Optimasi arus maksimum pada jaringan - USD Repository

  

OPTIMASI ARUS MAKSIMUM PADA JARINGAN

SKRIPSI

  Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

  Disusun oleh :

  NAMA : MARIA AGUSTINA AMELIA NIM : 023114005

  FAKULTAS MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

  Persembahan

  

Skripsi ini kupersembahkan untuk :

  Mamaku yang terhebat di dunia, Ch. Yuni Hastuti. Makasi ya ma dah mau ikutan gila-gilaan sama Lia selama ini. I luv U sooooo Much!!!!!!!!!!!!!! Papaku: R.B. Sutoyo. I`m sorry that I can`t be your perfect daughter… Eyang ti dan Mbah Kung, matur nuwun atas segala doa, nasehat dan contoh nyata dalam menjalani hidup ini.

  Adik-adikku : Dira, Ayu, Dian. Sumber segala kekacauan, masalah, pengertian dan cinta di rumah. Let`s rock the world, sist!!!!!!

Me Amo : Bon-bon, thanks dah menyadarkanku waktu aku masih bodoh. Ayo kita

jalanin program-program KKN kita yang belum slesai.

  Romo Iwan: yang membantu memberikan inspirasi dan penguatan dalam fase hidupku yang kelam. Hehehe….dad I`ve made it but I can`t let him go.

  Motto

  Love is patient Love is kind It does not envy It does not boast

  It is not proud It is not rude It is not self-seeking It is not easily anggered

  It keeps no record of wrongs Love does not delight in evil but rejoices with the truth it always protects always trust always hope always perserves

  

Pernyataan Keaslian Karya

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 20 Maret 2007 Penulis

  Maria Agustina Amelia

  

ABSTRAK

  Suatu jaringan dapat menghasilkan sebuah gambaran atau model yang membantu memberi pengertian dalam menunjukkan hubungan antar komponen dalam berbagai permasalahan. Dalam penulisan ini akan dibahas masalah optimasi pada jaringan, yaitu masalah arus maksimum. Penyelesaian masalah arus maksimum yang akan dibahas lebih lanjut dalam penulisan ini adalah penyelesaian menggunakan proses pelabelan Ford Fulkerson dan metode max

  flow-min cut.

  Dalam penggunaan proses pelabelan Ford Fulkerson, pertama kali ubah jaringan menjadi bentuk matriks. Kemudian lakukan proses pelabelan dan perhitungan kembali nilai arus. Proses berulang kembali ke proses pelabelan, jika sudah tidak dapat ditemukan lagi flow augmenting path pada matriks, proses dihentikan karena arus maksimum sudak didapat.

  Dalam penyelesaian menggunakan metode max flow-min cut mula-mula perlu dicari jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir pada jaringan. Kemudian hitung nilai slack pada masing-masing busur dan dilakukan perhitungan kembali arus. Proses berulang kembali ke pencarian jalur pada jaringan. Jika tidak dapat ditemukan jalur yang menghubungkan simpul awal ke simpul akhir maka simpul-simpul pada jaringan terpartisi menjadi dua buah himpunan yaitu himpunan yang memuat simpul awal dan yang memuat simpul akhir. Hitung kapasitas masing-masing busur yang menghubungkan simpul- simpul dari himpunan yang memuat simpul awal ke himpunan yang memuat simpul akhir. Nilai kapasitas tersebut akan sama dengan arus maksimum. Metode

  max flow-min cut dapat dihentikan.

  Dalam menyelesaikan masalah arus maksimum, dengan proses pelabelan

  

Ford Fulkerson jaringan harus diubah dahulu ke dalam bentuk matriks. Dalam

bentuk tersebut proses pelabelan lebih mudah dijalankan karena lebih ringkas.

  Sedangkan dalam pengerjaan tentang metode max flow min cut dibutuhkan ketelitian karena pada setiap iterasi dilakukan dalam bentuk jaringan dan harus memperhatikan arah arus yang mengalir pada jaringan tersebut. Namun jika iterasi sudah berhenti dan ditemukan nilai kapasitas dari potongan pada jaringan dapat diperiksa kebenarannya dengan menggunakan teorema max flow-min cut.

  

ABSTRACT

  Network can give a representation or models that can help for giving sense to show relation between components in various problems. This writing will discuss about maximum network flow optimization. Maximum flow problem solving that will discuss further in this writing is using Ford-Fulkerson method and max flow-min cut method.

  To use Ford-Fulkerson method, first change the network into the matrix form. Then do the labeling process and find flow-augmenting path to get the new value of the flow. That process return to the labeling process again. If there is no flow-augmenting path, we stop the process, and get the maximum flow.

  To use max flow-min cut method, first find a path that connected source and sink on the network. Then find slack value for each arc to get the new value of the flow. This process returns to find the flow augmenting steps. If the path that connected source and sink cannot found, divide the set of nodes on the network into two subsets that contain the source and the sink, respectively. Count each arcs capacity that connected nodes from the sets that contain the source to the sets that contain the sink. That capacity will equal to the maximum flow and the process of max flow-min cut end.

