T1 662010008 Full text
PENDAHULUAN
Mocorin yang merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan
bekatul dibuat dalam upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk
orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga
digali potensi lokal yang berbasis non beras. Ada lima macam proporsi penambahan
bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50% untuk masing-masing
kandungan proksimat. Telah dilakukan penghitungan secara statistik dalam menentukan
dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung dan bekatul
untuk mengoptimalkan kandungan proksimat. Namun, kelemahan perhitungan secara
statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal
yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, dilakukan penelitian untuk
mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai
pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat dan
protein. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi eksponensial, dan pencarianpencarian parameter-parameter fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil.
Penelitan ini dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika
untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan
Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.
Penelitian kedua merupakan pengembangan dari penelitian yang pertama. Pada
penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan dengan menggunakan AG pada
masing-masing fungsi tujuan, sedangkan pada penelitian kedua dilakukan pengoptimalan
dengan AG untuk semua fungsi tujuan.
Rumusan Masalah
Sebagai rumusan masalah dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan
kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan?
2. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi
penderita kolesterol dengan menggunakan AG untuk fungsi tujuan lebih dari satu?
xii
Tujuan
1. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan
kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan.
2. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi
penderita kolesterol dengan menggunakan AG dengan seluruh fungsi tujuan
yang dioptimalkan secara simultan.
Batasan Masalah
Data yang digunakan adalah data sekunder dari hasil penelitian pembuatan
mocorin yang dilakukan Silvia (2012).
Penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :
1. Penggunaan Algoritma Genetik dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat
dan Protein pada Mocorin. Dipublikasikan pada Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan
Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan
oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.
2. Pencarian Proporsi Penambahan Bekatul pada Mocorin yang Baik Dikonsumsi
Oleh
Penderita
Kolesterol
dengan
Menggunakan
Algoritma
Genetik
Multiobjective Function. Dipresentasikan pada ujian skripsi pada tanggal 29
Januari 2014.
xiii
MAKALAH I
xiv
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM
MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN
PROTEIN PADA MOCORIN
Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3
1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2,3
Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1
ruthkristianingsihh@yahoo.co.id, 2hannaariniparhusip@yahoo.co.id,
3
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan
karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah
kandungan kadar karbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta
kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan
data dan dicari masing-masing parameter dengan metode kuadrat terkecil.
Masing-masing parameter diuji dengan mengamati nilai eigen matriks
Hessian residual. Setelah parameter fungsi tujuan optimal, fungsi tujuan
dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG). Diperoleh
kadar karbohidrat maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan
kadar protein maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 50%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks
Hessian
A. PENDAHULUAN
Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul.
Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan
pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat
pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu
varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil
penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai
gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk
mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan
serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%,
25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak
dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para
pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk
mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai
pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
AG dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dan pemodelan
pada berbagai bidang, seperti pada bidang kimia digunakan untuk mengestimasi
parameter pada model kinetic (Katare, dkk., 2008) dan optimasi pada sekumpulan proses
kimia (Mokeddem, 2010). Selain digunakan di bidang kimia, AG dapat digunakan di
bidang ekonomi, seperti memodelkan cobweb-type (Dawid, dkk., 1998); di bidang
penjadwalan telah digunakan untuk mengoptimasi masalah penjadwalan flow-shop
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
(Gunawan, 2003) dan optimasi penjadwalan kegiatan belajar mengajar (Nugraha, 2008);
di bidang fisika diaplikasikan untuk mengatasi permasalahan pada acelerator fisika
(Hofler, dkk., 2013). Oleh karena itu, AG digunakan pada penelitian ini karena algoritma
ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust (tangguh), adaptif, dan efisien
(Goldberg, 1989).
B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi
tujuan untuk karbohidrat dan protein.
Karbohidrat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi
eksponensial:
(1)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana
pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu
meminimalkan :
∑
(2)
dimana
adalah persamaan (1) . Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik
kritis R yang diperoleh harus memenuhi kondisi R 0 atau
T
R R R =
R
0
(3)
Persamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik.
Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh
merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah (
). Untuk menyelidiki sifat (
)
perlu diamati sifat Hessian R di (
) (Parhusip, 2012) , yaitu
(4)
[
]
Jika matrik
semi positive definite dimana nilai eigen λ ≥ 0, maka (
) merupakan
peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan
dengan menggunakan algoritma genetik.
Protein
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi
eksponensial :
(5)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a dan b pada
persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan :
∑
(6)
dimana
adalah persamaan (5) . Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis
R yang diperoleh harus memenuhi kondisi R 0 atau
T
R R =
R
a b
0
(7)
Sama seperti persamaan (3), persamaan (7) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu
diselesaikan secara numerik. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R,
sebutlah (
). Untuk menyelidiki sifat (
) perlu diamati sifat Hessian R di (
), yaitu
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
[
]
(8)
Jika matriks
semi positive definite yaitu dimana nilai eigen λ pada ≥ 0, maka (
)
merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan
perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Prosedur Umum Algoritma Genetik
Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan
perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik
(AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini
dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom.
Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh
operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masingmasing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness.
Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk
disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk
(parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak
(offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu
operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa
generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah
yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi
optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal
(Yang, 2005).
Komponen-komponen Algoritma Genetik
Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic.
Representasi Kromosom
Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan
(encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom
yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg,
1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan
satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain
dikodekan dalam kromosom
sebanyak q, maka vektor desainnya direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao,
2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang
bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi.
Seleksi dan Reproduksi
Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi
generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (direproduksi) lalu hasilnya
ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan
mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam
cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan
hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya.
Penyilangan (Crossover)
Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada
sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan
beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas crossover
digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100%
kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu
100%
kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru.
Mutasi (Mutation)
Mutasi adalah operator sekunder yang berperan dalam mengubah struktur kromosom secara
spontan dengan probabilitas mutasi
yang kecil. Perubahan ini menyebabkan terbentuknya
mutan, yaitu kromosom baru yang secara genetik berbeda dari kromosom sebelumnya. Operator
ini mengubah bilangan biner 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Dipilih bilangan acak antara 0 dan 1, jika
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
bilangan tersebut lebih kecil dari
maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari
solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang
pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul
pada generasi-generasi sebelumnya.
Fungsi Fitness (Fungsi tujuan)
Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu
populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi
sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi
berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah
yang akan diselesaikan.
Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness
F ( x1 , x 2 ,..., x n ) dalam AG dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (Rao,
2009)
1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desain sebanyak
n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m,
probabilitas crossover p c , probabilitas mutasi p m , nilai-nilai yang diijinkan untuk
standar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi
konvergen, dan iterasi maksimum
imax
s
j max untuk
menggunakan kriteria
.
2) Dibuat populasi acak dengan ukuran m, setiap populasi terdiri dari suatu kromosom
dengan panjang l=nq. Nilai-nilai fitness Fi , i 1,2..., m dengan string sebanyak m
dievaluasi.
