TUGAS MEMBUAT MAKALAH ALJABAR LINIER DET (2)
TUGAS MEMBUAT MAKALAH
“ALJABAR LINIER”
DETERMINAN MATRIKS
DISUSUN OLEH :
SINTA NOVIANTI
NASITA SYAFRIANA
SEMESTER II
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN
INFORMATIKA DAN KOMPUTER
PELITA NUSANTARA LUBUK PAKAM
APRIL 2018
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta
karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang
alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “DETERMINAN MATRIKS”
Makalah ini berisikan tentang informasi DETERMINAN MATRIKS atau yang lebih
khususnya membahas penerapan DETERMINAN MATRIKS, perspektif Diharapkan
Makalah
ini
dapat
memberikan
informasi
kepada
kita
semua
tentang
quantum DETERMINAN
MATRIKS
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan
saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan
makalah
ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta
dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa
meridhai segala usaha kita. Amin.
Pakam,18 april 2018
Penyusun
1
Daftar isi
Halaman
Kata pengantar...........................................................................................................i
Daftar isi.....................................................................................................................ii
Bab. I Pendahuluan.....................................................................................1
1.1 Latar belakang....................................................................................1
1.2 Tujuan..................................................................................................1
Bab.II Isi.............................................................................................................2
2.1 Definisi Determinan............................................................................2
2.2 Sifat-Sifat Determinan.........................................................................2
2.3 Determinan Minor dan Kofaktor........................................................10
Bab.III PENUTUP.....................................................................................11
3.1 Daftar Pustaka......................................................................................11
2
BAB I
Pendahuluan
1.1Latar belakang
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, kare
n a alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal
Matematikadapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak
mau kita pastimenggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat
makalah ini denganmaksud membantu pemahaman agar mereka tidak menilai
Matematika adalah sesuatu yang buruk. Secara khusus dalam ilmu pengetahuan
Determinan matriks.
1 . 2 Tu j u a n
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas , yang diberikan oleh dosen
saya.
dan
tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkan berman$aat dandapat
menambah wawasan para pembaca makalah ini.
1
BAB II
2.1 Defenisi Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan
suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad – bc
Determinan Matriks
Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks
persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi. Determinan matriks A bisa ditulis
det(A) atau |A|.
2.2 Sifat-Sifat Determinan Matriks
Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks
1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks
itu nol.
Misal :
2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom
lain maka determinan matriks itu nol.
Misal B = (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).
3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen
baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal A = (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris
ke-1).
4. |AB| = |A| ×|B|
5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. |A–1| = untuk A–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada
subbab berikutnya).
2
7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan
di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.
Determinan matriks 2×2
Misalkan matriks A=(acbd)
det(A) = |A| = a×d−b×c
Determinan matriks 3×3
cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks 3×3
dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan
matriksnya
Misalkan matriks A=⎛⎝⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟
determinan matriks A adalah :
Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks 3×3
saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor .
Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks
persegi.
Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A=(2415) dan B=⎛⎝⎜2−1213−3304⎞⎠⎟
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
|A|=2.5−1.4=10−4=6
*). determinan matriks B ,
3
Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor
Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan
determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus
menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu.
Pengertian Minor suatu matriks
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij
adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya
pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j
.
Misalkan matriks A=⎛⎝⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟
Adapun Minor matriks A pada baris satu :
M11,M12, dan M13 merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A.
Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-i
dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij| . Bentuk |Mij|
menyatakan determinan dari minor Mij
. Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil
satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.
Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1
4
|A|=a11.k11+a12.k12+a13.k13
|A|=a11.(−1)(1+1).|M11|+a12.(−1)(1+2).|M12|+a13.(−1)(1+3).|M13|
|A|=a11.(−1)(1+1).∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)(1+2).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.
(−1)(1+3).∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.(−1)2.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)3.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.
(−1)4.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.1.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.
(−1).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.1.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣−a12.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang
ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga
menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.
