Sudaryatno Sudirham, “Transformasi Laplace”

Transformasi Laplace

Sudaryatno Sudirham

Kebanyakan gejala alam adalah fungsi waktu, f(t). Perhitungan-perhitungan mengenai gejala ini akan sangat dipermudah jika gejala alam ini dinyatakan dalam peubah lain yang bukan waktu. Perubahan pernyataan suatu fungsi waktu, t, ke dalam peubah lain kita sebut transformasi. Berikut ini kita akan mempelajari salah satu cara transformasi yang disebut Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral

− st

F ( s ) = ∫ f ( t ) e dt

Dengan integrasi ini, suatu fungsi yang semula merupakan fungsi t akan berubah menjadi fungsi s. Kita mengolah fungsi s ini untuk mendapatkan suatu solusi, dan kita katakan bahwa kita bekerja di kawasan s. Jika kita menginginkan solusi dalam fungsi waktu maka kita melakukan transformasi balik dari fungsi s ke fungsi t.

Peubah s adalah peubah kompleks, s = σ +j ω . Jadi hasil dari transformasi Laplace pada umumnya merupakan fungsi kompleks. Dalam definisi (1), batas bawah integrasi adalah nol. Hal ini berarti bahwa dalam memanfaatkan transformasi Laplace kita hanya meninjau fungsi-fungsi yang mulai muncul pada t = 0.

Transformasi Laplace Fungsi-Fungsi

Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s adalah peubah baru yang berupa peubah kompleks. Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) didefinisikan seperti dinyatakan oleh (1) yang dituliskan dengan notasi :

L [ f ( t )] = F ( s ) = f ( t ) − ∫ st e dt

Dengan mengikuti langsung definisinya, kita dapat mencari transformasi Laplace dari suatu f(t) yaitu F(s), yang kita sebut pernyataan fungsi f(t) di kawasan s.

Pernyataan Fungsi Anak Tangga di Kawasan s. Fungsi anak tangga di kawasan t adalah v ( t ) = Au ( t ) . Fungsi ini bernilai nol untuk t < 0, dan bernilai A untuk t ≥ 0.

Transformasi Laplace dari fungsi ini adalah

Ae ( − σ + j ω ) t

− st

[ st Au(t) L − ] = ∫ Au ( t ) e dt = ∫ Ae dt = −

Batas atas integrasi ini, dengan s > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah memberikan nilai A/s.

Jadi

L [ Au ( t )] = (3)

Darpublic

Pernyataan Fungsi Eksponensial di Kawasan s . Fungsi eksponensial di kawasan waktu dengan nilai puncak A adalah v(t) = Ae at − u(t). Transformasi Laplace fungsi eksponensial ini

adalah

L Ae

− at

-at

[ Ae u ( t )] = ∫ A e u ( t ) e − dt = − +

st

0 ∫ Ae = −

Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawah memberikan A/(s+a).

Jadi

− at

L [ Ae u ( t ) ] =

Fungsi Trigonometri di Kawasan s. Di kawasan waktu, pernyataan fungsi cosinus dengan amplitudo A dan yang mulai muncul pada t = 0 adalah v(t) = (A cos ω t) u(t).

Transformasi Laplace fungsi ini adalah

− L st [

− st

( A cos ω t ) u ( t ) ] = ∫ ( A cos ω t ) u ( t ) e dt = ∫ ( A cos ω t ) e dt

Dengan memanfaatkan hubungan Euler, yaitu

cos ω = ( e + e ) / 2 , ruas kanan persamaan di atas menjadi

L [ ( A cos ω t ) u ( t ) ] = A 2 2 (5)

Jadi

Dengan cara yang sama, diperoleh

L [ ( A sin ω t ) u ( t ) ] = A 2 2 (6)

Tabel Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi anak tangga, eksponensial, dan trigonometri di atas merupakan contoh bagaimana suatu transformasi dilakukan. Kita lihat bahwa amplitudo sinyal, A, selalu muncul sebagai faktor pengali dalam pernyataan sinyal di kawasan s. Dengan mengambil amplitudo bernilai satu satuan (A = 1) transformasi dari beberapa bentuk gelombang yang lain termuat dalam Tabel-1.

