh tekanan p , volume

  V , dan suhu T . Hubungan koordinat termodinamik ( ) ( ) ( )

  dengan massa m disebut persamaan keadaan

  ( ) f p , V , T , m = (1.1)

  ( )

  V ⎞

  Jika didefinisikan sebagai volume jenis zat v ⎛ = v , maka persamaan

  ⎜ ⎟ m

  ⎝ ⎠

  (1.1) dapat dituliskan menjadi

  Jika koordinat termodinamik pada suatu gas diukur nilainya serta dibuat

  P v

  grafik hubungan antara nilai rasio dan tekanan pada tiga temperatur

  T ( T , T , T ) , maka akan diperoleh grafik seperti terlihat pada Gambar 1.1 (Sears _{1 2 3}

  dan Salinger, 1975)

  P v

Gambar 1.1 Grafik hubungan rasio dan tekanan

  T

  Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa suatu gas yang mempunyai tekanan mendekati nol akan memenuhi persamaan

  P v = R

  T

  atau

  = (1.3)

P v R T

  V

  yang merupakan persamaan keadaan gas ideal. Jika relasi v = disubstitusikan

  m

  ke persamaan (1.3), maka persamaannya menjadi

  = P V m R T (1.4) Massa m sebanding dengan jumlah mol gas (n), sehingga persamaan (1.4) dapat dituliskan

  = P V n R T (1.5)

  Gas ideal adalah gas yang tenaga ikat molekul-molekulnya dapat diabaikan (Nainggolan, 1978). Jika tenaga ikat molekul-molekul gas tidak dapat diabaikan maka persamaan keadaannya menjadi persamaan keadaan gas real

  a ⎞ ⎛ + p v b R T (1.6)

  ( − ) = ⎜ ⎟ ₂ v

  ⎝ ⎠

  Pengaruh dari tenaga ikat molekul-molekul gas yang tidak dapat diabaikan

  a

  menyebabkan timbulnya faktor koreksi tekanan . Konstanta b merupakan ₂

  v

  faktor koreksi volume yang besarnya sebanding dengan volume yang ditempati

  a

  molekul-molekul gas (Nainggolan, 1978). Jika volume gas sangat besar, maka ₂

  v b

  dan dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan gas ideal.

1.2. Perumusan masalah

  Pada persamaan (1.5) telah diketahui persamaan keadaan gas ideal untuk gas yang mempunyai tekanan mendekati nol. Pada persamaan (1.6) telah diketahui persamaan keadaan gas real. Yang menjadi permasalahan adalah apakah persamaan (1.5) dan (1.6) dapat diperoleh dengan konsep mekanika kuantum.

  1.3. Batasan Masalah

  Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh

  1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dijabarkan dengan konsep mekanika kuantum.

  2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

  3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

  1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian

  1.4.1 Tujuan Penelitian

  Tujuan penelitian ini adalah

  1. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan konsep mekanika kuantum.

  2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

  3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

  1.4.2 Manfaat Penelitian

  Penelitian ini bermanfaat untuk perkembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang persamaan keadaan, bahwa persamaan keadaan

1.5. Sistematika Penulisan

  Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut :

  BAB I. PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Pada Bab II dijabarkan teori kinetik gas, potensial osilator harmonik, dan potensial osilator harmonik yang terganggu. BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian, dan langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian dan pembahasannya. BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Teori Kinetik Gas

  Gas adalah kumpulan molekul-molekul yang bergerak di dalam suatu ruang dan saling bertumbukan antara satu dengan yang lain. Tumbukan antar molekul ini mengakibatkan terjadinya perubahan besaran fisis pada molekul- molekul yang saling bertumbukan. Jika ada sejumlah N molekul dalam suatu ruang dengan volume V , maka rapat molekul tiap satu satuan volume n adalah

  ( ) N n = . (2.1)

  V Kerapatan molekul dianggap sama sehingga dalam setiap sebarang bagian kecil

  volume Δ

  V terdapat Δ N molekul dengan

  Δ N = n Δ

  V (2.2)

  Jika molekul dianggap terletak dalam ruang berbentuk bola dengan radius

  r dan berada pada koordinat polar , r θ , φ , maka molekul akan bergerak dari

  pusat bola menuju permukaan kulit bola kemudian menumbuk luasan Δ A seperti terlihat pada Gambar 2.1

  Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada (N), jadi rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola (A) dapat diberikan

  N q = (2.3) A

  Rapat arah kecepatan molekul adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu q satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh permukaan kulit bola sehingga persamaan (2.3) menjadi

  

N

q = (2.4) ₂

4 r

  π Luas permukaan Δ A pada permukaan bola dengan radius dapat dituliskan r ₂

  Δ A = r sin Δ Δ θ θ φ (2.5)

• Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θ Δ θ serta φ dan φ Δ φ + , menurut persamaan (2.3) mempunyai jumlah molekul

  Δ N = q Δ A (2.6)

  θφ

  atau dengan menggabungkan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh ₂

  Δ = Δ Δ N q r sin θ θ φ (2.7)

  θφ

  substitusi (2.4) ke (2.7) didapatkan

  N

  Δ N = sin Δ Δ (2.8) θ θ φ

  θφ

  4 π kedua ruas persamaan (2.8) dibagi dengan volume V sehingga didapat Δ N

  θφ n

  Δ n = = sin Δ Δ (2.9) θ θ φ

  θφ

  V

  4 π dengan N adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan Δ

  θφ

• yang mempunyai arah antara serta φ dan φ Δ φ . Jika molekul
• U Δ U mempunyai kecepatan antara U dan , maka persamaan (2.9) dapat dituliskan kembali menjadi
• θ dan θ Δ θ

  1 Δ n = Δ n sin Δ Δ (2.10)

  θ θ φ

  θφ U U

  4 π Banyaknya molekul yang menumbuk elemen pada saat Δ t sama dengan

  Δ A

  jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah θ dan φ dengan kecepatan U . Seperti terlihat pada Gambar 2.2

Gambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen

  Δ A

  Sisi silinder pada arah θ dan φ , panjang silinder ( ) U Δ t menyatakan jarak yang ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat t Δ . Volume silinder pada

Gambar 2.2 diberikan sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat

  U Δ n

  ⎛ ⎞ _U Δ n Δ

  V = ( Δ A Δ t ) sin cos Δ Δ

  ⎜ θ θ θ φ ⎟

  θφ U

  4 π

  ⎝ ⎠

  1 Δ N = U Δ n sin θ cos θ Δ θ Δ φ Δ A Δ t (2.12) _{U U}

  θφ

  4 π

  Flux molekul Φ pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu

  Δ N Φ = (2.13) A t

  Δ Δ

  Sehingga dengan substitusi persamaan (2.13) ke (2.12) dihasilkan Δ N

  θφ U

  1 sin cos (2.14) ΔΦ = = U Δ n θ θ Δ θ Δ φ

  θφ U U

  Δ A Δ t 4 π ΔΦ Δ d

  Flux didapat dengan mengganti φ pada persamaan (2.14) dengan φ

  θ U

  2 , yang kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas sampai π akhirnya diperoleh

  1 ΔΦ = U Δ n sin cos Δ (2.15)

  θ θ θ

  θ U U

  2 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan

  Δ A dapat dilihat pada Gambar 2.3

Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan

  Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan molekul dengan permukaan Δ A juga dianggap elastis maka molekul yang menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen

  o U cos 180 U cos

  θ berubah , sehingga arahnya berbalik dari θ menjadi − U cos θ .

  Massa satu molekul adalah m , sehingga perubahan momentum tiap molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan

  m U cos θ − ( − m U cos θ ) = 2 mU cos θ (2.16)

  Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan Δ P diberikan oleh (Sears dan Salinger, 1975)

  θ U

  1 ⎛ ⎞

  θ θ θ θ

  Δ P = ( _{U ⎜ U ⎟} 2 mU cos ) U Δ n sin cos Δ θ

  2 ⎝ ⎠

  (2.17) θ θ θ Δ Δ = ^{2 2} cos sin _U

  3

  3

  1 _{3 3 2 U}

  n mU ( ) ^{3 3 2}

  1

  3

  1 − Δ − = _U

  n mU _{U U} P n mU Δ = Δ ²

  1 (2.18)

  Δ n mU − = ( )

  Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total _{U U}

  

U n m P Δ Σ = Δ

²

  3

  1 (2.19)

  Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul yang memiliki kecepatan

  { N N N N

  ,..., , _{2 1 } { } N}

  U U U

  ° − ° Δ − = cos 90 cos

  θ _U

  n mU

  