3) Proses reproduksi.
4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover p c
5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasi p m
6) Nilai-nilai fitness Fi , i 1,2..., m dari m string dari populasi yang baru dievaluasi.
Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m.
7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika s j s j
max
, kriteria konvergen
terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8.
8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika i im ax , komputasi telah dibentuk untuk
banyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat
dihentikan. Sebaliknya , membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju
langkah 3.
C. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data percobaan pembuatan Mocorin yang
dilakukan Silvia (2012) dengan mengukur kadar karbohidrat dan protein dengan masing-masing
proporsi penambahan bekatul sebesar 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Kadar karbohidrat pada
percobaan ini dipengaruhi oleh absorbansi dan massa, sedangkan protein dipengaruhi oleh
absorbansi. Penelitian dilakukan untuk mengetahui proporsi dimana kadar protein dan karbohidrat
maksimal dengan menggunakan AG. Oleh karena itu, pertama-tama akan dilakukan pemodelan
untuk menyusun fungsi tujuan. Pencarian parameter pada fungsi tujuan menggunakan metode
kuadrat terkecil dengan bantuan fungsi lsqnonlin.m pada Matlab. Pada tahap selanjutnya,
dilakukan analisa apakah parameter-parameter yang dicari sudah optimal dengan menyelidiki nilai
eigen pada matriks Hessian residual. Setelah didapatkan bahwa parameter-parameter yang dicari
optimal, fungsi tujuan diselesaikan dengan menggunakan AG dengan bantuan Matlab.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
D. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat
dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut :
Karbohidrat
Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan
absorbansi. Menurut persamaan (1),
dicari berdasarkan data.
Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter
maka perlu meminimalkan
:
∑
(9)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan
menggunakan fungsi lsqnonlin.m.
Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari
masing-masing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan
mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel
1 berikut :
Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m
Penelitian
Error
Parameter
Fungsi Tujuan
Matriks Hessian R
Nilai Eigen
Matriks Hessian
Kasus 1
3,3238 %
[
Kasus 2
16,2568 %
=0.7883, =-0.3661,
]
=1.2490
[
Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut :
Kasus 1
Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1
cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak
jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai
eigen matriks hessian R pada
, menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi
positive definite, sehingga nilai parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak
dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data.
Kasus 2
Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu
16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada
menunjukkan bahwa matriks
Hessian residual positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap
selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan
menggunakan AG.
Diperoleh hasil kadar karbohirat maksimum yaitu pada sekitar
60,5871%
dengan pemaksimum massa 0,1187 dan pemaksimum absorbansi 0,6266. Dapat
disimpulkan bahwa diperoleh hasil karbohidrat maksimum adalah pada penambahan
bekatul 0%, yang artinya karbohidrat akan maksimum jika tidak ada penambahan bekatul.
Namun, diinginkan karbohidrat maksimum dengan ditambahkannya bekatul. Oleh karena
itu, selanjutnya akan dilakukan penghitungan untuk menentukan pada proporsi
penambahan bekatul berapakah kandungan karbohidrat akan maksimal.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
]
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Penelitian dilakukan dengan menghilangkan data dengan penambahan bekatul
0%. Maka diperoleh nilai parameter
=0,7799,
=-0,2377, =1,2033 dengan error
13,4892% dan nilai eigen matriks Hessiannya adalah
dimana menunjukkan bahwa matrik Hessian positive definite, sehingga dapat disimpulkan
bahwa nilai parameter optimal. Dengan fungsi tujuan
dicari nilai kadar karbohidrat yang optimal dengan AG. Diperoleh hasil kadar karbohidrat
maksimum yaitu pada sekitar
51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan
pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu
yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat
disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul
sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik.
Protein
Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan
sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data
protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti
ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan
interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat
untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein
Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial :
dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh
karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan
pendekatannya.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan
Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b =
11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R
untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2] ’ yang
merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal.
Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari
dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104%
diperoleh 0,3946 yang
dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari
berarti nilai
bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup
besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai
proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan
hasil statistik.
E. PENUTUP
Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin
dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai
pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar
51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482.
Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein
optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %.
F. DAFTAR PUSTAKA
Dawid, Herbert and Kopel, Michael. 1998. On economic applications of genetic
algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : 297-315.
Goldberg, D.E., 1989. Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine
Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Gunawan, H. 2003. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan
Flow-Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy.
Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin. 2013. Innovative applications of
genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel.
Beams 16.
Mokeddem, D. and A. Khellaf. 2010. Multicriteria Optimization of Multiproduct Batch
Chemical Process Using Genetic Algorithm. Journal of Food Process
Engineering. Vol. 33 Issue 6, pages 979-991.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Nugraha, I. 2008. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan
Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika,
Program Studi Teknik Informatika. Bandung.
Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012. Optimization Of Colour Reduction For Producing
Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding
of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN:22527761,Vol1, pp91-101, GMU.
Peressini, A.L,et.all, 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer
Verlag, New York, Inc.
Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada.
Silvia,L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas
Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi,
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian. 2004. A
hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic
models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp. 2569–2581.
Yang, W.Y, Cao,W, Chung, T-S, Morris,J . 2005, Applied Numerical Methods Using
MATLAB ®. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, Hoboken.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
MAKALAH II
Pencarian Proporsi Penambahan Bekatul pada Mocorin yang Baik
Dikonsumsi oleh Penderita Kolesterol dengan Menggunakan Algoritma
Genetik Multiobjective Function
Ruth Kristianingsih 1), Hanna Arini Parhusip 2), Tundjung Mahatma 3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2), 3)
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)
662010008@student.uksw.edu, 2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id,
3)
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini mengkaji penelitian tentang pencarian proporsi penambahan bekatul pada
mocorin yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Kriteria makanan yang
baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah makanan dengan protein
dan lemak yang rendah, namun memiliki kandungan serat yang tinggi. Selanjutnya
dibuat pemodelan data dan dicari parameter untuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan
dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG) multiobjective function.
Diperoleh proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi oleh para
penderita kolesterol adalah 25%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik Mutiobjective Function, SVD
PENDAHULUAN
Pada penelitian Kristianingsih dkk (2013), telah dibahas tentang penggunaan
algoritma genetik (AG) dalam pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein pada
mocorin. Parameter fungsi tujuan karbohidrat dicari dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil dan menghasilkan error yang cukup kecil, yaitu 13,4892%. Selanjutnya
nilai kadar karbohidrat dioptimalkan dengan menggunakan AG dan dihasilkan kadar
karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar
51,4269% dengan pemaksimum massa
0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482 yaitu pada proporsi penambahan bekatul
sebanyak 12,5%. Namun pada penelitian pencarian nilai parameter fungsi tujuan kadar
protein, dihasilkan nilai error masih besar yaitu sebesar 33,2679% yang dimungkinkan
karena pemilihan model data yang kurang tepat. Pada pengoptimalan dengan
menggunakan AG dihasilkan nilai protein optimal 38,0104% dengan pemaksimum
karbohidrat sebesar 19,9167 % dan diketahui pada proporsi penambahan bekatul agar
protein optimal adalah 50%. Hasil ini diperoleh dimana fungsi tujuan dioptimalkan secara
terpisah.
