S MAT 1103112 Chapter3
BAB III
ANALISIS METODE LEE-CARTER
3.1
Lee-Carter
Pada tahun 1992 Lee dan Carter [LC92] mengembangkan sebuah metode
baru untuk peramalan mortalita dan untuk memperoleh prospektif tabel mortalita.
Metode stokastik ini menganjurkan sebuah bentuk log-bilinear untuk central
death rates
untuk usia
,
pada waktu . Ini terdiri dalam dua komponen
mortalita usia-spesifik :
Sebuah kumpulan dari usia spesifik konstan yaitu
Sebuah indek dari mortalita yaitu �
,
Model mengikuti bentuk :
ln
,
=
+
dengan batasan parameter :
� +�
;
,
= , ,…,
∑� = , ∑
dengan :
,
=
=
: Central death rates pada usia
; = , ,…,
=
di tahun ke
∶ pola rata-rata mortalita untuk usia
∶ kepekaan relatif logaritma central death rates terhadap perubahan dalam
tingkat mortalita didalam waktu pada usia
� ∶ tingkat mortalita ditahun
�
,
: error pada umur
ditahun
39
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
40
Untuk membangun prospektif tabel mortalita, dibutuhkan :
Estimasi seluruh parameter model Lee-Carter
Sebuah solusi optimum dapat ditemukan dengan metode kuadrat terkecil
dan diberikan oleh Singular Value Decomposition (SVD) (untuk
menentukan parameter � dan
)
Model fluktuasi parameter �
menjelaskan evolusi mortalita. Pada
faktanya hal ini dibutuhkan untuk proses spesifikasi bentuk �
�
,
�
,� � � , ,
,…
untuk membuat ramalan mortalita
masa depan. Dalam hal ini memungkinkan untuk memperoleh prediksi
dari peluang mortalita.
3.2
Estimasi Parameter Lee-Carter dengan Singular Value Decomposition
(SVD)
1.
Estimasi ̂
Parameter
Lee-Carter
Parameter
dapat diperoleh dengan meminimumkan � , dari model
�
,
= ln
,
−
−
�
diestimasi dengan meminimumkan �
untuk nilai t tertentu.
∑�
=
,
= ∑ ln
=
∑ ln
,
=
∑ ln
=
̂ =
∑
,
=
,
=
ln
−
,
−
−
atau ∑
�
� =
−∑
−∑
−
−
,
=
∑� =
=
∑
=
�
Dengan mengikuti batasan parameter
∑� = , ∑
=
=
=
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=
�
,
=
41
Maka diperoleh penaskir parameter
∑
̂ =
2.
=
, yaitu :
ln
,
Bentuk matriks A untuk menaksir parameter
�
= ln
,
,
−̂ =
�
dan � dimana :
Menerapkan metode SVD untuk matriks �
matriks A menjadi :
�
= � (��,� ) =
�,
yang menguraikan
,
+ ⋯+
�,
88 �,88 �,88
3.
Maka penaksir
diperoleh dari kolom pertama dari matriks
4.
diperoleh dari SVD ��,� dapat ditulis ̂ =
5.
̂ =
singular pertama dapat ditulis �
6.
Pencocokan estimasi parameter model Lee-Carter dengan SVD dan
,
Penaksir � diperoleh dari kolom pertama dari matriks
,
̂
=̂ +̂ �
Diperoleh estimasi ln ̂ ,
=�
yang
dari nilai
,
menghitung SSE
7.
Menghitung nilai � masa depan dengan menggunakan model yang
sesuai.
8.
Menghitung nilai peluang kematian masa depan dengan asumsi linear
dan eksponensial.
3.3
Regresi Linear Sederhana
Misalkan dimiliki n pasang observasi, secara berurut dapat dituliskan
sebagai ( ,
,
,…,
), (
,
), … , (
,
). Hubungan antara sebuah variabel bebas
dan variabel terikat
dapat ditunjukan oleh :
�
,
,…,
=
+
. Model regresi linear sederhana
�
+ ��
Dimana �� adalah random error atau dapat juga diasumsikan menjadi variabelvariabel random yang tidak berhubungan.
menunjukan intercept dan slope
adalah konstanta yang tidak diketahui.
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
42
3.4
Analisis Residual
Analisis residual sering digunakan untuk menggambarkan residual-residual:
1. Deret waktu
2. ̂�
3. Variabel bebas
Mendefiniskan residual sebagai �� =
�
− ̂� ; � = , , … ,
dimana
�
adalah nilai
observasi dan ̂� nilai taksiran yang didapat dari model regresi. Analsis residual
berguna dalam menguji asumsi bahwa error adalah
�
,�
dan dalam
penentuan jika tambahan dalam susunan pada model menjadi berguna. Pada
skripsi ini, akan digunakan Sum of Square Error (SSE) dan Mean Square Error
(MSE) sebagai berikut :
Sum of Square Error (SSE)
�
=∑
�
�=
Mean Square Error (MSE)
=
�
∑
�=
�
�
= ∑ �� − �̂
=
�=
�
∑ �� − �̂
�=
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ANALISIS METODE LEE-CARTER
3.1
Lee-Carter
Pada tahun 1992 Lee dan Carter [LC92] mengembangkan sebuah metode
baru untuk peramalan mortalita dan untuk memperoleh prospektif tabel mortalita.
