Implementasi Algoritma Hill Cipher 3x3 dan Rabin Public Key pada Pengiriman Short Message Service (SMS)
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Kriptografi
Kata Cryptography berasal dari bahasa Yunani yang terdiri dari dua kata yaitu kryptos
yang berarti rahasia dan graphein yang berarti tulisan (Mollin, 2007).
Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi dimana data diacak
menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang
yang tidak memiliki kunci dekripsi (Kromodimoeljo, 2010).
2.1.1.
Terminologi
Ketika seorang pengirim (sender) ingin mengirimkan suatu pesan kepada si penerima
(receiver), dimana si pengirim ingin pesan yang disampaikannya tidak dapat dibaca
oleh orang lain yang ingin melakukan penyadapan (eavesdropper). Dalam kriptografi,
pesan asli biasa disebut plaintext dan pesan yang disamarkan disebut ciphertext. Proses
menyamarkan pesan sedemikian rupa untuk menyembunyikan substansinya disebut
enkripsi. Proses untuk mengubah ciphertext kembali ke plaintext adalah dekripsi.
Skema rangkaian proses enkripsi dan dekripsi ditunjukkan secara umum pada Gambar
2.1 (Schneier, 1996).
Plaintext
Ciphertext
Plaintext
Enkripsi
Dekripsi
Gambar 2.1. Skema Proses Enkripsi dan Dekripsi (Schneier, 1996)
Universitas Sumatera Utara
7
2.1.2.
Tujuan kriptografi
Kriptografi bertujuan untuk memberikan layanan keamanan sebagai berikut :
(Paar&Pelzl, 2010)
1. Kerahasiaan (Confidentiality)
Informasi dirahasiakan dari semua pihak yang tidak berwenang.
2. Keutuhan Data (Inegrity)
Pesan tidak berubah dalam proses pengiriman hingga pesan diterima oleh
penerima.
3. Autentikasi (Message Authentication)
Kepastian terhadap identitas setiap entitas yang terlibat dan keaslian sumber
data.
4. Nirpenyangkalan (Nonrepudiation)
Setiap entitas yang berkomunikasi tidak dapat menolak atau menyangkal atas
data yang telah dikirim atau diterima.
2.2. Sistem Kriptografi
Sistem kriptografi adalah algoritma, seluruh kemungkinan plaintext, ciphertext dan
kunci. P adalah notasi yang digunakan untuk plaintext, C adalah ciphertext, E adalah
fungsi enkripsi dan D adalah fungsi dekripsi (Schneier, 1996). Sedangkan untuk kunci
dapat dinotasikan sebagai K.
Berdasarkan kunci yang dipakai, algoritma kriptografi dibagi menjadi tiga, yaitu
algoritma simetri (menggunakan satu kunci untuk enkripsi dan dekripsi), algoritma
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi) dan fungsi
hash (Ariyus, 2008).
Selain berdasarkan kunci yang dipakai, karakteristik kriptografi juga dibagi
berdasarkan tipe operasi yang dipakai untuk enkripsi dan dekripsi serta berdasarkan tipe
pengolahan pesan (Sadikin, 2012).
2.3. Kriptografi Berdasarkan Kunci yang Dipakai
Algoritma Kriptografi dibagi tiga berdasarkan kunci yang dipakai, yaitu algoritma
simetri (menggunakan satu kunci untuk proses enkripsi dan dekripsi), algoritma
Universitas Sumatera Utara
8
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk proses enkripsi dan dekripsi), dan
fungsi hash (Ariyus, 2008).
Karakteristik kriptografi dibagi dua berdasarkan tipe operasi yang dipakai untuk
enkripsi dan dekripsi (teknik substitusi dan teknik permutasi) serta berdasarkan tipe
pengolahan pesan (block cipher dan stram cipher) (Verma, 2015).
2.3.1.
Sistem kriptografi simetri
Algoritma simetris adalah algoritma yang menggunakan kunci enkripsi yang sama
dengan kunci dekripsinya (Kromodimoeljo, 2010). Bila mengirim pesan dengan
algoritma ini, si penerima pesan harus diberitahu kunci dari pesan tersebut agar bisa
mendekripsikan pesan yang dikirim. Keamanan dari pesan yang menggunakan
algoritma ini tergantung pada kunci.
Jika kunci tersebut diketahui oleh orang lain maka orang tersebut dapat
melakukan enkripsi dan dekripsi pada pesan. Yang termasuk algoritma kunci simetris
adalah Hill Cipher, Affine Cipher, OTP, DES, RC2, RC4, RC5, IDEA, Twofish,
Magenta, FEAL, dan lain-lainnya. Skema kriptografi simetris ditunjukkan secara umum
pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Skema Kriptografi Simetris (Fauzana, 2013)
2.3.2.
Sistem kriptografi asimetri
Algoritma asimetris disebut juga dengan kriptografi kunci publik karena algortima ini
memiliki kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi, dimana enkripsi
menggunakan public key dan untuk dekripsinya menggunakan private key. Public key
dan private key harus saling berpasangan secara matematis. Dengan memberikan public
key, pembuat kunci berhak memberikan dan mendapatkan public key agar pesan aman
dan hanya bisa dibaca oleh si pembuat kunci. Dalam kriptografi kunci asimetri, hampir
Universitas Sumatera Utara
9
semua algoritma kriptografinya menggunakan konsep kunci publik, seperti RivestShamir-Adleman (RSA), El-Gamal, Rabin dan sebagainya (Harahap, 2014). Skema
kriptografi asimetris ditunjukkan secara umum pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Kriptografi Asimetris (Fauzana, 2013)
Sistem kriptografi asimetri kunci publik pertama kali diusulkan oleh Diffie dan
Hellman pada tahun 1976. Ide kriptografi kunci publik sebenarnya mirip dengan cara
kerja kunci gembok, misalnya terdapat sebuah peti yang berisi pesan rahasia, lalu peti
itu dikunci dengan gembok di mana gembok ini dimiliki oleh semua orang (gembok
bekerja seperti public key). Peti terkunci tersebut kemudian dikirim ke tujuan atau
penerima yang memiliki kunci untuk membuka gembok. Penerima dapat membuka
gembok apabila kunci yang dipegang olehnya merupakan pasangan dari gembok
tersebut. Kunci yang dipegang oleh penerima bekerja seperti private key (Sadikin,
2012).
Sistem kriptografi kunci publik memiliki kunci untuk enkripsi Ke dan kunci
untuk dekripsi Kd yang berbeda. Kunci untuk enkripsi Ke disebut juga sebagai kunci
publik (KPublik) bersifat tidak rahasia sehingga dapat didistribusikan melalui saluran
tidak aman. Sedangkan kunci dekripsi Kd disebut juga kunci privat (KPrivat) bersifat
rahasia dan harus dijaga kerahasiaannya oleh pemegang kunci. Berikut ini adalah
algoritma sistem kriptografi kunci publik (Sadikin, 2012).
1. Sebelum A melakukan enkripsi, B membangkitkan sepasang kunci yaitu kunci
privat dan kunci publik milik B dengan memanggil fungsi PembangkitKunci().
(KPublikB, KPrivatB) PembangkitKunci()
B memublikasikan kunci publik (KPublikB) dan menjaga kerahasiaan kunci privat
(KPrivatB).
Universitas Sumatera Utara
10
2. A melakukan enkripsi sebuah teks asli (P) dengan kunci publik B (KPublikB)
menghasilkan sebuah teks sandi (C) dengan memanggil fungsi enkripsi (E).
C E(KPublikB, P)
A mengirim teks sandi (C) ke B melalui saluran tidak aman.
3. B mendekripsi teks sandi (C) dengan kunci privat B (KPrivatB) untuk
mendapatkan teks asli (P) dengan fungsi dekripsi (D).
P D(KPrivatB, C)
B mendapatkan P jika teks sandi (C) dienkripsi dengan kunci publik B yang
sesuai.