Selanjutnya dalam makalah ini, dicari fungsi tujuan untuk protein sehingga didapat
nilai error yang cukup kecil. Sekaligus juga dicari proporsi mocorin yang baik untuk
dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Menurut hasil studi di University of Maryland
Medical Center, makanan yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah
makanan yang memiliki kandungan serat yang tinggi, namun rendah protein dan lemak
(Kompas, 2012). Serat, protein, dan lemak akan dibuat dalam fungsi karbohidrat dan
massa. Penelitian menggunakan AG dengan multiobjective function untuk mencari
proporsi penambahan bekatul mocorin yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol.
DASAR TEORI
Algoritma Genetik dengan Multiobjective Function
Cukup sering, dalam tugas-tugas rekayasa, ada beberapa kriteria yang harus
dipenuhi. Seringkali masing-masing dari kriteria tersebut bertentangan dan tidak dapat
mencapai nilai optimum pada saat yang sama, sehingga pada saat meningkatnya nilai satu
kriteria dapat memperburuk nilai kriteria yang lain. Hal ini menyebabkan timbulnya
pertanyaan bagaimana menggunakan kriteria untuk menemukan solusi optimal dan
bagaimana mencari ruang parameter.
Oleh karena itu dibuat metode pemilihan yang dihitung kelompok metode Pareto.
(Popov, 2005). Hal ini sejalan dengan prinsip dimana tidak ada satu pun solusi yang
mampu memberikan hasil yang lebih optimal dari salah satu fungsi tujuan yang ada tanpa
mengorbankan fungsi tujuan lainnya (Mahmudy, dkk, 2011).
Diasumsikan ada k fungsi tujuan yang akan diminimumkan :
Dimana k ≥ 2 dan C =
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
, ̅
merupakan fungsi kendala, ̅ merupakan vektor dari variabel keputusan,
batas bawah dan
̅
(1)
̅ dan
̅
merupakan
merupakan batas atas. Jika sebuah fungsi kendala mempunyai bentuk
≥ c maka dapat diubah menjadi –
̅ +c≤0. Konsep skalar dari nilai optimum
tidak biasa diterapkan secara langsung pada kasus multiobjective. Konsep penggantinya
adalah optimum pareto. Vektor ̅
dikatakan optimum pareto jika semua vektor ̅
yang lain mempunyai nilai yang lebih tinggi setidaknya untuk satu fungsi objektif.
Optimasi dengan mutiobjective function mendapatkan perhatian yang signifikan dari para
peneliti. Telah dilakukan penelitian dalam menyelesaikan optimasi dengan mutiobjective
function menggunakan Particle Swarm Optimization (PSO) dengan hasil ditemukan
beberapa solusi pareto-optimal secara efisien. (Xiaohui, dkk, 2002) Selain itu ada
beberapa penelitian sejenis yaitu Ant Colony Optimization (ACO) untuk menyelesaikan
2
optimasi dengan mutiobjective function pada penentuan portofolio proyek. (Doerner, dkk,
2004) Simulated Anneling (SA) juga cukup berhasil dalam menyelesaikan berbagai
masalah optimasi dengan mutiobjective function. (Bandypadhyay, dkk, 2008)
Salah satu pengembangan dari algoritma genetik adalah untuk mencapai suatu
Multiple Objective Optimization dimana tujuan yang ingin dicapai lebih dari satu.
Pengembangan algoritma genetik ini disebut algoritma genetik pareto yang diawali
dengan suatu populasi dengan jumlah member yang banyak. Algortima genetik pareto
disini bekerja dengan dua objective function atau lebih. Algoritma genetik pareto
membutuhkan ukuran populasi yang besar untuk dapat bekerja dengan baik dalam
usahanya untuk membentuk suatu grafik pareto. (Umi P., dkk, 2011)
Pareto optimal set adalah sebuah kumpulan solusi non dominan yang
berhubungan satu sama lain ketika berpindah ke solusi pareto yang lain. Kumpulan solusi
optimal pareto seringkali mengacu kepada solusi tunggal karena dapat diaplikasikan
berdasarkan pada masalah yang terdapat dalam kehidupan nyata. Pareto optimal set
mempunyai ukuran yang bervariasi, namun ukuran pareto set bertambah seiring dengan
bertambahnya fungsi tujuan.
Model Fungsi Tujuan untuk Protein, Lemak, dan Serat
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan
untuk protein, lemak, dan serat.
Protein dan Lemak
Pada penelitian ini, digunakan fungsi tujuan kuadratik untuk fungsi tujuan protein
dan lemak dengan parameter-parameternya dicari menggunakan Singular Value
Decomposition (SVD). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah
(2)
Persamaan (2) dalam bentuk matriks dapat ditulis:
⃑
dimana
⃑
(3)
A=
[
(4)
⃑
]
3
x i = data ke- i variabel 1
y i = data ke- i variabel 2
⃑
S i = data ke- i variabel 3
i = 1,2,...,n; n= banyaknya data
= parameter fungsi tujuan j = 1,2,...,4
(5)
Menurut Watkins (1991) pada persamaan (5) jika matriks Aϵ R
rank r, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen
mempunyai
U ϵ Rnxn, Σ
Σ ϵ Rnxm, dan V adalah matriks dengan
adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen
V ϵ Rmxm.
kolom-kolom dari vektor eigen
nxm
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:
Misal ⃗
⃑ dan ⃗
⃑
⃑ , maka
Persamaan (3) diselesaikan dengan:
⃑ atau
⃗
⃑
⃗ sehingga ⃗
⃑
⃗
Error= E =
‖ ̅
⃑
(6)
⃗
(7)
Untuk mengetahui apakah parameter sudah optimal atau belum, dapat dicari error :
‖ ̅
‖
̅
‖
. 100%
Serat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah
fungsi eksponensial:
(8)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan Serat sebagai fungsi karbohidrat dan massa
dimana
pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,
yaitu meminimalkan :
∑
(9)
METODE PENELITIAN
Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh penelitian Silvia L. (2012).
1. Data kandungan proksimat kadar protein, kadar lemak, dan kadar serat
dioptimalkan dengan menggunakan AG multiobjective function, dengan parameter
fungsi tujuan ditentukan menggunakan SVD.
2. Penyusunan dan penyelesaian model
a) Pencarian masing-masing fungsi tujuan untuk kadar protein, kadar lemak, dan
kadar serat menggunakan SVD.
4
b) Pengoptimalan fungsi tujuan menggunakan AG multiobjective function.