  For solving maximum flow problem with Ford-Fulkerson method, the network must changed into matrix. It makes the labeling process easier because it is simpler. Even though max flow-min cut method, need more accuracy and must care about direction of the flow. However, if the iteration end and the capacity of the cut found we get the maximum flow.

KATA PENGANTAR

  Syukur kepada Tuhan YME, atas segala berkat yang diberikan kepada saya hingga saya dapat menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul Optimasi Arus Maksimum pada Jaringan ini. Terimakasih saya sampaikan pula kepada ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si yang telah meluangkan banyak kesempatan untuk membimbing dan mengkoreksi hasil tulisan saya.

  Dalam penulisan ini banyak sekali bantuan, dukungan dan berbagai masukan dari berbagai pihak. Karena itu saya juga mengucapkan terimakasih sebanyak-banyaknya kepada :

  1. Bapak Y. G. Hartono selaku ketua prodi Matematika yang telah membantu pada awal pengerjaan tulisan ini hingga selesai.

  2. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai pembimbing akademik angkatan 2002 yang telah banyak memberikan inspirasi dan semangat selama saya dan teman-teman menjalani pendidikan di Sanata Dharma.

  3. Bapak Drs. B. Susanta dan Dr. Frans Susilo, SJ yang telah memberikan kuliah dengan suasana yang berbeda dan menyenangkan.

  4. Ibu Dra. Maria Agustiani, M.Si dan Ibu M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si yang mengajarkan untuk berpikir secara runut dan logis.

  5. Ibu Prof. Dra. Moeharti Hadiwidjojo, M.A, Bapak Prof. Drs. R. Soemantri dan Bapak Drs. A. Tutoyo yang telah membantu menyampaikan dasar pada ilmu yang saya pelajari.

  6. Ibu Ch. L. Suwarni dan Bapak Z. Tukija yang selalu direpotkan dengan urusan kesekretariatan di FMIPA.

  7. Pimpinan Perpustakaan dan Staff yang sangat membantu memberi kenyamanan dalam mencari bahan untuk penulisan ini.

  8. Keluargaku: Mbah kakung, padhe Sigit dan budhe Yani, Mba`Opi, Mba`Aik, Pa`oyo dan budhe Ulis, Mas Ilham, Te`Is dan Om Anwar, Aga, Edo, Te`Ik dan Om Bas, Ajeng, Iqbal. Terima kasih banyak…

  9. Eyang Bani Putri dan Eyang Bani kakung di Baturetno, Suster Diana dan Bulik Nia. Terimakasih atas semua dukungan semangat dan doanya.

  10. Teman-teman angkatan 2002, teman seperjuanganku. Ijup my best friend, Lenta, Debby, Priska, Lili, Ika, Vida, Archi, Retno, Sari, Padhe Galih, Aan, Tato, Markus, Bani, Taim, Felix, ayo.. perjuangan belum berakhir…!!!!!!! Serta teman-teman yang sudah melanjutkan fase hidup yang baru Cia, Aning, Palma, Rita, Asih, Desy, Dani, Wuri, Deon, Nunung, kalian hebat….!!!!

  11. Keluarga Glodogan Bapak Jaka dan Ibu Lilik, Yoga, Ivan, Mbah Mul putri Mbah Mul Kakung, Wawan, Ruri, Yani dan seluruh warga pedukuhan Glodogan yang sangat membantu waktu pelaksanaan KKN angkatan XXXI.

  12. Bapak Drs. Severinus Domi, M.Si selaku DPL KKN serta saudara-saudara KKN: Mami`Dewi`, Tante`Dianing`, Kakak`Tubruk`, Sari, Elli, Dedek`Gusti`, Pak Leo, Eyang kakung, Babas.

  13. Guru-guruku yang telah membimbing dan mempersiapkanku dalam menghadapi dunia. Jasa ibu dan bapak tidak akan pernah kulupakan.

  14. Teman-teman geng Steceku: Tyas, Vedel, Karin, Elsa.

  15. Dan banyak pihak yang telah banyak membantu yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu. Terima kasih….

  Yogyakarta, 28 Maret 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL…………………………………………………………… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………….... ii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………. iii HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………….…… iv HALAMAN MOTTO………………………………………………………… iv HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……………...………… vi HALAMAN ABSTRAK……………………………………………...……… vii HALAMAN ABSTRACT…………………………………………...……… viii KATA PENGANTAR………………………………………………...………. ix DAFTAR ISI………………………………………………………………….. xi

  BAB I PENDAHULUAN…………………………………...……………...… 1 A. Latar Belakang Masalah……………………………...……………. 1 B. Perumusan Masalah……………………………...………………… 5 C. Pembatasan Masalah………………………………...…………….. 5 D. Tujuan Penulisan……………………………………...………….... 5 E. Metode Penulisan……………………………………...…………... 5 F. Manfaat Penulisan…………………………………...…………..… 6 G. Sistematika Penulisan……………………………...………………. 6 BAB II BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN…………..………... 8 A. Jaringan……………………………...…………………………….. 8 B. Jaringan Planar……………………...…………………………..... 17 C. Masalah jalur terpendek ( Shortest path problem)……………...… 21 BAB III MASALAH ARUS MAKSIMUM……………………………….... 34 A. Metode Ford-Fulkerson………………………………………….. 40 B. Metode max flow-min cut…………………………………......….

