Tgas mate matika fazri. doc
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang
ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan
atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun
kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus
mempunyai kesamaan sifat/karakter.
Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga
membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda
kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu
himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat
dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan
tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk
sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.
Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab
sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat
ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam
himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan
merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga
bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh
seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain
bukan merupakan himpunan, misalnya
a. Kumpulan makanan enak,
b. Kumpulan wanita cantik, dan
c. Kumpulan lukisan indah.
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A,
B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan
semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk
dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam
suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk
menyatakan anggota suatu himpunan adalah “” sedangkan notasi untuk
bukan anggota adalah “”. Dengan demikian a H, iH, u H, e H, dan o
H sedangkan b H, c H dan d H. Istilah anggota yang digunakan di
atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan
kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan.
Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam
tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma.
Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua
huruf hidup dalam alfabet Latin.
Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan
sebagai
X = { x x bersifat P }.
Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah
H = { x x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda
garis tegak “” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “
atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang
digunakan adalah tanda tegak “ ”.
Untuk
memperjelas
tentang
berbagai
cara
menyatakan
himpunan,
perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.
a. Himpunan semua bilangan genap positif.
b. { 2, 4, 6, 8, … }
c. { x x = 2 n , n adalah bilangan asli}.
Masing-masing
kelebihan
dan
mendaftar
adalah
cara
kelemahan
apabila
dalam
menyatakan
masing-masing.
digunakan
untuk
himpunan
Misalnya
mempunyai
kelebihan
himpunan
yang
cara
sedikit
anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk
menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak
mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara
Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.
Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota
himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m
anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut
himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin,
himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli
kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan
himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan
tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal
himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis H. Jadi apabila H = {a, i, u,
e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.
Misalkan himpunan I = { x x [0, 1] } dan A adalah himpunan semua
bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini
n(I) = dan juga n(A) = . Himpunan A merupakan himpunan terhitung
(countable)
karena
kita
dapat
mengurutkan
satu
persatu
anggota-
anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung
(uncountable).
Akibatnya
penulisan
lambang
di
atas
mempunyai
kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak
terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih
baik yakni n(A) = 0 (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol (dibaca
aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.
Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { }
atau simbol . Tanda merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contohcontoh himpunan kosong adalah:
a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.
b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
c. { x x2 + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}
d. { x x2 9 = 0, 2x 4 = 0}
e. { x x x }
f. H = { x x H}
2. Sifat Unsur-unsur himpunan
Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat
himpunan,adapun sifat dari himpunan adalah
o Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya,
misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan
sebagainya.
o Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada
didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang
berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.
1. Ciri-ciri Himpunan
a. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
b. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
c. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.
2. Lambang Himpunan
Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri
dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf
besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan
prima kurang dari 20}.
3. Menyatakan Himpunan
Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:
a. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu
persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan
dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang
anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}
c. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan
suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat.
Ditulis A = {hewan kaki empat}
4. Anggota Himpunan
Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah
semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan
menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya
salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.
3. JENIS-JENIS HIMPUNAN
1.
himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya
D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat
dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
2.
Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak
hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis
B={}={0}.
4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan
semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
7. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A,
maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.
8. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A
9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan
himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
10. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.
11. Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan
seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}
12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu
dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}
13. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu
genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}
14. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}
15. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang
memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}
16. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)
DIAGRAM VENN
Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam
himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta.
Contohnya:
Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }
OPERASI pada HIMPUNAN
1.
Irisan
Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.
Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9
Atau
2.
Gabungan
Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A
saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.
Contohnya: A u B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A u B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )
3.
Sifat-sifat operasi himpuna
a. Komutati
=>
Berlaku:
An B =B nA
2) Gabungan, =>
Berlaku:
Au B =B uA
1) Irisan,
b. Asosiatif
1) Irisan tiga himpunan,
=>
(A n B) n C = A n ( B n C)
2) Gabungan tiga himpunan,
=>
(A u B) u C = A u ( B u C)
c. Distributif
1) Irisan,
=>
2) Gabungan, =>
A n ( B u C ) = (A n B) u (A n C)
A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
2.2 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola
tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka
disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama
sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ……………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,
.
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :
U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan
suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih
dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U 1) dilambangkan dengan
a. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – U – 1
n
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
B. DERET ARITMETIKA
Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan
aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret
aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika
adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S = 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
20
1. BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n)
2. DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______
__________
Ut = U1xUn = U2 X Un-1
dst.
f.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
Un = a + ar + ar² .........................
n=1
dimana n dan -1 < r < 1 sehingga rn 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga
S = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r <
1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ .......
Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ......
Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
Mn =M0 + P/100 (n) M0 Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0
Mn
p
n
= Modal awal
= Modal setelah n periode
= Persen per periode atau suku bunga
= Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman,
perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan
radio aktif (p < 0).
2.3 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
1.PANGKAT BILANGAN POSITIF
Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan
diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan
pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a,
n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1 = a
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
a. am x an = a m+n
b. am : an = am-n, m>n
c. (am)n = amxn
d. (a x b)n = an x bn
e. (a : b)n = an : bn
Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No
.
1.
Sifat-sifat
am x an = a m+n
Bukti
Contoh
am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a a. 23 x 25 = 23+5=28
b. a4 x a5 = a4+5 = a9
x…x a)
m faktor
n factor
= a x a x a x a x a ……x a
c. (2x + 3)2 (2x + 3)3
= (2x + 3)2+3
= (2x + 3)5
(m + n) faktor
= am+n
2.
am : an = am-n, am
m>n
an
am-n+n
=
an
am-n . an
=
an
an
=
a. 36 – 34 = 36-4 = 32
am-n . an = am-n .
b. (a-1)5
1
(a-1)2
=
(a-1)3
= am-n
3.
(am)n = amxn
(am)n = am x am x am x …(am)
a. (23)4 = (2)3x4= 212
n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …)
m faktor
m faktor
n faktor
= a x a x a x a x a = ... ... ... x a
(m x n ) faktor
b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
= (a)mn
4.