3. Analisis hasil dan pembahasan
4. Pembuatan kesimpulan.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka dicari fungsi tujuan untuk masingmasing kadar protein, lemak, dan serat sebagai berikut :
Fungsi Tujuan Protein
Dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa nilai error untuk menentukan
parameter fungsi tujuan sangat besar yaitu 33,2679%, sehingga dapat diasumsikan model
tidak terlalu cocok untuk data protein. Pada penelitian ini, akan dimodelkan kembali
fungsi tujuan untuk kadar protein dengan menggunakan persamaan kuadratik.
Diasumsikan nilai protein dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa. Menurut
persamaan
(2)
nilai
dicari.
Untuk
mencari
parameter
perlu diselesaikan persamaan :
(10)
dengan k adalah karbohidrat dan m adalah massa. Didapatkan hasil
. Sedangkan nilai error-nya adalah 17.5005% yang
cukup kecil jika dibandingkan dengan penelitian sebelumnya. Gambar 1 berikut
menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
1.2
hasil
pendekatan
1
fungsi tujuan
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
15
20
25
indeks
Gambar 1. Grafik kadar protein data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD
Fungsi Tujuan Lemak
5
Diasumsikan pula nilai lemak dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa.
Maka fungsi tujuan untuk lemak dengan menggunakan SVD adalah
(11)
Dengan nilai error 6.6190% yang diasumsikan bahwa model sudah sesuai dengan
data lemak. Gambar 2 berikut menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
1
hasil
pendekatan
0.95
0.9
fungsi tujuan
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0
5
10
15
20
25
indeks
Gambar 2. Grafik kadar lemak data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD
Fungsi Tujuan Serat
Diasumsikan bahwa kadar serat dipengaruhi oleh karbohidrat dan massa.
Selanjutnya, menurut persamaan (8), nilai parameter
dicari agar fungsi tujuan dapat
dioptimasi.
Sesuai persamaan(9) untuk mencari parameter
∑
maka perlu meminimalkan:
(12)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan fungsi Matlab
lsqnonlin.m. Dihasilkan parameter fungsi tujuan a= 1.4254, b=2.0401, dan c= -0.3639
dengan error sebesar 21.2090%.
Setelah fungsi tujuan dari masing-masing kadar dicari, ketiga fungsi tujuan dicari
dengan menggunakan AG mutiobjective function.
Pengoptimalan kadar serat, protein, dan lemak dengan menggunakan AG
multiobjective function
Telah diketahui bahwa makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol adalah makanan dengan kandungan serat yang tinggi namun rendah akan
6
lemak dan protein. (Kompas, 2012) Oleh karena itu, fungsi tujuan untuk protein, lemak,
dan protein berturut-turut adalah sebagai berikut :
Min
Min
Max
dengan 0
.
Kemudian, fungsi-fungsi tujuan tersebut diolah dengan menggunakan AG multiobjective.
Dipilih hasil yang optimal yaitu proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang
benar-benar baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol pada penambahan
bekatul sebanyak 25%, yaitu dengan kadar karbohidrat k = 44,32321% dan massa m =
0.136 gram. Dengan kombinasi karbohidrat dan massa pada proporsi penambahan bekatul
sebesar 25% didapatkan kadar protein sebanyak P = 23.127875%, lemak sebanyak L =
7.5249%, dan serat sebanyak S = 3.83743%.
Penutup
Dalam makalah ini telah ditunjukkan bagaimana menggunakan Algoritma Genetik
multiobjective function untuk mencari proporsi penambahan bekatul pada mocorin,
sehingga baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Dengan memaksimumkan
kadar serat, dan meminimumkan kadar protein serta kadar lemak, diperoleh hasil yaitu
mocorin dengan penambahan bekatul sebanyak 25%.
Daftar Pustaka
Bandypadhyay S,S. Saha, U. Maulik, and K. Deb. 2008. A Simulated Annealing-Based
Multiobjective Optimization Algorithm: AMOSA.Evolutionary Computation,
IEEE Transactions on 12(3): 269-283.
Doerner, K. Gutjahr, W. Hartl R, Strauss C, and Stummer C. 2004. Pareto Ant Colony
Optimization:
A
Metaheuristic
Approach
to
Multiobjective
Portfolio
Selection.Annals of Operations Research. 131(1): 79-99.
Kristianingsih, R. Parhusip, H.A. & Mahatma, T. 2013. Penggunaan Algoritma Genetik
dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema
”Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang
7
Lebih Baik” pada tanggal 9 November 2013. Yogyakarta : Universitas Negeri
Yogyakarta.
Mahmudy, W.F. Rahman, M.A. 2011. Optimasi Fungsi Multi-Obyaktif Berkendala
Menggunakan Algoritma Genetik Adaptif Dengan Pengkodean Real. Jurnal
Ilmiah ”Kursor” Vol 6 No. 1 Januari 2011. ISSN 0216-0544.
Mikail, Bramirus. 2012. 4 Makanan Sumber Kolesterol Baik. Kompas, 18 Mei 2012.
Umi P, Fitria. Santoso, T.B. Kristalina, P. 2011. Simulasi Coverage pada Wireless Sensor
Network dengan Menggunakan Algoritma Genetik Pareto. Surabaya : Institut
Teknologo Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Popov, Andrey. 2005. Genetics Algorithm for Optimization.Germany : Hamburg.
Silvia L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas
Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas
Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Xiaohui, H. and Eberhart R. 2002. Multiobjective Optimization Using Dynamic
Neighborhood Particle Swarm Optimization. In Proceedings of the 2002 Congress
on Evolutionary Computation, pp. 1677-1681.
Watkins, D.S. (1991). Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New
York.
8
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan kedua makalah tersebut dapat disimpulkan :
1. Error yang diperoleh menggunakan Singular Value Decomposition (SVD) untuk
menentukan parameter-parameter fungsi tujuan lebih kecil dibandingkan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
2. Algoritma Genetik dapat menyelesaikan berbagai permasalahan optimisasi baik
dengan satu fungsi tujuan maupun banyak fungsi tujuan.
3. Pada penelitian ini, diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum terdapat pada
proporsi penambahan bekatul sebesar 12,5%, kadar protein maksimum terdapat
pada proporsi penambahan bekatul sebesar 50%, dan proporsi penambahan
bekatul pada mocorin yang baik untuk dikonsumsi pada penderita kolesterol
adalah sebesar 25% dengan memaksimumkan serat, dan meminimumkan protein
dan lemak.
B. Saran
Berdasarkan kedua makalah yang telah dikaji, saran yang dapat diberikan adalah :
1. Untuk pengkajian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mengganti fungsi tujuan
sehingga dapat diperoleh model yang lebih cocok dengan data.
2. Penelitian serupa dapat dilakukan dengan menggunakan optimasi-optimasi
modern lainnya misalnya Ant Colony Optimization, Simulated Annealing, atau
menggunakan Particle Swarm Optimization.