Jadi dalam kriptografi kunci publik, kunci publik dapat disebar-luaskan kepada
umum dan sebaiknya disebar luaskan. Sebaliknya, kunci privat harus dirahasiakan oleh
pemiliknya. Perlu untuk diingat, biasanya algoritma tidak dirahasiakan, bahkan enkripsi
yang mengandalkan kerahasiaan algoritma dianggap sesuatu yang tidak baik
(Kromodimoeljo, 2010). Hal ini sesuai dengan prinsip Kerckhoff yaitu semua algoritma
kriptografi harus publik, hanya kunci yang rahasia (Munir, 2006).
Dalam kriptografi kunci asimetri, hampir semua algoritma kriptografinya
menggunakan konsep kunci publik, seperti Rivest-Shamir-Adleman (RSA), El-Gamal,
Rabin dan sebagainya. Kecuali algoritma Pohlig˗Hellman karena kunci enkripsi
maupun kunci dekripsinya bersifat rahasia. (Fauzana, 2013). Skema algoritma
kriptografi asimetri nirkunci publik (dengan asumsi kunci sudah diketahui oleh kedua
belah pihak sebelumnya) dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4. Skema Kriptografi Asimetri Nirkunci Publik (Fauzana, 2013)
Universitas Sumatera Utara
11
2.3.3.
Fungsi hash
Fungsi hash adalah sebuah fungsi yang masukannya adalah sebuah pesan dan
keluarannya adalah sebuah sidik pesan (message fingerprint) (Ariyus, 2008).
Fungsi hash sering disebut dengan fungsi hash satu arah (one-way function),
message digest, fingerprint, fungsi kompresi dan message authentication code (MAC)
yang merupakan suatu fungsi matematika yang mengambil masukan panjang variabel
dan mengubahnya ke dalam urutan biner dengan panjang yang tetap. Fungsi hash
biasanya diperlukan bila ingin membuat sidik jari dari suatu pesan. Sidik jari pada pesan
merupakan suatu tanda bahwa pesan tersebut benar-benar berasal dari orang yang
diinginkan (Ariyus, 2008). Beberapa fungsi hash yang banyak dipakai adalah MD5 dan
SHA.
2.4. Teori Bilangan Integer
2.4.1.
Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Divisor)
Faktor Persekutuan Terbesar atau Greatest Common Divisor (GCD) merupakan
bilangan bulat terbesar yang merupakan pembagi yang sama dari dua bilangan bulat.
Misalkan a dan b adalah 2 (dua) bilangan bulat yang tidak nol. GCD dari a dan b adalah
bilangan bulat terbesar c sedemikian sehingga c|a dan c|b. GCD dari a dan b dapat
dinotasikan dengan gcd(a,b) (Nasution, 2015).
Contoh :
GCD (36,88) = … ?
36 mod 88 = 36
88 mod 36 = 16
36 mod 16 = 4
16 mod 4 = 0
Jadi, GCD dari (36,88) adalah 4
2.4.2.
Aritmatika Modulo
Aritmatika modulo merupakan sisa hasil pembagian dua bilangan. Operator yang
digunakan dalam aritmatika modulo adalah mod. Misalkan, jika bilangan integer a
dibagi dengan bilangan integer yang lebih besar dari nol (b > 0), maka akan
Universitas Sumatera Utara
12
menghasilkan sisa bagi r (remainder) dengan hasil bagi s (quotient). Sehingga dapat
dinotasikan sebagai berikut (Lipschutz & Lipson, 2007).
a mod b = r sedemikian sehingga a = bs + r, dengan 0 ≤ b < n ....... (2.1)
Sebagai contoh, jika 23 mod 4 = 3, maka 23 = (4 × 5) + 3.
Jika a negatif, maka bagi |a| dengan b mendapatkan sisa bagi r’ (Munir, 2006). Sehingga
didapatkan:
a mod b = b – r’, di mana r’ ≠ 0 dan a < 0 .......... (2.2)
Sebagai contoh, jika |-23| mod 4 = 3, maka -23 mod 4 = 4 – 3 = 1.
Cormen, et al. (2009) menuliskan di dalam bukunya, untuk setiap bilangan bulat a dan
setiap bilangan bulat positif b, nilai a mod b adalah sisa (residu) dari hasil bagi a/b:
a mod b = a – b (a/b), di mana 0 ≤ a mod b < b .......... (2.3)
Contohnya adalah 23 mod 4 = 23 – 4(23/4) = 23 – 4(5) = 23 – 20 = 3.
2.4.3. Algoritma Extended Euclid
Teorema yang digunakan sebagai dasar dari algoritma Extended Euclid adalah sebagai
berikut:
Jika = qb + r maka gcd(,b) = gcd(b,r)………….……(2.4)
Algoritma Euclid menggunakan rumus diatas secara berulang untuk men-dapatkan
gcd, yaitu dengan memperkecil kedua bilangan yang dijadikan patokan untuk gcd setiap
kali mengulang, tanpa merubah nilai gcd itu sendiri. Hasil dari komputasi gcd di dapat
saat kedua patokan untuk gcd tidak dapat diperkecil lagi.
2.4.4.
Chinese Remainder Theorem
Chinese Remainder Theorem (CRT) ditemukan oleh seorang matematikawan Cina
bernama Sun-Tsu (juga disebut Sun Tse) sekitar 100 A.D (anno domini) atau 100 M
(Stallings, 2011). Chinese Remainder Theorem (teorema sisa Cina) dinamai setelah
masalah peninggalan Cina yang melibatkan sistem persamaan atau kekongruenan
linear, menyatakan bahwa ketika modulus dari sistem kekongruenan linear yang
berpasangan relatif prima, ada solusi unik dari sistem modulo produk dari modulus.
Berikut ini adalah pertanyaan atau teka-teki Sun-Tsu (Rosen, 2012).
“Ada beberapa hal yang bilangannnya tidak diketahui. Bila dibagi dengan 11, sisanya
adalah 2, ketika dibagi oleh 7, sisanya adalah 3, dan ketika dibagi 5, sisanya adalah 2.
Berapakah bilangan itu?”
Universitas Sumatera Utara
13
Teka-teki tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
x ≡ 2 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 5)
Apa solusi dari sistem kekongruenan berikut ini?
Sebelum menyelesaikan teka-teki tersebut, berikut ini adalah teorema sisa Cina
(Chinese Remainder Theorem) (Rosen, 2012).
Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif yang relatif prima berpasangan
(pairwise relatively prime) yang lebih besar dari 1 dan a1, a2, …, an merupakan bilangan
bulat sembarang. Maka sistem kekongruenan linear
x ≡ a1 (mod m1),
x ≡ a2 (mod m2),
x ≡ an (mod mn)
memiliki sebuah solusi unik modulo m = m1m2…mn. (Terdapat solusi x dengan 0 ≤ x <
m, dan semua solusi lainnya adalah kongruen modulo m untuk solusi ini).
Solusi dari penyelesaian teka-teki Sun-Tsu tersebut adalah sebagai berikut (Wandani,
2012).
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn ………….……………….…………….…… (2.5)
M = 11 × 7 × 5 = 385
2. Buat himpunan penyelesaian untuk masing-masing persamaan dari bilangan
terkecil hingga hasil perkalian modulus (M).
x1 =
{2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 90, 101, 112, 123, 134, 145, 156, 167,
178, 189, 200, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 321,
332, 343, 354, 365, 376}
x2 =
{3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94, 101, 108, 115,
122, 129, 136, 143, 150, 157, 164, 171, 178, 185, 192, 199, 206, 213,
220, 227, 234, 241, 248, 255, 262, 269, 276, 283, 290, 297, 304, 311,
318, 325, 332, 339, 246, 353, 360, 367, 374, 381}
x3 =
{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92,
97, 102, 107, 112, 117, 122, 127, 132, 137, 142, 147, 152, 157, 162,
167, 172, 177, 182, 187, 192, 197, 202, 207, 212, 217, 222, 227, 232,
237, 242, 247, 252, 257, 262, 267, 272, 277, 282, 287, 292, 297, 302,
Universitas Sumatera Utara
14
307, 312, 317, 322, 327, 332, 342, 347, 352, 357, 362, 367, 372, 377,
382}
3. X merupakan irisan dari keseluruhan himpunan penyelesaian tersebut.
X = x1 ∩ x2 ∩ … ∩ xn ………….……………….…………….…… (2.6)
X = x1 ∩ x2 ∩ x3 = 332
4. Agar tercapai seluruh bilangan yang memenuhi x, maka dihitung kelipatan
persekutuan terkecil (Least Common Multiple) dari ketiga modulus (interval
yang memenuhi x).