(a x b)n = an x (a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb)
bn
a. (2 x 3)4 = 24 x 34
n factor
= (a x a x …x a) x (b x b x … x b)
n faktor
b.(a2 x b3)4 =a8 x b12
n faktor
= an x bn
5.
( a )n =
b
an
bn
( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b
b
n faktor
= a x a x a x … x a , n faktor
b x b x b x … x b , n factor
= an
bn
a. ( 2/3)2 = 22/32
b. (a/b)3 = a3/b3
c. (a2/b3)4=a8/b12
Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat Positif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita
akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .
Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.
Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.
ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh:
ao . an = an
an
an
ao+n = an
an
an
ao (1) = 1
ao
= 1
Pengertian pangkat bulat Positif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 = 1 dan a-n = 1
a-n
an
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif
dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n = an+(-n)
an . a-n = ao
an . a-n = 1
bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:
an . a-n = 1
an
an
→
an . a-n = 1 → 1 . a-n = 1 → a-n = 1
an
an
an
an
Contoh
1.
Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !
a.
3-2
b.
(0,2)-3
c.
(x + y)-3
d.
(2a – 5b)-4
Jawab:
a. 3-2 = 1
32
d. (2a – 5b)-4 =
1.
c. (x + y)-3 =
1
(0,2)3
1
(x + y)3
1
(2a – 5b)4
Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
ab-n = 1
ab
a.
b. (0,2)-3 =
n
Jawab:
2 . 3-2 = 2
32
= 2
9
b.
a + b
dan
1
1
2.32
= a-1 + b-1
=
1
2. 9
= 1
18
Jadi
b.
1
2+4
Jadi . 1
2+4
2 . 3-2 ≠
2.32
= 1
6
≠
1
dan
2-1 + 4-1 = ½ + ¼
= ¾
2-1 + 4-1
RANGKUMAN
1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a
ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.
2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
am x an = a m+n
am : an = am-n, m>n
(am)n = amxn
(a x b)n = an x bn
(a : b)n = an : bn
3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1
00 tidak didefinisikan
4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka
a-n. 1 = 1 dan
a-n
a-n = 1
an
TES KEGIATAN
Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di
bawah ini !
1.
Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut !
a. (0,25)3 (0,25)4
2.
b. z3 (z2)3
Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn,
a. (2 . 5)4
4.
c. (2x2) (3x3) (4x4)
Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23)4
3.
b. 3x y4 x2 y6
Dengan menggunakan sifat
sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
b. (4 a2)3
( a )n = a n
b
bn
c. 3x2 (x2)2 (x3)3
c. (m3 . n4)5
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. ( 3/2)4
5.
b. (x2/y3)2
Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
a.
am x an = a m+n
b.
(am)n = amxn
( a )n = a n
b
c.
6.
bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !
a. (x . y-5)(x . y)-5
7.
b. (2ab2)-3 (3a2b)-2
Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut:
a.
a-3
b.
4p-2 q-5
a-5
2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN
1.
a. (0,25)7
b. 3x3y10
c. 12x9
2.
a. 212
b. z9
c. 3x15
3.
a. 24.54
b. 64a6
4.
a. 81/16
b. x4
Y6
5.
Kebijakan guru
6.
a.
7.
c. (ab2/c3d3)2
a.
___1___
X4 . y10
a2
c. m15 n20
c. a2 . b4
c6 d6
b.
1
6
72 a b
8
b. 2p5
Q3
BENTUK AKAR
Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta
operasinya.
Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan
berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.
Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,
perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal
yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !
a. 6
Jawab:
b. -30
c. 25%
d. 0,4
e. √4
a. 6 = 12
2
b. -90 .
3
c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4
100
10
e. √4 = 2 = 2/1
A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22 = 4 maka 2 = √4
23 = 8 maka 2 = 3√8
24 = 16 maka 2 = 4√16
25 = 32 maka 2 = 5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n = n√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat. Mengakibatkan
sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar. Jika
a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2,
maka berlaku sifat-sifat berikut:
Bentuk Pangkat Pecahan
1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m
Bentuk Akar
m
√a x n√a =
↔
mn
√an + m
mn
2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m
m
√a : n√a =
↔
mn
√an - m
mn
3.
(a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn
4. (ab)1/n = a1/n x b1/n
↔
n
√a . m√a =
↔
n
mn
√a
√ab = n√a x n√b
5. (a/b)1/n = a1/n
b1/n
↔
n
√a/b = n√a
n
√b
Sifat-sifat yang lain:
6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1
=
a1/n
n
1
√a
7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau
am/n = (am)1/n =
n
√am
8.
( √x )2 = x
9.
√x y
= √x . √y
10. √x/y = √x/√y
Contoh;
1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan ke
dalam
bentuk akar ¡
a. a½ x a⅓
b. ( a ⅔)¾
\Jawab:
Jawab:
a½ x a⅓ = a½+⅓ = a7/12 =
c
12
√a7
( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a
a¾
a⅔
Jawab:
a¾
a⅔
= a¾ - ⅔ = a1/12 =
12
√a
2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡
¼
a3 b-2
__________
a-1 b2
Jawab
¼
a3 b-2
__________
= (a3 – (-1) b-2-2)¼ = (a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b
a-1 b2
B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk
akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO.
1.
Sifat-sifat
(√x)2 = x
Bukti
Contoh
√x = a ↔ x = a2
a. (√5)2 = 5
Maka (√x)2 = (a)2 = x
b. (√2a)2 = 2a
c. (√x + 1)2 = x + 2√x + 1
2.
√xy = √x . √y
√x = a ↔ x = a2
dan
√48 = √16 x3 =
√16 x √3
√y = b ↔ y = b2, maka
= 4√3
√xy = √a2 . b2
4√150 = 4√25 x 6
= √(ab)2 = a b = √x . √y
= 4 √25 x √6
= 4 (5) x √6
= 20√6
3.
√x/y = √x
√y
√x = a Jika dan hanya jika x = a
2
√y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
√64/49 = √64 =
√49
8
7
√x/y = √a2/b2 = √(a/b)2
= a = √x
b
√y
Silahkan buktikan
4.
n
√an = (an)1/n = a ,
√8 = (8)⅓
3
= (23)⅓
Sebagai latihan!