Mocorin yang merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan
bekatul dibuat dalam upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk
orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga
digali potensi lokal yang berbasis non beras. Ada lima macam proporsi penambahan
bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50% untuk masing-masing
kandungan proksimat. Telah dilakukan penghitungan secara statistik dalam menentukan
dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung dan bekatul
untuk mengoptimalkan kandungan proksimat. Namun, kelemahan perhitungan secara
statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal
yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, dilakukan penelitian untuk
mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai
pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat dan
protein. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi eksponensial, dan pencarianpencarian parameter-parameter fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil.
Penelitan ini dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika
untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan
Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.
Penelitian kedua merupakan pengembangan dari penelitian yang pertama. Pada
penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan dengan menggunakan AG pada
masing-masing fungsi tujuan, sedangkan pada penelitian kedua dilakukan pengoptimalan
dengan AG untuk semua fungsi tujuan.
Rumusan Masalah
Sebagai rumusan masalah dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan
kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan?
2. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi
penderita kolesterol dengan menggunakan AG untuk fungsi tujuan lebih dari satu?
xii
Tujuan
1. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan
kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan.
2. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi
penderita kolesterol dengan menggunakan AG dengan seluruh fungsi tujuan
yang dioptimalkan secara simultan.
Batasan Masalah
Data yang digunakan adalah data sekunder dari hasil penelitian pembuatan
mocorin yang dilakukan Silvia (2012).
Penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :
1. Penggunaan Algoritma Genetik dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat
dan Protein pada Mocorin. Dipublikasikan pada Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan
Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan
oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.
2. Pencarian Proporsi Penambahan Bekatul pada Mocorin yang Baik Dikonsumsi
Oleh
Penderita
Kolesterol
dengan
Menggunakan
Algoritma
Genetik
Multiobjective Function. Dipresentasikan pada ujian skripsi pada tanggal 29
Januari 2014.
xiii
MAKALAH I
xiv
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM
MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN
PROTEIN PADA MOCORIN
Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3
1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2,3
Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1
ruthkristianingsihh@yahoo.co.id, 2hannaariniparhusip@yahoo.co.id,
3
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan
karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah
kandungan kadar karbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta
kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan
data dan dicari masing-masing parameter dengan metode kuadrat terkecil.
Masing-masing parameter diuji dengan mengamati nilai eigen matriks
Hessian residual. Setelah parameter fungsi tujuan optimal, fungsi tujuan
dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG). Diperoleh
kadar karbohidrat maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan
kadar protein maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 50%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks
Hessian
A. PENDAHULUAN
Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul.
Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan
pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat
pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu
varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil
penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai
gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk
mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan
serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%,
25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak
dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para
pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk
mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai
pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
AG dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dan pemodelan
pada berbagai bidang, seperti pada bidang kimia digunakan untuk mengestimasi
parameter pada model kinetic (Katare, dkk., 2008) dan optimasi pada sekumpulan proses
kimia (Mokeddem, 2010). Selain digunakan di bidang kimia, AG dapat digunakan di
bidang ekonomi, seperti memodelkan cobweb-type (Dawid, dkk., 1998); di bidang
penjadwalan telah digunakan untuk mengoptimasi masalah penjadwalan flow-shop
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
(Gunawan, 2003) dan optimasi penjadwalan kegiatan belajar mengajar (Nugraha, 2008);
di bidang fisika diaplikasikan untuk mengatasi permasalahan pada acelerator fisika
(Hofler, dkk., 2013). Oleh karena itu, AG digunakan pada penelitian ini karena algoritma
ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust (tangguh), adaptif, dan efisien
(Goldberg, 1989).
B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi
tujuan untuk karbohidrat dan protein.
Karbohidrat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi
eksponensial:
(1)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana
pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu
meminimalkan :
∑
(2)
dimana
adalah persamaan (1) . Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik
kritis R yang diperoleh harus memenuhi kondisi R 0 atau
T
R R R =
R
0
(3)
Persamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik.
Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh
merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah (
). Untuk menyelidiki sifat (
)
perlu diamati sifat Hessian R di (
) (Parhusip, 2012) , yaitu
(4)
[
]
Jika matrik
semi positive definite dimana nilai eigen λ ≥ 0, maka (
) merupakan
peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan
dengan menggunakan algoritma genetik.
Protein
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi
eksponensial :
(5)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a dan b pada
persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan :
∑
(6)
dimana
adalah persamaan (5) . Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis
R yang diperoleh harus memenuhi kondisi R 0 atau
T
R R =
R
a b
0
(7)
Sama seperti persamaan (3), persamaan (7) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu
diselesaikan secara numerik. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R,
sebutlah (
). Untuk menyelidiki sifat (
) perlu diamati sifat Hessian R di (
), yaitu
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
[
]
(8)
Jika matriks
semi positive definite yaitu dimana nilai eigen λ pada ≥ 0, maka (
)
merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan
perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Prosedur Umum Algoritma Genetik
Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan
perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik
(AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini
dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom.
Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh
operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masingmasing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness.
Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk
disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk
(parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak
(offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu
operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa
generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah
yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi
optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal
(Yang, 2005).
Komponen-komponen Algoritma Genetik
Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic.
Representasi Kromosom
Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan
(encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom
yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg,
1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan
satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain
dikodekan dalam kromosom
sebanyak q, maka vektor desainnya direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao,
2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang
bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi.
Seleksi dan Reproduksi
Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi
generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (direproduksi) lalu hasilnya
ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan
mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam
cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan
hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya.
Penyilangan (Crossover)
Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada
sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan
beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas crossover
digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100%
kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu
100%
kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru.
Mutasi (Mutation)
Mutasi adalah operator sekunder yang berperan dalam mengubah struktur kromosom secara
spontan dengan probabilitas mutasi
yang kecil. Perubahan ini menyebabkan terbentuknya
mutan, yaitu kromosom baru yang secara genetik berbeda dari kromosom sebelumnya. Operator
ini mengubah bilangan biner 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Dipilih bilangan acak antara 0 dan 1, jika
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
bilangan tersebut lebih kecil dari
maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari
solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang
pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul
pada generasi-generasi sebelumnya.
Fungsi Fitness (Fungsi tujuan)
Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu
populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi
sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi
berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah
yang akan diselesaikan.
Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness
F ( x1 , x 2 ,..., x n ) dalam AG dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (Rao,
2009)
1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desain sebanyak
n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m,
probabilitas crossover p c , probabilitas mutasi p m , nilai-nilai yang diijinkan untuk
standar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi
konvergen, dan iterasi maksimum
imax
s
j max untuk
menggunakan kriteria
.
2) Dibuat populasi acak dengan ukuran m, setiap populasi terdiri dari suatu kromosom
dengan panjang l=nq. Nilai-nilai fitness Fi , i 1,2..., m dengan string sebanyak m
dievaluasi.