Persamaan 2.7 berikut merupakan rumus untuk mencari LCM dari dua bilangan bulat
positif (Rosen, 2012).
ab = GCD(a,b) . LCM(a, b) ………….…… (2.7)
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan:
GCD(11,5,7) = 1 dan LCM(11,5,7) = 385
Sehingga x memenuhi akan bilangan dalam interval 105 dimulai dari 23, yaitu x = 332
± (k × 385). Atau interval ini dapat dituliskan x X ± (k × LCM (m1,m2, …,mn))
Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan teka-teki Sun-Tsu menurut Rosen
(2012) adalah sebagai berikut.
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn ………….……………….…………….…… (2.8)
M = 11 × 7 × 5 = 385
2. Hitung hasil bagi dari M dengan tiap-tiap modulus.
Mn = M/mn ………….……………….…………….…… (2.9)
M1 = 385/11 = 35
M2 = 385/7 = 55
M3 = 385/5 = 77
3. Hitung invers modulo (yn) dari (Mn mod mn). Maka diperoleh:
y1 = 2, y2 = 6 dan y3 = 2
4. Diperoleh solusi x dari teka-teki dengan menghitung rumus berikut ini.
x ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + … + anMnyn ………….……………….… (2.10)
x ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 ≡ (2.35.2) + (3.55.6) + (2.77.2)
x ≡ 1487 ≡ 332 (mod 385).
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.5.
Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif a, dimana a ≥ 2 hanya dapat dibagi dengan
1 dan bilangan itu sendiri. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang
merupakan bilangan genap. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….
Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau bukan, kita cukup
membagi n dengan sejumlah bilangan prima, dengan syarat bilangan prima ≤ √n. Jika
n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n bukan bilangan
prima, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n
adalah bilangan prima.
Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu
bilangan bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Berikut pernyataan dari
Teorema Fermat : Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak
habis dibagi dengan p, yaitu GCD(a,p) = 1, maka : ap-1 ≡ 1 (mod p) (Mollin, 2007).
Teorema Fermat ini memiliki kelemahan yaitu terdapat bilangan bulat bukan prima
p sedemikian sehingga ap–1 ≡ 1 (mod p). Bilangan bulat p seperti itu disebut bilangan
prima semu (pseudoprimes). Bilangan bulat a yang menyebabkan ap–1 ≡ 1 (mod p),
dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan carmichael atau fermat’s
liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang ditemukan.
Contoh :
Apakah p = 49 adalah bilangan prima?
a. Pilihlah sembarang bilangan bulat positif a dengan syarat 1 6
3
(
)
=> 6
3
(
)
=> 2
2
(
)
=> 4
3
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
=
�
=
�
=
�
=
�
=
�
�
3*1-3*2= => = −
3
= −
�
(6*1)=> = −
(3*3)= -3
=
(6*2)(3*3)= 3
=>
�
+
∗ −
+
∗ −
= −
�
(2*1)=> = −
(3*2)= -4
=
�
(4*1)=> = −
(3*3)= -5
=−
+
∗
=
+
∗ −
+
∗ −
Universitas Sumatera Utara
21
(
)
=> 4
3
(
)
=>
(
)
=> 4
6
(
)
=> 4
6
2
3
2
2
=
3
3
=
3
3
2
3
�
�
=
�
=
�
+
�
(4*3)=> = −
(3*6)= -6
=
(4*3)(2*6)= 0
�
�
�
�
= −
=
=>
∗
+
∗ −
+
∗ −
+
∗
�
�
�
4
�
3
-5
6
3
-2
0
-3
Adj K adalah
�
= −
=−
=>
�
(2*3)= −
(3*3)= -3 =>
=−
�
�
Adj K adalah
(4*2)(2*3)= 2
-3
b. Adjoint diperoleh, cari determinan matriks K yang ditunjukkan pada Tabel 2.4
berikut.
Tabel 2.4 Proses determinan matriks K
4
2
3
4
2
6
3
3
6
3
3
2
1
3
2
Det K = ((4*3*1)+(2*3*3)+(3*6*2))-((3*3*3)-(4*3*2)-(2*6*2))
= 12+18+36-27-24-12
= 66-63 = 3
c. Invers dari determinan K
Det K * X
= 1 mod 26
=> 3*X
= 1 mod 26
Universitas Sumatera Utara
22
=> (3*X) mod 26
=1
=> (3*9) mod 26
=1
=>
27 mod 26 = 1
d. Kemudian �
�
−
=
9*
−
(
� � − = det � − ∗ adj � mod
−
−
−
−
= (
)
−
−
−
−
= (
)
−
−
−
)
e. Ketika adanya hasil yang negatif (-) maka, ditambahkan 26 agar tetap
memperoleh bilangan Positif (+), ini dilakukan karena yang digunakan adalah
bilangan 0 hingga 25 seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Proses Pembulatan
(
−
−
−
−
(+26)
(Hanya yang
negative)
)
(
bernilai
)
f. Pembuktian bahwa K saling invers dengan � − , dengan melakukan perkalian,
dan hasil akhirnya adalah matriks identitas yang ditunjukkan pada Tabel 2.6
berikut ini :
Tabel 2.6 Proses Saling Invers
K
(
100+2+3
) * (
K* � −
4*25+2*1+3*1 4*10+2*7+3*8 4*25+2*2+3*0
=
6*25+3*1+3*1 6*10+3*7+3*8 6*25+3*2+3*0
)
3*25+2*1+1*1 3*10+2*7+1*8 3*25+2*2+3*0
100+40+0
Mod
150+6+0
)
(
(
)
26 =
75+2+0
�−
40+14+24
150+3+3
60+21+24
75+2+1
30+14+8
g. Mendekripsikan dengan mengalikan matriks � − dengan Ciphertext (� − ∗
��
. Tabel ciphertext dapat dilihat pada Tabel 2.7 dan proses dekripsi
Hill Cipher dapat dilihat pada Tabel 2.8.
Tabel 2.7 Tabel Ciphertext
P
H
Y
E
U
X
P
H
R
15
7
24
4
20
23
15
7
17
Universitas Sumatera Utara
23
Tabel 2.8 Proses dekripsi Hill Cipher
(
∗(
(
∗(
−
PHY
� ∗ ��
(25*15+10*7+25*24)
) Mod 26
(1*15+7*7+2*24)
(
Mod 26
) mod
(1*15+8*7+0*24)
Mod 26
EUX
� − ∗ ��
(25*4+10*20+25*23)
) Mod 26
) mod
(1*4+7*20+2*23)
Mod 26
(1*4+8*20+0*23)
Mod 26
Plaintext
) mod
(
)=FIT
Plaintext
(
) mod
(
)=RII
PHR
−
(
∗(
) mod
� ∗ ��
(25*15+10*7+25*17)
) Mod 26
(1*15+7*7+2*17)
Mod 26
(1*15+8*7+0*17)
Mod 26
Plaintext
(
) mod
(
)=MUT
Jadi teks asli dari “PHYEUXPHR” adalah “FITRIIMUT”.
2.6. Sistem Kriptografi Rabin Public Key
Sistem kriptografi Rabin (Rabin Cryptosystem) adalah suatu teknik kriptografi asimetris
atau kriptografi kunci publik yang memiliki tingkat keamanan terkait dengan masalah
sulitnya faktorisasi. Sistem kriptografi Rabin termasuk dalam sistem kriptografi
asimetris yang menerapkan konsep untuk mendapatkan keseluruhan plaintext dari suatu
ciphertext yang diketahui berdasarkan pada kesulitan dalam melakukan faktorisasi.
Seperti teknik kriptografi kunci publik atau asimetris lainnya, sistem kriptografi Rabin
menggunakan suatu pasangan kunci, yaitu kunci publik dan kunci privat.