= 23/3 = 1
a ≥0
5.
Silahkan buktikan
n
√an b = n√an x n√b
Sebagai latihan!
√72 = √36 x 2 = √36 x √2
= a n√b,
= (62)1/2 x √2
A dan b ≥0
= 6 √2
C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka
kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Operasi aljabar pada bentuk akar
digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c
dan
a√c - b√c = (a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan
menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat
ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan
real.
a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1. a√c + b√c = (a+b)√c
2. a√c - b√c = (a-b)√c
3. b n√ a x d n√ c = bd n √ac
4. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c
n
√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18
3. p √a - q √a + r √a
4. 2 √4 x 6 √3
5. 10 √32 : 2 √2
Jawab
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3
= (10+2+5)√3 = 17 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 - 2(3)√2
= 24√2 + 15√2 - 6 √2
= (24+15-6) √2 = 33 √2
3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a
4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3
5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20
2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:
√ x . √y = √xy
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √50 x √2
2. √32 x √12,5
3. √½ x √50
4. √2 x √5 x √10
Jawab
1.
√50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10
2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) = √400
= 20
3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5
4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10) = √100
= 10
3. Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka
√x/y = √x
√y
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √108
√27
2. √112,5
√12,5
3. √12a2
√3a2
4. √xy4
√x3y2
2. √112,5
√12,5
3. √12a2
√3a2
4. √xy4
√x3y2
Jawab
1. √108
√27
= √108/27
= √(112,5/12,5)
= √12/3 a2
= √4
=2
= √9
= 3
= √4 a2
= 2ª
= √y2/x2
= √y2 = y
√x2
x
D. Merasionalkan Penyebut
Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk
menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.
Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan
faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan bagaimana cara
merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:
1. √a x √a
akan menghasilkan bilangan rasional
a
( a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a2 - b
3. (√a + √b) x (√a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a - b
2. ( a + √b) x
Pembuktian:
1. √a x √a = √a2 = a
( a - √b) = a2 – a √b + a √b - (√b)2 = a2 - b
2.
( a + √b) x
3
(√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2 - √a . √b + √a . √b - (√b)2 = a – b
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
1. √5 . √5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 )
3. (2 + √3) (2 - √3)
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)
Jawab:
1. √5 . √5 = 5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6
3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 =
Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang dapat
merasionalkan penyebut.
Perhatikan bentuk-bentuk berikut!
1.
a =
√b
=
a . 1
√b
a . √b = a √b
√b √b
b
3.
____a___ = ____a___ .1
√b + √c
2. √a . √b
√b √b
4.
= 1 √ab
b
____a___ =
√b - √c
____a___ . 1
√b - √c
√b + √c
=
√c
____a___ . √b +
=
____a___ . √b - √c
√b - √c
√b +
√c
√b + √c
√b - √c
=
____a___ ( √b +
√c )
b-c
=
5. √a - √b
√a + √b
____a___ (√b - √c )
b - c
=
√a - √b . 1
√a + √b
=
√a - √b .
√a + √b
=
a + b - 2√ab
a - b
√a - √b
√a - √b
Contoh 1
Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !
a.
√3
√4
f.
b
6
√6 - √2
5
√7
g.
c
√8 - √2
√8 + √2
6
d.
5
6 + √6
5 - √5
h. √6 + √2
√6 - √2
e.
6
√5 + √2
Jawab
a.
b
√3 .
√4
5 .
√7
√4 =
√4
√7 =
√7
√12 =
4
5 √7
7
c.
6 . 6 - √6
6 + √6
6 - √6
d.
5 .
5 - √5
e.
6 . √5 - √2 =
√5 + √2
√5 - √2
f.
6 . √6 + √2 =
√6 - √2 √6 + √2
g. √8 - √2 .
2 √3 = 1 √3
4
2
=
6 ( 6 - √6 ) =
36 - 6
5 + √5 =
5 + √5
5 (5 + √5) =
25 - 5
√8 - √2 =
6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 )
30
5
5 (5 + √5) =
20
6 ( √5 - √2 ) =
5-2
6 (√6 + √2) =
6 - 2
8 -4-4+2 = 2
= 1
6
3
1
4
(5 + √5)
6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 - √2 )
3
(√6 + √2) = 2 (√6 + √2)
√8 + √2
√8 - √2
8 - 2
6
3
h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5
√6 - √2
√6 + √2
6 - 2
4
2
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini
H
G
E
D
A
F
Hitung panjang AG ¡
C
B
(√7 - √2) cm
Jawab
AG adalah panjang diagonal ruang
AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6
Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak
dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.
2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar
a. a√c + b√c = (a+b)√c
b. a√c - b√c = (a-b)√c
c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac
d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c
e. √ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
3. Merasionalkan Penyebut
1.
a =1
√b
=
3.
2. √a . √b =
√b √b
1 √ab
b
a . √b = a √b
√b
√b
b
____a___ = ____a___
√b + √c
.1
4.
____a___ =
√b - √c
____a___ . 1
√b - √c
√b + √c
=
____a___ . √b +
√c
=
____a___ . √b - √c
√b - √c
√b +
√c
√b + √c
√b - √c
=
____a___ ( √b +
√c )
b-c
=
5. √a - √b
√a + √b
____a___ (√b - √c )
b - c
=
√a - √b . 1
√a + √b
=
√a - √b .
√a + √b
=
a + b - 2√ab
a - b
√a - √b
√a - √b
TES KEGIATAN
Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !
1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !
a. √48
b. √1/75
2. Sederhanakan bentuk berikut !
a.
5√3 + √12 - 2√27
b. 4√3 x 3√6
3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!
a.
3
2 - √3
b.
√6
2√3 + 3√2
c
5
√7 + √2
d. √3 + √2
√3 - √2
e. 2√3 + 3
2√3 - 3
4.
Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan luas
segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!
5.
Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang
diagonal ruang balok tersebut!