3) Proses reproduksi.
4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover p c
5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasi p m
6) Nilai-nilai fitness Fi , i 1,2..., m dari m string dari populasi yang baru dievaluasi.
Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m.
7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika s j s j
max
, kriteria konvergen
terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8.
8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika i im ax , komputasi telah dibentuk untuk
banyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat
dihentikan. Sebaliknya , membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju
langkah 3.
C. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data percobaan pembuatan Mocorin yang
dilakukan Silvia (2012) dengan mengukur kadar karbohidrat dan protein dengan masing-masing
proporsi penambahan bekatul sebesar 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Kadar karbohidrat pada
percobaan ini dipengaruhi oleh absorbansi dan massa, sedangkan protein dipengaruhi oleh
absorbansi. Penelitian dilakukan untuk mengetahui proporsi dimana kadar protein dan karbohidrat
maksimal dengan menggunakan AG. Oleh karena itu, pertama-tama akan dilakukan pemodelan
untuk menyusun fungsi tujuan. Pencarian parameter pada fungsi tujuan menggunakan metode
kuadrat terkecil dengan bantuan fungsi lsqnonlin.m pada Matlab. Pada tahap selanjutnya,
dilakukan analisa apakah parameter-parameter yang dicari sudah optimal dengan menyelidiki nilai
eigen pada matriks Hessian residual. Setelah didapatkan bahwa parameter-parameter yang dicari
optimal, fungsi tujuan diselesaikan dengan menggunakan AG dengan bantuan Matlab.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
D. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat
dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut :
Karbohidrat
Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan
absorbansi. Menurut persamaan (1),
dicari berdasarkan data.
Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter
maka perlu meminimalkan
:
∑
(9)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan
menggunakan fungsi lsqnonlin.m.
Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari
masing-masing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan
mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel
1 berikut :
Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m
Penelitian
Error
Parameter
Fungsi Tujuan
Matriks Hessian R
Nilai Eigen
Matriks Hessian
Kasus 1
3,3238 %
[
Kasus 2
16,2568 %
=0.7883, =-0.3661,
]
=1.2490
[
Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut :
Kasus 1
Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1
cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak
jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai
eigen matriks hessian R pada
, menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi
positive definite, sehingga nilai parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak
dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data.
Kasus 2
Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu
16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada
menunjukkan bahwa matriks
Hessian residual positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap
selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan
menggunakan AG.
Diperoleh hasil kadar karbohirat maksimum yaitu pada sekitar
60,5871%
dengan pemaksimum massa 0,1187 dan pemaksimum absorbansi 0,6266. Dapat
disimpulkan bahwa diperoleh hasil karbohidrat maksimum adalah pada penambahan
bekatul 0%, yang artinya karbohidrat akan maksimum jika tidak ada penambahan bekatul.
Namun, diinginkan karbohidrat maksimum dengan ditambahkannya bekatul. Oleh karena
itu, selanjutnya akan dilakukan penghitungan untuk menentukan pada proporsi
penambahan bekatul berapakah kandungan karbohidrat akan maksimal.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
]
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Penelitian dilakukan dengan menghilangkan data dengan penambahan bekatul
0%. Maka diperoleh nilai parameter
=0,7799,
=-0,2377, =1,2033 dengan error
13,4892% dan nilai eigen matriks Hessiannya adalah
dimana menunjukkan bahwa matrik Hessian positive definite, sehingga dapat disimpulkan
bahwa nilai parameter optimal. Dengan fungsi tujuan
dicari nilai kadar karbohidrat yang optimal dengan AG. Diperoleh hasil kadar karbohidrat
maksimum yaitu pada sekitar
51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan
pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu
yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat
disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul
sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik.
Protein
Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan
sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data
protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti
ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan
interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat
untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein
Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial :
dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh
karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan
pendekatannya.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan
Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b =
11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R
untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2] ’ yang
merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal.
Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari
dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104%
diperoleh 0,3946 yang
dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari
berarti nilai
bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup
besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai
proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan
hasil statistik.
E. PENUTUP
Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin
dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai
pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar
51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482.
Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein
optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %.
F. DAFTAR PUSTAKA
Dawid, Herbert and Kopel, Michael. 1998. On economic applications of genetic
algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : 297-315.
Goldberg, D.E., 1989. Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine
Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Gunawan, H. 2003. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan
Flow-Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy.
Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin. 2013. Innovative applications of
genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel.
Beams 16.
Mokeddem, D. and A. Khellaf. 2010. Multicriteria Optimization of Multiproduct Batch
Chemical Process Using Genetic Algorithm. Journal of Food Process
Engineering. Vol. 33 Issue 6, pages 979-991.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Nugraha, I. 2008. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan
Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika,
Program Studi Teknik Informatika. Bandung.
Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012. Optimization Of Colour Reduction For Producing
Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding
of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN:22527761,Vol1, pp91-101, GMU.
Peressini, A.L,et.all, 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer
Verlag, New York, Inc.
Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada.
Silvia,L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas
Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi,
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian. 2004. A
hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic
models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp. 2569–2581.
Yang, W.Y, Cao,W, Chung, T-S, Morris,J . 2005, Applied Numerical Methods Using
MATLAB ®. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, Hoboken.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
MAKALAH II
Pencarian Proporsi Penambahan Bekatul pada Mocorin yang Baik
Dikonsumsi oleh Penderita Kolesterol dengan Menggunakan Algoritma
Genetik Multiobjective Function
Ruth Kristianingsih 1), Hanna Arini Parhusip 2), Tundjung Mahatma 3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2), 3)
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)
662010008@student.uksw.edu, 2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id,
3)
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini mengkaji penelitian tentang pencarian proporsi penambahan bekatul pada
mocorin yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Kriteria makanan yang
baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah makanan dengan protein
dan lemak yang rendah, namun memiliki kandungan serat yang tinggi. Selanjutnya
dibuat pemodelan data dan dicari parameter untuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan
dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG) multiobjective function.
Diperoleh proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi oleh para
penderita kolesterol adalah 25%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik Mutiobjective Function, SVD
PENDAHULUAN
Pada penelitian Kristianingsih dkk (2013), telah dibahas tentang penggunaan
algoritma genetik (AG) dalam pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein pada
mocorin. Parameter fungsi tujuan karbohidrat dicari dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil dan menghasilkan error yang cukup kecil, yaitu 13,4892%. Selanjutnya
nilai kadar karbohidrat dioptimalkan dengan menggunakan AG dan dihasilkan kadar
karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar
51,4269% dengan pemaksimum massa
0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482 yaitu pada proporsi penambahan bekatul
sebanyak 12,5%. Namun pada penelitian pencarian nilai parameter fungsi tujuan kadar
protein, dihasilkan nilai error masih besar yaitu sebesar 33,2679% yang dimungkinkan
karena pemilihan model data yang kurang tepat. Pada pengoptimalan dengan
menggunakan AG dihasilkan nilai protein optimal 38,0104% dengan pemaksimum
karbohidrat sebesar 19,9167 % dan diketahui pada proporsi penambahan bekatul agar
protein optimal adalah 50%. Hasil ini diperoleh dimana fungsi tujuan dioptimalkan secara
terpisah.
