UNIVERSITAS SRIWIJAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN INDERALAYA 2009 DAFTAR ISI Halaman - DIKTAT GEOMETRI 08-REV
DIKTAT GEOMETRI
DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI
PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA
PENYUSUN:
Nyimas Aisyah
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
INDERALAYA
2009
DAFTAR ISI
Halaman
BAB 1 : Lukisan Dasar ........................................................................................
A. Melukis Sudut
1
.......................................................................................
1
Latihan ..........................................................................................................
6
B. Melukis Garis ............................................................................................
7
Latihan ..........................................................................................................
10
C. Melukis Segitiga .......................................................................................
11
Latihan ..........................................................................................................
13
D. Melukis Bangun Ruang ............................................................................
12
BAB 1 : Bangun Ruang .......................………..……............................................
14
A. Bangun Ruang Sisi Datar .........................................................................
14
Latihan .........................................................................................................
23
B. Bangun Ruang Sisi Lengkung .................................................................
26
Latihan .........................................................................................................
31
BAB 3 : Bangun Datar .......................…….…..……............................................
31
A. Bangun Datar Segitiga .............................................................................
31
Latihan .........................................................................................................
36
A. Bangun Datar Segiempat .........................................................................
37
Latihan .........................................................................................................
41
BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga ........…….…..……............................................
42
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang ..................................
42
B. Proyeksi .....................................................................................................
45
C. Jarak .........................................................................................................
51
D. Sudut .........................................................................................................
60
BAB V: IRISAN BIDANG .................................................................................
65
A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas .............................
65
B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal
68
C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi
70
D. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal pada Limas
73
E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak
74
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................
78
ii
iii
BAB 1
LUKISAN DASAR
A. MELUKIS SUDUT
1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui
Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh
dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang
diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila
pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang
digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut
yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.
Diketahui:
Sudut A
Lukislah:
Sudut B = sudut A
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D.
Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E.
2.
Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik
E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F.
3.
Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B
sama besar dengan sudut A.
1
2. Melukis Sudut-sudut Istimewa
Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan
penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat
menggunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut
istimewa tersebut adalah sebagai berikut.
(a) Sudut 90o (Sudut Siku-siku)
Diketahui:
garis l dan titik A
Lukislah:
Sudut A = 90o
Langkah-langkah melukis (Cara I):
1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong garis l di B.
2. Pindahkan busur itu ke titik B sehingga memotong busur pertama di C.
3. Pindahkan busur itu ke titik C sedemikian hingga memotong garis yang ditarik melalui titik
B dan C di titik D.
4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
Langkah-langkah melukis (Cara II):
1.
Buat lingkaran sembarang yang memotong garis l di titik A dan B.
2.
Tarik garis tengah lingkaran itu melalui titik B dan memotong lingkaran di C
3.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
2
Langkah-langkah melukis (Cara III):
1.
Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C.
2.
Buat busur lain dengan pusat di titik B
3.
Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D.
4.
Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
(b) Sudut 60o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 60o
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.
2.
Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.
3.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o.
(c) Sudut 45o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 45o
Langkah-langkah melukis:
1.
Ambil titik B sembarang pada garis l.
2.
Buat garis t tegak lurus l melalui B
3.
Buat busur lingkaran dengan jaris-jaris BA dan titik pusat B yang memotong garis l di C.
3
4.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o.
(d) Sudut 30o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 30o
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.
2.
Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.
3.
Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D
4.
Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o.
Latihan
1.
Lukislah dengan cermat ketiga garis tinggi segitiga lancip.?
2.
Lukislah sudut yang sama besar dengan sudut-sudut di bawah ini.
(a)
(b)
B
A
3.
Lukislah jajargenjang ABCD dengan panjang sisi berdekatan masing-masing 6 cm dan
10 cm. Kedua sisi ini mengapit sudut 60o.
4
B. MELUKIS GARIS
1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus
Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar
garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris sikusiku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu
penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan
menggunakan jangka adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis l dan titik A di luar garis l.
Lukislah:
garis m l melalui A
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C.
2.
Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D.
3.
Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m garis l.
2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar
Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui
sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah
penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan
satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis yang saling sejajar
dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis l dan titik A di luar garis l.
Lukislah:
garis m // l melalui A
5
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B.
2.
Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan
berseberangan dengannya.
3.
Didapatlah garis m // l
3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut
Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi
sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah
sebagai berikut.
Diketahui:
sudut A
Lukislah :
garis bagi sudut A
Langkah-langkah melukis:
1.
Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r 1, sehingga busur tersebut memotong
kaki-kaki sudut A di titik B dan C.
2.
Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r 2, sehingga kedua busur
berpotongan di titik D.
3.
Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.
6
4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis
Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang
diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu ruas
garis ini diperlukan penggaris dan mistar, dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1.
Diketahui ruas garis AB
2.
Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan
pusat A dan jari-jari r.
3.
Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r,
sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik K dan busur yang
terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik L.
4.
Hubungkan K dan L, maka didapat garis KL yang merupakan sumbu ruas garis AB.
5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang
Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang,
maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis
tersebut adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis AB
Lukislah :
pembagian AB menjadi 5 bagia yang sama panjang
Langkah-langkah melukis:
1.
Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A)
dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB.
2.
Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian
hingga AC = CD = DE = EF = FG.
7
3.
Hubungkan B dan G.
4.
Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F.
Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N.
5.
Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang.
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Bagilah garis AB = 6 cm menjadi 6 bagian yang sama panjang.
2.
Lukislah garis berat melalui A dan garis bagi melalui B pada Δ ABC tumpul.
3.
Lukislah sudut 15o
4.
Lukislah belahketupat PQRS, dengan ketentuan sebagai berikut.
a.
Salah satu diagonal belahketupat adalah garis g
b.
Titik P di luar g
c.
P merupakan salah satu titik sudut belahketupat.
5. Lukislah ruas garis yang panjangnya 3/5 dari panjang ruas garis AB = 7 cm.
8
C. MELUKIS SEGITIGA
Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan
menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur
sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi yang ketiga
segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan
jangka menjadi keharusan.
1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya
Diketahui:
ruas garis a, b, c
Lukislah :
segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis a = BC
2.
Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b.
3.
Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a.
4.
Kedua busur tadi berpotongan di A.
5.
Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.
2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi
Diketahui:
ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis b = AB
2.
Ukur sudut α pada titik B
3.
Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.
9
3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut
Diketahui:
sudut α, ruas garis a, dan sudut β
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis a = BC
2.
Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur
sudut β dengan dan B sebagai titik sudut.
3.
Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C.
4.
Maka didapat Δ ABC.
4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut
Diketahui:
ruas garis a, b dan sudut α
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat garis a = BC
2.
Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.
10
3.
Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C
di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?)
4.
Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC.
Lukisan (Silahkan Anda coba!)
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 6 cm, ABC = 75o dan BC = 7,5 cm.
2.
Lukislah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang kakinya 5 cm
3.
Lukislah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm.
4.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 7 cm, BC = 3 cm, dan BCA = 100o
5.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui ABC = 60o, BC = 4 cm, dan BCA = 95o.
6.
Lukis suatu Δ ABC jika diketahui
a.
panjang alasnya AB adalah a satuan
b.
tinggi dari titik C ke AB adalah t satuan
c.
panjang salah satu kaki (BC) adalah b satuan
7.
8.
Lukis suatu Δ ABC jika diketahui
a.
panjang alasnya AB adalah a satuan
b.
panjang garis tinggi dari C sama dengan t satuan
c.
besar sudut puncak C adalah α
Hidayat melakukan permainan pada suatu kegiatan pramuka. Hidayat harus menemukan
sebuah benda. Untuk menemukan benda tersebut, Hidayat harus berjalan sejauh 10 langkah
ke depan kemudian berjalan 15 langkah ke arah Tenggara. Setelah mendapatkan benda
tersebut, Hidayat berjalan kembali ke tempat semula. Gambarkan perjalanan Hidayat untuk
mendapatkan benda tersebut sampai kembali ke tempat semula.
11
D. MELUKIS BANGUN RUANG
Bangun ruang dapat dilukiskan pada bidang datar. Untuk mendapatkan hasil lukis yang
proporsional ada beberapa langkah dan istilah yang diperlukan. Istilah-istilah tersebut adalah
sebagai berikut.
1.
Bidang frontal adalah bidang gambar.
2.
Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.
3.
Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal.
4.
Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang frontal.
5.
Sudut surut adalah sudut antaraa bidang frontal dan ke arah kiri ke bidang ortogonal.
6.
Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang garis pada lukisan dengan
panjang garis yang sebenarnya.
Sedangkan langkah-langkah untuk melukiskan kubus adalah sebagai berikut.
1.
Lukis bidang frontal dengan ukuran yang sebenarnya.
2.
Cari panjang salah satu garis ortogonal dengan menggunakan perbandingan proyeksi.
3.
Pada bidang frontal, tentukan titik yaang menjadi titik pertemuan antara garis frontal
dengan garis ortogonal.
4.
Dengan menggunakan sudut surut dan ukuran garis ortogonal (langkah 2), buat garis
ortogonal.
5. Buat garis ortogonal lain.
6. Hubungkan titik-titik ujung dari garis ortogonal.
Contoh:
Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Perbandingan proyeksinya ⅓, dan
sudut surutnya 450 serta bidang ABFE sebagai bidang frontalnya.
Langkah-langkah melukiskan kubus ABCD.EFGH di atas sebagai berikut.
1.
Buat bidang frontal, yaitu bidang ABFE dengan ukuran 4 cm x 4 cm.
2.
Salah satu garis ortogonal adalah AD, dengan panjang AD yang sebenarnya 4 cm.
Panjang AD pada lukisan = ⅓ x 4 cm = 1⅓ cm.
3.
Titik A adalah titik pertemuan antara garis frontal AB dangaris ortogonal AD.
Pada titik A ini akan dibuat garis ortogonal dengan menggunakan busur derajat.
4.
Letakkan titik tengah busur derajat berimpit dengan titik A.
Dari garis frontal AB, tentukan arah 450 berlawanan arah dengan jarum jam, beri tanda.
Tarik garis dari titik A ke tanda yang sudah diberi tadi, ukur dari titik A tersebut garis
sepanjang 1⅓ cm. Itulah garis AD.
12
5. Buatlah garis ortogonal lainnya yaitu, EH, BC, dan FG dengan ukuran 1⅓ cm.
6. Hubungkan titik D dengan titik C, titik C dengan titik G, titik G dengan titik H, dan titik
H dengan titik D, sehingga terbentuklah kubus ABCD.EFGH.
Contoh 2:
Diketahui kubus KLMN.PQRS berukuran 6 cm. Lukislah kubus tersebut dengan bidang LMRQ
sebagai bidang frontal, dengan perbandingan proyeksi ⅓ dan sudut surutnya 600.
Langkah-langkah melukis kubus KLMN. PQRS:
1.
Bidang frontal adalah bidang ………., dengan ukuran ………….
2.
Salah satu garis ortogonal adalah ……….. .
Panjang LK yang sebenarnya adalah ……….
Panjang LK pada lukisan adalah = ……..……..…….
3.
Titik pertemuan garis frontal LM dengan gais orogonal LK adalah titik ……. .
4.
Letakkan titik tengah busur berhimpit dengan titik …..
Dari garis frontal horizontal LM. Ditentukan arah ……. berlawanan arah dengan arah
jarum jam, dan diberi tanda. Tarik garis dari titik L ke tampat yang telah diberi tanda tadi.
Ukur dari titik L garis sepanjang 2 cm dan beri nama titik …… .
5.
Buat
garis
ortogonal
yang
lain
yang
sejajar
dengan
LK
yaitu:
………………………….
6.
Hubungkan titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; titik
……. dengan titik ……. ; dan titik ……. dengan titik ……. .
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan ukuran alasnya 4 cm dan tinggi 6
cm. Titik K berada di tengah-tengah AD dan titik L berada di tengah-tengah BC. Bidang
KLT sebagai bidang frontal, garis KL sebagai garis frontal horizontal dengan sudut surut
600 dan perbandingan proyeksinyaa ½. Lukislah limas tersebut.
2.
Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan TA = AB = 4 cm, D pertengahan
rusuk BC. Lukislah bidang empat tersebut dengan bidang TAD frontal, AD horizontal,
sudut surut 60o , dan perbandingan orthogonal
13
3
4
.
BAB 2
BANGUN RUANG
A.Bangun Ruang Sisi Datar
1. Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar
a. Bangun Ruang Bidang Banyak
Suatu bangun ruang yang dibatasi oleh bidang-bidang datar disebut bidang banyak
(polihedron). Poligon yang membatasi polihedron ini disebut bidang sisi (permukaan). Segmen
garis yang merupakan perpotongan dua bidang sisi disebut rusuk, dan titik ujung rusuk
merupakan titik-titik sudut bangun ruang tersebut. Titik sudut merupakan titik persekutuan tiga
atau lebih rusuk bangun ruang. Beberapa contoh bangun ruang bidang banyak ini adalah bidang
empat (memiliki empat bidang batas), bidang enam (memiliki enam bidang batas), bidang dua
belas (memiliki dua belas bidang batas), dan lain-lain. Perhatikan Gambar 4.1 berikut.
D
A
C
B
Gambar 4.1. Bidang Empat
Gambar 4.1 merupakan Bidang Empat ABCD.
Bidang batasnya adalah ABC, ABD, BCD, dan ACD.
Rusuknya adalah AB, BC, AC, AD, BD, dan CD
Titik sudutnya adalah A, B, C, D.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bangun-bangun ruang bidang banyak yang
diujudkan dalam bentuk benda ruang yang dimanfaatkan manusia untuk keperluan sehari-hari.
Beberapa contohnya dapat Anda lihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 berikut.
14
Gambar 4.2 adalah sketsa gambar aquarium terbuat dari kaca. Benda ini berbentuk bidang dua
belas, karena memiliki 12 bidang batas berupa 8 persegi dan 4 segienam beraturan.
Gambar 4.3 adalah sketsa gambar rumah. Benda ini berbentuk bidang tujuh, karena memiliki 7
bidang batas berupa 5 persegi panjang dan 2 segilima.
Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih mendalam beberapa contoh bangun ruang
bidang banyak seperti bidang banyak beraturan, prisma, limas, dan prismoide.
b. Bidang Banyak Beraturan
Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segibanyak, tetapi ada juga yang
dibatasi oleh beberapa macam segibanyak. Jika pembatas hanya terdiri dari satu macam
segibanyak beraturan saja dan kongruen satu sama lain, maka bidang banyak ini dinamakan
bidang banyak beraturan.
Bidang banyak beraturan adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sejumlah poligon
beraturan kongruen yang sama pada setiap titik sudutnya. Karena pada setiap titik sudut bertemu
paling sedikit tiga rusuk, maka sudut poligon haruslah kurang dari 120 o (Mengapa?). Berarti
poligon pembentuk yang mungkin hanya segitiga samasisi (3, 4, atau 5 segitiga samasisi pada
setiap sudut). Dengan demikian hanya ada lima jenis bidang banyak beraturan yang dikenal
sebagai Platonic. Perhatikan Gambar 4.4 berikut.
15
Gambar 4.4. Bidang Banyak Beraturan
a.
Gambar 4.4. (i) adalah gambar bidang empat beraturan (tetraeder). Bangun ini
dibatasi oleh empat daerah/bidang segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat tiga
bidang segitiga samasisi dan tiga rusuk.
b.
Gambar 4.4. (ii) adalah gambar bidang enam beraturan yang lebih dikenal
sebagai kubus (hexaeder). Bangun ini dibatasi oleh enam daerah persegi kongruen. Pada
setiap titik sudut terdapat tiga bidang persegi dan tiga rusuk.
c.
Gambar 4.4. (iii) adalah gambar bidang delapan beraturan (octaeder). Bangun ini
dibatasi oleh delapan segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat empat bidang
segitiga samasisi, dan empat rusuk.
d.
Gambar 4.4. (iv) adalah gambar bidang duabelas beraturan (icosaeder). Bangun
ini dibatasi oleh duabelas segilima. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang segilima
beraturan, dan tiga rusuk.
e.
Gambar 4.4. (v) adalah gambar bidang duapuluh beraturan (dodecaeder).
Bangun ini dibatasi oleh duapuluh segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat lima
bidang segitiga samasisi, dan lima rusuk.
c. Prisma
Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua poligon yang sejajar dan
beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar. Dua poligon sejajar tersebut
masing-masing adalah bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang sisi lainnya
disebut bidang tegak. Setiap sisi poligon bidang atas (garis potong bidang atas dan sisi tegak)
disebut rusuk tegak, dan setiap sisi poligon bidang alas disebut rusuk alas. Rusuk-rusuk lainnya
disebut rusuk tegak. Jarak antara bidang atas dan bidang alas prisma disebut tinggi prisma.
Perhatikan Gambar 4.5 berikut.
16
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Gambar 4.5. Prisma
a.
Gambar 4.5. (i) adalah gambar prisma miring. Bangun ini disebut prisma miring
karena rusuk tegaknya tidak tegak lurus bidang alas.
b.
Gambar 4.5. (ii) adalah gambar prisma tegak. Bangun ini disebut prisma tegak
karena1 rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas.
c.
Gambar 4.5. (iii) adalah gambar prisma segi-n. Prisma ini memiliki sisi alas
berbentuk segi-n. Apabila alasnya berbentuk segi-n beraturan, maka disebut prisma segi-n
beraturan.
d.
Gambar 4.5. (iv) adalah gambar Parallelepipedum. Prisma ini alasnya berbentuk
jajargenjang. Jika alas parallelepipedum tegak berbetuk persegipanjang, maka disebut
parallelepipedum siku-siku. Jika semua bidang sisi parallelepipedum siku-siku tersebut
kongruen, maka disebut kubus. Parallelepipedum yang semua rusuknya sama panjang
disebut rhomboeder.
d. Limas
Limas atau piramid adalah bangun ruang yang dibatasi sebuah bidang datar atau
bidang alas yang berbentuk segi-n dan oleh bidang-bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga.
Garis alas segitiga itu berimpit dengan sisi-sisi segi-n dan titik puncak segitiga-segitiga itu
bertemu atau berimpit di suatu titik Perhatikan Gambar 4.6 berikut.
Gambar 4.6 adalah gambar limas segi-3 T.ABC.
T
Puncak limas adalah T.
Bidang alasnya adalah daerah ABC.
Rusuk alasnya adalah AB, Bc, dan CA.
Rusuk tegaknya adalah TA, TB, dan TC.
A
O
P
C
B
Gambar 4.6. Limas Segi-3 T.ABC
TP adalah apotema limas.
TO adalah garis tinggi limas (Altitude)
17
Ditinjau dari bentuk alasnya, maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:
1.
limas segitiga, bidang alasnya berbentuk segitiga
2.
limas segiempat, bidang alasnya berbentuk segiempat
3.
limas segilima, bidang alasnya berbentuk segilima
Ditinjau dari teratur atau tidaknya bidang alas dan kedudukan titik puncak terhadap bidang sisi,
maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:
1.
limas sembarang, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n sembarang dan titik
puncaknya juga sembarang.
2.
limas beraturan, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi
titik puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang alas.
e. Prismoide
Prismoide adalah bangun ruang sisi datar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar
(bidang alas dan bidang atas) dan bidang-bidang segitiga atau trapesium sebagai bidang sisi
tegak. Prisma dan limas terpancung merupakan bangun khusus prismoide. Perhatikan Gambar
4.7 berikut.
Gambar 4.7
Gambar 4.7 adalah gambar prismoide. Pada Gambar 4.7 (i) dan 4.7 (ii) , ABCDEF dan
ABCDEFGHIJ masing-masing disebut irisan parallel tengan prismoide tersebut, yaitu irisan
bidang atas/alas dan melalui semua titik tengah rusuk tegaknya.
18
2. JARING-JARING DAN LUAS BANGUN RUANG SISI DATAR
Secara sederhana, jaring-jaring sebuah bangun ruang dapat diperoleh apabila bangun
ruang tersebut diiris sepanjang rusuk-rusuk tertentu sedemikian hingga terbentang beberapa
bidang datar pembentuknya. Perhatikan Gambar 4.8 berikut.
Gambar 4.8
Gambar 4.8 adalah gambar sebuah kubus yang diiris sepanjang rusuk yang dicetak tebal.
Apabila direbahkan pada bidang datar, maka terjadilah jaring-jaring kubus seperti pada Gambar
4.8 (ii) dan 4.8 (iii). Masih sangat banyak model jaring-jaring kubus yang dapat dibuat sesuai
dengan rusuk yang diiris. Begitu juga untuk bangun-bangun ruang sisi datar lainnya. Dari
jaring-jaring bangun ruang ini, dengan mudah dapat ditentukan luas sisi bangun ruang tersebut.
Hal ini karena luas sisi bangun ruang pada dasarnya sama dengan jumlah luas sisi-sisi dari
bangun ruang yang dapat dihitung dari jaring-jaring kubus yang tersebut. Bagaimana jika
bangun datar yang terbentuk tidak seluruhnya terdiri dari bangun-bangun datar yang dikenal,
misalnya kotak kue yang berbentuk “love” yang sering digunakan untuk acara lamaran nikah.
3. VOLUM BANGUN RUANG SISI DATAR
Untuk menentukan volum bangun ruang sisi datar, dapat dimulai dengan menentukan
volum kubus dan balok. Volum kubus/balok dapat ditentukan dengan menggunakan mengisi
kubus satuan (kubus-kubus dengan panjang rusuk 1 cm) ke dalam kubus/balok tersebut.
Bilangan yang menunjukkan banyaknya kubus satuan yang mengisi kubus/balok itulah yang
19
dinamakan volum kubus/balok. Volum kubus/balok ini selanjutnya dapat digunakan untuk
menentukan volum bangun-bangun ruang sisi datar lainnya.
a. Menentukan Volum Prisma
Balok adalah suatu prisma yang khusus. Dengan demikian, volum prisma dapat ditentukan
dengan menggunakan volum balok. Hal ini dapat ditunjukkan dengan membagi suatu balok
menjadi dua bagian yang volumnya sama (dibagi menurut salah satu bidang diagonalnya).
Perhatikan Gambar 4.9 berikut.
H
E
G
Volum prisma ABD.EFH
=
F
=
D
A
C
B
=
=
1
2
1
2
1
2
1
(2
x volum balok ABCD.EFGH
x (luas alas balok x tinggi balok)
x (luas daerah ABCD x BF)
x luas daerah ABCD) x BF
= luas daerah ABD x BF
= luas alas prisma ABD.EFH x tinggi prisma
Jadi, volum prisma ABD.EFH = luas alas x tinggi
Dengan cara mudah Anda juga dapat menentukan volum prisma segi-n tegak lainnya, karena
prisma segi-n dapat dibentuk dari (n – 2) prisma segitiga tegak.
b. Menentukan Volum Limas
Untuk menentukan volum limas, dapat digunakan suatu kubus yang dibagi menjadi enam
limas yang kongruen atau menggunakan prisma segitiga tegak yang dibagi menjadi tiga limas
yang kongruen. Dengan memperhatikan kekongruenan dan prinsip dasar volum limas di atas,
tunjukkan bahwa volum limas =
1
3
x luas alas x tinggi.
c. Menentukan Volum Bangun Ruang dengan Prinsip Cavalleri.
Prinsip Cavalleri pertama kali diketemukan oleh Bonaventura Cavalleri, ahli matematika
berkebangsaaan Italia. Berdasarkan prinsip Cavalleri:
“Jika dua benda tingginya sama dan bidang irisan mendatar pada ketinggian yang sama
mempunyai luas yang sama, maka kedua benda tersebut mempunyai volum yang sama”
Prinsip ini berlaku untuk semua bangun ruang termasuk bangun ruang sisi datar.
Perhatikan Gambar 4.10 berikut.
20
Gambar 4.10
Gambar 4.10 (i) adalah gambar sebuah prisma miring dan Gambar 4.10 (ii) adalah gambar
prisma miring yang dipotong oleh irisan siku-siku (irisan yang tegak lurus rusuk tegaknya).