Kunci
1.
a. 4√3
b. 1 √3
5
2.
a. √3
b. 36√2
3.
a. 9
b. √3 - √2
e.
4.
c. √7 - √2
d. 7 + 2√6
7 + 4√3
(√5 - √3) cm
5.
3√14 cm.
2.4 LIMIT
02.00 | by Januar Ivan
Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi
untuk nilai x yang mendekati 1
X
0
0,9
0,95
0,98
…
1,0001
1,0005
1,05
1,1
f(x)
1
1,9
1,95
1,98
…
2,0001
2,0005
2,05
2,1
Gambar grafiknya:
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
Teorema:
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:
Sifat-Sifat Limit
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1.
Substitusi langsung
Contoh:
2.
Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3.
Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:
4.
Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:
Contoh:
Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:
Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas :
koefisien pangkat tertinggi bawah
Contoh 1:
Contoh 2:
Contoh 3:
→ Untuk bentuk
Contoh:
5.
Limit trigonometri:
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax
(dari sin2x + cos2x = 1)
Bilangan e
Bilangan e didapat dari:
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.
3.
Ilustrasi:
2.5 Turunan fungsi f ‘ (x)
Rumus-rumus Turunan :
untuk a = konstanta
maka
maka
maka
jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi
maka
maka
maka
maka
maka
dinamakan aturan rantai
Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam
bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:
Tentukan turunan pertama dari :
1.
Jawab :
2.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
3.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
4.
Jawab :
* kita misalkan
* maka :
5.
Jawab :
* kita misalkan
dan
* lalu kita pakai
( aturan rantai )
Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh
f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a.
dan f ‘ adalah turunan pertama dari
b.
c.
d.
e.
jawab:
$
2. Turunan pertama fungsi
a.
b.
c.
d.
adalah f ‘(x) = ….
e.
jawab:
3. Diketahui
= ….
a. 4
b. 12
c. 16
d. 84
e. 112
jawab:
dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1)
misalkan u = 3x + 4 maka u’ = 3 dan n = 4
gunakan aturan rantai, maka :
4. Turunan pertama fungsi
adalah f ‘(x) = ….
a.
b.
c.
d.
e.
jawab:
nyatakan dalam bentuk pangkat
5. Turunan pertama dari
adalah f ‘(x) = …
a.
b.
c.
d.
e.
jawab:
nyatakan dalam bentuk pangkat
maka :
6.Jika
B. -10
C. 30
D. 60
E. 90
maka g ‘(2) = …. A. -30
Jawab :
* misal
maka
* kita pakai aturan rantai sehingga :
7. Jika
maka f ‘(x) = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan
suku yang kedua menggunakan rumus
* perhatikan suku kedua misalkan :
Maka
8. Turunan pertama dari
B.
adalah ….. A.
C.
D.
E.
Jawab :
* untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk
kuadrat, didapat
baru kita gunakan
* misalkan
* maka
9. Diketahui
maka
= …. A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* nyatakan y dalam bentuk pangkat menjadi
* nah…ingat kita pakai aturan rantai
10. Jika
B. -2
C. -1
D. 0
maka f ‘ (1) = … A. -4
E.
Jawab :
* masih ingatkah materi komposisi fungsi ….???
* kita misalkan
*subitusikan ke
menjadi :
* baru kita turunkan tiap sukunya
11. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..
A. 35 sin (5 – 3x) B. - 15 sin (5 – 3x) C. 21 sin (5 – 3x) D. - 21 sin (5 – 3x) E. - 35 sin (5 –
3x) Jawab :
* ingat
* maka:
12. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …
A. 3 cos ( 2x + 1 ) B. 6 cos ( 2x + 1 ) C. 3 sin ( 2x + 1 ) + (6x – 4) cos (2x + 1) D. (6x – 4)
sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 ) E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ) Jawab :
*
kita misalkan terlebih dulu
* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :
13. Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …
A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5 sin2 x cos x D. 5 sin x cos2 x E. 5 sin 2x cos x Jawab :
*
kita misalkan terlebih dulu
* ingat rumus turunan
eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot…
* ingat bahwa
* sehingga :
* maka :
Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang
lebih disukai…
14. Jika
, maka nilai dari f ‘ (0) = …..
A.
B. 2 C.
D.
* perlu diingat bahwa :
* nah, baru kita misalkan
* fungsi menjadi
E.
Jawab :
baru pakai aturan rantai
15. Turunan pertama dari
A. -
adalah f ’ (x) =……
B. –
C.
D. E. Jawab :
* pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
* didapat
kita pakai aturan rantai
maka :
ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke
next step ….
* ingat bahwa
MATRIKS
1. Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen
matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu
koloM
Secara
dari
umum
suatu
matriks
matriks
disebut
dapat
ordo
ditulis
matriks.
dengan
Dalam
hal
ini aij disebut
elemen
matriks
pada
baris
ke-i
dan
kolom
ke-j.
2. Beberapa Jenis Matriks
(i) Matriks Nol (0)
Adalah matriks
yang
semua
elemennya
bernilai
nol.
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
(ii) Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
(iii)
Adalah matriks
yang
Matriks
banyak
barisnya
Bujur
sama
dengan
banyak
sangkar
kolomnya.
(iv) Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.
(v)
Matriks
Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.
(vi)
Matriks
Segitiga
Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.
(vii)
Matriks
Segitiga
Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.
3. Operasi Matriks
a. Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B
b. Perkalian
Matriks
dengan
Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemenelemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
Sifat-sifat:
c.
Perkalian
Dua
Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama
dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
Jika
diketahui
Matriks Amxn dan
Bnxk maka
:
4.Transpos
Matrix
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan ATatau At.
Sifat
(AT) T =
:
A
5.
Determinan
Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama
dengan
banyaknya
kolom).
Sifat-sifat
determinan
6.
Invers
Bila
Syarat ad-bc
Contoh
Jawab:
matriks:
maka
invers
matriks
dari
A
adalah
:
0
:
Sifat-sifat
:
DETERMINAN
Setiap matriks persegi mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks
merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks
tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/balikan.
Untuk matriks B berordo 3 x 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut
menggunakan kaidah Sarrus.