Selanjutnya dalam makalah ini, dicari fungsi tujuan untuk protein sehingga didapat
nilai error yang cukup kecil. Sekaligus juga dicari proporsi mocorin yang baik untuk
dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Menurut hasil studi di University of Maryland
Medical Center, makanan yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah
makanan yang memiliki kandungan serat yang tinggi, namun rendah protein dan lemak
(Kompas, 2012). Serat, protein, dan lemak akan dibuat dalam fungsi karbohidrat dan
massa. Penelitian menggunakan AG dengan multiobjective function untuk mencari
proporsi penambahan bekatul mocorin yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol.
DASAR TEORI
Algoritma Genetik dengan Multiobjective Function
Cukup sering, dalam tugas-tugas rekayasa, ada beberapa kriteria yang harus
dipenuhi. Seringkali masing-masing dari kriteria tersebut bertentangan dan tidak dapat
mencapai nilai optimum pada saat yang sama, sehingga pada saat meningkatnya nilai satu
kriteria dapat memperburuk nilai kriteria yang lain. Hal ini menyebabkan timbulnya
pertanyaan bagaimana menggunakan kriteria untuk menemukan solusi optimal dan
bagaimana mencari ruang parameter.
Oleh karena itu dibuat metode pemilihan yang dihitung kelompok metode Pareto.
(Popov, 2005). Hal ini sejalan dengan prinsip dimana tidak ada satu pun solusi yang
mampu memberikan hasil yang lebih optimal dari salah satu fungsi tujuan yang ada tanpa
mengorbankan fungsi tujuan lainnya (Mahmudy, dkk, 2011).
Diasumsikan ada k fungsi tujuan yang akan diminimumkan :
Dimana k ≥ 2 dan C =
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
, ̅
merupakan fungsi kendala, ̅ merupakan vektor dari variabel keputusan,
batas bawah dan
̅
(1)
̅ dan
̅
merupakan
merupakan batas atas. Jika sebuah fungsi kendala mempunyai bentuk
≥ c maka dapat diubah menjadi –
̅ +c≤0. Konsep skalar dari nilai optimum
tidak biasa diterapkan secara langsung pada kasus multiobjective. Konsep penggantinya
adalah optimum pareto. Vektor ̅
dikatakan optimum pareto jika semua vektor ̅
yang lain mempunyai nilai yang lebih tinggi setidaknya untuk satu fungsi objektif.
Optimasi dengan mutiobjective function mendapatkan perhatian yang signifikan dari para
peneliti. Telah dilakukan penelitian dalam menyelesaikan optimasi dengan mutiobjective
function menggunakan Particle Swarm Optimization (PSO) dengan hasil ditemukan
beberapa solusi pareto-optimal secara efisien. (Xiaohui, dkk, 2002) Selain itu ada
beberapa penelitian sejenis yaitu Ant Colony Optimization (ACO) untuk menyelesaikan
2
optimasi dengan mutiobjective function pada penentuan portofolio proyek. (Doerner, dkk,
2004) Simulated Anneling (SA) juga cukup berhasil dalam menyelesaikan berbagai
masalah optimasi dengan mutiobjective function. (Bandypadhyay, dkk, 2008)
Salah satu pengembangan dari algoritma genetik adalah untuk mencapai suatu
Multiple Objective Optimization dimana tujuan yang ingin dicapai lebih dari satu.
Pengembangan algoritma genetik ini disebut algoritma genetik pareto yang diawali
dengan suatu populasi dengan jumlah member yang banyak. Algortima genetik pareto
disini bekerja dengan dua objective function atau lebih. Algoritma genetik pareto
membutuhkan ukuran populasi yang besar untuk dapat bekerja dengan baik dalam
usahanya untuk membentuk suatu grafik pareto. (Umi P., dkk, 2011)
Pareto optimal set adalah sebuah kumpulan solusi non dominan yang
berhubungan satu sama lain ketika berpindah ke solusi pareto yang lain. Kumpulan solusi
optimal pareto seringkali mengacu kepada solusi tunggal karena dapat diaplikasikan
berdasarkan pada masalah yang terdapat dalam kehidupan nyata. Pareto optimal set
mempunyai ukuran yang bervariasi, namun ukuran pareto set bertambah seiring dengan
bertambahnya fungsi tujuan.
Model Fungsi Tujuan untuk Protein, Lemak, dan Serat
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan
untuk protein, lemak, dan serat.
Protein dan Lemak
Pada penelitian ini, digunakan fungsi tujuan kuadratik untuk fungsi tujuan protein
dan lemak dengan parameter-parameternya dicari menggunakan Singular Value
Decomposition (SVD). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah
(2)
Persamaan (2) dalam bentuk matriks dapat ditulis:
⃑
dimana
⃑
(3)
A=
[
(4)
⃑
]
3
x i = data ke- i variabel 1
y i = data ke- i variabel 2
⃑
S i = data ke- i variabel 3
i = 1,2,...,n; n= banyaknya data
= parameter fungsi tujuan j = 1,2,...,4
(5)
Menurut Watkins (1991) pada persamaan (5) jika matriks Aϵ R
rank r, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen
mempunyai
U ϵ Rnxn, Σ
Σ ϵ Rnxm, dan V adalah matriks dengan
adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen
V ϵ Rmxm.
kolom-kolom dari vektor eigen
nxm
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:
Misal ⃗
⃑ dan ⃗
⃑
⃑ , maka
Persamaan (3) diselesaikan dengan:
⃑ atau
⃗
⃑
⃗ sehingga ⃗
⃑
⃗
Error= E =
‖ ̅
⃑
(6)
⃗
(7)
Untuk mengetahui apakah parameter sudah optimal atau belum, dapat dicari error :
‖ ̅
‖
̅
‖
. 100%
Serat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah
fungsi eksponensial:
(8)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan Serat sebagai fungsi karbohidrat dan massa
dimana
pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,
yaitu meminimalkan :
∑
(9)
METODE PENELITIAN
Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh penelitian Silvia L. (2012).
1. Data kandungan proksimat kadar protein, kadar lemak, dan kadar serat
dioptimalkan dengan menggunakan AG multiobjective function, dengan parameter
fungsi tujuan ditentukan menggunakan SVD.
2. Penyusunan dan penyelesaian model
a) Pencarian masing-masing fungsi tujuan untuk kadar protein, kadar lemak, dan
kadar serat menggunakan SVD.
4
b) Pengoptimalan fungsi tujuan menggunakan AG multiobjective function.