Contoh : Tentukan determinan matriks B=⎛⎝⎜2−1213−3304⎞⎠⎟
Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1
*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1
k11=(−1)(1+1).|M11|=(−1)2.12=12
k12=(−1)(1+2).|M12|=(−1)3.(−4)=(−1).(−4)=4
k13=(−1)(1+3).|M13|=(−1)4.(−3)=−3
*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
|B|=b11.k11+b12.k12+b13.k13=2.12+1.4+3.(−3)=24+4+(−9)=19
Jadi determinan matriks B adalah 19.
Invers Matriks
Invers suatu matriks dilambangkan A−1 , A−1 melambangkan invers dari matriks A. Secara
umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.
Invers matriks 2×2
Misalkan matriks A=(acbd)
5
det(A) = |A| = a×d−b×c
invers matriks A adalah A−1=1|A|(d−c−ba)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A=(3221) ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : |A|=3.1−2.2=3−4=−1
*). Invers matriks A :
A−1=1|A|(d−c−ba)=1−1(1−2−23)=−1(1−2−23)=(−122−3)
Jadi, invers matriks A adalah A−1=(−122−3)
Invers matriks 3×3
dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah
A−1=1|A|.adj(A)
adj(A) artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks
kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : K=⎛⎝⎜k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎞⎠⎟
dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij|
maka adjoin matriks A adalah adj(A)=Kt
.
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.
Catatan :
Rumus invers matriks A adalah A−1=1|A|.adj(A) , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika |A|=0 (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika |A|≠0 (determinan ≠ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A=⎛⎝⎜01431−220−1⎞⎠⎟ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A
*). Menentukan Minor matriks A
6
*). Menentukan matriks kofaktornya : kij=(−1)(i+j)×|Mij|
k11=(−1)(1+1).|M11|=(−1)2.(−1)=−1
k12=(−1)(1+2).|M12|=(−1)3.(−1)=1
k13=(−1)(1+3).|M13|=(−1)4.(−6)=−6
k21=(−1)(2+1).|M21|=(−1)3.(1)=−1
k22=(−1)(2+2).|M22|=(−1)4.(−8)=−8
k23=(−1)(2+3).|M23|=(−1)5.(−12)=12
k31=(−1)(3+1).|M31|=(−1)4.(−2)=−2
k32=(−1)(3+2).|M32|=(−1)5.(−2)=2
k33=(−1)(3+3).|M33|=(−1)6.(−3)=−3
Sehingga matriks kofaktornya :
K=⎛⎝⎜k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−1−1−21−82−612−3⎞⎠⎟
7
*). Menentukan adjoin matriks A
adj(A)=Kt=⎛⎝⎜−11−6−1−812−22−3⎞⎠⎟
*). invers matriks A
A−1=1|A|.adj(A)=1−9⎛⎝⎜−11−6−1−812−22−3⎞⎠⎟
A−1=⎛⎝⎜⎜⎜19−19691989−12929−2939⎞⎠⎟⎟⎟Bahkan dengan Sifat-sifat determinan dan
invers matriks akan mampu membantu kita mempercepat dalam menyelesaikan suatu soalsoal yang berkaitan dengan determinan dan invers. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan
tinggi, banyak sekali soal-soal matriks harus kita selesaikan dengan sifat-sifatnya. Jadi,
penting bagi teman-teman untuk menguasai sifat-sifat determinan dan invers matriks.
Sifat-sifat determinan matriks
Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifatsifat determinan :
1). |At|=|A|
2). |A.B|=|A|.|B|
3). |An|=|A|n
4). |A−1|=1|A|
5). |k×Am×m|=km×|A|
Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan |
A.B.C|=|A|.|B|.|C|
dan seterusnya.