Untuk selanjutnya kita tidak selalu menggunakan notasi L [f(t)] sebagai pernyataan dari “transformasi Laplace dari f(t)”, tetapi kita langsung memahami bahwa

pasangan fungsi t dan transformasi Laplace-nya adalah seperti : f(t) ↔ F(s) , f 1 (t) ↔

F 1 (s), dan seterusnya.

Darpublic

Tabel-1. Pasangan Transformasi Laplace Pernyataan Fungsi

Pernyataan Fungsi di

di Kawasan t : f(t)

kawasan s : L [f(t)]=F(s)

impuls :

δ (t)

anak tangga : u(t)

− at

eksponensial : [e ]u(t)

cosinus : [cos s ω

t] u(t)

sinus : [sin ω t] u(t)

cosinus teredam : [e cos ω t] u(t)

− at

sinus teredam : [e sin ω t] u(t)

− at

cosinus tergeser : [cos ( ω t+ θ )] u(t)

s cos θ − ω sin θ

+ ω s sin θ + ω cos θ

sinus tergeser : [sin ( ω t+ θ )] u(t)

ramp : [ t ] u(t) 1

ramp teredam : [ t e − at ] u(t)

CONTOH-1: Carilah transformasi Laplace dari fungsi berikut:

a). f 1 ( t ) = 5 cos( 10 t ) u ( t ) ; b). f 2 ( t ) = 5 sin( 10 t ) u ( t ) ;

c). f 3 ( t ) = 3 e u ( t )

Penyelesaian : Dengan mnggunakan Tabel-1 kita peroleh :

a). f 1 ( t ) = 5 cos( 10 t ) u ( t ) → F 1 ( s ) =

+ ( 10 ) 2 s 2 + 100 5 10 50

b). f 2 ( t ) = 5 sin( 10 t ) u ( t )

s + ( 10 )

s 2 + 100

c). f 3 ( t ) = 3 e − 2 t u ( t ) → F 3 ( s ) =

Darpublic

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

Sifat Unik. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka

transformasi balik dari F(s) adalah f(t).

Dengan kata lain Jika pernyataan di kawasan s suatu fungsi f(t) adalah F(s), maka

pernyataan di kawasan t dari F(s) adalah f(t).

Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari

F(s), dengan notasi − 1 L [F(s)] = f(t) . Hal terakhir ini akan kita bahas lebih lanjut setelah

membahas sifat-sifat transformasi Laplace. Sifat Linier. Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat

linier. Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah

jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika f ( t ) = A 1 f 1 ( t ) + A 2 f 2 ( t ) maka transformasi Laplace-nya adalah

− st

F ( s ) = ∫ [ A 1 f 1 ( t ) + A 2 f 2 ( t ) ] e dt = A 1 ∫ f ( t ) dt + A f ( t ) dt

= A 1 F 1 ( s ) + A 2 F 2 ( s ) dengan F 1 (s) dan F 2 (s) adalah transformasi Laplace dari f 1 (t) dan f 2 (t).

CONTOH-2: a). Carilah transformasi Laplace dari :

− at

b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae u(t) adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari f 2 (t)=Acos ω t u(t).

Penyelesaian :

a). f 1 ( t ) = ( 1 + 3 e − ) u ( t ) → F 1 ( s ) = +

b). f 2 (t) = A cos( ω t ) u ( t ) = A u ( t ) 2

F 2 ( s ) = 

As

Darpublic

Integrasi. Transformasi Laplace dari integrasi suatu fungsi dapat kita lihat sebagai berikut.

Misalkan f ( t ) = ∫ f 1 ( x ) dx . Maka

F ( s ) = ∫∫ f 1 ( x ) dx  e dt =   ∫ f ( x ) dx   −

f ( t ) dt

Suku pertama ruas kanan persamaan di atas akan bernilai nol untuk t = ∞ karena e = 0 pada t →∞ , dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol). Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi

F ( s ) = − ∫ f 1 ( t ) dt = ∫ f 1 ( t ) e dt =

Secara singkat dapat kita katakan bahwa :

transformasi dari suatu integrasi fungsi f(t) di kawasan t dapat diperoleh dengan cara membagi F(s) dengan s.