  63 C. Mencari potongan minimum menggunakan jarak terpendek........... 81

  D. Aplikasi masalah arus maksimum…………………………...…… 94

  BAB IV PENUTUP………………………………………………………..... 102 A. Kesimpulan …………………………………………………..…. 102 B. Saran ……………………………………………………….…… 104

  

DAFTAR TABEL

Tabel 2.3.1 Label awal pada tabel jalur terpendek ……………….……….... 25Tabel 2.3.2 Bentuk matriks dari jaringan pada Gambar 2.3.1 ………...……. 28Tabel 2.3.3 Tabel setelah iterasi pertama ………………………………..…. 29Tabel 2.2.4 Tabel setelah iterasi kedua ………………………..…………… 30Tabel 2.2.5 Tabel setelah iterasi ketiga …………………………….………. 31Tabel 2.2.6 Tabel setelah iterasi ke empat ………………………….……… 32Tabel 2.2.7 Tabel setelah algoritma Djikstra selesai …………………….….. 32Tabel 3.1.1 Jaringan dalam bentuk matriks ………………………………… 50Tabel 3.1.2 Pelabelan Ford Fulkerson pada Iterasi 1 ………………….…… 51Tabel 3.1.3 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 1 …..…….. 52Tabel 3.1.4 Pelabelan Ford Fulkerson pada Iterasi 2 …………………….… 54Tabel 3.1.5 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 2 …….….. 55Tabel 3.1.6 Pelabelan Ford Fulkerson pada Iterasi 3 …………………….… 57Tabel 3.1.7 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 3 …..……. 58Tabel 3.1.8 Pelabelan Ford Fulkerson pada Iterasi 4 …………………….… 59Tabel 3.1.9 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 4 ………… 60Tabel 3.1.10 Tabel iterasi 5 ……………………………………………….…. 62Tabel 3.2.1 Contoh 3.1.1 dan 3.2.1 menggunakan program komputer ......... 80Tabel 3.2.2 Banyak iterasi dan jalur yang dipilih pada program komputer ….. 81Tabel 3.3.1 Matriks awal sebelum iterasi dengan algoritma Djikstra …....…. 89Tabel 3.3.2 Matris setelah ditemukan nilai jalur terpendek ……………….… 89Tabel 3.3.3 Jaringan primal dalam bentuk matriks ………………………..… 91Tabel 3.3.4 Arus maksimum dengan metode Ford Fulkerson ………………. 91Tabel 3.3.5 Contoh 3.3.1 menggunakan program komputer …………………. 92Tabel 3.3.6 Banyak iterasi dan jalur yang dipilih pada program komputer....... 93Tabel 3.4.1 Bentuk matriks dari Gambar 3.3.2 …………………………...…. 98Tabel 3.4.2 Matriks setelah metode Ford Fulkerson ……………………...… 98Tabel 3.4.3 Contoh 3.4.1 menggunakan program komputer …………….…. 100Tabel 3.4.4 Banyak iterasi dan jalur yang dipilih pada program komputer ….. 101

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Graf dengan empat simpul dan tiga busur ……………….……. 1Gambar 1.2 Penerbangan kota A ke kota B dimodelkan dengan jaringan….. 4Gambar 2.1.1 Jaringan planar dengan lima buah simpul dan 9 buah busur .... 18Gambar 2.3.1 Jaringan dengan 9 simpul dan 15 busur ………...………….... 28Gambar 2.3.2 Pohon perentang pada jaringan …………………………….... 33Gambar 2.3.3 Jalur terpendek pada jaringan ………………………………... 33Gambar 3.1 Skema pengolahan bahan mentah menjadi bentuk energi …... 35Gambar 3.1.1 Jaringan berarah G ……………………………………...……. 49Gambar 3.2.1 Jaringan dengan 8 simpul dan 12 busur ………………………. 73Gambar 3.2.2 Jaringan setelah iterasi pertama …………………………….…. 74Gambar 3.2.3 Jaringan setelah iterasi kedua …………………………….…. 75Gambar 3.2.4 Jaringan setelah iterasi ketiga ………………………………… 76Gambar 3.2.5 Jaringan setelah iterasi keempat ………………………………. 77Gambar 3.2.6 Jaringan setelah iterasi kelima ………………………………. 78Gambar 3.3.1 Dual dari suatu jaringan planar ………………………..……. 82Gambar 3.3.2 Jaringan planar dengan 8 simpul dan 15 busur ……………… 87Gambar 3.3.3 Dual dari jaringan planar ………………………………….…. 88Gambar 3.3.4 Jalur terpendek pada jaringan dual ………………………..…. 90Gambar 3.4.1 Skema jalan yang dapat dilalui dari gudang ke toko ………….. 96Gambar 3.4.2 Jaringan dengan simpul awal s dan simpul akhir t ………….. 97Gambar 3.4.3 Jaringan setelah metode Ford Fulkerson ……………...…….. 99