Contoh :
1). Diketahui matriks A=(4523) dan B=(−2−3−11)
Tentukan nilai dari
a). |A| dan |B|
b). |At|
c). |A.B|
d). |A5|
e). |A−1|
f).|3A| Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan
a). |A|=4.3−2.5=12−10=2 dan |B|=(−2).1−(−1).(−3)=−2−3=−5
b). untuk menentukan nilai |At| kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan
transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
sehingga |At|=|A|=2
c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian AB lalu
mencari determinannya.
sehingga |A.B|=|A|.|B|=2.(−5)=−10
d). Kita tidak perlu mencari nilai A5 , langsung menggunakan sifat nomor 3.
sehingga |A5|=|A|5=25=32
8
e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai A−1 (inversnya).
sehingga |A−1|=1|A|=12
f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
sehingga |3A2×2|=32.|A|=9.2=18
2). Suatu matriks A berordo 3×3 memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A?
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat nomor 5,
|2A|=|2A3×3|=23.|A|=8.5=40
Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.
3). Dari persamaan matriks berikut
(4523)(1223)A(2126)=(40210)(0133)
tentukan nilai determinan matriks A ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena
akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2
dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.
(4523)(1223)A(2126)∣∣∣(4523)(1223)A(2126)∣∣∣∣∣∣4523∣∣∣.∣∣∣1223∣∣∣.|
A|.∣∣∣2126∣∣∣(4.3−2.5).(1.3−2.2).|A|.(2.6−2.1)(12−10).(3−4).|A|.(12−2)2.
(−1).|A|.(10)(−20).|A||A|=(40210)(0133)=∣∣∣(40210)
(0133)∣∣∣=∣∣∣40210∣∣∣.∣∣∣0133∣∣∣=(4.10−0.2).(0.3−3.1)=(40−0).(0−3)=(40).
(−3)=−120=−120−20=6
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 6.
9
2.3 Determinan dengan Minor dan kofaktor
A=
Pertama buat minor dari a11
tentukan determinan A
M11 =
= detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij
adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 =
= detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
10
BAB III
3.1 Daftar Pustaka
1. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1
2. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2
3. wikipedia.com
4. www.google.co.id
5. Anton , H .( 1991)Elementary Linear Algebra.John Wiley and Sons
6. Leon , S.J.( 2001 ) .
7. Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5. Penerbit Erlangga
8. Mursita D. ( 2000 ).Diktat Kuliah Aljabar Linear Elementer.STT Telkom
9. Zulaikha Linear
10. huduk yuli
11
“ALJABAR LINIER”
DETERMINAN MATRIKS
DISUSUN OLEH :
SINTA NOVIANTI
NASITA SYAFRIANA
SEMESTER II
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN
INFORMATIKA DAN KOMPUTER
PELITA NUSANTARA LUBUK PAKAM
APRIL 2018
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta
karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang
alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “DETERMINAN MATRIKS”
Makalah ini berisikan tentang informasi DETERMINAN MATRIKS atau yang lebih
khususnya membahas penerapan DETERMINAN MATRIKS, perspektif Diharapkan
Makalah
ini
dapat
memberikan
informasi
kepada
kita
semua
tentang
quantum DETERMINAN
MATRIKS
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan
saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan
makalah
ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta
dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa
meridhai segala usaha kita. Amin.
Pakam,18 april 2018
Penyusun
1
Daftar isi
Halaman
Kata pengantar...........................................................................................................i
Daftar isi.....................................................................................................................ii
Bab. I Pendahuluan.....................................................................................1
1.1 Latar belakang....................................................................................1
1.2 Tujuan..................................................................................................1
Bab.II Isi.............................................................................................................2
2.1 Definisi Determinan............................................................................2
2.2 Sifat-Sifat Determinan.........................................................................2
2.3 Determinan Minor dan Kofaktor........................................................10
Bab.III PENUTUP.....................................................................................11
3.1 Daftar Pustaka......................................................................................11
2
BAB I
Pendahuluan
1.1Latar belakang
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, kare
n a alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal
Matematikadapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak
mau kita pastimenggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat
makalah ini denganmaksud membantu pemahaman agar mereka tidak menilai
Matematika adalah sesuatu yang buruk. Secara khusus dalam ilmu pengetahuan
Determinan matriks.
1 . 2 Tu j u a n
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas , yang diberikan oleh dosen
saya.
dan
tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkan berman$aat dandapat
menambah wawasan para pembaca makalah ini.
