Asuransi pensiun hari tua - USD Repository

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

S K R I P S I Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika Oleh :

Maria Kurnia Lestari NIM : 013114028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

Karya Ini Kupersembahkan untuk :

Bunda pelindungku, Bunda Maria Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta

Almamaterku tercinta

Keindahan Tak Berpenghujung

Cinta Yang menjadikan langit sebagai batasnya

Itulah keindahan tak berpenghujung yang kalian berikan padaku Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan

Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa Dalam nama cinta

Penyertaan kalian tiada pernah berakhir Kini, kutelah berhasil melewati lagi anak tangga menuju masa depan

Terima Kasih kuucapkan Semoga setiap langkah yang kupijak

Tuk mencapai puncak impian Dapat membuat kalian bangga

Hingga Keindahan tak berpenghujung Selalu terpancar dari senyummu

Yang membuat langkah ini selalu berarti Teruntuk

ABSTRAK

Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality.

Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk

f tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan

besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan f rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.

ABSTRACT

Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for last year before pension. Generally, the amount of f premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for last year before pension, and f premium based on the averages of annual salary during working period.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karunia- Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik.

Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama penulisan.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran.

4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan administrasi.

6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis selama ini.

7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa, nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku.

8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan selama kuliah.

9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih keluguan dan kelucuannya.

10. Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan dukungannya.

11. Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, deg- degan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa “sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.

12. Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa, terima kasih puisi dan terjemahannya.

13. Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre, Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik (makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli, Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah memberikan kebersamaan selama kuliah.

14. Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang bermanfaat bagi penulis.

Yogyakarta,…………………2007 Penulis

Maria Kurnia Lestari

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... ii HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v ABSTRAK .................................................................................................... vi ABSTRACT.................................................................................................. vii KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI................................................................................................. xi BAB I PENDAHULUAN .............................................................................

1 A. Latar Belakang Masalah ................................................................

1 B. Perumusan Masalah.......................................................................

4 C. Pembatasan Masalah......................................................................

4 D. Tujuan Penulisan ...........................................................................

5 E. Manfaat Penulisan .........................................................................

5 F. Metode Penulisan ..........................................................................

5 G. Sistematika Penulisan ....................................................................

5 BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................

5 A. Tabel Mortalita (Mortality Table) .................................................. 7

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) .................................... 14

C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) ............. 18

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) ................. 22

E. Tingkat Bunga………………………………………………….... 26

F. Anuitas (Annuity)…………………………………………………. 28

G. Asuransi Jiwa……………………………………………………... 37

1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38

a. Asuransi Berjangka…………………………………….. 38

b. Asuransi Seumur Hidup………………………………… 41

2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44

BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA............................................... 47 A. Dana Pensiun ................................................................................. 47 B. Tabel Pelayanan............................................................................. 49 C. Jenis Manfaat Pensiun ................................................................... 51 D. Fungsi Manfaat .............................................................................. 53 BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA.................................................................................................... 61 BAB V KESIMPULAN................................................................................ 66 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 67 LAMPIRAN.................................................................................................. 66

1. Tabel Mortalita Indonesia ........................................................ 68

2. Komutasi .................................................................................. 71

3. Tabel Pelayanan ....................................................................... 74

4. Komutasi .................................................................................. 75

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan

meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja, karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life

–cycle hypothesis of consumption ) dari Ando Modigliani (Branson, 1979).

Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu: (1) masa produktivitas rendah (2) masa produktivitas tinggi (3) masa produktivitas menurun.

Nilai Pendapatan/Konsumsi kurva konsumsi

B A C Y

kurva pendapatan Waktu

T T ₁ ₂ T

₃

Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi

Kurva konsumsi menunjukkan aliran konsumsi individu yang berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan ( C > Y ) . Periode antara T dan T menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga ₁ ₂ aliran pendapatan lebih dari konsumsi ( Y > C ) . Pada masa ini, individu sudah dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh

pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik ₂ dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari tua.

Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu (usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan tentang dunia investasi.

Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis dengan beberapa pertanyaan berikut :

1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari kelompok karena pensiun pada saat usia x ?

2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ?

3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut : 1. Satuan waktu adalah tahunan.

2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent.

3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% .

4. Tabel Pelayanan yang digunakan adalah Service Table by Bowers.

D. Tujuan Penulisan

Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.

G. Sistematika Penulisan

Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan sebagai berikut :

BAB I Pendahuluan Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam

pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

BAB II Landasan Teori Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan

lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan.

BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika

dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun.

BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua. BAB V Penutup Menjelaskan kesimpulan.

BAB II

LANDASAN TEORI A. Tabel Mortalita (Mortality Table) Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal x n

seseorang berusia untuk periode tahun berikutnya dari sekelompok orang yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan

1 , x + + setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x , x 2 , …. Sehingga

waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup.

Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan

l d

sebanyak orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak −

orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia x

l d = l

1 adalah

1 d

orang. Dua tahun berikutnya terjadi kematian sebanyak orang, sehingga

− =

banyak orang yang dapat mencapai usia x 2 adalah l d l orang. Proses

pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang meninggal atau l = dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses _w +

tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

l − d = l

x x x

1 d = l − l

(2.1)

x x x

1 l d

dengan menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan _x _x adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok.

Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada

q usia x yang dinyatakan dengan . _x

Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x , dan

= n A d = banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :

( ) _x

≈ q _{x (2.2)}

− l l

x x

1 ≈ q _x l _x

p q =

Dengan asumsi bahwa _{x x} 1 dengan p menyatakan peluang hidup _x seseorang pada usia x , maka dapat dinyatakan bahwa :

−

p = 1 q

_{x x}

⎛ − l l ⎞

x x

1 p = _x

1 −

⎜⎜ ⎟⎟ l _x

⎝ ⎠ − − l l l

( )

x x x

1 p = _x l _x

1 p = _{x (2.3)}

Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun

( n = 1 ) , maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun ( n > 1 ) adalah l − l ^{x x n}

_{n x (2.4)}

q l _x

dengan q menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka _{n x}

waktu n tahun. Jika menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam _{n x} jangka waktu n tahun maka diperoleh :

p q

= 1 −

n x n x

l l ⎞

⎛ −

x x n

= −

_{n x}

⎜⎜ ⎟⎟ l _x

⎝ ⎠ − − l l l ^{x ( x x n )} + _{n x} p = l _x

x n _{n x}

p =

(2.5)

l _x

=
|
− =

1 ....

l l

1 x ^{n x x} l l l

( ) ( ) ( ) _x _{n x n x x x x x} l l l l l l l

− + + − + − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ −

⎛ −

⎛ − =

l l l l l l l l l

⎝ ⎛ − =

p q − = 1

1 ....

1 .

Bila n =1 indeks n disebelah kiri _x

p dan _x q tidak perlu dituliskan, jadi notasi _{x x}

= q q

dan _{x x}

= p p

Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut :

maka dapat dinyatakan berikut : _{x n x n}

x ^{n x} ^{x n} l d q

x ^{n x n x} ^{x n} l l l q

1 |

−

_{x n x n x n} p p q

1 |

Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke 1 − n . Jika

1 = + x n x n q p

_x ^{n x}
− =
− + + + +
− + + + + _x _{n x n x} _x _{x x} _x _{x x}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

_x + = + + + q | q | q .... | q 1 x 2 x n − 1 x

−

1 n

= q | t x

∑ = t Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan.

Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan (rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut : Definisi 2.1.

Nilai harapan didefinisikan dengan :

∞ E ( T ) t

= f t , untuk t diskrit

( )

∑ _t

Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate

expectation of life ) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life).

Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang

penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia . Dengan kata lain pecahan tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni 1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan

w − x

| q | q hidup 0,1,2,…, tahun, masing-masing dinyatakan dengan x , x , ₁

^{w w}

^{x x}

l l

x w

l l

l
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

( ) w x x x l l l l

( )

1 ) ( ) ( ....

− − − + + − + − =

w w x x x x

x l x w l x w l l l l l
1
1
2
1 x ^w ^x ^x ^x ^x l l l l l l
2
1 x x w x x p p p
−
2 ∑
− = = x w t x t p
1
dengan _x
e menyatakan harapan hidup ringkas.
Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4 pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari _x
− − + + − + − = w w x x x x x l l x w l l l l l
1
l orang untuk menuju tahun-tahun berikutnya tidak selalu bilangan bulat.
1
x | q ₂
,… _{x x w}
| q −
maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut adalah : _{x x w x x x x}
q x w q q q e | ) ( .... | 2 |
1
2 − − + + + + =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ −
− + +
⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −
⎛ − =
3
2
2
2
1 ) ( ....
2
1 ( ) ( ) ( ) [
]
1
3
2
2
+ + + + +
+ + + + +
=

....
=

....
= ....
1 ) ( ....
Definisi 2.2. e
Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan , didefinisikan dengan : _{w x} _x
− l _{x t}
e = _{x dt}
∫ _{w − x} l _x e = p _{x t x dt (2.6)}
∫
Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam (uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut :
1 α ≤ x ≤ β
β − α
f (x ) =
lainnya dengan :
β x dx E
X = ( )
∫ β − α
α β + α =
2 Hasil pendekatan tersebut adalah : _x
1 e = e x _x
+ dx
∫
1 ^x + e = e _x
2
B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)
l
Pada tabel mortalita, nilai hanya menggambarkan keadaan suatu _x kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai
l
x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa adalah fungsi
_x
kontinu. Pada interval usia x sampai x
+
d
1 banyak orang yang meninggal ( ) _x d l l
−
+ x x x
1 q = = l − l
adalah dan x . Sedangkan untuk interval usia x
x x
1 l l x x
sampai x Δ t banyak orang yang meninggal adalah − , sehingga
l l
Δ
x x t
peluang meninggalnya adalah :
l − l
x x Δ t
= _{t x} q Δ l _x
Jika persamaan diatas dibagi dengan Δ t , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :
q l − l
Δ t x x x Δ t
(2.7)
=
Δ Δ t tl _x
Dengan Δt → maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita (forces of mortality) yang didefinisikan berikut : _{t x} q
Δ μ = lim _x _t
Δ → t
Δ l l
− ^{x x t} Δ = lim
Δ t →
tl Δ _x −
( l l ) _{x t x} + Δ = − lim
Δ → _t l Δ t _x
x μ dt dl
l
^x
_x
μ dt l l ln ln ∫
=

− dl dt l = μ
maka untuk usia t x + dengan ,...
(2.10) Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan : _{x x x}
. e l l μ
∫ = − ^x _t dt x
Sehingga diperoleh berikut :
μ
− ^x _t ^dt _x e l l
∫ − = − ^x _{t x}

1
− =
∫ − = ln μ
− = ln μ ]
dt l
^x _t ^x _t

dt l d
^x _t ^x _t ∫ ∫
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu :
. ln μ dt l d _{x x} − =
(2.9)
dt l d x x ln − = μ
(2.8) atau dapat juga dinyatakan dengan :
3 , 2 , 1 = t persamaan diatas menjadi :
1
∫
1
) ( dt l d

_{t x t x x}
μ
(2.14) Jika _x ^x ^x
l d q =
maka didapat :
x ^{t x t x} ^x l dt l q
=
∫
1 μ
∫
= μ
1
(2.15) Untuk
1 > n persamaan (2.15) menjadi :
dt p q
_{t x} ⁿ _{x t x n}
= μ
=
Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh :
Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :
1 + − = x x x l l d
t x t x t x dl dt l
− = μ (2.11)
atau dapat dinyatakan dengan :
dt dl l ^{t x} _{t x t x}
− = μ
(2.12) Jika
maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann diperoleh
dt dl d ^{t x} _x dt (2.13)