Universitas Sumatera Utara
24
2.6.1.
Pembangkit Kunci Rabin
Untuk membangkitkan bilangan prima dapat menggunakan metode Fermat. Jika p
adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p,
yaitu GCD(a,p) = 1, maka : ap-1 ≡ 1 (mod p) (Mollin, 2007).
Teorema Fermat ini memiliki kelemahan yaitu terdapat bilangan bulat bukan prima
p sedemikian sehingga ap–1 ≡ 1 (mod p). Bilangan bulat p seperti itu disebut bilangan
prima semu (pseudoprimes). Bilangan bulat a yang menyebabkan ap–1 ≡ 1 (mod p),
dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan carmichael atau fermat’s
liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang ditemukan.
2.6.2.
Enkripsi Rabin Public Key
Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci publik n. Pada
proses dekripsi menggunakan Algoritma Rabin Public Key akan menghasilkan 4
(empat) buah kemungkinan plaintext. Oleh karena itu, diperlukan modifikasi dalam
proses enkripsi dan dekripsi untuk menentukan plaintext yang sebenarnya. Berikut
langkah–langkah proses enkripsi pesan rahasia menggunakan algoritma Rabin Public
Key yang telah dimodifikasi adalah : (Wandani, 2012)
a. Ubah nilai plaintext m menjadi nilai biner, kemudian tambahkan dengan nilai
biner m itu sendiri (redundant information) atau dengan kata lain plaintext
digandakan.
b. Ubah hasil penggandaan nilai biner plaintext menjadi nilai desimalnya.
c. Hitung nilai k yang merupakan kongruen nilai desimal dari hasil penggandaan
plaintext m terhadap kunci publik n dengan menggunakan rumus :
�∗
=
−
………….……………….……………..…… (2.12)
d. Hitung nilai ciphertext c dengan menggunakan rumus :
c = m2 mod n ………….……………….…………….………….……… (2.13)
Dengan c adalah ciphertext, n adalah kunci publik, dan m adalah nilai desimal
dari hasil penggandaan nilai biner plaintext.
Universitas Sumatera Utara
25
2.6.3.
Dekripsi Kunci Public Rabin
Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci privat p dan q.
Berikut langkah–langkah proses dekripsi dengan menggunakan algoritma Rabin Public
Key yang telah dimodifikasi : (Wandani, 2012)
a. Tentukan nilai Yp dan Yq yang merupakan pembagi GCD (Greatest Common
Divisor) dari p dan q dengan menggunakan Algoritma Extended Euclidean.
Karena GCD bilangan prima adalah 1, maka dapat ditulis sebagai berikut :
Yp * p + Yq * q = 1 ………….……………….…………….………….… (2.14)
b. Hitunglah nilai akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan q dengan rumus:
mp =
mq=
+1
+1
………….……………….…………….………….…. (2.15)
………….……………….…………….…….............. (2.16)
Dengan mp adalah akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan mq adalah akar
kuadrat dari ciphertext terhadap q.
c. Hitung nilai r, s, t dan u dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem,
dengan persamaan berikut :
r = (Yp*p* mq + Yq * q* mp ) mod n ………….……………….…………(2.17)
s = (Yp*p* mq - Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………….(2.18)
t = ( -Yp*p* mq + Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………..(2.19)
u = ( -Yp*p* mq - Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………..(2.20)
d. Tambahkan r,s,t,u dengan kongruen nilai desimal hasil penggandaan plaintext k
yang dikalikan dengan kunci publik n.
R = (k*n)+r ………….……………….………….………….……...…...(2.21)
S = (k*n)+s ………….……………….………...…….…… …….…… .(2.22)
T = (k*n)+t ………….……………….……….…….………….…….....(2.23)
U = (k*n)+u ………….……………….………...…….…… …….…… .(2.24)
e. Ubahlah nilai desimal R, S, T, U ke dalam bentuk biner. Kemudian nilai biner
R, S, T, U dibagi menjadi 2 (dua) bagian. Bandingkan kedua bagian tersebut.
Jika kedua bagian tersebut menghasilkan bentuk biner yang sama, maka
didapatlah hasil dekripsi ciphertext c dengan mengubah bentuk biner salah satu
bagian yang telah dibagi menjadi 2 (dua) bagian yang sama.
Universitas Sumatera Utara
26
2.7. Android
Android adalah sistem operasi untuk telepon seluler yang berbasiskan Linux
(Entprise,2010). Android menyediakan platform terbuka bagi para pengembang untuk
menciptakan aplikasi mereka sendiri sehingga dapat digunakan oleh bermacam peranti
penggerak. Untuk mengembangkan Android di bentuklah Open Handset Alliance yang
merupakan gabungan dari 34 perusahaan peranti keras, peranti lunak dan
telekomunikasi termasuk Google, HTC, Intel, Motorola, Qualcomm, TMobile, dan
Nvidia.
Pada saat perilisan perdana Android pada tanggal 5 November 2007, Android
bersama Open Handset Alliance menyatakan mendukung pengembangan
pada
perangkat seluler. Pertama yang dapat dukungan penuh dari Google atau Google Mail
Service (GMS) dan kedua adalah yang benar-benar bebas distribusinya tanpa dukungan
langsung dari Google atau dikenal sebagai Open Handset Distribution (DHD)
(Ardiansyah, 2011). Sejak April 2009, masing-masing versi android dirilis sesuai urutan
alfabet. Berikut adalah rangkaian perjalanan Android dan logo dari Android pada
Gambar 2.7
1. Kerjasama Android Inc. dengan 7. Android Versi 2.2 (Froyo)
Google Inc.
8. Android Versi 2.3 (Gingerbread)
2. 2007-2008 perjalanan awal Android
9. Android Versi 3.0 (Honeycomb)
3. Android Versi 1.1
10. Android Versi 4.0 (ICS)
4. Android Versi 1.5 (Cupcake)
11. Android Versi 4.1-4.3 (Jelly Bean)
5. Android Versi 1.6 (Donut)
12. Android Versi 4.4 (KitKat)
6. Android Versi 2.0/2.1 (Eclair)
13. Android Versi 5.0 (Lollipop)
Gambar 2.7. Logo Android
Universitas Sumatera Utara
27
2.8. Penelitian Yang Relevan
Berikut ini adalah beberapa penelitian tentang kriptografi yang berkaitan dengan
Algoritma Hill Cipher dan Rabin Public Key :
1. Wandani,H (2012) dengan judul “Implementasi Sistem Keamanan Data dengan
Menggunakan Teknik Steganografi End of File (EOF) dan Rabin Public Key
Cryptosystem” dengan kesimpulan bahwa kombinasi plaintext dan kunci
tertentu. Terdapat hasil dekripsi yang berbeda dari plaintext yang sebenarnya
dikarenakan pada saat sistem memeriksa 4 (empat) kemungkinan nilai plaintext,
terdapat 2 (dua) atau lebih nilai kemungkinan plaintext yang memenuhi syarat
sebagai plaintext yang sebenarnya. Sehingga sistem ini akan mengambil nilai
kemungkinan plaintext yang pertama sekali memenuhi syarat sebagai plaintext
yang sebenarnya.
2. Harahap, A.A (2014) dengan judul “Implementasi Sistem Keamanan Data
Menggunakan Steganografi Teknik Pemetaan Titik Hitam dengan Pencarian
Sekuensial dan Rabin Cryptosystem” dengan kesimpulan bahwa proses enkripsi
relatif lebih cepat dibandingkan dengan proses dekripsi pada algoritma
kriptografi Rabin dan proses ekstraksi gambar relatif lebih cepat dibandingkan
dengan proses penyisipan pada steganografi teknik pemetaan titik hitam dengan
pencarian sekuensial.
3. Nasution,R.N.N (2015) dengan judul “Impementasi Algoritma Hill Cipher dan
RSA pada Enkripsi Hybrid Pesan SMS di Android” dengan kesimpulan bahwa
kedua algoritma yang digunakan untuk melakukan proses enkripsi masingmasing algoritma memiliki kelebihan masing-masing.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1. Kriptografi
Kata Cryptography berasal dari bahasa Yunani yang terdiri dari dua kata yaitu kryptos
yang berarti rahasia dan graphein yang berarti tulisan (Mollin, 2007).
Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi dimana data diacak
menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang
yang tidak memiliki kunci dekripsi (Kromodimoeljo, 2010).
2.1.1.
Terminologi
Ketika seorang pengirim (sender) ingin mengirimkan suatu pesan kepada si penerima
(receiver), dimana si pengirim ingin pesan yang disampaikannya tidak dapat dibaca
oleh orang lain yang ingin melakukan penyadapan (eavesdropper). Dalam kriptografi,
pesan asli biasa disebut plaintext dan pesan yang disamarkan disebut ciphertext. Proses
menyamarkan pesan sedemikian rupa untuk menyembunyikan substansinya disebut
enkripsi. Proses untuk mengubah ciphertext kembali ke plaintext adalah dekripsi.
Skema rangkaian proses enkripsi dan dekripsi ditunjukkan secara umum pada Gambar
2.1 (Schneier, 1996).
Plaintext
Ciphertext
Plaintext
Enkripsi
Dekripsi
Gambar 2.1. Skema Proses Enkripsi dan Dekripsi (Schneier, 1996)
Universitas Sumatera Utara
7
2.1.2.
Tujuan kriptografi
Kriptografi bertujuan untuk memberikan layanan keamanan sebagai berikut :
(Paar&Pelzl, 2010)
1. Kerahasiaan (Confidentiality)
Informasi dirahasiakan dari semua pihak yang tidak berwenang.
2. Keutuhan Data (Inegrity)
Pesan tidak berubah dalam proses pengiriman hingga pesan diterima oleh
penerima.
3. Autentikasi (Message Authentication)
Kepastian terhadap identitas setiap entitas yang terlibat dan keaslian sumber
data.
4. Nirpenyangkalan (Nonrepudiation)
Setiap entitas yang berkomunikasi tidak dapat menolak atau menyangkal atas
data yang telah dikirim atau diterima.
2.2. Sistem Kriptografi
Sistem kriptografi adalah algoritma, seluruh kemungkinan plaintext, ciphertext dan
kunci. P adalah notasi yang digunakan untuk plaintext, C adalah ciphertext, E adalah
fungsi enkripsi dan D adalah fungsi dekripsi (Schneier, 1996). Sedangkan untuk kunci
dapat dinotasikan sebagai K.
Berdasarkan kunci yang dipakai, algoritma kriptografi dibagi menjadi tiga, yaitu
algoritma simetri (menggunakan satu kunci untuk enkripsi dan dekripsi), algoritma
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi) dan fungsi
hash (Ariyus, 2008).
Selain berdasarkan kunci yang dipakai, karakteristik kriptografi juga dibagi
berdasarkan tipe operasi yang dipakai untuk enkripsi dan dekripsi serta berdasarkan tipe
pengolahan pesan (Sadikin, 2012).
2.3. Kriptografi Berdasarkan Kunci yang Dipakai
Algoritma Kriptografi dibagi tiga berdasarkan kunci yang dipakai, yaitu algoritma
simetri (menggunakan satu kunci untuk proses enkripsi dan dekripsi), algoritma
Universitas Sumatera Utara
8
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk proses enkripsi dan dekripsi), dan
fungsi hash (Ariyus, 2008).
Karakteristik kriptografi dibagi dua berdasarkan tipe operasi yang dipakai untuk
enkripsi dan dekripsi (teknik substitusi dan teknik permutasi) serta berdasarkan tipe
pengolahan pesan (block cipher dan stram cipher) (Verma, 2015).
2.3.1.
Sistem kriptografi simetri
Algoritma simetris adalah algoritma yang menggunakan kunci enkripsi yang sama
dengan kunci dekripsinya (Kromodimoeljo, 2010). Bila mengirim pesan dengan
algoritma ini, si penerima pesan harus diberitahu kunci dari pesan tersebut agar bisa
mendekripsikan pesan yang dikirim. Keamanan dari pesan yang menggunakan
algoritma ini tergantung pada kunci.
Jika kunci tersebut diketahui oleh orang lain maka orang tersebut dapat
melakukan enkripsi dan dekripsi pada pesan. Yang termasuk algoritma kunci simetris
adalah Hill Cipher, Affine Cipher, OTP, DES, RC2, RC4, RC5, IDEA, Twofish,
Magenta, FEAL, dan lain-lainnya. Skema kriptografi simetris ditunjukkan secara umum
pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Skema Kriptografi Simetris (Fauzana, 2013)
2.3.2.
Sistem kriptografi asimetri
Algoritma asimetris disebut juga dengan kriptografi kunci publik karena algortima ini
memiliki kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi, dimana enkripsi
menggunakan public key dan untuk dekripsinya menggunakan private key. Public key
dan private key harus saling berpasangan secara matematis. Dengan memberikan public
key, pembuat kunci berhak memberikan dan mendapatkan public key agar pesan aman
dan hanya bisa dibaca oleh si pembuat kunci. Dalam kriptografi kunci asimetri, hampir
Universitas Sumatera Utara
9
semua algoritma kriptografinya menggunakan konsep kunci publik, seperti RivestShamir-Adleman (RSA), El-Gamal, Rabin dan sebagainya (Harahap, 2014). Skema
kriptografi asimetris ditunjukkan secara umum pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Kriptografi Asimetris (Fauzana, 2013)
Sistem kriptografi asimetri kunci publik pertama kali diusulkan oleh Diffie dan
Hellman pada tahun 1976. Ide kriptografi kunci publik sebenarnya mirip dengan cara
kerja kunci gembok, misalnya terdapat sebuah peti yang berisi pesan rahasia, lalu peti
itu dikunci dengan gembok di mana gembok ini dimiliki oleh semua orang (gembok
bekerja seperti public key). Peti terkunci tersebut kemudian dikirim ke tujuan atau
penerima yang memiliki kunci untuk membuka gembok. Penerima dapat membuka
gembok apabila kunci yang dipegang olehnya merupakan pasangan dari gembok
tersebut. Kunci yang dipegang oleh penerima bekerja seperti private key (Sadikin,
2012).
Sistem kriptografi kunci publik memiliki kunci untuk enkripsi Ke dan kunci
untuk dekripsi Kd yang berbeda. Kunci untuk enkripsi Ke disebut juga sebagai kunci
publik (KPublik) bersifat tidak rahasia sehingga dapat didistribusikan melalui saluran
tidak aman. Sedangkan kunci dekripsi Kd disebut juga kunci privat (KPrivat) bersifat
rahasia dan harus dijaga kerahasiaannya oleh pemegang kunci. Berikut ini adalah
algoritma sistem kriptografi kunci publik (Sadikin, 2012).
1. Sebelum A melakukan enkripsi, B membangkitkan sepasang kunci yaitu kunci
privat dan kunci publik milik B dengan memanggil fungsi PembangkitKunci().
(KPublikB, KPrivatB) PembangkitKunci()
B memublikasikan kunci publik (KPublikB) dan menjaga kerahasiaan kunci privat
(KPrivatB).
Universitas Sumatera Utara
10
2. A melakukan enkripsi sebuah teks asli (P) dengan kunci publik B (KPublikB)
menghasilkan sebuah teks sandi (C) dengan memanggil fungsi enkripsi (E).
C E(KPublikB, P)
A mengirim teks sandi (C) ke B melalui saluran tidak aman.
3. B mendekripsi teks sandi (C) dengan kunci privat B (KPrivatB) untuk
mendapatkan teks asli (P) dengan fungsi dekripsi (D).
P D(KPrivatB, C)
B mendapatkan P jika teks sandi (C) dienkripsi dengan kunci publik B yang
sesuai.