1
BAB II
2.1 Defenisi Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan
suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad – bc
Determinan Matriks
Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks
persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi. Determinan matriks A bisa ditulis
det(A) atau |A|.
2.2 Sifat-Sifat Determinan Matriks
Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks
1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks
itu nol.
Misal :
2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom
lain maka determinan matriks itu nol.
Misal B = (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).
3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen
baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal A = (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris
ke-1).
4. |AB| = |A| ×|B|
5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. |A–1| = untuk A–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada
subbab berikutnya).
2
7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan
di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.
Determinan matriks 2×2
Misalkan matriks A=(acbd)
det(A) = |A| = a×d−b×c
Determinan matriks 3×3
cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks 3×3
dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan
matriksnya
Misalkan matriks A=⎛⎝⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟
determinan matriks A adalah :
Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks 3×3
saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor .
Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks
persegi.
Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A=(2415) dan B=⎛⎝⎜2−1213−3304⎞⎠⎟
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
|A|=2.5−1.4=10−4=6
*). determinan matriks B ,
3
Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor
Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan
determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus
menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu.
Pengertian Minor suatu matriks
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij
adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya
pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j
.
Misalkan matriks A=⎛⎝⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟
Adapun Minor matriks A pada baris satu :
M11,M12, dan M13 merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A.
Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-i
dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij| . Bentuk |Mij|
menyatakan determinan dari minor Mij
. Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil
satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.
Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1
4
|A|=a11.k11+a12.k12+a13.k13
|A|=a11.(−1)(1+1).|M11|+a12.(−1)(1+2).|M12|+a13.(−1)(1+3).|M13|
|A|=a11.(−1)(1+1).∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)(1+2).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.
(−1)(1+3).∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.(−1)2.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)3.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.
(−1)4.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.1.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.
(−1).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.1.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
|A|=a11.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣−a12.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣
Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang
ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga
menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.
Contoh : Tentukan determinan matriks B=⎛⎝⎜2−1213−3304⎞⎠⎟
Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1
*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1
k11=(−1)(1+1).|M11|=(−1)2.12=12
k12=(−1)(1+2).|M12|=(−1)3.(−4)=(−1).(−4)=4
k13=(−1)(1+3).|M13|=(−1)4.(−3)=−3
*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
|B|=b11.k11+b12.k12+b13.k13=2.12+1.4+3.(−3)=24+4+(−9)=19
Jadi determinan matriks B adalah 19.
Invers Matriks
Invers suatu matriks dilambangkan A−1 , A−1 melambangkan invers dari matriks A. Secara
umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.
Invers matriks 2×2
Misalkan matriks A=(acbd)
5
det(A) = |A| = a×d−b×c
invers matriks A adalah A−1=1|A|(d−c−ba)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A=(3221) ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : |A|=3.1−2.2=3−4=−1
*). Invers matriks A :
A−1=1|A|(d−c−ba)=1−1(1−2−23)=−1(1−2−23)=(−122−3)
Jadi, invers matriks A adalah A−1=(−122−3)
Invers matriks 3×3
dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah
A−1=1|A|.adj(A)
adj(A) artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks
kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : K=⎛⎝⎜k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎞⎠⎟
dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij|
maka adjoin matriks A adalah adj(A)=Kt
.
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.