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam bidang matematika terdapat sebuah subyek yang mengalami

  perkembangan yang luar biasa, yaitu masalah jaringan. Masalah tentang jaringan tersebut dilatarbelakangi oleh teori graf yang pertama kali muncul pada tahun 1736 berkaitan dengan masalah jembatan konigsberg. Orang yang memunculkan masalah tersebut adalah orang berkebangsaan Swiss bernama Leonhart Euler.

  Suatu graf adalah kumpulan obyek yang terdiri dari himpunan simpul- simpul yang dihubungkan oleh himpunan busur. Berikut merupakan contoh suatu graf dengan empat simpul dan tiga busur.

Gambar 1.1 Graf dengan empat simpul dan tiga busur Jika dua simpul dihubungkan dengan sebuah busur, maka simpul tersebut dikatakan berdampingan ( adjacent). Dari Gambar 1.1 dapat dilihat bahwa simpul dua, tiga dan empat terhubung dengan simpul satu.

  Graf dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya simpul melambangkan lokasi dari kota-kota dan busur melambangkan jalan-jalan yang menghubungkan kota-kota tersebut, atau simpul melambangkan komponen listrik dan busur melambangkan kawat yang menghubungkan komponen-komponen yang berbeda. Juga jika simpul melambangkan atom-atom maka busur melambangkan ikatan kimia. Contoh-contoh tersebut adalah beberapa situasi yang dapat dimodelkan dengan graf. Jika sebuah busur menghubungkan simpul i ke simpul j, maka busur tersebut juga menghubungkan simpul j ke simpul i dan dinotasikan dengan busur ( i,j) atau busur (j,i).

  Jaringan adalah graf yang busur-busurnya mempunyai nilai dan arah. Nilai pada busur tersebut biasanya berkaitan dengan biaya, kapasitas, penawaran atau permintaan. Masalah jaringan muncul dalam berbagai masalah terutama masalah transportasi, masalah listrik dan masalah komunikasi. Busur dalam jaringan yang mempunyai arah dan nilai biasa disebut arus. Masalah arus pada jaringan dikemukakan dan dianalisis secara sistematis oleh Gustav Kirchoff dan beberapa orang yang menekuni bidang teknik dan kelistrikan. Pekerjaan dari beberapa orang inilah yang memberi landasan untuk lebih mendalami teori tentang arus pada jaringan dan pembentukan jaringan yaitu dalam bentuk graf sebagai obyek matematika yang dapat digunakan untuk menggambarkan banyak sistem fisik. Arus pada jaringan menyangkut banyak bidang, misalnya bidang matematika terapan, ilmu komputer, bidang teknik, manajemen dan bidang riset operasi.

  Dalam kenyataan, sebuah jaringan menghasilkan sebuah gambaran yang kuat dan membantu memberi pengertian dalam menunjukkan hubungan antar komponen dari suatu sistem yang banyak digunakan dalam bidang ilmu pengetahuan. Salah satu perkembangan tentang masalah jaringan yang menggembirakan beberapa tahun terakhir adalah perkembangan dalam bidang metodologi dan aplikasi untuk masalah optimasi arus pada jaringan.

  Masalah optimasi pada jaringan mulai dibicarakan pada akhir tahun 1940 hingga awal tahun 1950 ketika para peneliti dan para ahli secara terus-menerus mengembangkan masalah optimasi sebagai bidang yang berdiri sendiri. Pada saat dimulainya perkembangan komputer maka didapat sebuah alat yang digunakan untuk menampilkan perhitungan masalah optimasi tersebut secara lebih ilmiah.

  Masalah yang akan dibahas di sini adalah masalah optimasi arus pada jaringan. Jadi, selain akan dipelajari masalah arus pada jaringan juga akan ditunjukkan bagaimana optimasi arus pada jaringan tersebut. Sebagai contoh sebuah kejuaraan dunia baseball diadakan di kota

  B. Sebuah tim baseball dari kota

A ikut berlomba dalam kejuaraan ini. Banyak penggemar dari kota A akan

  menggunakan layanan penerbangan menuju ke kota

  B. Jika jumlah kursi

  maksimum yang tersedia dalam masing-masing penerbangan diketahui, akan dicari jumlah penumpang maksimum yang akan diterbangkan dari kota A ke kota

  

B dan rute penerbangan mana saja yang ditempuh. Rute penerbangan ini dapat

dimodelkan dengan jaringan, seperti gambar berikut.