Jika prisma bagian bawah irisan dipindahkan dan ditempatkan tepat di atas bagian atas irisan
terjadilah bangun ruang baru seperti pada Gambar 4.10 (iii). Panjang rusuk tegaknya tidak
berubah. Dengan demikian diperoleh:
Luas alas prisma miring = luas irisan siku-siku = luas alas prisma tegak
Tinggi prisma miring = tinggi prisma tegak
Jadi : Volum prisma miring = Ls x r dengan Ls adalah luas irisan siku-siku dan r panjang
rusuk tegak.
Latihan
Untuk soal nomor 1 – 10, pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat!
Untuk nomor 1 s.d 4, perhatikan Gambar di atas!
1. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, limas G.ABD merupakan bidang empat ............
A.
teratur
B.
tegak
C.
siku-siku
D.
sembarang
21
2. Salah satu bangun yang kongruen dengan G.ABD adalah .................
A.
E.ABD
B.
E.CBD
C.
F.ABD
D.
F.CBD
3. Bangun ACD.EGF pada kubus di atas merupakan bangun ..............
A.
prisma segitiga beraturan
B.
prisma segitiga sembarang
C.
bidang empat teratur
D.
bidang empat sembarang
4. Volum bangun ABD.EFH pada soal nomor 4 adalah ................... cm3
A.
500
B.
500
C.
1000
D.
500
2
3
5. Pernyataan berikut benar, kecuali .......
A.
Semua parallelpipedum adalah prisma
B.
Balok merupakan parallelepipedum tegak
C.
Ada rhomboeder yang merupakan parallelepipedum tegak
D.
Bidang empat merupakan prisma tegak
6. Dari limas beraturan T.ABCD dibuat semua jaring-jaringnya. Banyaknya jaring-jaring
yang satu sama lain berbeda adalah ……….
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7.Sebuah limas yang alasnya berbentuk persegi mempunyai luas alas 100 cm2 dan tinggi
12 cm. Luas seluruh limas tersebut adalah ……..
A.
1.200 cm2
B.
400 cm2
C.
360 cm2
D.
260 cm2
E.
22
8.Diketahui prisma segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Jika tinggi
prisma adalah 15 cm, maka volum prisma adalah ............... cm3
A.
720
B.
360
C.
180
D.
120
9. Limas terpancung dengan alas berupa segitiga samasisi disebut ...........
A.
Bidang empat terpancung
B.
Bidang empat beraturan terpancung
C.
Bidang empat orthocentris terpancung
D.
Bidang empat ortogonal terpancung
10. ABCD.EFGH
adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Volum limas T.ABC
adalah ........ cm3
A.
216
B.
72
C.
36
D.
18
Untuk soal nomor 11, kerjakan dengan tepat dan jelas!
11. Perhatikan Gambar di bawah ini.
Pertanyaan:
a.
Apa nama bangun S.ABCD?
b.
Sebutkan
bangun
yang
kongruen dengan S.ABCD!
c.
Sebutkan nama bangun yang
berbentuk bidang empat!
d.
Berapa luas permukaan dan
volum bangun ABQ.EFS?
23
B. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
Jika sebuah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis lurus yang termuat pada
bidang itu, maka ruas garis yang terdapat dalam bidang itu akan membentuk suatu bidang
lengkung yang disebut bidang putar. Jadi pada dasarnya bangun ruang sisi lengkung merupakan
bangun yang terjadi apabila bangun datar diputar mengelilingi suatu garis lurus. Akibatnya sisisisi pembentuk bangun ruang sisi lengkung ini sebagian merupakan sisi lengkung. Hal inilah
yang membedakan antara bangun ruang sisi datar dengan bangun ruang sisi lengkung. Namun
secara umum sifat-sifat kedua bangun ruang ini adalah sama.
Oleh karena itu, agar materi bangun ruang sisi lengkung ini mudah Anda pahami,
maka Anda dapat menggunakan materi bangun datar sisi datar sebagai referensi. Seperti pada
bangun datar sisi datar, pembahasan tentang materi bangun ruang sisi lengkung akan diawali
dengan mengenalkan macam-macam bangun ruang sisi lengkung tersebut, sebelum
pembahahasan tentang luas dan volum.
1. MACAM-MACAM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Tabung
Jika persegi panjang ABCD diputar dengan AD sebagai sumbu putar, maka benda putar yang
terjadi disebut tabung. AD disebut poros (sumbu) tabung.
Perhatikan
Gambar
4.11
berikut.
B’
A
B
AD = tinggi tabung
B’B = jari-jari lingkaran atas
C’C = jari-jari lingkaran bawah
C’
C
D
Gambar 4.11. Tabung
b. Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang terjadi apabila segitiga siku-siku diputar dengan salah
satu sisi siku-sikunya sebagai sumbu putar. Perhatikan Gambar 4.12 berikut.
24
T
Gambar 4.12 adalah
gambar Kerucut.
TO = sumbu kerucut
T = titik puncak
TA, TS = garis pelukis
A
O
B
S
Gambar 4.12 Kerucut
c. Bola
Bola adalah suatu bidang putar yang terjadi bila setengah lingkaran diputar dengan garis
tengahnya sebagai sumbu putar. Karena letak titik-titik pada setengah lingkaran terhadap
titik-titik pusat lingkaran tidak berubah selama perputaran, maka titik-titik pada bidang bola
itu berjarak sama terhadap titik pusat bola. Perhatikan Gambar 4.13 berikut.
PQ = tali busur
AB = garis tengah
A, B = titik-titik diametral
Gambar 4.13. Bola
2. LUAS BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Luas Tabung
Tabung terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi atas dan sisi alas yang berbentuk lingkaran serta sisi
tegak (berupa bidang lengkung). Sisi tegak ini biasa disebut selimut tabung.
Dengan demikian luas tabung adalah jumlah dari luas sisi atas, luas sisi alas, dan luas sisi
tegak. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan jaring-jaring tabung seperti pada
Gambar 4.14 berikut.
25
Gambar 4.14. Jaring-jaring Tabung
Gambar 4.14 (i) adalah sebuah tabung dengan jari-jari r dan tinggi t, sedangkan Gambar 4.14
(ii) adalah jaring-jaring tabung tersebut. Dengan menggunakan Gambar 4.14 ini, coba Anda
tunjukkan bahwa luas tabung adalah L = 2 п r2 + 2 п r t
b. Luas Kerucut
Kerucut memiliki dua sisi, yaitu sisi alas berupa daerah lingkaran, dan sisi lengkung yang
biasa disebut selimut tabung. Dengan demikian luas kerucut adalah jumlah dari luas sisi alas
yang berupa lingkaran dan luas selimut. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan
jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar 4.15 berikut.
Gambar 4.15. Jaring-jaring Kerucut
Dengan menggunakan Gambar 4.15 ini, coba Anda tunjukkan bahwa luas kerucut adalah L
= п r2 + п r s
c. Luas Bola
Untuk menentukan luas bola, Anda dapat melakukan kegiatan lab. Mini berikut.
Lab. Mini – Mencari luas bola
Bahan : buah jeruk yang bulat (atau bola plastik tipis), kertas manila, lem.
Alat
: gunting/pisau, jangka, penggaris
26
Cara kerja:
1.
Potonglah jeruk di tengah-tengah
2.
Ukurlah garis tengahnya, dan buatlah lingkaran-lingkaran yang garis tengahnya
sama dengan garis tengah jeruk.
3.
Kupaslah jeruk
4.
Potong-potonglah kulit jeruk menjadi kecil-kecil
5.
Tempelkan (dengan lem) potongan-potongan kulit jeruk tersebut di dalam
lingkaran-lingkaran yang telah dibuat, dengan penuh dan tidak tumpang tindih.
Ada berapa lingkaran yang penuh oleh kulit jeruk tersebut? Benarkah ada 4 lingkaran?.
Jika demikian, dengan mudah Anda dapat tunjukkan bahwa Luas bola adalah:
LBola = 4 Lingkaran = 4 (п r2)
3. VOLUM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Volum Tabung
Perhatikan Gambar 4.16 berikut.
Gambar 4.16. Prisma
Pada Gambar 4.16 di atas terlihat bahwa pada dasarnya tabung adalah bangun ruang yang
terjadi apabila rusuk alas prisma bertambah terus sampai mendekati tak berhingga. Jadi,
bagaimana rumus volum tabung jika diketahui jari-jari alasnya r dan tingginya t?
27
b. Volum Kerucut
Lab. Mini – Mencari Volum Kerucut
Bahan : Kertas manila, lem/perekat kertas, beras/pasir
Alat
: gunting/pisau, jangka, penggaris, busur derajat,.
Cara kerja:
1.
Buatlah model kerucut tanpa bidang alas dari kertas manila
2.
Buatlah model tabung tanpa tutup dari kertas manila (Bagaimana caranya?)
3.
Isilah kerucut sampai penuh dengan pasor/beras
4.
Tuangkan beras/pasir tersebut ke dalam model tabung
5.
Ulangi kegiatan a dan b sampai tabung pebuh dengan pasir/beras.
6.
Apa kesimpulan yang Anda dapatkan?
c. Volum Bola
Volum bola dapat ditemukan dengan menggunakan kegiatan Lab.Mini seperti di atas
(Bagaimana caranya?) dan dapat juga dengan menggunakan prinsip Cavalleri. Apabila Anda
akan menunjukkannya dengan prinsip Cavalleri, maka Anda harus menggunakan dua
bangun ruang yang tingginya sama. Bangun ruang yang pertama adalah bola itu sendiri (jarijari = r), dan bangun yang kedua adalah sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alasnya
adalah r sedangkan tingginya 2r. Di dalam tabung itu dibuat dua buah kerucut. Kerucut yang
satu alasnya terletak di bawah (berimpit dengan lingkaran alas tabung), dan kerucut kedua
alasnya terletak di atas (berimpit dengan lingkaran atas tabung). Titik puncak dari kedua
kerucut ini berimpit, dan terletak tepat pada titik tengah dari sumbu tabung. Perhatikan
Gambar 4.17.
Gambar 4.17. Prinsip Cavalleri
Berdasarkan Gambar 4.17 di atas, tunjukkan bahwa volum bola adalah: VBola =
28
4
3
п r3
Latihan
Untuk soal nomor 1 – 10, pilih salah satu jawaban yang paling tepat!
1. Sebuah tabung yang tinggi dan diameternya sama akan memiliki ketebalan selimut
berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya adalah .............
A. : 1
B. 2 : 1
C. 3 : 1
D. d : 1
2. Sebuah tandon air berbentuk tabung bertutup dengan tinggi bagian dalamnya 1,56 m
terbuat dari tembaga. Untuk menjaga agar tembaga awet, maka bagian dalam tabung
dilapisi dengan aspal setebal 1 cm. Volum aspal minimal yang diperlukan untuk melapis
bagian dalam tandon adalah ................... cm3
A. 48871,43
B. 96941,43
C. 48627,07
D. 116062,57
3. Diketahui sebuah tabung tanpa tutp dengan jari-jari alas 6 cm dan tingginya 10 cm. Jika
= 3,14 maka luas tabung tanpa tutup tersebut adalah .......... cm2
A. 602,88
B. 489,84
C. 282,60
D. 706,50
4. Berikut adalah unsur-unsur kerucut, kecuali ...................................
A. sumbu
B. sudut puncak
C. bidang alas
D. titik puncak
5. Pada kerucut lingkaran tegak, berlaku ..........................
A. sudut antara garis-garis pelukis sama dengan sudut bidang alas
B. bidang alas kerucut adalah lingkaran
C. sumbu kerucut tegak lurus bidang alas
D. sudut antara garis-gsris pelukis sama dengan sumbu kerucut
29
6.
Diketahu kerucut dengan jari-jari alasnya 5 cm dan tingginya 12 cm. Jika п = 3,14
maka luas selimut kerucut adalah ………. cm2.
A. 62,8
B. 68
C. 188,4
D. 204,1
7. Sudut puncak suatu kerucut = 60o dan tingginya 4
A.
64
3
B.
64
C.
D.
3
. Volum kerucut = … cm3.