PEMBAHASAN
2.1 HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang
ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan
atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun
kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus
mempunyai kesamaan sifat/karakter.
Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga
membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda
kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu
himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat
dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan
tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk
sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.
Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab
sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat
ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam
himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan
merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga
bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh
seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain
bukan merupakan himpunan, misalnya
a. Kumpulan makanan enak,
b. Kumpulan wanita cantik, dan
c. Kumpulan lukisan indah.
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A,
B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan
semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk
dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam
suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk
menyatakan anggota suatu himpunan adalah “” sedangkan notasi untuk
bukan anggota adalah “”. Dengan demikian a H, iH, u H, e H, dan o
H sedangkan b H, c H dan d H. Istilah anggota yang digunakan di
atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan
kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan.
Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam
tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma.
Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua
huruf hidup dalam alfabet Latin.
Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan
sebagai
X = { x x bersifat P }.
Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah
H = { x x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda
garis tegak “” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “
atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang
digunakan adalah tanda tegak “ ”.
Untuk
memperjelas
tentang
berbagai
cara
menyatakan
himpunan,
perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.
a. Himpunan semua bilangan genap positif.
b. { 2, 4, 6, 8, … }
c. { x x = 2 n , n adalah bilangan asli}.
Masing-masing
kelebihan
dan
mendaftar
adalah
cara
kelemahan
apabila
dalam
menyatakan
masing-masing.
digunakan
untuk
himpunan
Misalnya
mempunyai
kelebihan
himpunan
yang
cara
sedikit
anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk
menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak
mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara
Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.
Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota
himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m
anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut
himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin,
himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli
kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan
himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan
tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal
himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis H. Jadi apabila H = {a, i, u,
e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.
Misalkan himpunan I = { x x [0, 1] } dan A adalah himpunan semua
bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini
n(I) = dan juga n(A) = . Himpunan A merupakan himpunan terhitung
(countable)
karena
kita
dapat
mengurutkan
satu
persatu
anggota-
anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung
(uncountable).
Akibatnya
penulisan
lambang
di
atas
mempunyai
kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak
terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih
baik yakni n(A) = 0 (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol (dibaca
aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.
Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { }
atau simbol . Tanda merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contohcontoh himpunan kosong adalah:
a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.
b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
c. { x x2 + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}
d. { x x2 9 = 0, 2x 4 = 0}
e. { x x x }
f. H = { x x H}
2. Sifat Unsur-unsur himpunan
Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat
himpunan,adapun sifat dari himpunan adalah
o Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya,
misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan
sebagainya.
o Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada
didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang
berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.
1. Ciri-ciri Himpunan
a. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
b. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
c. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.
2. Lambang Himpunan
Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri
dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf
besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan
prima kurang dari 20}.
3. Menyatakan Himpunan
Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:
a. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu
persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan
dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang
anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}
c. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan
suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat.
Ditulis A = {hewan kaki empat}
4. Anggota Himpunan
Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah
semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan
menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya
salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.
3. JENIS-JENIS HIMPUNAN
1.
himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya
D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat
dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
2.
Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak
hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis
B={}={0}.
4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan
semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
7. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A,
maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.
8. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A
9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan
himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
10. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.
11. Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan
seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}
12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu
dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}
13. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu
genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}
14. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}
15. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang
memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}
16. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)
DIAGRAM VENN
Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam
himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta.
Contohnya:
Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }
OPERASI pada HIMPUNAN
1.
Irisan
Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.
Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9
Atau
2.
Gabungan
Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A
saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.
Contohnya: A u B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A u B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )
3.
Sifat-sifat operasi himpuna
a. Komutati
=>
Berlaku:
An B =B nA
2) Gabungan, =>
Berlaku:
Au B =B uA
1) Irisan,
b. Asosiatif
1) Irisan tiga himpunan,
=>
(A n B) n C = A n ( B n C)
2) Gabungan tiga himpunan,
=>
(A u B) u C = A u ( B u C)
c. Distributif
1) Irisan,
=>
2) Gabungan, =>
A n ( B u C ) = (A n B) u (A n C)
A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
2.2 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola
tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka
disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama
sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ……………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,
.
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :
U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan
suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih
dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U 1) dilambangkan dengan
a. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – U – 1
n
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
B. DERET ARITMETIKA
Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan
aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret
aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika
adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S = 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
20
1. BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n)
2. DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______
__________
Ut = U1xUn = U2 X Un-1
dst.
f.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
Un = a + ar + ar² .........................
n=1
dimana n dan -1 < r < 1 sehingga rn 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga
S = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r <
1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ .......
Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ......
Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
Mn =M0 + P/100 (n) M0 Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0
Mn
p
n
= Modal awal
= Modal setelah n periode
= Persen per periode atau suku bunga
= Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman,
perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan
radio aktif (p < 0).
2.3 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
1.PANGKAT BILANGAN POSITIF
Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan
diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan
pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a,
n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1 = a
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
a. am x an = a m+n
b. am : an = am-n, m>n
c. (am)n = amxn
d. (a x b)n = an x bn
e. (a : b)n = an : bn
Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No
.
1.
Sifat-sifat
am x an = a m+n
Bukti
Contoh
am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a a. 23 x 25 = 23+5=28
b. a4 x a5 = a4+5 = a9
x…x a)
m faktor
n factor
= a x a x a x a x a ……x a
c. (2x + 3)2 (2x + 3)3
= (2x + 3)2+3
= (2x + 3)5
(m + n) faktor
= am+n
2.
am : an = am-n, am
m>n
an
am-n+n
=
an
am-n . an
=
an
an
=
a. 36 – 34 = 36-4 = 32
am-n . an = am-n .
b. (a-1)5
1
(a-1)2
=
(a-1)3
= am-n
3.
(am)n = amxn
(am)n = am x am x am x …(am)
a. (23)4 = (2)3x4= 212
n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …)
m faktor
m faktor
n faktor
= a x a x a x a x a = ... ... ... x a
(m x n ) faktor
b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
= (a)mn
4.