Gambar 1.2 Rute penerbangan dari kota

  A ke kota B dimodelkan dengan jaringan

  Dalam jaringan G ini, kota A sebagai kota awal penerbangan disebut simpul awal dan kota B sebagai kota tujuan disebut simpul akhir. Simpul x, y dan z melambangkan bandara penghubung. Nilai-nilai pada setiap busur menyatakan kapasitas penumpang yang dapat diterbangkan dari satu tempat ke tempat lain.

  Secara umum optimasi arus pada jaringan dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan diketahui jaringan dengan kapasitas tak negatif pada busur-busur. Untuk mendefinisikan masalah optimasi arus diperkenalkan dua buah simpul istimewa dalam jaringan tersebut, yaitu simpul awal s dan simpul akhir t. Akan dicari arus maksimum dari simpul awal s ke simpul akhir t yang sesuai dengan kapasitas dari busur dan memenuhi syarat tertentu.

  Untuk mencari penyelesaian dalam masalah arus maksimum, ada beberapa metode yang dapat digunakan antara lain metode Ford-Fulkerson, metode max

  

flow-min cut atau menggunakan program komputer. Pada jaringan yang khusus

  masalah arus maksimum dapat diselesaikan menggunakan Algoritma jalur terpendek yaitu algoritma Djikstra.

B. Perumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

  1. Bagaimana cara mencari optimasi arus pada jaringan dengan metode Ford-

  Fulkerson?

  2. Bagaimana cara mencari optimasi arus pada jaringan dengan metode max

  flow-min cut?

  C. Pembatasan Masalah

  Masalah optimasi arus pada jaringan dalam skripsi ini hanya dibahas menggunakan dua metode saja, yaitu metode Ford-Fulkerson dan metode

  max flow-min cut.

  D. Tujuan Penulisan

  Skripsi ini bertujuan untuk menambah pengetahuan dan memahami hal-hal yang berkaitan dengan optimasi arus pada jaringan.

E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal dan makalah-makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis lebih mengetahui tentang masalah jaringan terutama masalah optimasi arus maksimum pada jaringan.

  G. Sistematika Penulisan

  Bab I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang penulisan tentang masalah optimasi arus. Tentang bagaimana masalah optimasi arus, yaitu masalah arus maksimum dirumuskan dan juga pembatasan masalah dalam penulisan ini. Selain itu, terdapat tujuan penulisan, metode penulisan dan manfaat penulisan bagi penulis.

  Selanjutnya diberikan pula sistematika penulisan dalam masalah optimasi arus ini.

  Bab II BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN Bab ini berisi tentang masalah jaringan, definisi-definisi dan teorema yang berkaitan tentang masalah jaringan. Kemudian disinggung beberapa model jaringan yaitu jaringan planar dan jaringan dengan masalah jalur terpendek ( shortest path problem).

  Bab III MASALAH ARUS MAKSIMUM Bab ini berisi pembahasan tentang jaringan dengan arus maksimum. Bagaimana mencari arus maksimum menggunakan metode Ford-Fulkerson dan metode max flow-min cut. Selain itu dibahas pula bagaimana mencari arus maksimum pada jaringan yang khusus yaitu jaringan planar menggunakan algoritma untuk mencari jalur terpendek.

  Bab IV PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dari penulisan tentang masalah optimasi arus ini dan juga saran dari penulis bagi pembaca tulisan ini.

BAB II BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN A. Jaringan Dalam kehidupan sehari-hari, masalah tentang jaringan selalu muncul. Misalnya jaringan listrik yang memberi penerangan pada bangunan-bangunan dan

  jalan-jalan, jaringan telepon yang sangat membantu orang-orang untuk saling berkomunikasi tanpa susah payah, jaringan kereta api, sistem jalan raya dan jaringan yang melayani masalah penerbangan. Jaringan tersebut membantu pekerjaan sehari-hari dalam menempuh perjalanan dari satu tempat ke tempat lain dan memungkinkan seseorang untuk mengunjungi tempat-tempat baru dan menikmati pengalaman baru.

  Definisi 2.1.1

Graf merupakan kumpulan obyek-obyek yang disebut simpul, bersama dengan

  himpunan busur. Jika dua buah simpul dihubungkan dengan sebuah busur maka simpul-simpul tersebut dikatakan berdampingan ( adjacent).

  Definisi 2.1.2

Digraf merupakan graf di mana setiap busur dari graf tersebut mempunyai arah.

  Pada sebuah digraf jika terdapat busur dari simpul i menuju simpul j, maka busur itu disebut busur maju (forward arc) untuk simpul i dan busur mundur (backward arc) untuk simpul j.