3
3
64
3
192
8. Yang termasuk unsur-unsur bola adalah ...................................
A. rusuk
B. garis pelukis
C. diameter
D. apotema
9. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Diameter bola sama dengan diameter tabung
= 12 cm. Jika tinggi tabung = 20 cm dan = 3,14 maka volum tabung di luar bola
adalah .......... cm3
A. 1356,48
B. 904,32
C. 452,16
D. 226,08
10. Jika luas kulit bola 616 cm2 dan =
22
7
, maka jari-jari bola adalah ................. cm
A. 21
B. 14
C.
7
D.
1
Untuk soal nomor 11 – 13, kerjakan soal-soal berikut ini!
11.
Gambarkan jaring-jaring kerucut dengan ukuran garis tengah alas 5 cm dan
tinggi 6 cm.
12.
Buktikan volum tabung adalah VTabung = luas alas x tinggi
13.
Buktikan volum bola adalah VBola
Cavalleri.
30
=
4
3
п r3 dengan menggunakan prinsip
BAB 3
BANGUN DATAR
A. Bangun Datar Segitiga
1. Segitiga-segitiga Sebangun
Definisi : Suatu bangun B disebut sebangun dengan bangun C (B C), jika B dapat dikalikan
dengan suatu faktor, sehingga terjadilah bangun B’ yang sama dan sebangun dengan C
(B’
C). Perhatikan Gambar 3-1 berikut.
O
C’
C
R
A
A’
B
B’
P
Q
Gambar 3-1
Karena PQR adalah hasil kali ABC, maka :
a.
A = ... = .... ; B = ... = ... ; C = ... = ...
b.
AB : A’B’ = .... : .... = .... : ...., yang berarti AB : DE = .... : .... = .... : ....
Akibatnya pada ABC dan PQR yang sebangun :
a.
sudut-sudut yang seletak sama besar
b.
sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang seharga.
Dalil-dalil kesebangunan :
a.
ABC dan PQR adalah sebangun, jika kedua segitiga itu mempunyai sepasang
sudut yang sama besar (misalnya A = P), sedangkan sisi-sisi yang mengapit sudut itu
mempunyai perbandingan yang seharga (misalnya AC : PR = AB : PQ).
b.
ABC dan PQR adalah sebangun, jika sisi-sisinya mempunyai perbandingan yang
seharga.
c.
ABC siku-siku di A dan PQR siku-siku di P adalah sebangun, jika satu buah sisi
siku-siku dan sisi miring pada kedua segitiga mempunyai perbandingan yang seharga
(misalnya AB : PQ = BC : QR).
31
2. Segitiga-segitiga Kongruen
Secara umum ABC dan PQR adalah sama dan sebangun (kongruen) dan ditulis
ABC PQR, jika :
a.
sudut-sudut yang seletak sama besar
b.
sisi-sisi yang seletak sama panjang.
Perhatikan Gambar 3-2 berikut.
C
C’
A
B
h
B’
A’
Gambar 3-2
Secara khusus syarat-syarat untuk dua segitiga kongruen ini adalah sebagai berikut.
Teorema 1 :
Dua buah segitiga akan kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut
yang diapit kedua sisi tersebut sama besar (S – Sd – S)
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-3 di samping.
C
B = Q (............................)
AB = PQ dan BC = QR (......................)
Tempatkan PQR pada ABC, sedemikian
sehingga titik sudut B berimpit dengan titik sudut Q.
Akibatnya
QP akan menutupi BA dan QR akan
A
B
menutupi BC.
R
AB = PQ dan BC = QR P berimpit A dan
R berimpit C
Dengan demikian titik-titik sudut ABC berimpit
dengan titik-titik sudut PQR, yang membuktikan
bahwa : ABC PQR
P
Q
Gambar 3-3
Teorema 2:
32
Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua sudut yang
seletak pada sisi tersebut sama besar. (Sd – S – Sd).
Teorema 3 :
Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua susut yang
seletak sama besar (S – Sd – Sd)
Teorema 4 :
Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang seletak sama panjang (S – S – S).
Latihan!
1. Buktikan dalil-dalil kesebangunan segitiga.
2. Buktikan Teorema 2 kekongruenan segitiga.
3. Buktikan Teorema 3 kekongruenan segitiga.
4. Buktikan Teorema 4 kekongruenan segitiga.
5. Misalkan ABC PQR dan PQR DEF, buktikanlah bahwa ABC DEF
6. Perhatikan Gambar 3-4 di bawah ini.
P
Q
O
S
R
Gambar 3-4
Jika PQ = 4 cm dan OQ = 3 cm, tentukanlah panjang OS, SR, dan OR.
7.
B
Perhatikan Gambar 2-5 di samping.
Diketahui : AB = AC, AD = 4 cm, dan BD = 3 cm
E
a. Buktikan bahwa :
F
A
D
Gambar 3-5
i . ABD ACE
C
ii. BFE CFD
b. Tentukanlanh panjang AB, AC, DC, CE, AE, DF.
3. Garis-garis Istimewa dalam Segitiga
33
1. Garis tinggi
Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang membagi tegak lurus sisi di depan titik sudut
segitiga tersebut.
Perhatikan ABC di samping, dan buktikanlah
bahwa ketiga garis tinggi dalam ABC tersebut
melalui satu titik.
D
Bukti :
C
F
Q
R
Perhatikan ABC pada Gambar di samping.
O
Melalui titik A, B, dan C ditarik garis-garis yang
A
masing-masing sejajar dengan sisi dihadapan titik
P
B
sudut itu. Apabila garis-garis itu berpotongan di
D, E, dan F, maka DE // CB, EF // AC, DF // AB.
E
Perhatikan segi-4 ABFC.
AB // CF, AC // BF ABFC adalah jajargenjang
AB = CF
Analog untuk segi-4 ABCD dan segi-4 ACBF,
(Gunakan sifat berikut : “
sehingga didapat :
Diketahui ruas garis AB. Jika
..... = ..... dan ..... = .....
CE = .... = .... C ................................. DF
ada sebuah garis g yang melalui
Analog :
A ................................. DE
titik tengah dan tegak lurus ruas
B ................................. EF
garis itu, maka x g, berlaku
Berdasarkan sifat di atas, maka didapat bahwa
OD = ......, OE = ......, dan OF = .......
Karena O AQ, O BR, dan O CP dan AQ,
BR, dan CP adalah garis tinggi pada ABC,
maka terbukti bahwa AQ, BR, dan CP melalui
satu titik, yaitu titik O.
2. Garis berat
34
XA = XB”)
Garis berat suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang sisi di depan titik
sudut tersebut. Perhatikan ABC pada gambar di bawah ini.
C
E
P’
D
P
A
F
B
Buktikanlah :
Ketiga garis berat dalam ABC di atas melalui satu titik, yang disebut titik berat segitiga.
Bukti :
Perhatikan ABC di atas.
AD dan BE adalah garis berat dalam ABC BD = DC dan AF = BF.
Misalkan AD dan BE berpotongan di P, akan dibuktikan bahwa CF juga akan melalui P.
Perhatikan CED dan CAB.
CE : CA = CD : CB = 2 : 1 (...................................)
Akibatnya AB // ED dan ED : AB = CE : CA = 1 : 2.
DEP = ABP dan EPD = APB (................................................)
EPD .... APB.
Akibatnya EP : PB = ED : AB = 1 : 2 = DP : AP.
Misalkan CF adalah garis berat yang melalui C dan memotong EB di P’, maka dengan cara
yang sama dapat dibuktikan bahwa EP’ : P’B = 1 : 2.
Dengan demikian diperoleh EP =
1
3
EB dan EP’ =
1
3
EB atau .... = .....
Jadi terbukti bahwa CF adalah garis berat yang memotong EB di P.
3. Garis bagi
Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sudut segitiga menjadi dua bagian
yang sama besar. Perhatikan ABC pada gambar berikut.
C
35
E
D
X
o
o
*
A
B
Karena Garis AD adalah garis bagi dari BAC, maka semua titik pada AD letaknya sama
jauh dari AC dan AB (Mengapa ?).
Karena Garis BE adalah garis bagi dari ABC, maka semua titik pada BE letaknya sama
jauh dari BA dan BC (Mengapa ?).
Misalkan AD dan BE berpotongan di titik X, maka berarti X letaknya sama jauh dari AC
dan AB dan juga dari BA dan BC (Mengapa ?).
Jadi X letaknya sama jauh dari CA dan CB, yang berarti bahwa X terletak pada garis bagi
dari ACB atau CX adalah terletak pada garis bagi dari ACB.
Dengan demikian terbukti bahwa ketiga garis bagi ini melalui pada satu titik.
Latihan!
1. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui
titik sudut B dan A. Buktikan bahwa garis DE // AB.
2. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui
titik sudut B dan A. Kedua garis berat ini berpotongan di titik Z. Buktikan bahwa :
a)
b)
1
DE = 2 AB
AZ : ZE = BZ : ZD = 2 : 1
3. Perhatikan Gambar 3-6 berikut.
H
C
D
o
o
A
B
E
Gambar 3-6
36
Misalkan pada ABC di atas, AD adalah garis bagi dari BAC, BE adalah garis bagi dari
sudut luar CBF dan CH adalah garis bagi dari sudut luar GBC. Buktikan bahwa ketiga garis
bagi ini akan berpotongan pada satu titik.
4. Buktikan bahwa garis tinggi suatu segitiga sama kaki akan membagi segitiga menjadi dua
segitiga yang kongruen.
5. Garis tinggi pada hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama kaki sama dengan setengah
panjang hipotenusanya. Buktikan !
6. Buktikan bahwa kedua garis bagi sudut alas suatu segitiga sama kaki sama panjang.
B. Bangun Datar Segiempat
Untuk memahami macam-macam bangun segiempat secara baik, perhatikan Skema berikut.
Segiempat
Layang-layang
Jajargenjang
Persegipanjang
Trapesium
Belahketupat
Persegi
Skema Segiempat
Dari skema di atas terlihat bahwa persegi panjang dan belah ketupat merupakan bentuk khusus
dari jajargenjang, sedangkan persegi adalah bentuk khusus dari persegi panjang atau
belahketupat. Secara rinci tentang bangun-bangun di atas akan dibahas berikut ini.
1. Jajargenjang
Definisi :
Jajargenjang adalah sebuah segiempat yang kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar.
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
ABCD adalah jajargenjang sisi AB = CD dan BC = AD.
2.
Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
37
3.
Pada setiap jajargenjang, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah.
4.
Pada segiempat ABCD sisi AB = CD dan BC = AD ABCD adalah jajargenjang.
5.
Jika pada suatu segiempat, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka
segiempat itu adalah jajargenjang.
6.
Pada segiempat ABCD, A = C dan B = D ABCD adalah jajargenjang.
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-7 berikut.
D
1
C
2
T
2
A
1
B
Gambar 3-7
(1). Diketahui : ABCD jajargenjang
Buktikan : AB = CD dan AD = BC
Bukti :
Tarik garis bantu BD.
Perhatikan ABD dan CDB
BD = DB
(...............................)
B1 = D1
(...............................)
B2 = D2
(...............................)
ABD CDB
( .........................)
Sehingga AB = CD dan AD = BC (Terbukti).
(2) ABD CDB A = C dan B1,2 = D1,2 (Terbukti)
(3) Diketahui : ABCD jajargenjang
Buktikan : AT = CT
BT = DT
Bukti :
TAB = TCD (...............................)
ATB = CTD (...............................)
AB = CD
ATB CTD
(...............................)
Sehingga AT = CT dan BT = DT (Terbukti).
38
( .........................)
2. Persegipanjang
Definisi :
Persegipanjang adalah sebuah jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku..
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
ABCD adalah persegipanjang panjang diagonal AC = diagonal BD.
2.
Diagonal jajargenjang sama panjang jajargenjang itu persegipanjang.
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-8 berikut.
D
A
C
B
(1) Diketahui :
Buktikan :
Bukti :
(2) Diketahui :
Buktikan :
Bukti :
39
3. Belahketupat
Definisi :
Belahketupat adalah sebuah jajargenjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
Setiap diagonal belahketupat merupakan garis bagi titik-titik sudut belahketupat itu.
2.
Diagonal-di
DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI
PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA
PENYUSUN:
Nyimas Aisyah
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
INDERALAYA
2009
DAFTAR ISI
Halaman
BAB 1 : Lukisan Dasar ........................................................................................