(a x b)n = an x (a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb)
bn
a. (2 x 3)4 = 24 x 34
n factor
= (a x a x …x a) x (b x b x … x b)
n faktor
b.(a2 x b3)4 =a8 x b12
n faktor
= an x bn
5.
( a )n =
b
an
bn
( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b
b
n faktor
= a x a x a x … x a , n faktor
b x b x b x … x b , n factor
= an
bn
a. ( 2/3)2 = 22/32
b. (a/b)3 = a3/b3
c. (a2/b3)4=a8/b12
Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat Positif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita
akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .
Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.
Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.
ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh:
ao . an = an
an
an
ao+n = an
an
an
ao (1) = 1
ao
= 1
Pengertian pangkat bulat Positif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 = 1 dan a-n = 1
a-n
an
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif
dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n = an+(-n)
an . a-n = ao
an . a-n = 1
bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:
an . a-n = 1
an
an
→
an . a-n = 1 → 1 . a-n = 1 → a-n = 1
an
an
an
an
Contoh
1.
Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !
a.
3-2
b.
(0,2)-3
c.
(x + y)-3
d.
(2a – 5b)-4
Jawab:
a. 3-2 = 1
32
d. (2a – 5b)-4 =
1.
c. (x + y)-3 =
1
(0,2)3
1
(x + y)3
1
(2a – 5b)4
Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
ab-n = 1
ab
a.
b. (0,2)-3 =
n
Jawab:
2 . 3-2 = 2
32
= 2
9
b.
a + b
dan
1
1
2.32
= a-1 + b-1
=
1
2. 9
= 1
18
Jadi
b.
1
2+4
Jadi . 1
2+4
2 . 3-2 ≠
2.32
= 1
6
≠
1
dan
2-1 + 4-1 = ½ + ¼
= ¾
2-1 + 4-1
RANGKUMAN
1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a
ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.
2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
am x an = a m+n
am : an = am-n, m>n
(am)n = amxn
(a x b)n = an x bn
(a : b)n = an : bn
3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1
00 tidak didefinisikan
4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka
a-n. 1 = 1 dan
a-n
a-n = 1
an
TES KEGIATAN
Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di
bawah ini !
1.
Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut !
a. (0,25)3 (0,25)4
2.
b. z3 (z2)3
Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn,
a. (2 . 5)4
4.
c. (2x2) (3x3) (4x4)
Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23)4
3.
b. 3x y4 x2 y6
Dengan menggunakan sifat
sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
b. (4 a2)3
( a )n = a n
b
bn
c. 3x2 (x2)2 (x3)3
c. (m3 . n4)5
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. ( 3/2)4
5.
b. (x2/y3)2
Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
a.
am x an = a m+n
b.
(am)n = amxn
( a )n = a n
b
c.
6.
bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !
a. (x . y-5)(x . y)-5
7.
b. (2ab2)-3 (3a2b)-2
Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut:
a.
a-3
b.
4p-2 q-5
a-5
2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN
1.
a. (0,25)7
b. 3x3y10
c. 12x9
2.
a. 212
b. z9
c. 3x15
3.
a. 24.54
b. 64a6
4.
a. 81/16
b. x4
Y6
5.
Kebijakan guru
6.
a.
7.
c. (ab2/c3d3)2
a.
___1___
X4 . y10
a2
c. m15 n20
c. a2 . b4
c6 d6
b.
1
6
72 a b
8
b. 2p5
Q3
BENTUK AKAR
Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta
operasinya.
Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan
berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.
Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,
perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal
yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !
a. 6
Jawab:
b. -30
c. 25%
d. 0,4
e. √4
a. 6 = 12
2
b. -90 .
3
c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4
100
10
e. √4 = 2 = 2/1
A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22 = 4 maka 2 = √4
23 = 8 maka 2 = 3√8
24 = 16 maka 2 = 4√16
25 = 32 maka 2 = 5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n = n√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat. Mengakibatkan
sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar. Jika
a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2,
maka berlaku sifat-sifat berikut:
Bentuk Pangkat Pecahan
1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m
Bentuk Akar
m
√a x n√a =
↔
mn
√an + m
mn
2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m
m
√a : n√a =
↔
mn
√an - m
mn
3.
(a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn
4. (ab)1/n = a1/n x b1/n
↔
n
√a . m√a =
↔
n
mn
√a
√ab = n√a x n√b
5. (a/b)1/n = a1/n
b1/n
↔
n
√a/b = n√a
n
√b
Sifat-sifat yang lain:
6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1
=
a1/n
n
1
√a
7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau
am/n = (am)1/n =
n
√am
8.
( √x )2 = x
9.
√x y
= √x . √y
10. √x/y = √x/√y
Contoh;
1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan ke
dalam
bentuk akar ¡
a. a½ x a⅓
b. ( a ⅔)¾
\Jawab:
Jawab:
a½ x a⅓ = a½+⅓ = a7/12 =
c
12
√a7
( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a
a¾
a⅔
Jawab:
a¾
a⅔
= a¾ - ⅔ = a1/12 =
12
√a
2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡
¼
a3 b-2
__________
a-1 b2
Jawab
¼
a3 b-2
__________
= (a3 – (-1) b-2-2)¼ = (a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b
a-1 b2
B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk
akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO.
1.
Sifat-sifat
(√x)2 = x
Bukti
Contoh
√x = a ↔ x = a2
a. (√5)2 = 5
Maka (√x)2 = (a)2 = x
b. (√2a)2 = 2a
c. (√x + 1)2 = x + 2√x + 1
2.
√xy = √x . √y
√x = a ↔ x = a2
dan
√48 = √16 x3 =
√16 x √3
√y = b ↔ y = b2, maka
= 4√3
√xy = √a2 . b2
4√150 = 4√25 x 6
= √(ab)2 = a b = √x . √y
= 4 √25 x √6
= 4 (5) x √6
= 20√6
3.
√x/y = √x
√y
√x = a Jika dan hanya jika x = a
2
√y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
√64/49 = √64 =
√49
8
7
√x/y = √a2/b2 = √(a/b)2
= a = √x
b
√y
Silahkan buktikan
4.
n
√an = (an)1/n = a ,
√8 = (8)⅓
3
= (23)⅓
Sebagai latihan!