CONTOH-3: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp

r(t) = tu(t).

Penyelesaian :

Fungsi ramp adalah integral dari fungsi anak tangga.

 − st 1

r ( t ) = tu ( t ) = ∫ u ( x ) dx R ( s )  u ( x ) dx  e dt

Hasil ini sudah tercantum dalam Tabel.1. Diferensiasi. Transformasi Laplace dari suatu diferensiasi dapat kita lihat sebagai

berikut. df ( t )

Misalkan f ( t ) = 1 maka

dt

∞ df

e − ∫ st dt = [ f 1 ( t ) e − st ] 0 − ∫ f 1 ( t )( − s ) e − st dt

0 dt

Suku pertama ruas kanan bernilai nol untuk t = st ∞ karena e − = 0 untuk t → ∞ , dan bernilai − f(0) untuk t = 0. Dengan demikian dapat kita tuliskan

− L st

 df 1 ( t ) 

 = s ∫ f ( t ) e dt − f ( 0 ) = s F 1 ( s ) − f 1 ( 0 ) (9)

 dt 

Transformasi dari suatu fungsi t yang diperoleh melalui diferensiasi fungsi f(t) merupakan perkalian dari F(s) dengan s, dikurangi dengan nilai f(t) pada t = 0.

Darpublic

CONTOH-4: Carilah transformasi Laplace dari fungsi cos( ω t) dengan memandang fungsi ini sebagai turunan dari sin( ω t).

Penyelesaian :

1 d sin( ω t ) f ( t ) = cos( ω t ) =

dt

sin( 0 )  =

Penurunan di atas dapat kita kembangkan lebih lanjut sehingga kita mendapatkan transformasi dari fungsi-fungsi yang merupakan fungsi turunan yang lebih tinggi.

jika f ( t )

3 jika 2 f ( t ) =

3 → F ( s ) = s F 1 ( s ) − s f 1 ( 0 ) − s f 1 ′ ( 0 ) − f 1 ′′ ( 0 )

dt

Translasi di Kawasan t. Dalam pembahasan mengenai fungsi-fungsi, kita lihat bahwa apabila suatu fungsi f(t)u(t) mengalami translasi (pergeseran) sebesar a kearah sumbu-t positif, maka persamaan fungsi berubah menjadi f(t-a)u(t-a). Transformasi Laplace dari fungsi yang tergeser ini adalah

∫ st t t − − a u − a ) e dt

Karena u(t − a) bernilai nol untuk t < a dan bernilai satu untuk t > a , bentuk integral ini dapat kita ubah batas bawahnya serta tidak lagi menuliskan faktor u(t − a), menjadi

f ( t − a ) u ( t − a ) e − st dt = ∫ f ( t a ) e − − st dt

Kita ganti peubah integrasinya dari t menjadi τ dengan suatu hubungan τ = (t − a). Dengan penggantian ini maka dt menjadi d τ dan τ = 0 ketika t = a dan τ = ∞ ketika t = ∞ . Persamaan di atas menjadi

− st

f ( t − a ) u ( t − a ) e dt = ∫ f ( τ ) e d τ

as ∞

s = e − f ( τ ) e − ∫ τ d τ (11)

− as

Jadi sifat transformasi Laplace berkenaan dengan translasi di kawasan t ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari

f(t a)u(t

a) untuk a > 0 adalah e − − as − F(s).

Darpublic

CONTOH-5: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang seperti yang tergambar di samping ini.

f (t)

Penyelesaian :

Model bentuk gelombang ini dapat kita tuliskan sebagai gabungan dua fungsi anak tangga

f ( t ) = Au ( t ) − Au ( t − a ) .

Transformasi Laplace-nya adalah :

A ( 1 e − A as as A )

Translasi di Kawasan s. Translsi di kawasan s terjadi apabila fungsi t yang kita cari tranformasi Laplace-nya adalah fungsi teredam, yang dapat kita nyatakan sebagai

y = e f (t ) . Transformasi Laplace fungsi ini adalah

st

) ∫ t e f ( t ) e − dt = ∫ f ( t ) e − + α dt = F ( s + α ) (19)

Sifat mengenai translasi di kawasan s dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace −α dari e t f(t) adalah F(s + α ).

Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan transformasi fungsi teredam jika diketahui bentuk transformasi fungsi tak teredamnya.

CONTOH-6: Carilah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi ramp teredam dan sinus teredam berikut ini :

a). f tu ( t ) e − α 1 t = ; b). f − α 2 t = e cos ω t u ( t )

Penyelesaian :

a). Karena untuk f ( t ) = tu ( t ) → F ( s ) = 2 ,

maka jika f ( t ) tu ( t ) e − α 1 t = ⇒ F 1 ( s ) =

b). Karena untuk f ( t ) = cos ω t u ( t ) → F ( s ) = 2 2 ,

maka jika f 2 ( t ) = e cos ω t u ( t ) ⇒ F 2 ( s ) =

Darpublic

Pen-skalaan (scaling). Dalam skala yang a kali lebih besar, suatu fungsi f(t) akan berbentuk f(at). Mencari transformasi Laplace fungsi yang berubah skala ini dilakukan dengan mengganti peubah t menjadi τ = at; dengan penggantian ini maka

at = τ → dt =

→ f ( at ) = f ( τ ) dan st = τ sehingga

st

f ( at ) e − dt = ∫ f ( ) e a d F  

Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecil dan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skala frekuensi menjadi besar.

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai :

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0

1  s  transformasi Laplace dari f(at) adalah F   .

Nilai Awal dan Nilai Akhir. Nilai awal dari suatu f(t) adalah nilai f(t) pada waktu t mendekati nol, dan nilai akhir adalah nilai f(t) pada waktu t menuju tak hingga. Sifat transformasi Laplace berkenaan dengan nilai awal dan nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut:

Nilai awal : lim f ( t ) = lim s F ( s )

Nilai akhir : lim f ( t ) = lim s F ( s )

Jadi nilai f(t) pada t = 0 + di kawasan waktu (nilai awal) sama dengan nilai sF(s) pada s tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞ (nilai akhir) sama dengan nilai sF(s)

pada titik asal di kawasan s. Sifat ini dapat diturunkan dari sifat diferensiasi. CONTOH-7: Transformasi Laplace dari suatu sinyal adalah

V ( s ) = 100

s ( s + 5 )( s + 20 )

Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).

Penyelesaian :

Nilai awal adalah :

lim v ( t ) = lim s V ( s ) = lim  s × 100

s ( s + 5 )( s + 20 ) 

Nilai akhir adalah :

lim v ( t ) = lim s V ( s ) = lim  s × 100

s ( s + 5 )( s + 20 ) 

Tabel-2 berikut ini memuat sifat-sifat transformasi Laplace yang dibahas di atas kecuali sifat yang terakhir yaitu konvolusi. Konvolusi akan dibahas di bagian akhir dari pembahasan mengenai transformasi balik.

Darpublic

Tabel-2. Sifat-sifat Transformasi Laplace Pernyataan f(t)

Pernyataan F(s) = L [f(t)]

linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t)

A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)

F ( s integrasi : ) ∫

f ( x ) dx

df ( t diferensiasi : )

translasi di t: [ f ( t − a ) ] u ( t − a ) e − as F (s )

translasi di s : e − at f (t ) F ( s + a )

penskalaan : f (at ) F  a  a 

nilai awal : lim f ( t ) lim sF ( s )

nilai akhir : lim f ( t ) lim sF ( s )

konvolusi : t ∫

f ( x ) f ( t − x ) dx F ( sF ) ( s )

Transformasi Balik

Berikut ini kita akan membahas mengenai transformasi balik, yaitu mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai (Tabel-1), pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari transformasi balik uraiannya. Dengan perkataan lain kita membuat F(s) menjadi transformasi dari suatu fungsi gabungan dan kelinieran dari transformasi Laplace akan memberikan transformasi balik dari F(s). Sebelum membahas mengenai transformasi balik kita akan mengulag lebih dulu pengertian tentang pole dan zero yang sudah dibahas dalam bahasan tentang peubah dan fungsi kompleks.