Jadi dalam kriptografi kunci publik, kunci publik dapat disebar-luaskan kepada
umum dan sebaiknya disebar luaskan. Sebaliknya, kunci privat harus dirahasiakan oleh
pemiliknya. Perlu untuk diingat, biasanya algoritma tidak dirahasiakan, bahkan enkripsi
yang mengandalkan kerahasiaan algoritma dianggap sesuatu yang tidak baik
(Kromodimoeljo, 2010). Hal ini sesuai dengan prinsip Kerckhoff yaitu semua algoritma
kriptografi harus publik, hanya kunci yang rahasia (Munir, 2006).
Dalam kriptografi kunci asimetri, hampir semua algoritma kriptografinya
menggunakan konsep kunci publik, seperti Rivest-Shamir-Adleman (RSA), El-Gamal,
Rabin dan sebagainya. Kecuali algoritma Pohlig˗Hellman karena kunci enkripsi
maupun kunci dekripsinya bersifat rahasia. (Fauzana, 2013). Skema algoritma
kriptografi asimetri nirkunci publik (dengan asumsi kunci sudah diketahui oleh kedua
belah pihak sebelumnya) dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4. Skema Kriptografi Asimetri Nirkunci Publik (Fauzana, 2013)
Universitas Sumatera Utara
11
2.3.3.
Fungsi hash
Fungsi hash adalah sebuah fungsi yang masukannya adalah sebuah pesan dan
keluarannya adalah sebuah sidik pesan (message fingerprint) (Ariyus, 2008).
Fungsi hash sering disebut dengan fungsi hash satu arah (one-way function),
message digest, fingerprint, fungsi kompresi dan message authentication code (MAC)
yang merupakan suatu fungsi matematika yang mengambil masukan panjang variabel
dan mengubahnya ke dalam urutan biner dengan panjang yang tetap. Fungsi hash
biasanya diperlukan bila ingin membuat sidik jari dari suatu pesan. Sidik jari pada pesan
merupakan suatu tanda bahwa pesan tersebut benar-benar berasal dari orang yang
diinginkan (Ariyus, 2008). Beberapa fungsi hash yang banyak dipakai adalah MD5 dan
SHA.
2.4. Teori Bilangan Integer
2.4.1.
Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Divisor)
Faktor Persekutuan Terbesar atau Greatest Common Divisor (GCD) merupakan
bilangan bulat terbesar yang merupakan pembagi yang sama dari dua bilangan bulat.
Misalkan a dan b adalah 2 (dua) bilangan bulat yang tidak nol. GCD dari a dan b adalah
bilangan bulat terbesar c sedemikian sehingga c|a dan c|b. GCD dari a dan b dapat
dinotasikan dengan gcd(a,b) (Nasution, 2015).
Contoh :
GCD (36,88) = … ?
36 mod 88 = 36
88 mod 36 = 16
36 mod 16 = 4
16 mod 4 = 0
Jadi, GCD dari (36,88) adalah 4
2.4.2.
Aritmatika Modulo
Aritmatika modulo merupakan sisa hasil pembagian dua bilangan. Operator yang
digunakan dalam aritmatika modulo adalah mod. Misalkan, jika bilangan integer a
dibagi dengan bilangan integer yang lebih besar dari nol (b > 0), maka akan
Universitas Sumatera Utara
12
menghasilkan sisa bagi r (remainder) dengan hasil bagi s (quotient). Sehingga dapat
dinotasikan sebagai berikut (Lipschutz & Lipson, 2007).
a mod b = r sedemikian sehingga a = bs + r, dengan 0 ≤ b < n ....... (2.1)
Sebagai contoh, jika 23 mod 4 = 3, maka 23 = (4 × 5) + 3.
Jika a negatif, maka bagi |a| dengan b mendapatkan sisa bagi r’ (Munir, 2006). Sehingga
didapatkan:
a mod b = b – r’, di mana r’ ≠ 0 dan a < 0 .......... (2.2)
Sebagai contoh, jika |-23| mod 4 = 3, maka -23 mod 4 = 4 – 3 = 1.
Cormen, et al. (2009) menuliskan di dalam bukunya, untuk setiap bilangan bulat a dan
setiap bilangan bulat positif b, nilai a mod b adalah sisa (residu) dari hasil bagi a/b:
a mod b = a – b (a/b), di mana 0 ≤ a mod b < b .......... (2.3)
Contohnya adalah 23 mod 4 = 23 – 4(23/4) = 23 – 4(5) = 23 – 20 = 3.
2.4.3. Algoritma Extended Euclid
Teorema yang digunakan sebagai dasar dari algoritma Extended Euclid adalah sebagai
berikut:
Jika = qb + r maka gcd(,b) = gcd(b,r)………….……(2.4)
Algoritma Euclid menggunakan rumus diatas secara berulang untuk men-dapatkan
gcd, yaitu dengan memperkecil kedua bilangan yang dijadikan patokan untuk gcd setiap
kali mengulang, tanpa merubah nilai gcd itu sendiri. Hasil dari komputasi gcd di dapat
saat kedua patokan untuk gcd tidak dapat diperkecil lagi.
2.4.4.
Chinese Remainder Theorem
Chinese Remainder Theorem (CRT) ditemukan oleh seorang matematikawan Cina
bernama Sun-Tsu (juga disebut Sun Tse) sekitar 100 A.D (anno domini) atau 100 M
(Stallings, 2011). Chinese Remainder Theorem (teorema sisa Cina) dinamai setelah
masalah peninggalan Cina yang melibatkan sistem persamaan atau kekongruenan
linear, menyatakan bahwa ketika modulus dari sistem kekongruenan linear yang
berpasangan relatif prima, ada solusi unik dari sistem modulo produk dari modulus.
Berikut ini adalah pertanyaan atau teka-teki Sun-Tsu (Rosen, 2012).
“Ada beberapa hal yang bilangannnya tidak diketahui. Bila dibagi dengan 11, sisanya
adalah 2, ketika dibagi oleh 7, sisanya adalah 3, dan ketika dibagi 5, sisanya adalah 2.
Berapakah bilangan itu?”
Universitas Sumatera Utara
13
Teka-teki tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
x ≡ 2 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 5)
Apa solusi dari sistem kekongruenan berikut ini?
Sebelum menyelesaikan teka-teki tersebut, berikut ini adalah teorema sisa Cina
(Chinese Remainder Theorem) (Rosen, 2012).
Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif yang relatif prima berpasangan
(pairwise relatively prime) yang lebih besar dari 1 dan a1, a2, …, an merupakan bilangan
bulat sembarang. Maka sistem kekongruenan linear
x ≡ a1 (mod m1),
x ≡ a2 (mod m2),
x ≡ an (mod mn)
memiliki sebuah solusi unik modulo m = m1m2…mn. (Terdapat solusi x dengan 0 ≤ x <
m, dan semua solusi lainnya adalah kongruen modulo m untuk solusi ini).
Solusi dari penyelesaian teka-teki Sun-Tsu tersebut adalah sebagai berikut (Wandani,
2012).
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn ………….……………….…………….…… (2.5)
M = 11 × 7 × 5 = 385
2. Buat himpunan penyelesaian untuk masing-masing persamaan dari bilangan
terkecil hingga hasil perkalian modulus (M).
x1 =
{2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 90, 101, 112, 123, 134, 145, 156, 167,
178, 189, 200, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 321,
332, 343, 354, 365, 376}
x2 =
{3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94, 101, 108, 115,
122, 129, 136, 143, 150, 157, 164, 171, 178, 185, 192, 199, 206, 213,
220, 227, 234, 241, 248, 255, 262, 269, 276, 283, 290, 297, 304, 311,
318, 325, 332, 339, 246, 353, 360, 367, 374, 381}
x3 =
{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92,
97, 102, 107, 112, 117, 122, 127, 132, 137, 142, 147, 152, 157, 162,
167, 172, 177, 182, 187, 192, 197, 202, 207, 212, 217, 222, 227, 232,
237, 242, 247, 252, 257, 262, 267, 272, 277, 282, 287, 292, 297, 302,
Universitas Sumatera Utara
14
307, 312, 317, 322, 327, 332, 342, 347, 352, 357, 362, 367, 372, 377,
382}
3. X merupakan irisan dari keseluruhan himpunan penyelesaian tersebut.
X = x1 ∩ x2 ∩ … ∩ xn ………….……………….…………….…… (2.6)
X = x1 ∩ x2 ∩ x3 = 332
4. Agar tercapai seluruh bilangan yang memenuhi x, maka dihitung kelipatan
persekutuan terkecil (Least Common Multiple) dari ketiga modulus (interval
yang memenuhi x).