= 23/3 = 1
a ≥0
5.
Silahkan buktikan
n
√an b = n√an x n√b
Sebagai latihan!
√72 = √36 x 2 = √36 x √2
= a n√b,
= (62)1/2 x √2
A dan b ≥0
= 6 √2
C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka
kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Operasi aljabar pada bentuk akar
digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c
dan
a√c - b√c = (a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan
menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat
ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan
real.
a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1. a√c + b√c = (a+b)√c
2. a√c - b√c = (a-b)√c
3. b n√ a x d n√ c = bd n √ac
4. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c
n
√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18
3. p √a - q √a + r √a
4. 2 √4 x 6 √3
5. 10 √32 : 2 √2
Jawab
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3
= (10+2+5)√3 = 17 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 - 2(3)√2
= 24√2 + 15√2 - 6 √2
= (24+15-6) √2 = 33 √2
3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a
4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3
5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20
2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:
√ x . √y = √xy
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √50 x √2
2. √32 x √12,5
3. √½ x √50
4. √2 x √5 x √10
Jawab
1.
√50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10
2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) = √400
= 20
3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5
4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10) = √100
= 10
3. Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka
√x/y = √x
√y
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √108
√27
2. √112,5
√12,5
3. √12a2
√3a2
4. √xy4
√x3y2
2. √112,5
√12,5
3. √12a2
√3a2
4. √xy4
√x3y2
Jawab
1. √108
√27
= √108/27
= √(112,5/12,5)
= √12/3 a2
= √4
=2
= √9
= 3
= √4 a2
= 2ª
= √y2/x2
= √y2 = y
√x2
x
D. Merasionalkan Penyebut
Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk
menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.
Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan
faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan bagaimana cara
merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:
1. √a x √a
akan menghasilkan bilangan rasional
a
( a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a2 - b
3. (√a + √b) x (√a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a - b
2. ( a + √b) x
Pembuktian:
1. √a x √a = √a2 = a
( a - √b) = a2 – a √b + a √b - (√b)2 = a2 - b
2.
( a + √b) x
3
(√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2 - √a . √b + √a . √b - (√b)2 = a – b
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
1. √5 . √5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 )
3. (2 + √3) (2 - √3)
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)
Jawab:
1. √5 . √5 = 5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6
3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 =
Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang dapat
merasionalkan penyebut.
Perhatikan bentuk-bentuk berikut!
1.
a =
√b
=
a . 1
√b
a . √b = a √b
√b √b
b
3.
____a___ = ____a___ .1
√b + √c
2. √a . √b
√b √b
4.
= 1 √ab
b
____a___ =
√b - √c
____a___ . 1
√b - √c
√b + √c
=
√c
____a___ . √b +
=
____a___ . √b - √c
√b - √c
√b +
√c
√b + √c
√b - √c
=
____a___ ( √b +
√c )
b-c
=
5. √a - √b
√a + √b
____a___ (√b - √c )
b - c
=
√a - √b . 1
√a + √b
=
√a - √b .
√a + √b
=
a + b - 2√ab
a - b
√a - √b
√a - √b
Contoh 1
Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !
a.
√3
√4
f.
b
6
√6 - √2
5
√7
g.
c
√8 - √2
√8 + √2
6
d.
5
6 + √6
5 - √5
h. √6 + √2
√6 - √2
e.
6
√5 + √2
Jawab
a.
b
√3 .
√4
5 .
√7
√4 =
√4
√7 =
√7
√12 =
4
5 √7
7
c.
6 . 6 - √6
6 + √6
6 - √6
d.
5 .
5 - √5
e.
6 . √5 - √2 =
√5 + √2
√5 - √2
f.
6 . √6 + √2 =
√6 - √2 √6 + √2
g. √8 - √2 .
2 √3 = 1 √3
4
2
=
6 ( 6 - √6 ) =
36 - 6
5 + √5 =
5 + √5
5 (5 + √5) =
25 - 5
√8 - √2 =
6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 )
30
5
5 (5 + √5) =
20
6 ( √5 - √2 ) =
5-2
6 (√6 + √2) =
6 - 2
8 -4-4+2 = 2
= 1
6
3
1
4
(5 + √5)
6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 - √2 )
3
(√6 + √2) = 2 (√6 + √2)
√8 + √2
√8 - √2
8 - 2
6
3
h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5
√6 - √2
√6 + √2
6 - 2
4
2
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini
H
G
E
D
A
F
Hitung panjang AG ¡
C
B
(√7 - √2) cm
Jawab
AG adalah panjang diagonal ruang
AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6
Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak
dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.
2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar
a. a√c + b√c = (a+b)√c
b. a√c - b√c = (a-b)√c
c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac
d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c
e. √ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
3. Merasionalkan Penyebut
1.
a =1
√b
=
3.
2. √a . √b =
√b √b
1 √ab
b
a . √b = a √b
√b
√b
b
____a___ = ____a___
√b + √c
.1
4.
____a___ =
√b - √c
____a___ . 1
√b - √c
√b + √c
=
____a___ . √b +
√c
=
____a___ . √b - √c
√b - √c
√b +
√c
√b + √c
√b - √c
=
____a___ ( √b +
√c )
b-c
=
5. √a - √b
√a + √b
____a___ (√b - √c )
b - c
=
√a - √b . 1
√a + √b
=
√a - √b .
√a + √b
=
a + b - 2√ab
a - b
√a - √b
√a - √b
TES KEGIATAN
Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !
1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !
a. √48
b. √1/75
2. Sederhanakan bentuk berikut !
a.
5√3 + √12 - 2√27
b. 4√3 x 3√6
3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!
a.
3
2 - √3
b.
√6
2√3 + 3√2
c
5
√7 + √2
d. √3 + √2
√3 - √2
e. 2√3 + 3
2√3 - 3
4.
Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan luas
segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!
5.
Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang
diagonal ruang balok tersebut!