  Definisi 2.1.3

Perjalanan ( walk) pada suatu graf merupakan barisan yang terdiri dari himpunan

  simpul dan himpunan busur. Suatu sikel (cycle) merupakan perjalanan dari suatu simpul dan kembali ke simpul tersebut tanpa ada pengulangan busur dan simpul yang dilalui.

  Definisi 2.1.4

Jalur ( path) pada suatu graf merupakan perjalanan tanpa ada pengulangan pada

simpul-simpul pada jaringan.

  Dipath (directed path) merupakan jalur yang mempunyai arah tertentu.

  Definisi 2.1.5 Suatu pohon (tree) merupakan garaf terhubung yang tidak memuat sikel.

  Suatu pohon perentang (spanning tree) merupakan pohon dari suatu graf G yang memuat semua simpul.

  Definisi 2.1.6

Simpul awal ( source) pada sebuah digraf merupakan sebuah simpul di mana

semua busur yang terhubung dengan simpul tersebut merupakan busur maju .

  Definisi 2.1.7

Simpul akhir ( sink) pada sebuah digraf merupakan sebuah simpul di mana semua

busur yang terhubung dengan simpul tersebut merupakan busur mundur.

  Definisi 2.1.8

  Sebuah graf atau digraf dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua simpul pada graf tersebut terdapat sebuah jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.

  Definisi 2.1.9

Jaringan ( network) merupakan digraf terhubung yang memiliki sebuah simpul

awal dan sebuah simpul akhir.

  Definisi 2.1.10

Kapasitas ( capacity) sebuah busur merupakan arus maksimum dari suatu barang

  yang dapat melewati busur tersebut . Kapasitas arus dinotasikan dengan C ij yang merupakan bilangan bulat tak negatif. Nilai C = 0 jika simpul i dan j bukan

  ij merupakan dua buah simpul yang adjacent.

  Definisi 2.1.11

Jaringan berarah merupakan graf berarah dimana busur-busurnya berkaitan

  dengan suatu nilai tertentu. Biasanya nilai tersebut berkaitan dengan biaya, kapasitas, permintaan, atau persediaan barang.

  Definisi 2.1.12

  Pada suatu jaringan berarah G:(N,A), suatu himpunan bagian dari jaringan G ini disebut rantai (chain) jika setiap unsur dalam himpunan bagian ini berhubungan.

  Definisi 2.1.13

  Digraf D:(N`,A`) disebut underlying digraf dari jaringan G:(N,A) jika digraf D tersebut mempunyai simpul awal s dan simpul akhir t serta kapasitas busur C yang berupa bilangan bulat tak negatif. Dengan N `  N dan A `  A

  Definisi 2.1.14

  Pada suatu jaringan G:(N,A), dengan simpul awal s, simpul akhir t dan kapasitas dari busur ( i,j) adalah C ij , arus (flow) pada jaringan berarah merupakan fungsi yang mengawankan busur ( i,j) ke sebuah nilai f Nilai f inilah yang disebut besar

  ij. ij ij

  arus pada jaringan. Nilai f tersebut harus memenuhi dua hal : 1. 0 untuk semua i,j  N dan (2.1)

  ≤ f ij ≤ C ij

  ij ji

  2. f  f untuk setiap i  N { s,t } (2.2)

• j  N j  N

   

  Persamaan (2.1) menyatakan bahwa arus pada busur tidak pernah melampaui kapasitas busur dan persamaan tersebut disebut kendala kapasitas untuk masalah arus maksimum. Kondisi (2.2) menyatakan jika i bukan merupakan simpul awal s maupun simpul akhir t dari jaringan G:(N,A), maka selisih arus yang keluar dari i dan arus yang masuk ke i sama dengan nol. Kondisi ini didasarkan atas konservasi arus. Konservasi arus tersebut menyatakan bahwa tidak ada arus yang hilang pada setiap simpul pada jaringan.

  Definisi 2.1.15

  Jumlah total arus yang keluar dari simpul i dapat ditulis

  ij f untuk setiap i  N – {s,t}

   j N

  Jumlah total arus yang masuk ke simpul i dapat ditulis

  ij f untuk setiap i  N – {s,t}

   j N

  Untuk busur ( i,j) pada jaringan G:(N,A), nilai f ij disebut arus yang masuk ke busur ( i,j) atau arus sepanjang busur (i,j) dan dapat dikatakan sebagai nilai dari bahan yang dapat dipindahkan oleh arus f sepanjang busur (i,j).