∫

  Tekanan molekul yang bergerak dengan kecepatan U , untuk semua nilai ^U

  P Δ

  θ Δ θ dapat ditentukan dengan mengganti pada persamaan (2.17) dengan

  2 π

  θ d kemudian diintegralkan terhadap

  θ

  dengan batas dari sampai

  Δ = Δ ^{2 2 2} cos sin

  

1

π

  

π

θ

  θ θ θ d n mU P _{U U}

  ( ) ∫

  Δ − = ^{2 2 2} cos cos

  

π

  θ θ d

  n mU

_U

_{2 3 2} cos

  

3

  ,..., , _{2 1} maka kecepatan rata- ratanya

  N N

U N U N

_{i i i i} ∑ ∑ _{i = 1 i = 1} U

  (2.20)

  = = _N N N _i

  ∑ _{i 1} =

  Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan kuadrat diberikan oleh _{N 2} U

_i

_{2 i} ∑ ₁

  = U = (2.21) N

  Jika terdapat sejumlah Δ N molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh _{2 2} Σ U Δ N _U

  U

  (2.22) =

  N N n

  mengingat = , persamaan (2.22) dapat dituliskan menjadi

  V ₂ U n _{2 U} Σ Δ U =

n

  atau _{2 2} Σ U Δ n = n U (2.23) _U

  1 Jika persamaan (2.23) dikalikan m , maka didapat

  3

  1 ₂

  1 ₂

  m Σ U Δ n = nm U (2.24) _U

  3

  3

  1 ₂ Δ P = nm U (2.25) _U

  3

  1 ₂ Kuantitas nm U adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni

  3

  2

  1 ₂ ( nm U ) . Sehingga persamaannya dapat dituliskan (Halliday dan Resnick,

  3

  2 1987)

  1 ²

  2

  

1

² ⎛ ⎞ nm U = nm U

  ⎜ ⎟

  3

  3

  

2

⎝ ⎠

  2

  1 ₂ Δ P = ( nm U ) (2.26) _U

  3

  2 Jika Δ P = nRT , maka dari persamaan (2.26) didapat energi kinetik gas _U

  1 ²

  3

  m v = N kT (2.27)

_A

  2

  2 sebab R N k .

  = _A U

  Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara sampai _{x x x} Δ + U U , maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan (2.18) yang dituliskan kembali menjadi

  1 ² P m U n U (2.29) Δ = Δ _{x x ( x )}

  3 Δ n ( U ) dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi _x

  U . Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu _x

x

  Δ t = (2.30)

U

_x

  Perubahan gaya yang dihasilkan akibat terjadinya tumbukan adalah

• ∞ ∞ −

  (2.34) sehingga tekanan P adalah

  Δ

=

Δ Δ

  = (2.33)

  Persamaan (2.32) dan (2.33) digabungkan, dan diperoleh

  V t

U N m

F ^x _x

  

Δ

=

  6 ²

  

V t A

U N m

A F P ^{x x}

  ∫ ∞ ∞ +

  

Δ

= =

  6 ²

  (2.35) Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan (2.30) ke (2.31) diperoleh relasi

  

x

U p

dF

^{x x}

_x

  

Δ

=

  atau _{x x x}

  ∞ −

  2 ^{2 2} ₂ ∫ ∫

  ( ) t U n mU t p dF ^{x x x} _x

  Δ Δ

  Δ Δ

  = Δ

  Δ = ²

  3

  1 (2.31) sehingga

  ( ∫ ∞

  = ²

  U ^{x x} _x ^{x x} _x /

  3

  1 _{x x x}

  U n

t

U F m ) (2.32) _{2 x}

  U

  Nilai diberikan oleh (Bradbury, 1984)

  ( ) ( ) ( )

  V N U n U U n U n U

  

U p dF x Δ =

₂

  2

  1 x Δ t dF = m dn U _{x ( ) x 2} 3 Δ t sehingga _{3 2} dF Δ t _x x = (2.36)

  1

m dn ( ) U

_{x 2}

  3 Mengingat nilai x adalah

• ∞
₂

x dn ( x )

₂ ∫

  − ∞

  (2.37)

  x = ∞ +

dn ( x )

  ∫ − ∞

  Dengan menggabungkan persamaan (2.36) dan (2.37) diperoleh

  ∞ ∞ ₂

  6 ₃ 2 x dn ( x ) Δ t dF _x

  ∫ ∫ ₂

m

x = = (2.38) N

  V N

  V Mengacu pada persamaan (2.35) didapatkan dF _x dP = (2.39)