Persamaan 2.7 berikut merupakan rumus untuk mencari LCM dari dua bilangan bulat
positif (Rosen, 2012).
ab = GCD(a,b) . LCM(a, b) ………….…… (2.7)
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan:
GCD(11,5,7) = 1 dan LCM(11,5,7) = 385
Sehingga x memenuhi akan bilangan dalam interval 105 dimulai dari 23, yaitu x = 332
± (k × 385). Atau interval ini dapat dituliskan x X ± (k × LCM (m1,m2, …,mn))
Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan teka-teki Sun-Tsu menurut Rosen
(2012) adalah sebagai berikut.
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn ………….……………….…………….…… (2.8)
M = 11 × 7 × 5 = 385
2. Hitung hasil bagi dari M dengan tiap-tiap modulus.
Mn = M/mn ………….……………….…………….…… (2.9)
M1 = 385/11 = 35
M2 = 385/7 = 55
M3 = 385/5 = 77
3. Hitung invers modulo (yn) dari (Mn mod mn). Maka diperoleh:
y1 = 2, y2 = 6 dan y3 = 2
4. Diperoleh solusi x dari teka-teki dengan menghitung rumus berikut ini.
x ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + … + anMnyn ………….……………….… (2.10)
x ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 ≡ (2.35.2) + (3.55.6) + (2.77.2)
x ≡ 1487 ≡ 332 (mod 385).
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.5.
Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif a, dimana a ≥ 2 hanya dapat dibagi dengan
1 dan bilangan itu sendiri. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang
merupakan bilangan genap. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….
Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau bukan, kita cukup
membagi n dengan sejumlah bilangan prima, dengan syarat bilangan prima ≤ √n. Jika
n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n bukan bilangan
prima, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n
adalah bilangan prima.
Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu
bilangan bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Berikut pernyataan dari
Teorema Fermat : Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak
habis dibagi dengan p, yaitu GCD(a,p) = 1, maka : ap-1 ≡ 1 (mod p) (Mollin, 2007).
Teorema Fermat ini memiliki kelemahan yaitu terdapat bilangan bulat bukan prima
p sedemikian sehingga ap–1 ≡ 1 (mod p). Bilangan bulat p seperti itu disebut bilangan
prima semu (pseudoprimes). Bilangan bulat a yang menyebabkan ap–1 ≡ 1 (mod p),
dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan carmichael atau fermat’s
liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang ditemukan.
Contoh :
Apakah p = 49 adalah bilangan prima?
a. Pilihlah sembarang bilangan bulat positif a dengan syarat 1 6
3
(
)
=> 6
3
(
)
=> 2
2
(
)
=> 4
3
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
=
�
=
�
=
�
=
�
=
�
�
3*1-3*2= => = −
3
= −
�
(6*1)=> = −
(3*3)= -3
=
(6*2)(3*3)= 3
=>
�
+
∗ −
+
∗ −
= −
�
(2*1)=> = −
(3*2)= -4
=
�
(4*1)=> = −
(3*3)= -5
=−
+
∗
=
+
∗ −
+
∗ −
Universitas Sumatera Utara
21
(
)
=> 4
3
(
)
=>
(
)
=> 4
6
(
)
=> 4
6
2
3
2
2
=
3
3
=
3
3
2
3
�
�
=
�
=
�
+
�
(4*3)=> = −
(3*6)= -6
=
(4*3)(2*6)= 0
�
�
�
�
= −
=
=>
∗
+
∗ −
+
∗ −
+
∗
�
�
�
4
�
3
-5
6
3
-2
0
-3
Adj K adalah
�
= −
=−
=>
�
(2*3)= −
(3*3)= -3 =>
=−
�
�
Adj K adalah
(4*2)(2*3)= 2
-3
b. Adjoint diperoleh, cari determinan matriks K yang ditunjukkan pada Tabel 2.4
berikut.
Tabel 2.4 Proses determinan matriks K
4
2
3
4
2
6
3
3
6
3
3
2
1
3
2
Det K = ((4*3*1)+(2*3*3)+(3*6*2))-((3*3*3)-(4*3*2)-(2*6*2))
= 12+18+36-27-24-12
= 66-63 = 3
c. Invers dari determinan K
Det K * X
= 1 mod 26
=> 3*X
= 1 mod 26
Universitas Sumatera Utara
22
=> (3*X) mod 26
=1
=> (3*9) mod 26
=1
=>
27 mod 26 = 1
d. Kemudian �
�
−
=
9*
−
(
� � − = det � − ∗ adj � mod
−
−
−
−
= (
)
−
−
−
−
= (
)
−
−
−
)
e. Ketika adanya hasil yang negatif (-) maka, ditambahkan 26 agar tetap
memperoleh bilangan Positif (+), ini dilakukan karena yang digunakan adalah
bilangan 0 hingga 25 seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Proses Pembulatan
(
−
−
−
−
(+26)
(Hanya yang
negative)
)
(
bernilai
)
f. Pembuktian bahwa K saling invers dengan � − , dengan melakukan perkalian,
dan hasil akhirnya adalah matriks identitas yang ditunjukkan pada Tabel 2.6
berikut ini :
Tabel 2.6 Proses Saling Invers
K
(
100+2+3
) * (
K* � −
4*25+2*1+3*1 4*10+2*7+3*8 4*25+2*2+3*0
=
6*25+3*1+3*1 6*10+3*7+3*8 6*25+3*2+3*0
)
3*25+2*1+1*1 3*10+2*7+1*8 3*25+2*2+3*0
100+40+0
Mod
150+6+0
)
(
(
)
26 =
75+2+0
�−
40+14+24
150+3+3
60+21+24
75+2+1
30+14+8
g. Mendekripsikan dengan mengalikan matriks � − dengan Ciphertext (� − ∗
��
. Tabel ciphertext dapat dilihat pada Tabel 2.7 dan proses dekripsi
Hill Cipher dapat dilihat pada Tabel 2.8.
Tabel 2.7 Tabel Ciphertext
P
H
Y
E
U
X
P
H
R
15
7
24
4
20
23
15
7
17
Universitas Sumatera Utara
23
Tabel 2.8 Proses dekripsi Hill Cipher
(
∗(
(
∗(
−
PHY
� ∗ ��
(25*15+10*7+25*24)
) Mod 26
(1*15+7*7+2*24)
(
Mod 26
) mod
(1*15+8*7+0*24)
Mod 26
EUX
� − ∗ ��
(25*4+10*20+25*23)
) Mod 26
) mod
(1*4+7*20+2*23)
Mod 26
(1*4+8*20+0*23)
Mod 26
Plaintext
) mod
(
)=FIT
Plaintext
(
) mod
(
)=RII
PHR
−
(
∗(
) mod
� ∗ ��
(25*15+10*7+25*17)
) Mod 26
(1*15+7*7+2*17)
Mod 26
(1*15+8*7+0*17)
Mod 26
Plaintext
(
) mod
(
)=MUT
Jadi teks asli dari “PHYEUXPHR” adalah “FITRIIMUT”.
2.6. Sistem Kriptografi Rabin Public Key
Sistem kriptografi Rabin (Rabin Cryptosystem) adalah suatu teknik kriptografi asimetris
atau kriptografi kunci publik yang memiliki tingkat keamanan terkait dengan masalah
sulitnya faktorisasi. Sistem kriptografi Rabin termasuk dalam sistem kriptografi
asimetris yang menerapkan konsep untuk mendapatkan keseluruhan plaintext dari suatu
ciphertext yang diketahui berdasarkan pada kesulitan dalam melakukan faktorisasi.
Seperti teknik kriptografi kunci publik atau asimetris lainnya, sistem kriptografi Rabin
menggunakan suatu pasangan kunci, yaitu kunci publik dan kunci privat.
Universitas Sumatera Utara
24
2.6.1.