  Perhatikan persamaan berikut

  ij ji f  f _{, ,}

 

i j  N i j  N

ij ji

  atau f  f  _{, ,}  

  i j  N i j  N

  Penjumlahan dilakukan pertama-tama terhadap j, kemudian terhadap i sehingga didapat  

  ij ji f  f 

    

   

  i  N j  N j  N

    Persamaan konservasi arus menyatakan hasil penjumlahan di dalam tanda kurung sama dengan nol kecuali pada simpul awal s atau simpul akhir t, maka

   

  ij ji f  f 

     _,   i    s t j  N j  N

   

  ij ji f  f 

      _{, ,} i    s t j  N i    s t j  N

   

  

sj tj js jt

f  f  f  f 

     

   

  j  N j  N j  N j  N

   

  

sj js tj jt

f  f  f  f 

      j j j j sj js jt tj

  Sehingga diperoleh f  f  f  f

  

   

j j j j

  Definisi 2.1.16

  Misalkan terdapat jaringan berarah dengan simpul awal s, simpul akhir t dan himpunan simpul-simpul pada jaringan G:(N,A). Nilai dari arus F merupakan bilangan bulat dan didefinisikan sebagai

  sj js

  val(

  F) = f  f   j  N j  N

  Atau menurut konservasi arus, ekivalen dengan

  jt tj

  val(

  

F) = f  f

  j  N j  N

  Nilai arus merupakan selisih arus yang meninggalkan simpul awal dan arus yang memasuki simpul awal atau ekivalen dengan selisih arus yang memasuki simpul akhir dan arus yang meninggalkan simpul akhir.

  Teorema 2.1.17

  Pada jaringan berarah G:(N,A) dengan simpul awal s dan simpul akhir t dimana tidak ada arus yang masuk ke simpul awal s dan tidak ada arus yang keluar dari simpul akhir t maka berlaku bahwa

  sj jt

  val(

  F) = f  f   j  N j  N

  Bukti

  Secara umum pada suatu jaringan G:(N,A) tidak ada arus yang masuk ke simpul awal s dan tidak ada arus yang keluar dari simpul akhir t, yaitu f = 0 = f untuk

  js tj

  semua himpunan simpul-simpul N. Maka nilai dari arus val(F) adalah

  sj js

  val(

  F) = f  f   j  N j  N sj

  = f 

   j N sj

  = f

   j N

  atau ekivalen dengan

  jt tj

  val(

  F) = f  f   j  N j  N jt

  = f 

  



j N

jt

  = f

  



j N Dengan demikian nilai dari arus dapat ditulis sebagai berikut :

  sj jt

  val(

  

F) = f  f

  j  N j  N

  Konstruksi arus pada jaringan Pertama-tama tempatkan sebuah jalur ( path), namakan P, yang menghubungkan simpul awal s ke simpul akhir t. Arah jalur tersebut ditunjukkan dengan tanda panah pada busur. Didefinisikan arus pada jalur tersebut sebagai berikut:

  1, jika ( i , j )  P 

  ij f 

   0, jika ( i , j )  P

   Arus yang didefinisikan tersebut disebut sebagai unit flow karena nilai dari arus pada busur adalah 1. Arus tersebut juga memenuhi konservasi arus.

   Jika j merupakan simpul yang tidak terdapat pada P, maka semua busur yang memasuki dan keluar dari j mempunyai nilai arus sama dengan 0.

   Jika j merupakan arus yang terdapat pada P, maka tepat satu busur memasuki simpul j yang mempunyai nilai arus tidak nol dan tepat satu busur meninggalkan simpul j.

   Setiap busur pada jalur P tersebut masing-masing mempunyai nilai 1.

  Setelah ditemukan arus tersebut, konstruksi arus pada jaringan diteruskan dengan melakukan penambahan-penambahan arus pada jalur P. Penambahan arus tersebut sejumlah 1 hingga diperoleh nilai arus maksimum yang memenuhi kendala kapasitas arus pada busur yang terdapat pada jalur P dipenuhi.

  Jika didapatkan kapasitas terkecil pada jalur P, maka dikatakan jalur P tersebut mempunyai busur jenuh ( saturated arc), yaitu ada minimal satu busur yang memuat nilai arus sama dengan kapasitas busur tersebut.

  Jaringan dapat digunakan untuk memodelkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya jaringan dapat digunakan untuk memodelkan masalah sistem pendistribusian minyak. Model jaringan tersebut memuat sejumlah berhingga simpul-simpul dan busur-busur. Busur-busur yang menghubungkan antar simpul merepresentasikan pipa-pipa yang mengalirkan minyak dari simpul awal menuju ke simpul akhir. Simpul awal merepresentasikan daerah sumber minyak, simpul akhir merepresentasikan daerah tujuan atau tempat akhir pengiriman minyak. Sedangkan simpul-simpul lain selain simpul awal dan simpul akhir merepresentasikan daerah-daerah yang dilewati oleh pipa-pipa yang mengalirkan minyak tersebut.

  Berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan model jaringan antara lain: masalah jalur trayek angkutan perkotaan dapat dimodelkan menggunakan jaringan planar karena jalur tersebut diusahakan tidak sama agar tidak terjadi perebutan penumpang. Masalah jalur pengantaran surat dari kantor pos ke rumah-rumah dapat dimodelkan menjadi masalah jalur terpendek.