  A

  Kedua ruas persamaan (2.39) dikalikan dan dihasilkan x

  A x dP = dF x

_x

A x dP = dF Δ t U _{x x}

  atau

  V dP = U Δ t dF (2.40) _{x x}

∫

  Persamaan (2.40) diintegralkan dan diperoleh

  

∞ Persamaan (2.41) disubstitusikan ke persamaan (2.38) menjadi

  

∞

  ⎛ ⎞ ₂

  6 Δ t dF Δ t _{x 2} m ⎜⎜ ∫ ⎟⎟

  ⎝ ⎠

  x = N

  V

  

6 PV / U

_{x 2}

= Δ t

m N /

  V m N U _{x 2} PV = x

₂

  6 t

  

V

  Δ

  m N U _{x 2} N kT = x _A

₂

  6 Δ t

  V

m N U

_{x 2} kT = x

₂

  6 Δ t N _A

  V

  atau

  1 1 m N U _{x 2}

  k T = x (2.42)

₂

  2

  2 6 t N

  V

  Δ _A

  m N U _x

  Jika = c , maka persamaan (2.42) menjadi ₂ 6 t N

  V

  Δ _A

  1

  1 ₂

  k T = c x (2.43)

  2

  2

  1 sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu k T .

  2

2.2 Osilator Harmonik

  Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator harmonik. Energi potensial osilator harmonik diberikan (Rae, 1985)

  1 ₂ V x = kx (2.44)

  ( )

  2 dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki _{2 1}

  k ⎛ ⎞

  frekuensi anguler ω = , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran _c ⎜ ⎟

  m ⎝ ⎠

  persamaan (13) menjadi _{2 2} h ∂ u

  1 ^{2 2}

  m x u Eu

  − ω + = (2.45) _{2 c} 2 m ∂ x

  2 Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y _{1 2}

  m

  ⎛ ω ⎞ _c

  y x (2.46)

  = ⎜ ⎟ h ⎝ ⎠ dan didefinisikan suatu konstanta

  ⎛

  

2 E ⎞

  α = (2.47)

  ⎜⎜ ⎟⎟ h

  ω _c

  ⎝ ⎠

  sehingga persamaan (2.45) menjadi ₂ ∂ u

• ∂ y

  − y u = Eu (2.48) ² α ₂ ( )

  Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan (2.48) dapat didekati dengan bentuk ₂ ∂ u _{2 2} − y u ≈ (2.49)

  ∂ y Kemudian persamaan (2.49) diselesaikan dengan fungsi _{n 2}

  ⎛− ⎞ y u = y exp (2.50)

  ⎜ ⎟

  2 ⎝ ⎠

• −
>− − = ∂ &p
• 2 exp
^{2 2} y y ⁿ

  − = ′ ¹ _n ⁿ

_n

  ( )

  

1

2 = − + ′ −

  ′′ H H y H α (2.53) H

  dapat dituliskan dalam deret pangkat

  ∑ ∞ =

  = _n ⁿ

_n

H y a

  (2.54)

  ∑ ∞ =

  H ny a

  (2.52) dengan adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan (2.52) ke (2.48) menghasilkan

  (2.55)

  ( ) ∑

  ∞ = −

  − = ′′ ²

  1 _n ⁿ _n H y n n a ( )

  ∑ ∞ =

  − − = ₂ ²

  1 _n ⁿ _n y n n a (2.56)

  ( ) y H

  y H u _{y y}

  ( ) ( ) [ ]

  ⎝ ⎛− ≈

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  2 exp

  1

  2

  1 ^{2 2 2} ₂ ²

  y y y n y n n y u

_{n n n}

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  

⎟

⎠

⎞

⎜

  2 exp ²

  ⎝ ⎛− =

  2 exp ^{2 2} y y y ⁿ u y ²

  = (2.51)

  Pada persamaan (2.51) terlihat bahwa persamaan (2.50) memenuhi (2.49), sehingga persamaan (2.50) dapat dituliskan kembali menjadi

  ( ) ( )

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛−

  =

  Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan (2.56) sama dengan nol, sehingga

  ∞ _n ′′ (2.57)