∫
⎟ ⎠ ⎞
⎜

⎝
⎛− = −
1
1 dt dl l l ^{t x} _{x x dt}
∫ ⎟ ⎠ ⎞
⎜

⎝
⎛− =
_{+ t x x t x}
dt p q
∫
+
+
− =
ln ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
_x ^{t x} ^{t x}
ⁿ _x ^{t x} ⁿ ^{t x}
x ^x ^x ^{n x}
x ^{n x}
− =
− = ln
μ _{x n}
μ

dt
x n e p
∫ =
⁺ − ⁿ _{t x}
(2.16) Sehingga diperoleh :
p ln − =
dt ⁿ _{t x} ∫
l l
ln ln
l l l l
− =
⎜⎜ ⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠ ⎞
ln ⎥ ⎦ ⎤
⎢ ⎣ ⎡
l l μ d dt ln ⁿ _x ^{t x} l l
⎝ ⎛ − =
∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :
μ
l l d dt ln
⎝ ⎛ − =
⎝ ⎛ − =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
1 − = dt p d _{x t} ln − = dt l l d _x ^{t x}
1 μ dt p d p
^{x t}
_{x t}
dt dl l
^{t x}
_{t x} ^{t x}
(2.17) dan _n
⁺ − μ dt _{x t}
∫ q =
1 − e
(2.18)
n x
C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)
Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table).
Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas (independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab
independent
, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :
Definisi 2.3.
( 1 ) d x
Andaikan menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia dan _x
( 2 ) d _x menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x . Dua kejadian
( 1 ) ( 2 ) d d _{x x} dan dikatakan independent jika :
( 1 ) (
2 ) (
1 ) ( 2 ) P d d P d P d
∩ = ( x x ) ( ) ( ) x x
l
Pada keadaan awal kelompok, orang akan mengalami penyusutan
l
anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari orang _x
( 1 ) d
terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan , faktor _x
( 2 ) d
penyebab dua dinyatakan dengan dan seterusnya sampai faktor penyebab m _x
(m ) d
yang dinyatakan dengan , atau : _x
m
1 2 m ( k ) ( ) ( ) ( )
d d ..... d = d
+ + + x x x x
∑ =
1 k
(k ) d
dengan menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan _x karena faktor penyebab ke- k ( k =
1 ,
2 ,...., m ) . Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
Definisi 2.4.
Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia
x adalah : _k ( )
d
( k ) x q = _x
( T )
l
_x
(T ) l
dengan menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok _x
(T ) l
pada usia x . Muncul nilai yang sama, dapat terjadi karena asumsi _x
independensi _{k k} (definisi 2.3).
( ) ( ) p = − q
Jika _{x x} 1 , maka dapat dinyatakan bahwa :
( k )
⎛ ⎞ _k d
( ) x
= −
p _x
1
( T )
⎜⎜ ⎟⎟
l _x
⎝ ⎠
( T ) ( k ) l d
−
( k ) x x
p _x =
( T ) l _x
(k ) p
dengan menyatakan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok _x karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
(T ) d
Jika menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari _x
k m
kelompok karena faktor penyebab ke- k (untuk = 1 , 2 ,....., ) pada usia x , atau :
m
( T ) k
( ) d = d x x (2.19)
∑ =
1
k dinyatakan bahwa:
1 > n ) dapat
dengan
Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun (
( 1 ) _T
_x
^T
^x
^T _x
l

l
p
− = ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( _T _x ^T ^x ^T ^{T x} _x l d l p
, yaitu :
x
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia
menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x .
) (T _x q
1 ) ( ) (

Asuransi pensiun hari tua - USD Repository