Pembangkit Kunci Rabin
Untuk membangkitkan bilangan prima dapat menggunakan metode Fermat. Jika p
adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p,
yaitu GCD(a,p) = 1, maka : ap-1 ≡ 1 (mod p) (Mollin, 2007).
Teorema Fermat ini memiliki kelemahan yaitu terdapat bilangan bulat bukan prima
p sedemikian sehingga ap–1 ≡ 1 (mod p). Bilangan bulat p seperti itu disebut bilangan
prima semu (pseudoprimes). Bilangan bulat a yang menyebabkan ap–1 ≡ 1 (mod p),
dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan carmichael atau fermat’s
liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang ditemukan.
2.6.2.
Enkripsi Rabin Public Key
Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci publik n. Pada
proses dekripsi menggunakan Algoritma Rabin Public Key akan menghasilkan 4
(empat) buah kemungkinan plaintext. Oleh karena itu, diperlukan modifikasi dalam
proses enkripsi dan dekripsi untuk menentukan plaintext yang sebenarnya. Berikut
langkah–langkah proses enkripsi pesan rahasia menggunakan algoritma Rabin Public
Key yang telah dimodifikasi adalah : (Wandani, 2012)
a. Ubah nilai plaintext m menjadi nilai biner, kemudian tambahkan dengan nilai
biner m itu sendiri (redundant information) atau dengan kata lain plaintext
digandakan.
b. Ubah hasil penggandaan nilai biner plaintext menjadi nilai desimalnya.
c. Hitung nilai k yang merupakan kongruen nilai desimal dari hasil penggandaan
plaintext m terhadap kunci publik n dengan menggunakan rumus :
�∗
=
−
………….……………….……………..…… (2.12)
d. Hitung nilai ciphertext c dengan menggunakan rumus :
c = m2 mod n ………….……………….…………….………….……… (2.13)
Dengan c adalah ciphertext, n adalah kunci publik, dan m adalah nilai desimal
dari hasil penggandaan nilai biner plaintext.
Universitas Sumatera Utara
25
2.6.3.
Dekripsi Kunci Public Rabin
Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci privat p dan q.
Berikut langkah–langkah proses dekripsi dengan menggunakan algoritma Rabin Public
Key yang telah dimodifikasi : (Wandani, 2012)
a. Tentukan nilai Yp dan Yq yang merupakan pembagi GCD (Greatest Common
Divisor) dari p dan q dengan menggunakan Algoritma Extended Euclidean.
Karena GCD bilangan prima adalah 1, maka dapat ditulis sebagai berikut :
Yp * p + Yq * q = 1 ………….……………….…………….………….… (2.14)
b. Hitunglah nilai akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan q dengan rumus:
mp =
mq=
+1
+1
………….……………….…………….………….…. (2.15)
………….……………….…………….…….............. (2.16)
Dengan mp adalah akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan mq adalah akar
kuadrat dari ciphertext terhadap q.
c. Hitung nilai r, s, t dan u dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem,
dengan persamaan berikut :
r = (Yp*p* mq + Yq * q* mp ) mod n ………….……………….…………(2.17)
s = (Yp*p* mq - Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………….(2.18)
t = ( -Yp*p* mq + Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………..(2.19)
u = ( -Yp*p* mq - Yq * q* mp ) mod n ………….……………….………..(2.20)
d. Tambahkan r,s,t,u dengan kongruen nilai desimal hasil penggandaan plaintext k
yang dikalikan dengan kunci publik n.
R = (k*n)+r ………….……………….………….………….……...…...(2.21)
S = (k*n)+s ………….……………….………...…….…… …….…… .(2.22)
T = (k*n)+t ………….……………….……….…….………….…….....(2.23)
U = (k*n)+u ………….……………….………...…….…… …….…… .(2.24)
e. Ubahlah nilai desimal R, S, T, U ke dalam bentuk biner. Kemudian nilai biner
R, S, T, U dibagi menjadi 2 (dua) bagian. Bandingkan kedua bagian tersebut.
Jika kedua bagian tersebut menghasilkan bentuk biner yang sama, maka
didapatlah hasil dekripsi ciphertext c dengan mengubah bentuk biner salah satu
bagian yang telah dibagi menjadi 2 (dua) bagian yang sama.
Universitas Sumatera Utara
26
2.7. Android
Android adalah sistem operasi untuk telepon seluler yang berbasiskan Linux
(Entprise,2010). Android menyediakan platform terbuka bagi para pengembang untuk
menciptakan aplikasi mereka sendiri sehingga dapat digunakan oleh bermacam peranti
penggerak. Untuk mengembangkan Android di bentuklah Open Handset Alliance yang
merupakan gabungan dari 34 perusahaan peranti keras, peranti lunak dan
telekomunikasi termasuk Google, HTC, Intel, Motorola, Qualcomm, TMobile, dan
Nvidia.
Pada saat perilisan perdana Android pada tanggal 5 November 2007, Android
bersama Open Handset Alliance menyatakan mendukung pengembangan
pada
perangkat seluler. Pertama yang dapat dukungan penuh dari Google atau Google Mail
Service (GMS) dan kedua adalah yang benar-benar bebas distribusinya tanpa dukungan
langsung dari Google atau dikenal sebagai Open Handset Distribution (DHD)
(Ardiansyah, 2011). Sejak April 2009, masing-masing versi android dirilis sesuai urutan
alfabet. Berikut adalah rangkaian perjalanan Android dan logo dari Android pada
Gambar 2.7
1. Kerjasama Android Inc. dengan 7. Android Versi 2.2 (Froyo)
Google Inc.
8. Android Versi 2.3 (Gingerbread)
2. 2007-2008 perjalanan awal Android
9. Android Versi 3.0 (Honeycomb)
3. Android Versi 1.1
10. Android Versi 4.0 (ICS)
4. Android Versi 1.5 (Cupcake)
11. Android Versi 4.1-4.3 (Jelly Bean)
5. Android Versi 1.6 (Donut)
12. Android Versi 4.4 (KitKat)
6. Android Versi 2.0/2.1 (Eclair)
13. Android Versi 5.0 (Lollipop)
Gambar 2.7. Logo Android
Universitas Sumatera Utara
27
2.8. Penelitian Yang Relevan
Berikut ini adalah beberapa penelitian tentang kriptografi yang berkaitan dengan
Algoritma Hill Cipher dan Rabin Public Key :
1. Wandani,H (2012) dengan judul “Implementasi Sistem Keamanan Data dengan
Menggunakan Teknik Steganografi End of File (EOF) dan Rabin Public Key
Cryptosystem” dengan kesimpulan bahwa kombinasi plaintext dan kunci
tertentu. Terdapat hasil dekripsi yang berbeda dari plaintext yang sebenarnya
dikarenakan pada saat sistem memeriksa 4 (empat) kemungkinan nilai plaintext,
terdapat 2 (dua) atau lebih nilai kemungkinan plaintext yang memenuhi syarat
sebagai plaintext yang sebenarnya. Sehingga sistem ini akan mengambil nilai
kemungkinan plaintext yang pertama sekali memenuhi syarat sebagai plaintext
yang sebenarnya.
2. Harahap, A.A (2014) dengan judul “Implementasi Sistem Keamanan Data
Menggunakan Steganografi Teknik Pemetaan Titik Hitam dengan Pencarian
Sekuensial dan Rabin Cryptosystem” dengan kesimpulan bahwa proses enkripsi
relatif lebih cepat dibandingkan dengan proses dekripsi pada algoritma
kriptografi Rabin dan proses ekstraksi gambar relatif lebih cepat dibandingkan
dengan proses penyisipan pada steganografi teknik pemetaan titik hitam dengan
pencarian sekuensial.
3. Nasution,R.N.N (2015) dengan judul “Impementasi Algoritma Hill Cipher dan
RSA pada Enkripsi Hybrid Pesan SMS di Android” dengan kesimpulan bahwa
kedua algoritma yang digunakan untuk melakukan proses enkripsi masingmasing algoritma memiliki kelebihan masing-masing.
Universitas Sumatera Utara