Pole dan Zero. Pada umumnya, transformasi Laplace berbentuk rasio polinom

n − 1 (13)

yang masing-masing polinom dapat dinyatakan dalam bentuk faktor menjadi

Darpublic

dengan K = b m /a n dan disebut faktor skala. Akar-akar dari pembilang dari pernyataan F(s) di atas disebut zero karena F(s) bernilai

nol untuk s = z k (k = 1, 2, … m). Akar-akar dari penyebut disebut pole karena pada nilai s = p k (k = 1, 2, … n) nilai penyebut menjadi nol dan nilai F(s) menjadi tak-tentu. Pole dan zero adalah nilai kritis dari s karena pada nilai-nilai itu F(s) menjadi nol atau tak-tentu.

Bentuk Umum F(s). Bentuk umum F(s) adalah seperti (14) yaitu

( s − z 1 )( s − z 2 ) L ( s − z m )

( s − p 1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )

Jika jumlah pole lebih besar dari jumlah zero, jadi n > m, kita katakan bahwa fungsi ini merupakan fungsi rasional yang proper. Jika fungsi ini memiliki pole yang semuanya berbeda, jadi p i ≠ p j untuk i ≠ j , maka dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa fungsi ini mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa fungsi ini mempunyai pole ganda.

Fungsi Dengan Pole Sederhana. Apabila fungsi rasional F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan menjadi berbentuk

Jadi F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana; konstanta k yang berkaitan dengan setiap fungsi pembangun F(s) itu kita sebut residu. Kita ingat bahwa

−α transformasi balik dari masing-masing fungsi sederhana itu berbentuk ke t . Dengan demikian maka transformasi balik dari F(s) menjadi

1 e + k e 2 2 + L + k e n n (16) Persoalan kita sekarang adalah bagaimana menentukan residu. Untuk mencari k 1 , kita

kalikan kedua ruas (15) dengan (s − p 1 ) sehingga faktor (s − p 1 ) hilang dari ruas kiri sedangkan ruas kanan menjadi k 1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s − p 1 ). Kemudian kita substitusikan s = p 1 sehingga semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k 1 dan dengan demikian diperoleh nilai k 1 . Untuk mencari k 2 , kita kalikan kedua ruas (15) dengan (s − p 2 ) kemudian kita substitusikan s = p 2 ; demikian seterusnya sampai semua nilai k diperoleh, dan transformasi balik dapat dicari.

CONTOH-8: Carilah f(t) dari fungsi s berikut.

6 ( s + 2 ) a). F ( s ) =

; b). F ( s ) =

; c). F ( s ) =

( s + 1 )( s + 3 )

( s + 1 )( s + 3 )

s ( s + 1 )( s + 4 )

Penyelesaian :

a). F ( s ) = 2 = +

( s + 1 )( s + 3 ) s + 1 s + 3

Darpublic

→ substitusi s = − 1 →

F ( s ) × ( s + 3 ) dan substitusi s = − 3 →

b). F ( s ) =

( s + 1 )( s + 3 ) s + 1 s + 3 4 ( − 1 + 2 )

→ F ( s ) × ( s + 1 ) dan substitusi s = − 1 →

→ F ( s ) × ( s + 3 ) dan substitusi s = − 3 →

c). F ( s ) =

s ( s + 1 )( s + 4 )

Dengan cara seperti di a) dan b) kita peroleh

( s + 1 )( s + 4 ) s = 0 s ( s + 4 ) s = − 1 6 ( s + 2 )

Fungsi Dengan Pole Ganda. Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dapat mempunyai pole ganda (dua pole sama besar). Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan

“memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti biasa. Untuk jelasnya kita ambil suatu fungsi yang mengandung pole ganda seperti pada (17) berikut ini.

( s − p 1 )( s − p 2 )

Dengan mengeluarkan salah satu faktor yang mengandung pole ganda kita dapatkan

s − p 2  ( s − p 1 )( s − p 2 ) 

Bagian yang di dalam tanda kurung dari (18) mengandung pole sederhana sehingga kita dapat menguraikannya seperti yang telah kita pelajari.