  H = a ( n _{n 2} + 2 )( + n 1 ) y _n ∑

• =

  Dengan menggabungkan persamaan (2.54), (2.55), (2.57) dan (2.53) diperoleh

  ∞ _n ( n

  1 )( n + 2 ) a − ( + + 2 n 1 − α ) a y = (2.58)

  [ n

• ^{2 n ]}

  ∑ _n =

  Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret (2.58) dapat y dituliskan

  2 n 1 − α

• a
• ^{n 2 ( )}

  = (2.59) _{n ( )( )} + + a n 1 n

  2 ₂ exp y Untuk nilai n sangat besar, deret (2.54) identik dengan deret _{2 n}

  ( ) ∞ _{2 y} ⎛ ⎞ 1 n n

  menghasilkan exp y y a y . Jika H = = =

  ( ) n ( ) y

∑ ∑ ∑

_{n n ! n genap ( ) n} ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ! n

  =

  ⎝ ⎠ ₂ exp y mendekati tak berhingga dengan seperti deret y maka u akan

  ( ) y ( )

  konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan kata lain H merupakan polinom. _y

  ( ) a ^{n 2}

• Berdasarkan persamaan (2.59), jika limit mendekati tak berhingga,

  a _n

  maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik = n +

  2 1 dengan n = , 1 , 2 ,... α

  a =

  1 a = jika n ganjil dan jika genap n (2.60) Dengan substitusi persamaan pertama (2.60) ke persamaan (2.47) diperoleh energi

  ω

  ⎜ ⎝ ⎛

  x m

x

m m u

^{c c c}

  4

  2

  1

  2 exp

  = ^{2 2 4 1} ₂

  ⎟ ⎠ ⎞

  π ω

  ⎜ ⎝ ⎛

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎜ ⎝ ⎛−

  ⎟ ⎠ ⎞

  h h h ω ω

  ⎟ ⎠ ⎞

  4 x m m u ^{c c} h h

  = ^{2 2 4 3 4 1} ₃ 2 exp

  h h h ω ω ω

  x m x m m u ^{c c c}

  1

  9

  2

  3

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛−

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎢ ⎡

  ⎥ ⎤

  ω ω π

  2 exp

  h ⎟ ⎠ ⎞

  H 1 =

  12

  

H y y

  4 ² ₂ − = y H

  2

  2 ₁

=

  

H y

  ( ) y H

  ( ) ²

  Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada persamaan (2.59) didapatkan 4 tingkat energi terendah

  h = h dengan ω frekuensi osilator harmonik, .

  2

  (2.61) π

  1 E n _n

  2

  ⎜ ⎝ ⎛ + =

  8 ³ ₃ − = (2.62)

  2

  ⎝ ⎛ = ^{2 4 3 4 1} ₁

  ⎝ ⎛ = ^{2 4 1}

  ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  

⎝

⎛−

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎟ ⎠ ⎞

⎜

  ω

  ω π

  2 exp x m m u ^{c c} _n h h

  ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  1 exp y −

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  sehingga diperoleh

  1 ² = ∫ ∞ ∞ − dx u ,

  dan disubstitusikan ke persamaan (2.46) kemudian dinormalisasi

  ( ) y n H

  ( ) x n u

  Fungsi gelombang didapat dari perkalian dengan faktor

  π (2.63)

  ∞ _{E / kT} − n

E e

_n

_n ∑

  = E

  (2.64)

  = ∞ _{E / kT} − n

e

_n ∑

  =

  1 Jika diberikan = , maka persamaan (2.64) dapat dituliskan β

  kT ∞ _{E β} − n

  

E e

_n

_n ∑ =

  E = (2.65) ∞ _{E β} − n

e

_n ∑

  =

  Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.65) digunakan substitusi

  ∞

− β E

_n Z = e (2.66) _n ∑

  =

  yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, tenaga rata- rata pada persamaan (2.65) menjadi 1 ∂ Z ∂

  E = − = − ln Z (2.67) ( )

  Z ∂ ∂

  β β Persamaan (2.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.66) dan dihasilkan ₁

  ⎞ ∞ _{n h ωβ}

− ⎛ + ⎜ ⎟

₂

⎝ ⎠

Z = e _n ∑

  =

∞

h / ^{2 n h}

− ωβ − ωβ

  = e e

∑

_n

  

=

  −

  = e 1 e e e ...... (2.68) + + +

• h ωβ / ^{2 h ωβ ωβ ωβ 2 h 3 h} − − −