3. Analisis hasil dan pembahasan
4. Pembuatan kesimpulan.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka dicari fungsi tujuan untuk masingmasing kadar protein, lemak, dan serat sebagai berikut :
Fungsi Tujuan Protein
Dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa nilai error untuk menentukan
parameter fungsi tujuan sangat besar yaitu 33,2679%, sehingga dapat diasumsikan model
tidak terlalu cocok untuk data protein. Pada penelitian ini, akan dimodelkan kembali
fungsi tujuan untuk kadar protein dengan menggunakan persamaan kuadratik.
Diasumsikan nilai protein dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa. Menurut
persamaan
(2)
nilai
dicari.
Untuk
mencari
parameter
perlu diselesaikan persamaan :
(10)
dengan k adalah karbohidrat dan m adalah massa. Didapatkan hasil
. Sedangkan nilai error-nya adalah 17.5005% yang
cukup kecil jika dibandingkan dengan penelitian sebelumnya. Gambar 1 berikut
menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
1.2
hasil
pendekatan
1
fungsi tujuan
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
15
20
25
indeks
Gambar 1. Grafik kadar protein data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD
Fungsi Tujuan Lemak
5
Diasumsikan pula nilai lemak dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa.
Maka fungsi tujuan untuk lemak dengan menggunakan SVD adalah
(11)
Dengan nilai error 6.6190% yang diasumsikan bahwa model sudah sesuai dengan
data lemak. Gambar 2 berikut menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
1
hasil
pendekatan
0.95
0.9
fungsi tujuan
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0
5
10
15
20
25
indeks
Gambar 2. Grafik kadar lemak data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD
Fungsi Tujuan Serat
Diasumsikan bahwa kadar serat dipengaruhi oleh karbohidrat dan massa.
Selanjutnya, menurut persamaan (8), nilai parameter
dicari agar fungsi tujuan dapat
dioptimasi.
Sesuai persamaan(9) untuk mencari parameter
∑
maka perlu meminimalkan:
(12)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan fungsi Matlab
lsqnonlin.m. Dihasilkan parameter fungsi tujuan a= 1.4254, b=2.0401, dan c= -0.3639
dengan error sebesar 21.2090%.
Setelah fungsi tujuan dari masing-masing kadar dicari, ketiga fungsi tujuan dicari
dengan menggunakan AG mutiobjective function.
Pengoptimalan kadar serat, protein, dan lemak dengan menggunakan AG
multiobjective function
Telah diketahui bahwa makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol adalah makanan dengan kandungan serat yang tinggi namun rendah akan
6
lemak dan protein. (Kompas, 2012) Oleh karena itu, fungsi tujuan untuk protein, lemak,
dan protein berturut-turut adalah sebagai berikut :
Min
Min
Max
dengan 0
.
Kemudian, fungsi-fungsi tujuan tersebut diolah dengan menggunakan AG multiobjective.
Dipilih hasil yang optimal yaitu proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang
benar-benar baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol pada penambahan
bekatul sebanyak 25%, yaitu dengan kadar karbohidrat k = 44,32321% dan massa m =
0.136 gram. Dengan kombinasi karbohidrat dan massa pada proporsi penambahan bekatul
sebesar 25% didapatkan kadar protein sebanyak P = 23.127875%, lemak sebanyak L =
7.5249%, dan serat sebanyak S = 3.83743%.
Penutup
Dalam makalah ini telah ditunjukkan bagaimana menggunakan Algoritma Genetik
multiobjective function untuk mencari proporsi penambahan bekatul pada mocorin,
sehingga baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Dengan memaksimumkan
kadar serat, dan meminimumkan kadar protein serta kadar lemak, diperoleh hasil yaitu
mocorin dengan penambahan bekatul sebanyak 25%.
Daftar Pustaka
Bandypadhyay S,S. Saha, U. Maulik, and K. Deb. 2008. A Simulated Annealing-Based
Multiobjective Optimization Algorithm: AMOSA.Evolutionary Computation,
IEEE Transactions on 12(3): 269-283.
Doerner, K. Gutjahr, W. Hartl R, Strauss C, and Stummer C. 2004. Pareto Ant Colony
Optimization:
A
Metaheuristic
Approach
to
Multiobjective
Portfolio
Selection.Annals of Operations Research. 131(1): 79-99.
Kristianingsih, R. Parhusip, H.A. & Mahatma, T. 2013. Penggunaan Algoritma Genetik
dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema
”Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang
7
Lebih Baik” pada tanggal 9 November 2013. Yogyakarta : Universitas Negeri
Yogyakarta.
Mahmudy, W.F. Rahman, M.A. 2011. Optimasi Fungsi Multi-Obyaktif Berkendala
Menggunakan Algoritma Genetik Adaptif Dengan Pengkodean Real. Jurnal
Ilmiah ”Kursor” Vol 6 No. 1 Januari 2011. ISSN 0216-0544.
Mikail, Bramirus. 2012. 4 Makanan Sumber Kolesterol Baik. Kompas, 18 Mei 2012.
Umi P, Fitria. Santoso, T.B. Kristalina, P. 2011. Simulasi Coverage pada Wireless Sensor
Network dengan Menggunakan Algoritma Genetik Pareto. Surabaya : Institut
Teknologo Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Popov, Andrey. 2005. Genetics Algorithm for Optimization.Germany : Hamburg.
Silvia L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas
Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas
Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Xiaohui, H. and Eberhart R. 2002. Multiobjective Optimization Using Dynamic
Neighborhood Particle Swarm Optimization. In Proceedings of the 2002 Congress
on Evolutionary Computation, pp. 1677-1681.
Watkins, D.S. (1991). Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New
York.
8
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan kedua makalah tersebut dapat disimpulkan :
1. Error yang diperoleh menggunakan Singular Value Decomposition (SVD) untuk
menentukan parameter-parameter fungsi tujuan lebih kecil dibandingkan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
2. Algoritma Genetik dapat menyelesaikan berbagai permasalahan optimisasi baik
dengan satu fungsi tujuan maupun banyak fungsi tujuan.
3. Pada penelitian ini, diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum terdapat pada
proporsi penambahan bekatul sebesar 12,5%, kadar protein maksimum terdapat
pada proporsi penambahan bekatul sebesar 50%, dan proporsi penambahan
bekatul pada mocorin yang baik untuk dikonsumsi pada penderita kolesterol
adalah sebesar 25% dengan memaksimumkan serat, dan meminimumkan protein
dan lemak.
B. Saran
Berdasarkan kedua makalah yang telah dikaji, saran yang dapat diberikan adalah :
1. Untuk pengkajian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mengganti fungsi tujuan
sehingga dapat diperoleh model yang lebih cocok dengan data.
2. Penelitian serupa dapat dilakukan dengan menggunakan optimasi-optimasi
modern lainnya misalnya Ant Colony Optimization, Simulated Annealing, atau
menggunakan Particle Swarm Optimization.