Kunci
1.
a. 4√3
b. 1 √3
5
2.
a. √3
b. 36√2
3.
a. 9
b. √3 - √2
e.
4.
c. √7 - √2
d. 7 + 2√6
7 + 4√3
(√5 - √3) cm
5.
3√14 cm.
2.4 LIMIT
02.00 | by Januar Ivan
Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi
untuk nilai x yang mendekati 1
X
0
0,9
0,95
0,98
…
1,0001
1,0005
1,05
1,1
f(x)
1
1,9
1,95
1,98
…
2,0001
2,0005
2,05
2,1
Gambar grafiknya:
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
Teorema:
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:
Sifat-Sifat Limit
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1.
Substitusi langsung
Contoh:
2.
Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3.
Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:
4.
Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:
Contoh:
Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:
Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas :
koefisien pangkat tertinggi bawah
Contoh 1:
Contoh 2:
Contoh 3:
→ Untuk bentuk
Contoh:
5.
Limit trigonometri:
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax
(dari sin2x + cos2x = 1)
Bilangan e
Bilangan e didapat dari:
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.
3.
Ilustrasi:
2.5 Turunan fungsi f ‘ (x)
Rumus-rumus Turunan :
untuk a = konstanta
maka
maka
maka
jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi
maka
maka
maka
maka
maka
dinamakan aturan rantai
Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam
bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:
Tentukan turunan pertama dari :
1.
Jawab :
2.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
3.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
4.
Jawab :
* kita misalkan
* maka :
5.
Jawab :
* kita misalkan
dan
* lalu kita pakai
( aturan rantai )
Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh
f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a.
dan f ‘ adalah turunan pertama dari
b.
c.
d.
e.
jawab:
$
2. Turunan pertama fungsi
a.
b.
c.
d.
adalah f ‘(x) = ….
e.
jawab:
3. Diketahui
= ….
a. 4
b. 12
c. 16
d. 84
e. 112
jawab:
dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1)
misalkan u = 3x + 4 maka u’ = 3 dan n = 4
gunakan aturan rantai, maka :
4. Turunan pertama fungsi
adalah f ‘(x) = ….
a.
b.
c.
d.
e.
jawab:
nyatakan dalam bentuk pangkat
5. Turunan pertama dari
adalah f ‘(x) = …
a.
b.
c.
d.
e.
jawab:
nyatakan dalam bentuk pangkat
maka :
6.Jika
B. -10
C. 30
D. 60
E. 90
maka g ‘(2) = …. A. -30
Jawab :
* misal
maka
* kita pakai aturan rantai sehingga :
7. Jika
maka f ‘(x) = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan
suku yang kedua menggunakan rumus
* perhatikan suku kedua misalkan :
Maka
8. Turunan pertama dari
B.
adalah ….. A.
C.
D.
E.
Jawab :
* untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk
kuadrat, didapat
baru kita gunakan
* misalkan
* maka
9. Diketahui
maka
= …. A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* nyatakan y dalam bentuk pangkat menjadi
* nah…ingat kita pakai aturan rantai
10. Jika
B. -2
C. -1
D. 0
maka f ‘ (1) = … A. -4
E.
Jawab :
* masih ingatkah materi komposisi fungsi ….???
* kita misalkan
*subitusikan ke
menjadi :
* baru kita turunkan tiap sukunya
11. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..
A. 35 sin (5 – 3x) B. - 15 sin (5 – 3x) C. 21 sin (5 – 3x) D. - 21 sin (5 – 3x) E. - 35 sin (5 –
3x) Jawab :
* ingat
* maka:
12. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …
A. 3 cos ( 2x + 1 ) B. 6 cos ( 2x + 1 ) C. 3 sin ( 2x + 1 ) + (6x – 4) cos (2x + 1) D. (6x – 4)
sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 ) E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ) Jawab :
*
kita misalkan terlebih dulu
* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :
13. Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …
A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5 sin2 x cos x D. 5 sin x cos2 x E. 5 sin 2x cos x Jawab :
*
kita misalkan terlebih dulu
* ingat rumus turunan
eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot…
* ingat bahwa
* sehingga :
* maka :
Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang
lebih disukai…
14. Jika
, maka nilai dari f ‘ (0) = …..
A.
B. 2 C.
D.
* perlu diingat bahwa :
* nah, baru kita misalkan
* fungsi menjadi
E.
Jawab :
baru pakai aturan rantai
15. Turunan pertama dari
A. -
adalah f ’ (x) =……
B. –
C.
D. E. Jawab :
* pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
* didapat
kita pakai aturan rantai
maka :
ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke
next step ….
* ingat bahwa
MATRIKS
1. Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen
matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu
koloM
Secara
dari
umum
suatu
matriks
matriks
disebut
dapat
ordo
ditulis
matriks.
dengan
Dalam
hal
ini aij disebut
elemen
matriks
pada
baris
ke-i
dan
kolom
ke-j.
2. Beberapa Jenis Matriks
(i) Matriks Nol (0)
Adalah matriks
yang
semua
elemennya
bernilai
nol.
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
(ii) Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
(iii)
Adalah matriks
yang
Matriks
banyak
barisnya
Bujur
sama
dengan
banyak
sangkar
kolomnya.
(iv) Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.
(v)
Matriks
Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.
(vi)
Matriks
Segitiga
Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.
(vii)
Matriks
Segitiga
Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.
3. Operasi Matriks
a. Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B
b. Perkalian
Matriks
dengan
Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemenelemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
Sifat-sifat:
c.
Perkalian
Dua
Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama
dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
Jika
diketahui
Matriks Amxn dan
Bnxk maka
:
4.Transpos
Matrix
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan ATatau At.
Sifat
(AT) T =
:
A
5.
Determinan
Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama
dengan
banyaknya
kolom).
Sifat-sifat
determinan
6.
Invers
Bila
Syarat ad-bc
Contoh
Jawab:
matriks:
maka
invers
matriks
dari
A
adalah
:
0
:
Sifat-sifat
:
DETERMINAN
Setiap matriks persegi mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks
merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks
tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/balikan.
Untuk matriks B berordo 3 x 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut
menggunakan kaidah Sarrus.