A. Melukis Sudut
1
.......................................................................................
1
Latihan ..........................................................................................................
6
B. Melukis Garis ............................................................................................
7
Latihan ..........................................................................................................
10
C. Melukis Segitiga .......................................................................................
11
Latihan ..........................................................................................................
13
D. Melukis Bangun Ruang ............................................................................
12
BAB 1 : Bangun Ruang .......................………..……............................................
14
A. Bangun Ruang Sisi Datar .........................................................................
14
Latihan .........................................................................................................
23
B. Bangun Ruang Sisi Lengkung .................................................................
26
Latihan .........................................................................................................
31
BAB 3 : Bangun Datar .......................…….…..……............................................
31
A. Bangun Datar Segitiga .............................................................................
31
Latihan .........................................................................................................
36
A. Bangun Datar Segiempat .........................................................................
37
Latihan .........................................................................................................
41
BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga ........…….…..……............................................
42
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang ..................................
42
B. Proyeksi .....................................................................................................
45
C. Jarak .........................................................................................................
51
D. Sudut .........................................................................................................
60
BAB V: IRISAN BIDANG .................................................................................
65
A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas .............................
65
B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal
68
C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi
70
D. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal pada Limas
73
E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak
74
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................
78
ii
iii
BAB 1
LUKISAN DASAR
A. MELUKIS SUDUT
1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui
Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh
dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang
diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila
pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang
digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut
yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.
Diketahui:
Sudut A
Lukislah:
Sudut B = sudut A
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D.
Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E.
2.
Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik
E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F.
3.
Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B
sama besar dengan sudut A.
1
2. Melukis Sudut-sudut Istimewa
Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan
penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat
menggunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut
istimewa tersebut adalah sebagai berikut.
(a) Sudut 90o (Sudut Siku-siku)
Diketahui:
garis l dan titik A
Lukislah:
Sudut A = 90o
Langkah-langkah melukis (Cara I):
1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong garis l di B.
2. Pindahkan busur itu ke titik B sehingga memotong busur pertama di C.
3. Pindahkan busur itu ke titik C sedemikian hingga memotong garis yang ditarik melalui titik
B dan C di titik D.
4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
Langkah-langkah melukis (Cara II):
1.
Buat lingkaran sembarang yang memotong garis l di titik A dan B.
2.
Tarik garis tengah lingkaran itu melalui titik B dan memotong lingkaran di C
3.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
2
Langkah-langkah melukis (Cara III):
1.
Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C.
2.
Buat busur lain dengan pusat di titik B
3.
Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D.
4.
Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
(b) Sudut 60o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 60o
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.
2.
Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.
3.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o.
(c) Sudut 45o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 45o
Langkah-langkah melukis:
1.
Ambil titik B sembarang pada garis l.
2.
Buat garis t tegak lurus l melalui B
3.
Buat busur lingkaran dengan jaris-jaris BA dan titik pusat B yang memotong garis l di C.
3
4.
Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o.
(d) Sudut 30o
Diketahui:
garis l dan titik A pada l.
Lukislah:
sudut A = 30o
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.
2.
Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.
3.
Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D
4.
Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o.
Latihan
1.
Lukislah dengan cermat ketiga garis tinggi segitiga lancip.?
2.
Lukislah sudut yang sama besar dengan sudut-sudut di bawah ini.
(a)
(b)
B
A
3.
Lukislah jajargenjang ABCD dengan panjang sisi berdekatan masing-masing 6 cm dan
10 cm. Kedua sisi ini mengapit sudut 60o.
4
B. MELUKIS GARIS
1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus
Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar
garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris sikusiku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu
penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan
menggunakan jangka adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis l dan titik A di luar garis l.
Lukislah:
garis m l melalui A
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C.
2.
Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D.
3.
Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m garis l.
2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar
Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui
sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah
penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan
satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis yang saling sejajar
dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis l dan titik A di luar garis l.
Lukislah:
garis m // l melalui A
5
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B.
2.
Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan
berseberangan dengannya.
3.
Didapatlah garis m // l
3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut
Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi
sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah
sebagai berikut.
Diketahui:
sudut A
Lukislah :
garis bagi sudut A
Langkah-langkah melukis:
1.
Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r 1, sehingga busur tersebut memotong
kaki-kaki sudut A di titik B dan C.
2.
Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r 2, sehingga kedua busur
berpotongan di titik D.
3.
Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.
6
4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis
Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang
diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu ruas
garis ini diperlukan penggaris dan mistar, dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1.
Diketahui ruas garis AB
2.
Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan
pusat A dan jari-jari r.
3.
Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r,
sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik K dan busur yang
terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik L.
4.
Hubungkan K dan L, maka didapat garis KL yang merupakan sumbu ruas garis AB.
5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang
Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang,
maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis
tersebut adalah sebagai berikut.
Diketahui:
garis AB
Lukislah :
pembagian AB menjadi 5 bagia yang sama panjang
Langkah-langkah melukis:
1.
Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A)
dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB.
2.
Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian
hingga AC = CD = DE = EF = FG.
7
3.
Hubungkan B dan G.
4.
Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F.
Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N.
5.
Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang.
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Bagilah garis AB = 6 cm menjadi 6 bagian yang sama panjang.
2.
Lukislah garis berat melalui A dan garis bagi melalui B pada Δ ABC tumpul.
3.
Lukislah sudut 15o
4.
Lukislah belahketupat PQRS, dengan ketentuan sebagai berikut.
a.
Salah satu diagonal belahketupat adalah garis g
b.
Titik P di luar g
c.
P merupakan salah satu titik sudut belahketupat.
5. Lukislah ruas garis yang panjangnya 3/5 dari panjang ruas garis AB = 7 cm.
8
C. MELUKIS SEGITIGA
Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan
menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur
sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi yang ketiga
segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan
jangka menjadi keharusan.
1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya
Diketahui:
ruas garis a, b, c
Lukislah :
segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis a = BC
2.
Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b.
3.
Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a.
4.
Kedua busur tadi berpotongan di A.
5.
Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.
2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi
Diketahui:
ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis b = AB
2.
Ukur sudut α pada titik B
3.
Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.
9
3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut
Diketahui:
sudut α, ruas garis a, dan sudut β
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat ruas garis a = BC
2.
Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur
sudut β dengan dan B sebagai titik sudut.
3.
Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C.
4.
Maka didapat Δ ABC.
4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut
Diketahui:
ruas garis a, b dan sudut α
Lukislah :
segitiga
Langkah-langkah melukis:
1.
Buat garis a = BC
2.
Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.
10
3.
Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C
di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?)
4.
Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC.
Lukisan (Silahkan Anda coba!)
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 6 cm, ABC = 75o dan BC = 7,5 cm.
2.
Lukislah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang kakinya 5 cm
3.
Lukislah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm.
4.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 7 cm, BC = 3 cm, dan BCA = 100o
5.
Lukislah Δ ABC, jika diketahui ABC = 60o, BC = 4 cm, dan BCA = 95o.
6.
Lukis suatu Δ ABC jika diketahui
a.
panjang alasnya AB adalah a satuan
b.
tinggi dari titik C ke AB adalah t satuan
c.
panjang salah satu kaki (BC) adalah b satuan
7.
8.
Lukis suatu Δ ABC jika diketahui
a.
panjang alasnya AB adalah a satuan
b.
panjang garis tinggi dari C sama dengan t satuan
c.
besar sudut puncak C adalah α
Hidayat melakukan permainan pada suatu kegiatan pramuka. Hidayat harus menemukan
sebuah benda. Untuk menemukan benda tersebut, Hidayat harus berjalan sejauh 10 langkah
ke depan kemudian berjalan 15 langkah ke arah Tenggara. Setelah mendapatkan benda
tersebut, Hidayat berjalan kembali ke tempat semula. Gambarkan perjalanan Hidayat untuk
mendapatkan benda tersebut sampai kembali ke tempat semula.
11
D. MELUKIS BANGUN RUANG
Bangun ruang dapat dilukiskan pada bidang datar. Untuk mendapatkan hasil lukis yang
proporsional ada beberapa langkah dan istilah yang diperlukan. Istilah-istilah tersebut adalah
sebagai berikut.
1.
Bidang frontal adalah bidang gambar.
2.
Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.
3.
Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal.
4.
Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang frontal.
5.
Sudut surut adalah sudut antaraa bidang frontal dan ke arah kiri ke bidang ortogonal.
6.
Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang garis pada lukisan dengan
panjang garis yang sebenarnya.
Sedangkan langkah-langkah untuk melukiskan kubus adalah sebagai berikut.
1.
Lukis bidang frontal dengan ukuran yang sebenarnya.
2.
Cari panjang salah satu garis ortogonal dengan menggunakan perbandingan proyeksi.
3.
Pada bidang frontal, tentukan titik yaang menjadi titik pertemuan antara garis frontal
dengan garis ortogonal.
4.
Dengan menggunakan sudut surut dan ukuran garis ortogonal (langkah 2), buat garis
ortogonal.
5. Buat garis ortogonal lain.
6. Hubungkan titik-titik ujung dari garis ortogonal.
Contoh:
Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Perbandingan proyeksinya ⅓, dan
sudut surutnya 450 serta bidang ABFE sebagai bidang frontalnya.
Langkah-langkah melukiskan kubus ABCD.EFGH di atas sebagai berikut.
1.
Buat bidang frontal, yaitu bidang ABFE dengan ukuran 4 cm x 4 cm.
2.
Salah satu garis ortogonal adalah AD, dengan panjang AD yang sebenarnya 4 cm.
Panjang AD pada lukisan = ⅓ x 4 cm = 1⅓ cm.
3.
Titik A adalah titik pertemuan antara garis frontal AB dangaris ortogonal AD.
Pada titik A ini akan dibuat garis ortogonal dengan menggunakan busur derajat.
4.
Letakkan titik tengah busur derajat berimpit dengan titik A.
Dari garis frontal AB, tentukan arah 450 berlawanan arah dengan jarum jam, beri tanda.
Tarik garis dari titik A ke tanda yang sudah diberi tadi, ukur dari titik A tersebut garis
sepanjang 1⅓ cm. Itulah garis AD.
12
5. Buatlah garis ortogonal lainnya yaitu, EH, BC, dan FG dengan ukuran 1⅓ cm.
6. Hubungkan titik D dengan titik C, titik C dengan titik G, titik G dengan titik H, dan titik
H dengan titik D, sehingga terbentuklah kubus ABCD.EFGH.
Contoh 2:
Diketahui kubus KLMN.PQRS berukuran 6 cm. Lukislah kubus tersebut dengan bidang LMRQ
sebagai bidang frontal, dengan perbandingan proyeksi ⅓ dan sudut surutnya 600.
Langkah-langkah melukis kubus KLMN. PQRS:
1.
Bidang frontal adalah bidang ………., dengan ukuran ………….
2.
Salah satu garis ortogonal adalah ……….. .
Panjang LK yang sebenarnya adalah ……….
Panjang LK pada lukisan adalah = ……..……..…….
3.
Titik pertemuan garis frontal LM dengan gais orogonal LK adalah titik ……. .
4.
Letakkan titik tengah busur berhimpit dengan titik …..
Dari garis frontal horizontal LM. Ditentukan arah ……. berlawanan arah dengan arah
jarum jam, dan diberi tanda. Tarik garis dari titik L ke tampat yang telah diberi tanda tadi.
Ukur dari titik L garis sepanjang 2 cm dan beri nama titik …… .
5.
Buat
garis
ortogonal
yang
lain
yang
sejajar
dengan
LK
yaitu:
………………………….
6.
Hubungkan titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; titik
……. dengan titik ……. ; dan titik ……. dengan titik ……. .
Latihan
Kerjakan latihan berikut ini!
1.
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan ukuran alasnya 4 cm dan tinggi 6
cm. Titik K berada di tengah-tengah AD dan titik L berada di tengah-tengah BC. Bidang
KLT sebagai bidang frontal, garis KL sebagai garis frontal horizontal dengan sudut surut
600 dan perbandingan proyeksinyaa ½. Lukislah limas tersebut.
2.
Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan TA = AB = 4 cm, D pertengahan
rusuk BC. Lukislah bidang empat tersebut dengan bidang TAD frontal, AD horizontal,
sudut surut 60o , dan perbandingan orthogonal
13
3
4
.
BAB 2
BANGUN RUANG
A.Bangun Ruang Sisi Datar
1. Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar
a. Bangun Ruang Bidang Banyak
Suatu bangun ruang yang dibatasi oleh bidang-bidang datar disebut bidang banyak
(polihedron). Poligon yang membatasi polihedron ini disebut bidang sisi (permukaan). Segmen
garis yang merupakan perpotongan dua bidang sisi disebut rusuk, dan titik ujung rusuk
merupakan titik-titik sudut bangun ruang tersebut. Titik sudut merupakan titik persekutuan tiga
atau lebih rusuk bangun ruang. Beberapa contoh bangun ruang bidang banyak ini adalah bidang
empat (memiliki empat bidang batas), bidang enam (memiliki enam bidang batas), bidang dua
belas (memiliki dua belas bidang batas), dan lain-lain. Perhatikan Gambar 4.1 berikut.
D
A
C
B
Gambar 4.1. Bidang Empat
Gambar 4.1 merupakan Bidang Empat ABCD.
Bidang batasnya adalah ABC, ABD, BCD, dan ACD.
Rusuknya adalah AB, BC, AC, AD, BD, dan CD
Titik sudutnya adalah A, B, C, D.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bangun-bangun ruang bidang banyak yang
diujudkan dalam bentuk benda ruang yang dimanfaatkan manusia untuk keperluan sehari-hari.
Beberapa contohnya dapat Anda lihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 berikut.
14
Gambar 4.2 adalah sketsa gambar aquarium terbuat dari kaca. Benda ini berbentuk bidang dua
belas, karena memiliki 12 bidang batas berupa 8 persegi dan 4 segienam beraturan.
Gambar 4.3 adalah sketsa gambar rumah. Benda ini berbentuk bidang tujuh, karena memiliki 7
bidang batas berupa 5 persegi panjang dan 2 segilima.
Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih mendalam beberapa contoh bangun ruang
bidang banyak seperti bidang banyak beraturan, prisma, limas, dan prismoide.
b. Bidang Banyak Beraturan
Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segibanyak, tetapi ada juga yang
dibatasi oleh beberapa macam segibanyak. Jika pembatas hanya terdiri dari satu macam
segibanyak beraturan saja dan kongruen satu sama lain, maka bidang banyak ini dinamakan
bidang banyak beraturan.
Bidang banyak beraturan adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sejumlah poligon
beraturan kongruen yang sama pada setiap titik sudutnya. Karena pada setiap titik sudut bertemu
paling sedikit tiga rusuk, maka sudut poligon haruslah kurang dari 120 o (Mengapa?). Berarti
poligon pembentuk yang mungkin hanya segitiga samasisi (3, 4, atau 5 segitiga samasisi pada
setiap sudut). Dengan demikian hanya ada lima jenis bidang banyak beraturan yang dikenal
sebagai Platonic. Perhatikan Gambar 4.4 berikut.
15
Gambar 4.4. Bidang Banyak Beraturan
a.
Gambar 4.4. (i) adalah gambar bidang empat beraturan (tetraeder). Bangun ini
dibatasi oleh empat daerah/bidang segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat tiga
bidang segitiga samasisi dan tiga rusuk.
b.
Gambar 4.4. (ii) adalah gambar bidang enam beraturan yang lebih dikenal
sebagai kubus (hexaeder). Bangun ini dibatasi oleh enam daerah persegi kongruen. Pada
setiap titik sudut terdapat tiga bidang persegi dan tiga rusuk.
c.
Gambar 4.4. (iii) adalah gambar bidang delapan beraturan (octaeder). Bangun ini
dibatasi oleh delapan segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat empat bidang
segitiga samasisi, dan empat rusuk.
d.
Gambar 4.4. (iv) adalah gambar bidang duabelas beraturan (icosaeder). Bangun
ini dibatasi oleh duabelas segilima. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang segilima
beraturan, dan tiga rusuk.
e.
Gambar 4.4. (v) adalah gambar bidang duapuluh beraturan (dodecaeder).
Bangun ini dibatasi oleh duapuluh segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat lima
bidang segitiga samasisi, dan lima rusuk.
c. Prisma
Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua poligon yang sejajar dan
beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar. Dua poligon sejajar tersebut
masing-masing adalah bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang sisi lainnya
disebut bidang tegak. Setiap sisi poligon bidang atas (garis potong bidang atas dan sisi tegak)
disebut rusuk tegak, dan setiap sisi poligon bidang alas disebut rusuk alas. Rusuk-rusuk lainnya
disebut rusuk tegak. Jarak antara bidang atas dan bidang alas prisma disebut tinggi prisma.
Perhatikan Gambar 4.5 berikut.
16
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Gambar 4.5. Prisma
a.
Gambar 4.5. (i) adalah gambar prisma miring. Bangun ini disebut prisma miring
karena rusuk tegaknya tidak tegak lurus bidang alas.
b.
Gambar 4.5. (ii) adalah gambar prisma tegak. Bangun ini disebut prisma tegak
karena1 rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas.
c.
Gambar 4.5. (iii) adalah gambar prisma segi-n. Prisma ini memiliki sisi alas
berbentuk segi-n. Apabila alasnya berbentuk segi-n beraturan, maka disebut prisma segi-n
beraturan.
d.
Gambar 4.5. (iv) adalah gambar Parallelepipedum. Prisma ini alasnya berbentuk
jajargenjang. Jika alas parallelepipedum tegak berbetuk persegipanjang, maka disebut
parallelepipedum siku-siku. Jika semua bidang sisi parallelepipedum siku-siku tersebut
kongruen, maka disebut kubus. Parallelepipedum yang semua rusuknya sama panjang
disebut rhomboeder.
d. Limas
Limas atau piramid adalah bangun ruang yang dibatasi sebuah bidang datar atau
bidang alas yang berbentuk segi-n dan oleh bidang-bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga.
Garis alas segitiga itu berimpit dengan sisi-sisi segi-n dan titik puncak segitiga-segitiga itu
bertemu atau berimpit di suatu titik Perhatikan Gambar 4.6 berikut.
Gambar 4.6 adalah gambar limas segi-3 T.ABC.
T
Puncak limas adalah T.
Bidang alasnya adalah daerah ABC.
Rusuk alasnya adalah AB, Bc, dan CA.
Rusuk tegaknya adalah TA, TB, dan TC.
A
O
P
C
B
Gambar 4.6. Limas Segi-3 T.ABC
TP adalah apotema limas.
TO adalah garis tinggi limas (Altitude)
17
Ditinjau dari bentuk alasnya, maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:
1.
limas segitiga, bidang alasnya berbentuk segitiga
2.
limas segiempat, bidang alasnya berbentuk segiempat
3.
limas segilima, bidang alasnya berbentuk segilima
Ditinjau dari teratur atau tidaknya bidang alas dan kedudukan titik puncak terhadap bidang sisi,
maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:
1.
limas sembarang, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n sembarang dan titik
puncaknya juga sembarang.
2.
limas beraturan, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi
titik puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang alas.
e. Prismoide
Prismoide adalah bangun ruang sisi datar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar
(bidang alas dan bidang atas) dan bidang-bidang segitiga atau trapesium sebagai bidang sisi
tegak. Prisma dan limas terpancung merupakan bangun khusus prismoide. Perhatikan Gambar
4.7 berikut.
Gambar 4.7
Gambar 4.7 adalah gambar prismoide. Pada Gambar 4.7 (i) dan 4.7 (ii) , ABCDEF dan
ABCDEFGHIJ masing-masing disebut irisan parallel tengan prismoide tersebut, yaitu irisan
bidang atas/alas dan melalui semua titik tengah rusuk tegaknya.
18
2. JARING-JARING DAN LUAS BANGUN RUANG SISI DATAR
Secara sederhana, jaring-jaring sebuah bangun ruang dapat diperoleh apabila bangun
ruang tersebut diiris sepanjang rusuk-rusuk tertentu sedemikian hingga terbentang beberapa
bidang datar pembentuknya. Perhatikan Gambar 4.8 berikut.
Gambar 4.8
Gambar 4.8 adalah gambar sebuah kubus yang diiris sepanjang rusuk yang dicetak tebal.
Apabila direbahkan pada bidang datar, maka terjadilah jaring-jaring kubus seperti pada Gambar
4.8 (ii) dan 4.8 (iii). Masih sangat banyak model jaring-jaring kubus yang dapat dibuat sesuai
dengan rusuk yang diiris. Begitu juga untuk bangun-bangun ruang sisi datar lainnya. Dari
jaring-jaring bangun ruang ini, dengan mudah dapat ditentukan luas sisi bangun ruang tersebut.
Hal ini karena luas sisi bangun ruang pada dasarnya sama dengan jumlah luas sisi-sisi dari
bangun ruang yang dapat dihitung dari jaring-jaring kubus yang tersebut. Bagaimana jika
bangun datar yang terbentuk tidak seluruhnya terdiri dari bangun-bangun datar yang dikenal,
misalnya kotak kue yang berbentuk “love” yang sering digunakan untuk acara lamaran nikah.
3. VOLUM BANGUN RUANG SISI DATAR
Untuk menentukan volum bangun ruang sisi datar, dapat dimulai dengan menentukan
volum kubus dan balok. Volum kubus/balok dapat ditentukan dengan menggunakan mengisi
kubus satuan (kubus-kubus dengan panjang rusuk 1 cm) ke dalam kubus/balok tersebut.
Bilangan yang menunjukkan banyaknya kubus satuan yang mengisi kubus/balok itulah yang
19
dinamakan volum kubus/balok. Volum kubus/balok ini selanjutnya dapat digunakan untuk
menentukan volum bangun-bangun ruang sisi datar lainnya.
a. Menentukan Volum Prisma
Balok adalah suatu prisma yang khusus. Dengan demikian, volum prisma dapat ditentukan
dengan menggunakan volum balok. Hal ini dapat ditunjukkan dengan membagi suatu balok
menjadi dua bagian yang volumnya sama (dibagi menurut salah satu bidang diagonalnya).
Perhatikan Gambar 4.9 berikut.
H
E
G
Volum prisma ABD.EFH
=
F
=
D
A
C
B
=
=
1
2
1
2
1
2
1
(2
x volum balok ABCD.EFGH
x (luas alas balok x tinggi balok)
x (luas daerah ABCD x BF)
x luas daerah ABCD) x BF
= luas daerah ABD x BF
= luas alas prisma ABD.EFH x tinggi prisma
Jadi, volum prisma ABD.EFH = luas alas x tinggi
Dengan cara mudah Anda juga dapat menentukan volum prisma segi-n tegak lainnya, karena
prisma segi-n dapat dibentuk dari (n – 2) prisma segitiga tegak.
b. Menentukan Volum Limas
Untuk menentukan volum limas, dapat digunakan suatu kubus yang dibagi menjadi enam
limas yang kongruen atau menggunakan prisma segitiga tegak yang dibagi menjadi tiga limas
yang kongruen. Dengan memperhatikan kekongruenan dan prinsip dasar volum limas di atas,
tunjukkan bahwa volum limas =
1
3
x luas alas x tinggi.
c. Menentukan Volum Bangun Ruang dengan Prinsip Cavalleri.
Prinsip Cavalleri pertama kali diketemukan oleh Bonaventura Cavalleri, ahli matematika
berkebangsaaan Italia. Berdasarkan prinsip Cavalleri:
“Jika dua benda tingginya sama dan bidang irisan mendatar pada ketinggian yang sama
mempunyai luas yang sama, maka kedua benda tersebut mempunyai volum yang sama”
Prinsip ini berlaku untuk semua bangun ruang termasuk bangun ruang sisi datar.
Perhatikan Gambar 4.10 berikut.
20
Gambar 4.10
Gambar 4.10 (i) adalah gambar sebuah prisma miring dan Gambar 4.10 (ii) adalah gambar
prisma miring yang dipotong oleh irisan siku-siku (irisan yang tegak lurus rusuk tegaknya).