 ( s − p 1 )( s − p 2 )  s − p 1 s − p 2

Darpublic

Residu pada (19) dapat ditentukan, misalnya k 1 = A dan k 2 = B , dan faktor yang kita keluarkan kita masukkan kembali sehingga menjadi

2  s − p 1 s − p 2  ( s − p 2 )( s − p 1 ) ( s − p 2 )

dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadi

Transformasi balik dari (20) adalah

11 e + k 12 e 2 + Bte 2 (21)

CONTOH-9: Tentukan transformasi balik dari fungsi:

Konvolusi. Transformasi Laplace menyatakan secara timbal balik bahwa jika f ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) maka F (s) = F 1 ( s ) + F 2 ( s ) jika F ( s ) = F 1 ( s ) + F 2 ( s ) maka f (t) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadi

jika F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) maka f ( t ) ≠ f 1 ( t ) f 2 ( t )

Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) yang merupakan hasil kali dua fungsi s yang berlainan, melibatkan sifat transformasi Laplace yang kita sebut konvolusi. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Darpublic

jika F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) maka

1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ 0 (22)

Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh dengan melakukan konvolusi dari kedua fungsi yang bersangkutan. Kedua bentuk integral pada (22) disebut integral konvolusi.

Pandanglah dua fungsi waktu f 1 ( τ ) dan f 2 (t). Transformasi Laplace masing-masing adalah

− st

F 1 ( s ) = ∫ f 1 ( τ ) e d τ dan F 2 ( s ) = ∫ f 2 ( t ) e dt .

Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akan kita peroleh

− s Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e τ

F 2 (s) adalah transformasi Laplace dari [ f 2 (t −τ ) ] u(t −τ ) sehingga persamaan tersebut dapat ditulis

− st

1 2 ) ∫ f 1 ( τ )  ∫ f 2 ( t − τ ) u ( t − τ ) e 0 dt 0  d τ

Karena untuk τ > t nilai u(t −τ ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam kurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja, sehingga

st

F 1 ( s ) F 2 ( s ) = ∫ f 1 ( τ ) ∫ f 2 ( t − τ ) e − dt d τ

− st

= ∫∫ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) e dt d τ

Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh

0 0 0 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ     CONTOH-10: Carilah f(t) dari F(s) berikut.

F 1 ( s ) F 2 ( s ) = ∫∫ f 1 ( τ ) f − τ d − 2 st ( t ) τ e dt = L ∫ f

a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari dua fungsi.

F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) dengan F 1 ( s ) = F 2 ( s ) =

− → at f 1 ( t ) = f 2 ( t ) = e

Darpublic

⇒ t − ax − a ( t − x )

f ( t ) = ∫ f 1 ( x ) f 2 ( t − x ) dx = ∫ e e dx

t − = ax

e − at + ax

∫ at dx = e − ∫ dx = te −

at t

b). Fungsi kedua ini juga kita pandang sebagai perkalian dari dua fungsi.

F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) dengan

= − ∫ e e dx

 ( − a + b ) x bt t ( a b ) x bt e 

= e − ∫ e − + dx 0 − = e 

c). Fungsi ketiga ini juga dapat dipandang sebagai perkalian dua fungsi.

F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) dengan F 1 ( s ) = 2 dan F 2 ( s ) =

f ( t ) = ∫ f ( x ) f ( t − x ) dx = xe dx = e xe dx

Mencari Solusi Persamaan dengan Transformasi Laplace

Dengan menggunakan transformasi Laplace kita dapat mencari solusi suatu persamaan diferensial dengan lebih mudah. Transformasi akan mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s yang dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik solusi di kawasan s tersebut, kita akan memperoleh solusi dari persamaan diferensialnya.

CONTOH-11: Gunakan transformasi Laplace untuk mencari solusi persamaan berikut.

Transformasi Laplace persamaan diferensial ini adalah

Darpublic

s V ( s ) − v ( 0 + ) + 10 V ( s ) = 0 atau

s V ( s ) − 5 + 10 V ( s ) = 0 ⇒ V ( s ) = s + 10

10 Transformasi balik memberikan t v ( t ) = 5 e −

CONTOH-12: Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

Transformasi persamaan ini ke kawasan s, menjadi

2 s V C ( s ) − v C ( 0 ) + V C ( s ) = 0 atau

Pemecahan persamaan ini dapat diperoleh dengan mudah.

= 6 dan k 2 =

s s + 0 , 5 Transformasi balik dari V C (s) memberikan

− 0t , 5