Catatan :
Rumus invers matriks A adalah A−1=1|A|.adj(A) , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika |A|=0 (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika |A|≠0 (determinan ≠ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A=⎛⎝⎜01431−220−1⎞⎠⎟ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A
*). Menentukan Minor matriks A
6
*). Menentukan matriks kofaktornya : kij=(−1)(i+j)×|Mij|
k11=(−1)(1+1).|M11|=(−1)2.(−1)=−1
k12=(−1)(1+2).|M12|=(−1)3.(−1)=1
k13=(−1)(1+3).|M13|=(−1)4.(−6)=−6
k21=(−1)(2+1).|M21|=(−1)3.(1)=−1
k22=(−1)(2+2).|M22|=(−1)4.(−8)=−8
k23=(−1)(2+3).|M23|=(−1)5.(−12)=12
k31=(−1)(3+1).|M31|=(−1)4.(−2)=−2
k32=(−1)(3+2).|M32|=(−1)5.(−2)=2
k33=(−1)(3+3).|M33|=(−1)6.(−3)=−3
Sehingga matriks kofaktornya :
K=⎛⎝⎜k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−1−1−21−82−612−3⎞⎠⎟
7
*). Menentukan adjoin matriks A
adj(A)=Kt=⎛⎝⎜−11−6−1−812−22−3⎞⎠⎟
*). invers matriks A
A−1=1|A|.adj(A)=1−9⎛⎝⎜−11−6−1−812−22−3⎞⎠⎟
A−1=⎛⎝⎜⎜⎜19−19691989−12929−2939⎞⎠⎟⎟⎟Bahkan dengan Sifat-sifat determinan dan
invers matriks akan mampu membantu kita mempercepat dalam menyelesaikan suatu soalsoal yang berkaitan dengan determinan dan invers. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan
tinggi, banyak sekali soal-soal matriks harus kita selesaikan dengan sifat-sifatnya. Jadi,
penting bagi teman-teman untuk menguasai sifat-sifat determinan dan invers matriks.
Sifat-sifat determinan matriks
Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifatsifat determinan :
1). |At|=|A|
2). |A.B|=|A|.|B|
3). |An|=|A|n
4). |A−1|=1|A|
5). |k×Am×m|=km×|A|
Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan |
A.B.C|=|A|.|B|.|C|
dan seterusnya.
Contoh :
1). Diketahui matriks A=(4523) dan B=(−2−3−11)
Tentukan nilai dari
a). |A| dan |B|
b). |At|
c). |A.B|
d). |A5|
e). |A−1|
f).|3A| Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan
a). |A|=4.3−2.5=12−10=2 dan |B|=(−2).1−(−1).(−3)=−2−3=−5
b). untuk menentukan nilai |At| kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan
transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
sehingga |At|=|A|=2
c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian AB lalu
mencari determinannya.
sehingga |A.B|=|A|.|B|=2.(−5)=−10
d). Kita tidak perlu mencari nilai A5 , langsung menggunakan sifat nomor 3.
sehingga |A5|=|A|5=25=32
8
e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai A−1 (inversnya).
sehingga |A−1|=1|A|=12
f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
sehingga |3A2×2|=32.|A|=9.2=18
2). Suatu matriks A berordo 3×3 memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A?
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat nomor 5,
|2A|=|2A3×3|=23.|A|=8.5=40
Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.
3). Dari persamaan matriks berikut
(4523)(1223)A(2126)=(40210)(0133)
tentukan nilai determinan matriks A ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena
akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2
dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.
(4523)(1223)A(2126)∣∣∣(4523)(1223)A(2126)∣∣∣∣∣∣4523∣∣∣.∣∣∣1223∣∣∣.|
A|.∣∣∣2126∣∣∣(4.3−2.5).(1.3−2.2).|A|.(2.6−2.1)(12−10).(3−4).|A|.(12−2)2.
(−1).|A|.(10)(−20).|A||A|=(40210)(0133)=∣∣∣(40210)
(0133)∣∣∣=∣∣∣40210∣∣∣.∣∣∣0133∣∣∣=(4.10−0.2).(0.3−3.1)=(40−0).(0−3)=(40).
(−3)=−120=−120−20=6
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 6.
9
2.3 Determinan dengan Minor dan kofaktor
A=
Pertama buat minor dari a11
tentukan determinan A
M11 =
= detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij
adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 =
= detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
10
BAB III
3.1 Daftar Pustaka
1. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1
2. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2
3. wikipedia.com
4. www.google.co.id
5. Anton , H .( 1991)Elementary Linear Algebra.John Wiley and Sons
6. Leon , S.J.( 2001 ) .
7. Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5. Penerbit Erlangga
8. Mursita D. ( 2000 ).Diktat Kuliah Aljabar Linear Elementer.STT Telkom
9. Zulaikha Linear
10. huduk yuli
11