Jika prisma bagian bawah irisan dipindahkan dan ditempatkan tepat di atas bagian atas irisan
terjadilah bangun ruang baru seperti pada Gambar 4.10 (iii). Panjang rusuk tegaknya tidak
berubah. Dengan demikian diperoleh:
Luas alas prisma miring = luas irisan siku-siku = luas alas prisma tegak
Tinggi prisma miring = tinggi prisma tegak
Jadi : Volum prisma miring = Ls x r dengan Ls adalah luas irisan siku-siku dan r panjang
rusuk tegak.
Latihan
Untuk soal nomor 1 – 10, pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat!
Untuk nomor 1 s.d 4, perhatikan Gambar di atas!
1. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, limas G.ABD merupakan bidang empat ............
A.
teratur
B.
tegak
C.
siku-siku
D.
sembarang
21
2. Salah satu bangun yang kongruen dengan G.ABD adalah .................
A.
E.ABD
B.
E.CBD
C.
F.ABD
D.
F.CBD
3. Bangun ACD.EGF pada kubus di atas merupakan bangun ..............
A.
prisma segitiga beraturan
B.
prisma segitiga sembarang
C.
bidang empat teratur
D.
bidang empat sembarang
4. Volum bangun ABD.EFH pada soal nomor 4 adalah ................... cm3
A.
500
B.
500
C.
1000
D.
500
2
3
5. Pernyataan berikut benar, kecuali .......
A.
Semua parallelpipedum adalah prisma
B.
Balok merupakan parallelepipedum tegak
C.
Ada rhomboeder yang merupakan parallelepipedum tegak
D.
Bidang empat merupakan prisma tegak
6. Dari limas beraturan T.ABCD dibuat semua jaring-jaringnya. Banyaknya jaring-jaring
yang satu sama lain berbeda adalah ……….
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7.Sebuah limas yang alasnya berbentuk persegi mempunyai luas alas 100 cm2 dan tinggi
12 cm. Luas seluruh limas tersebut adalah ……..
A.
1.200 cm2
B.
400 cm2
C.
360 cm2
D.
260 cm2
E.
22
8.Diketahui prisma segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Jika tinggi
prisma adalah 15 cm, maka volum prisma adalah ............... cm3
A.
720
B.
360
C.
180
D.
120
9. Limas terpancung dengan alas berupa segitiga samasisi disebut ...........
A.
Bidang empat terpancung
B.
Bidang empat beraturan terpancung
C.
Bidang empat orthocentris terpancung
D.
Bidang empat ortogonal terpancung
10. ABCD.EFGH
adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Volum limas T.ABC
adalah ........ cm3
A.
216
B.
72
C.
36
D.
18
Untuk soal nomor 11, kerjakan dengan tepat dan jelas!
11. Perhatikan Gambar di bawah ini.
Pertanyaan:
a.
Apa nama bangun S.ABCD?
b.
Sebutkan
bangun
yang
kongruen dengan S.ABCD!
c.
Sebutkan nama bangun yang
berbentuk bidang empat!
d.
Berapa luas permukaan dan
volum bangun ABQ.EFS?
23
B. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
Jika sebuah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis lurus yang termuat pada
bidang itu, maka ruas garis yang terdapat dalam bidang itu akan membentuk suatu bidang
lengkung yang disebut bidang putar. Jadi pada dasarnya bangun ruang sisi lengkung merupakan
bangun yang terjadi apabila bangun datar diputar mengelilingi suatu garis lurus. Akibatnya sisisisi pembentuk bangun ruang sisi lengkung ini sebagian merupakan sisi lengkung. Hal inilah
yang membedakan antara bangun ruang sisi datar dengan bangun ruang sisi lengkung. Namun
secara umum sifat-sifat kedua bangun ruang ini adalah sama.
Oleh karena itu, agar materi bangun ruang sisi lengkung ini mudah Anda pahami,
maka Anda dapat menggunakan materi bangun datar sisi datar sebagai referensi. Seperti pada
bangun datar sisi datar, pembahasan tentang materi bangun ruang sisi lengkung akan diawali
dengan mengenalkan macam-macam bangun ruang sisi lengkung tersebut, sebelum
pembahahasan tentang luas dan volum.
1. MACAM-MACAM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Tabung
Jika persegi panjang ABCD diputar dengan AD sebagai sumbu putar, maka benda putar yang
terjadi disebut tabung. AD disebut poros (sumbu) tabung.
Perhatikan
Gambar
4.11
berikut.
B’
A
B
AD = tinggi tabung
B’B = jari-jari lingkaran atas
C’C = jari-jari lingkaran bawah
C’
C
D
Gambar 4.11. Tabung
b. Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang terjadi apabila segitiga siku-siku diputar dengan salah
satu sisi siku-sikunya sebagai sumbu putar. Perhatikan Gambar 4.12 berikut.
24
T
Gambar 4.12 adalah
gambar Kerucut.
TO = sumbu kerucut
T = titik puncak
TA, TS = garis pelukis
A
O
B
S
Gambar 4.12 Kerucut
c. Bola
Bola adalah suatu bidang putar yang terjadi bila setengah lingkaran diputar dengan garis
tengahnya sebagai sumbu putar. Karena letak titik-titik pada setengah lingkaran terhadap
titik-titik pusat lingkaran tidak berubah selama perputaran, maka titik-titik pada bidang bola
itu berjarak sama terhadap titik pusat bola. Perhatikan Gambar 4.13 berikut.
PQ = tali busur
AB = garis tengah
A, B = titik-titik diametral
Gambar 4.13. Bola
2. LUAS BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Luas Tabung
Tabung terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi atas dan sisi alas yang berbentuk lingkaran serta sisi
tegak (berupa bidang lengkung). Sisi tegak ini biasa disebut selimut tabung.
Dengan demikian luas tabung adalah jumlah dari luas sisi atas, luas sisi alas, dan luas sisi
tegak. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan jaring-jaring tabung seperti pada
Gambar 4.14 berikut.
25
Gambar 4.14. Jaring-jaring Tabung
Gambar 4.14 (i) adalah sebuah tabung dengan jari-jari r dan tinggi t, sedangkan Gambar 4.14
(ii) adalah jaring-jaring tabung tersebut. Dengan menggunakan Gambar 4.14 ini, coba Anda
tunjukkan bahwa luas tabung adalah L = 2 п r2 + 2 п r t
b. Luas Kerucut
Kerucut memiliki dua sisi, yaitu sisi alas berupa daerah lingkaran, dan sisi lengkung yang
biasa disebut selimut tabung. Dengan demikian luas kerucut adalah jumlah dari luas sisi alas
yang berupa lingkaran dan luas selimut. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan
jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar 4.15 berikut.
Gambar 4.15. Jaring-jaring Kerucut
Dengan menggunakan Gambar 4.15 ini, coba Anda tunjukkan bahwa luas kerucut adalah L
= п r2 + п r s
c. Luas Bola
Untuk menentukan luas bola, Anda dapat melakukan kegiatan lab. Mini berikut.
Lab. Mini – Mencari luas bola
Bahan : buah jeruk yang bulat (atau bola plastik tipis), kertas manila, lem.
Alat
: gunting/pisau, jangka, penggaris
26
Cara kerja:
1.
Potonglah jeruk di tengah-tengah
2.
Ukurlah garis tengahnya, dan buatlah lingkaran-lingkaran yang garis tengahnya
sama dengan garis tengah jeruk.
3.
Kupaslah jeruk
4.
Potong-potonglah kulit jeruk menjadi kecil-kecil
5.
Tempelkan (dengan lem) potongan-potongan kulit jeruk tersebut di dalam
lingkaran-lingkaran yang telah dibuat, dengan penuh dan tidak tumpang tindih.
Ada berapa lingkaran yang penuh oleh kulit jeruk tersebut? Benarkah ada 4 lingkaran?.
Jika demikian, dengan mudah Anda dapat tunjukkan bahwa Luas bola adalah:
LBola = 4 Lingkaran = 4 (п r2)
3. VOLUM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
a. Volum Tabung
Perhatikan Gambar 4.16 berikut.
Gambar 4.16. Prisma
Pada Gambar 4.16 di atas terlihat bahwa pada dasarnya tabung adalah bangun ruang yang
terjadi apabila rusuk alas prisma bertambah terus sampai mendekati tak berhingga. Jadi,
bagaimana rumus volum tabung jika diketahui jari-jari alasnya r dan tingginya t?
27
b. Volum Kerucut
Lab. Mini – Mencari Volum Kerucut
Bahan : Kertas manila, lem/perekat kertas, beras/pasir
Alat
: gunting/pisau, jangka, penggaris, busur derajat,.
Cara kerja:
1.
Buatlah model kerucut tanpa bidang alas dari kertas manila
2.
Buatlah model tabung tanpa tutup dari kertas manila (Bagaimana caranya?)
3.
Isilah kerucut sampai penuh dengan pasor/beras
4.
Tuangkan beras/pasir tersebut ke dalam model tabung
5.
Ulangi kegiatan a dan b sampai tabung pebuh dengan pasir/beras.
6.
Apa kesimpulan yang Anda dapatkan?
c. Volum Bola
Volum bola dapat ditemukan dengan menggunakan kegiatan Lab.Mini seperti di atas
(Bagaimana caranya?) dan dapat juga dengan menggunakan prinsip Cavalleri. Apabila Anda
akan menunjukkannya dengan prinsip Cavalleri, maka Anda harus menggunakan dua
bangun ruang yang tingginya sama. Bangun ruang yang pertama adalah bola itu sendiri (jarijari = r), dan bangun yang kedua adalah sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alasnya
adalah r sedangkan tingginya 2r. Di dalam tabung itu dibuat dua buah kerucut. Kerucut yang
satu alasnya terletak di bawah (berimpit dengan lingkaran alas tabung), dan kerucut kedua
alasnya terletak di atas (berimpit dengan lingkaran atas tabung). Titik puncak dari kedua
kerucut ini berimpit, dan terletak tepat pada titik tengah dari sumbu tabung. Perhatikan
Gambar 4.17.
Gambar 4.17. Prinsip Cavalleri
Berdasarkan Gambar 4.17 di atas, tunjukkan bahwa volum bola adalah: VBola =
28
4
3
п r3
Latihan
Untuk soal nomor 1 – 10, pilih salah satu jawaban yang paling tepat!
1. Sebuah tabung yang tinggi dan diameternya sama akan memiliki ketebalan selimut
berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya adalah .............
A. : 1
B. 2 : 1
C. 3 : 1
D. d : 1
2. Sebuah tandon air berbentuk tabung bertutup dengan tinggi bagian dalamnya 1,56 m
terbuat dari tembaga. Untuk menjaga agar tembaga awet, maka bagian dalam tabung
dilapisi dengan aspal setebal 1 cm. Volum aspal minimal yang diperlukan untuk melapis
bagian dalam tandon adalah ................... cm3
A. 48871,43
B. 96941,43
C. 48627,07
D. 116062,57
3. Diketahui sebuah tabung tanpa tutp dengan jari-jari alas 6 cm dan tingginya 10 cm. Jika
= 3,14 maka luas tabung tanpa tutup tersebut adalah .......... cm2
A. 602,88
B. 489,84
C. 282,60
D. 706,50
4. Berikut adalah unsur-unsur kerucut, kecuali ...................................
A. sumbu
B. sudut puncak
C. bidang alas
D. titik puncak
5. Pada kerucut lingkaran tegak, berlaku ..........................
A. sudut antara garis-garis pelukis sama dengan sudut bidang alas
B. bidang alas kerucut adalah lingkaran
C. sumbu kerucut tegak lurus bidang alas
D. sudut antara garis-gsris pelukis sama dengan sumbu kerucut
29
6.
Diketahu kerucut dengan jari-jari alasnya 5 cm dan tingginya 12 cm. Jika п = 3,14
maka luas selimut kerucut adalah ………. cm2.
A. 62,8
B. 68
C. 188,4
D. 204,1
7. Sudut puncak suatu kerucut = 60o dan tingginya 4
A.
64
3
B.
64
C.
D.
3
. Volum kerucut = … cm3.