B. Jaringan planar. Definisi 2.2.1

  Sebuah jaringan G:(N,A) disebut jaringan planar jika jaringan tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian rupa sehingga tidak ada dua atau lebih busur yang saling memotong satu sama lain. Dengan kata lain busur- busur tersebut bertemu satu sama lain pada satu simpul , yaitu pada simpul-simpul pada jaringan.

  Pada bagian ini akan dipelajari beberapa bagian dari jaringan planar dan mendeskripsikan algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum pada jaringan planar. Jaringan yang akan dibahas pada bagian ini dibatasi pada jaringan tak berarah.

  Pada jaringan tak berarah busur ( i,j) merupakan busur yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dan sebaliknya. Kapasitas C ij dari busur ( i,j) menunjuk pada jumlah arus maksimum yang dapat dikirimkan dari simpul i ke simpul j atau dari simpul j ke simpul i.

  Definisi 2.2.2

  Misalkan G:(N,A) merupakan jaringan planar. Daerah (region), z dari jaringan G tersebut merupakan daerah dari bidang datar yang dibatasi oleh busur-busur yang memenuhi syarat bahwa untuk sebarang dua titik pada daerah tersebut dapat dihubungkan oleh suatu kurva tanpa memotong suatu simpul atau busur.

  Definisi 2.2.3

Batas ( boundary) dari daerah z merupakan himpunan dari semua busur-busur

yang mengurung daerah z. Batas dari suatu daerah z membentuk suatu sikel.

  Definisi 2.2.4

  Suatu daerah disebut daerah terbatas (bounded region) jika daerah tersebut terbatas dan disebut daerah tak terbatas (unbounded region) jika daerah tersebut tak terbatas. Jaringan planar mempunyai tepat satu daerah tak terbatas.

  Definisi 2.2.5

  Misalkan setiap busur pada jaringan merupakan batas dari paling sedikit dua buah

  1

  2

  daerah. Daerah z dan z disebut berdampingan (adjacent) jika batas-batas dari daerah tersebut memuat busur-busur yang sama.

Gambar 2.1.1 Jaringan planar dengan lima buah simpul dan 9 buah busur

  Jaringan di atas menunjukkan suatu jaringan planar yang mempunyai empat daerah. Daerah z

  1 , z 2 , z 3 berada pada daerah terbatas ( bounded region) dan

  daerah z

  

4 berada pada daerah tak terbatas ( unbounded region). Daerah z

1 dibatasi

  2

  4

  oleh empat buah busur dan letaknya berdekatan dengan daerah z dan z . Daerah

  2

z dibatasi oleh lima buah busur dan letaknya berdekatan dengan daerah

z

  1 , z 3 dan z 4 .

  Teorema 2.2.6 (Rumus Euler)

  Jika suatu jaringan planar G:(N,A) terhubung mempunyai n buah simpul, m buah busur dan f buah daerah maka berlaku f = m – n + 2.

  Bukti

  Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan induksi matematis terhadap banyaknya daerah.

  (i). Untuk jaringan dengan satu daerah, yaitu f = 1 maka 1 = m – n +2 atau m = n – 1 (2.3) Persamaan (2.3) bernilai benar karena suatu jaringan dengan satu daerah, yaitu daerah tak terbatas membentuk suatu pohon perentang.

  (ii). Diasumsikan bahwa Rumus Euler bernilai benar untuk setiap jaringan dengan banyaknya daerah k, yaitu f = k, maka berlaku

  k = m – n +2

  (iii). Akan dibuktikan Rumus Euler bernilai benar untuk setiap jaringan dengan banyak daerah k + 1.

  Misalkan ada suatu jaringan G:(N,A) dengan banyaknya daerah k + 1 dan banyaknya simpul n. Dipilih sebarang busur (i,j) yang merupakan batas dari dua daerah, yaitu z dan z .

  1

  2

  1

  2 Jika busur ( i,j) tersebut dihapus dari jaringan G maka daerah z dan z akan

  bergabung membentuk sebuah daerah. Banyaknya daerah dan busur masing- masing berkurang satu sedangkan jumlah simpul tetap. Didapatkan jaringan G` dengan k buah daerah dan n simpul. Dari asumsi diketahui bahwa Rumus Euler berlaku pada jaringan G` tersebut, yaitu

  k = m – n +2

  Selanjutnya jika busur ( i,j) dimasukkan kembali pada jaringan G` didapatkan ( k + 1) = (m + 1) – n +2

  Rumus Euler tetap bernilai benar karena penambahan banyaknya busur dan daerah tidak mengubah nilai dari persamaan diatas .

  Rumus Euler terbukti ■

  Teorema 2.2.7 Pada jaringan planar, dengan m buah busur, n buah simpul dan f buah daerah.

  Berlaku m < 3n.