3
3
64
3
192
8. Yang termasuk unsur-unsur bola adalah ...................................
A. rusuk
B. garis pelukis
C. diameter
D. apotema
9. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Diameter bola sama dengan diameter tabung
= 12 cm. Jika tinggi tabung = 20 cm dan = 3,14 maka volum tabung di luar bola
adalah .......... cm3
A. 1356,48
B. 904,32
C. 452,16
D. 226,08
10. Jika luas kulit bola 616 cm2 dan =
22
7
, maka jari-jari bola adalah ................. cm
A. 21
B. 14
C.
7
D.
1
Untuk soal nomor 11 – 13, kerjakan soal-soal berikut ini!
11.
Gambarkan jaring-jaring kerucut dengan ukuran garis tengah alas 5 cm dan
tinggi 6 cm.
12.
Buktikan volum tabung adalah VTabung = luas alas x tinggi
13.
Buktikan volum bola adalah VBola
Cavalleri.
30
=
4
3
п r3 dengan menggunakan prinsip
BAB 3
BANGUN DATAR
A. Bangun Datar Segitiga
1. Segitiga-segitiga Sebangun
Definisi : Suatu bangun B disebut sebangun dengan bangun C (B C), jika B dapat dikalikan
dengan suatu faktor, sehingga terjadilah bangun B’ yang sama dan sebangun dengan C
(B’
C). Perhatikan Gambar 3-1 berikut.
O
C’
C
R
A
A’
B
B’
P
Q
Gambar 3-1
Karena PQR adalah hasil kali ABC, maka :
a.
A = ... = .... ; B = ... = ... ; C = ... = ...
b.
AB : A’B’ = .... : .... = .... : ...., yang berarti AB : DE = .... : .... = .... : ....
Akibatnya pada ABC dan PQR yang sebangun :
a.
sudut-sudut yang seletak sama besar
b.
sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang seharga.
Dalil-dalil kesebangunan :
a.
ABC dan PQR adalah sebangun, jika kedua segitiga itu mempunyai sepasang
sudut yang sama besar (misalnya A = P), sedangkan sisi-sisi yang mengapit sudut itu
mempunyai perbandingan yang seharga (misalnya AC : PR = AB : PQ).
b.
ABC dan PQR adalah sebangun, jika sisi-sisinya mempunyai perbandingan yang
seharga.
c.
ABC siku-siku di A dan PQR siku-siku di P adalah sebangun, jika satu buah sisi
siku-siku dan sisi miring pada kedua segitiga mempunyai perbandingan yang seharga
(misalnya AB : PQ = BC : QR).
31
2. Segitiga-segitiga Kongruen
Secara umum ABC dan PQR adalah sama dan sebangun (kongruen) dan ditulis
ABC PQR, jika :
a.
sudut-sudut yang seletak sama besar
b.
sisi-sisi yang seletak sama panjang.
Perhatikan Gambar 3-2 berikut.
C
C’
A
B
h
B’
A’
Gambar 3-2
Secara khusus syarat-syarat untuk dua segitiga kongruen ini adalah sebagai berikut.
Teorema 1 :
Dua buah segitiga akan kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut
yang diapit kedua sisi tersebut sama besar (S – Sd – S)
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-3 di samping.
C
B = Q (............................)
AB = PQ dan BC = QR (......................)
Tempatkan PQR pada ABC, sedemikian
sehingga titik sudut B berimpit dengan titik sudut Q.
Akibatnya
QP akan menutupi BA dan QR akan
A
B
menutupi BC.
R
AB = PQ dan BC = QR P berimpit A dan
R berimpit C
Dengan demikian titik-titik sudut ABC berimpit
dengan titik-titik sudut PQR, yang membuktikan
bahwa : ABC PQR
P
Q
Gambar 3-3
Teorema 2:
32
Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua sudut yang
seletak pada sisi tersebut sama besar. (Sd – S – Sd).
Teorema 3 :
Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua susut yang
seletak sama besar (S – Sd – Sd)
Teorema 4 :
Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang seletak sama panjang (S – S – S).
Latihan!
1. Buktikan dalil-dalil kesebangunan segitiga.
2. Buktikan Teorema 2 kekongruenan segitiga.
3. Buktikan Teorema 3 kekongruenan segitiga.
4. Buktikan Teorema 4 kekongruenan segitiga.
5. Misalkan ABC PQR dan PQR DEF, buktikanlah bahwa ABC DEF
6. Perhatikan Gambar 3-4 di bawah ini.
P
Q
O
S
R
Gambar 3-4
Jika PQ = 4 cm dan OQ = 3 cm, tentukanlah panjang OS, SR, dan OR.
7.
B
Perhatikan Gambar 2-5 di samping.
Diketahui : AB = AC, AD = 4 cm, dan BD = 3 cm
E
a. Buktikan bahwa :
F
A
D
Gambar 3-5
i . ABD ACE
C
ii. BFE CFD
b. Tentukanlanh panjang AB, AC, DC, CE, AE, DF.
3. Garis-garis Istimewa dalam Segitiga
33
1. Garis tinggi
Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang membagi tegak lurus sisi di depan titik sudut
segitiga tersebut.
Perhatikan ABC di samping, dan buktikanlah
bahwa ketiga garis tinggi dalam ABC tersebut
melalui satu titik.
D
Bukti :
C
F
Q
R
Perhatikan ABC pada Gambar di samping.
O
Melalui titik A, B, dan C ditarik garis-garis yang
A
masing-masing sejajar dengan sisi dihadapan titik
P
B
sudut itu. Apabila garis-garis itu berpotongan di
D, E, dan F, maka DE // CB, EF // AC, DF // AB.
E
Perhatikan segi-4 ABFC.
AB // CF, AC // BF ABFC adalah jajargenjang
AB = CF
Analog untuk segi-4 ABCD dan segi-4 ACBF,
(Gunakan sifat berikut : “
sehingga didapat :
Diketahui ruas garis AB. Jika
..... = ..... dan ..... = .....
CE = .... = .... C ................................. DF
ada sebuah garis g yang melalui
Analog :
A ................................. DE
titik tengah dan tegak lurus ruas
B ................................. EF
garis itu, maka x g, berlaku
Berdasarkan sifat di atas, maka didapat bahwa
OD = ......, OE = ......, dan OF = .......
Karena O AQ, O BR, dan O CP dan AQ,
BR, dan CP adalah garis tinggi pada ABC,
maka terbukti bahwa AQ, BR, dan CP melalui
satu titik, yaitu titik O.
2. Garis berat
34
XA = XB”)
Garis berat suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang sisi di depan titik
sudut tersebut. Perhatikan ABC pada gambar di bawah ini.
C
E
P’
D
P
A
F
B
Buktikanlah :
Ketiga garis berat dalam ABC di atas melalui satu titik, yang disebut titik berat segitiga.
Bukti :
Perhatikan ABC di atas.
AD dan BE adalah garis berat dalam ABC BD = DC dan AF = BF.
Misalkan AD dan BE berpotongan di P, akan dibuktikan bahwa CF juga akan melalui P.
Perhatikan CED dan CAB.
CE : CA = CD : CB = 2 : 1 (...................................)
Akibatnya AB // ED dan ED : AB = CE : CA = 1 : 2.
DEP = ABP dan EPD = APB (................................................)
EPD .... APB.
Akibatnya EP : PB = ED : AB = 1 : 2 = DP : AP.
Misalkan CF adalah garis berat yang melalui C dan memotong EB di P’, maka dengan cara
yang sama dapat dibuktikan bahwa EP’ : P’B = 1 : 2.
Dengan demikian diperoleh EP =
1
3
EB dan EP’ =
1
3
EB atau .... = .....
Jadi terbukti bahwa CF adalah garis berat yang memotong EB di P.
3. Garis bagi
Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sudut segitiga menjadi dua bagian
yang sama besar. Perhatikan ABC pada gambar berikut.
C
35
E
D
X
o
o
*
A
B
Karena Garis AD adalah garis bagi dari BAC, maka semua titik pada AD letaknya sama
jauh dari AC dan AB (Mengapa ?).
Karena Garis BE adalah garis bagi dari ABC, maka semua titik pada BE letaknya sama
jauh dari BA dan BC (Mengapa ?).
Misalkan AD dan BE berpotongan di titik X, maka berarti X letaknya sama jauh dari AC
dan AB dan juga dari BA dan BC (Mengapa ?).
Jadi X letaknya sama jauh dari CA dan CB, yang berarti bahwa X terletak pada garis bagi
dari ACB atau CX adalah terletak pada garis bagi dari ACB.
Dengan demikian terbukti bahwa ketiga garis bagi ini melalui pada satu titik.
Latihan!
1. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui
titik sudut B dan A. Buktikan bahwa garis DE // AB.
2. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui
titik sudut B dan A. Kedua garis berat ini berpotongan di titik Z. Buktikan bahwa :
a)
b)
1
DE = 2 AB
AZ : ZE = BZ : ZD = 2 : 1
3. Perhatikan Gambar 3-6 berikut.
H
C
D
o
o
A
B
E
Gambar 3-6
36
Misalkan pada ABC di atas, AD adalah garis bagi dari BAC, BE adalah garis bagi dari
sudut luar CBF dan CH adalah garis bagi dari sudut luar GBC. Buktikan bahwa ketiga garis
bagi ini akan berpotongan pada satu titik.
4. Buktikan bahwa garis tinggi suatu segitiga sama kaki akan membagi segitiga menjadi dua
segitiga yang kongruen.
5. Garis tinggi pada hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama kaki sama dengan setengah
panjang hipotenusanya. Buktikan !
6. Buktikan bahwa kedua garis bagi sudut alas suatu segitiga sama kaki sama panjang.
B. Bangun Datar Segiempat
Untuk memahami macam-macam bangun segiempat secara baik, perhatikan Skema berikut.
Segiempat
Layang-layang
Jajargenjang
Persegipanjang
Trapesium
Belahketupat
Persegi
Skema Segiempat
Dari skema di atas terlihat bahwa persegi panjang dan belah ketupat merupakan bentuk khusus
dari jajargenjang, sedangkan persegi adalah bentuk khusus dari persegi panjang atau
belahketupat. Secara rinci tentang bangun-bangun di atas akan dibahas berikut ini.
1. Jajargenjang
Definisi :
Jajargenjang adalah sebuah segiempat yang kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar.
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
ABCD adalah jajargenjang sisi AB = CD dan BC = AD.
2.
Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
37
3.
Pada setiap jajargenjang, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah.
4.
Pada segiempat ABCD sisi AB = CD dan BC = AD ABCD adalah jajargenjang.
5.
Jika pada suatu segiempat, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka
segiempat itu adalah jajargenjang.
6.
Pada segiempat ABCD, A = C dan B = D ABCD adalah jajargenjang.
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-7 berikut.
D
1
C
2
T
2
A
1
B
Gambar 3-7
(1). Diketahui : ABCD jajargenjang
Buktikan : AB = CD dan AD = BC
Bukti :
Tarik garis bantu BD.
Perhatikan ABD dan CDB
BD = DB
(...............................)
B1 = D1
(...............................)
B2 = D2
(...............................)
ABD CDB
( .........................)
Sehingga AB = CD dan AD = BC (Terbukti).
(2) ABD CDB A = C dan B1,2 = D1,2 (Terbukti)
(3) Diketahui : ABCD jajargenjang
Buktikan : AT = CT
BT = DT
Bukti :
TAB = TCD (...............................)
ATB = CTD (...............................)
AB = CD
ATB CTD
(...............................)
Sehingga AT = CT dan BT = DT (Terbukti).
38
( .........................)
2. Persegipanjang
Definisi :
Persegipanjang adalah sebuah jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku..
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
ABCD adalah persegipanjang panjang diagonal AC = diagonal BD.
2.
Diagonal jajargenjang sama panjang jajargenjang itu persegipanjang.
Bukti :
Perhatikan Gambar 3-8 berikut.
D
A
C
B
(1) Diketahui :
Buktikan :
Bukti :
(2) Diketahui :
Buktikan :
Bukti :
39
3. Belahketupat
Definisi :
Belahketupat adalah sebuah jajargenjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang
Dalil-dalil tentang jajargenjang :
1.
Setiap diagonal belahketupat merupakan garis bagi titik-titik sudut belahketupat itu.
2.
Diagonal-di