Metode stokastik ini menganjurkan sebuah bentuk log-bilinear untuk central
death rates
untuk usia
,
pada waktu . Ini terdiri dalam dua komponen
mortalita usia-spesifik :
Sebuah kumpulan dari usia spesifik konstan yaitu
Sebuah indek dari mortalita yaitu �
,
Model mengikuti bentuk :
ln
,
=
+
dengan batasan parameter :
� +�
;
,
= , ,…,
∑� = , ∑
dengan :
,
=
=
: Central death rates pada usia
; = , ,…,
=
di tahun ke
∶ pola rata-rata mortalita untuk usia
∶ kepekaan relatif logaritma central death rates terhadap perubahan dalam
tingkat mortalita didalam waktu pada usia
� ∶ tingkat mortalita ditahun
�
,
: error pada umur
ditahun
39
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
40
Untuk membangun prospektif tabel mortalita, dibutuhkan :
Estimasi seluruh parameter model Lee-Carter
Sebuah solusi optimum dapat ditemukan dengan metode kuadrat terkecil
dan diberikan oleh Singular Value Decomposition (SVD) (untuk
menentukan parameter � dan
)
Model fluktuasi parameter �
menjelaskan evolusi mortalita. Pada
faktanya hal ini dibutuhkan untuk proses spesifikasi bentuk �
�
,
�
,� � � , ,
,…
untuk membuat ramalan mortalita
masa depan. Dalam hal ini memungkinkan untuk memperoleh prediksi
dari peluang mortalita.
3.2
Estimasi Parameter Lee-Carter dengan Singular Value Decomposition
(SVD)
1.
Estimasi ̂
Parameter
Lee-Carter
Parameter
dapat diperoleh dengan meminimumkan � , dari model
�
,
= ln
,
−
−
�
diestimasi dengan meminimumkan �
untuk nilai t tertentu.
∑�
=
,
= ∑ ln
=
∑ ln
,
=
∑ ln
=
̂ =
∑
,
=
,
=
ln
−
,
−
−
atau ∑
�
� =
−∑
−∑
−
−
,
=
∑� =
=
∑
=
�
Dengan mengikuti batasan parameter
∑� = , ∑
=
=
=
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=
�
,
=
41
Maka diperoleh penaskir parameter
∑
̂ =
2.
=
, yaitu :
ln
,
Bentuk matriks A untuk menaksir parameter
�
= ln
,
,
−̂ =
�
dan � dimana :
Menerapkan metode SVD untuk matriks �
matriks A menjadi :
�
= � (��,� ) =
�,
yang menguraikan
,
+ ⋯+
�,
88 �,88 �,88
3.
Maka penaksir
diperoleh dari kolom pertama dari matriks
4.
diperoleh dari SVD ��,� dapat ditulis ̂ =
5.
̂ =
singular pertama dapat ditulis �
6.
Pencocokan estimasi parameter model Lee-Carter dengan SVD dan
,
Penaksir � diperoleh dari kolom pertama dari matriks
,
̂
=̂ +̂ �
Diperoleh estimasi ln ̂ ,
=�
yang
dari nilai
,
menghitung SSE
7.
Menghitung nilai � masa depan dengan menggunakan model yang
sesuai.
8.
Menghitung nilai peluang kematian masa depan dengan asumsi linear
dan eksponensial.
3.3
Regresi Linear Sederhana
Misalkan dimiliki n pasang observasi, secara berurut dapat dituliskan
sebagai ( ,
,
,…,
), (
,
), … , (
,
). Hubungan antara sebuah variabel bebas
dan variabel terikat
dapat ditunjukan oleh :
�
,
,…,
=
+
. Model regresi linear sederhana
�
+ ��
Dimana �� adalah random error atau dapat juga diasumsikan menjadi variabelvariabel random yang tidak berhubungan.
menunjukan intercept dan slope
adalah konstanta yang tidak diketahui.
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
42
3.4
Analisis Residual
Analisis residual sering digunakan untuk menggambarkan residual-residual:
1. Deret waktu
2. ̂�
3. Variabel bebas
Mendefiniskan residual sebagai �� =
�
− ̂� ; � = , , … ,
dimana
�
adalah nilai
observasi dan ̂� nilai taksiran yang didapat dari model regresi. Analsis residual
berguna dalam menguji asumsi bahwa error adalah
�
,�
dan dalam
penentuan jika tambahan dalam susunan pada model menjadi berguna. Pada
skripsi ini, akan digunakan Sum of Square Error (SSE) dan Mean Square Error
(MSE) sebagai berikut :
Sum of Square Error (SSE)
�
=∑
�
�=
Mean Square Error (MSE)
=
�
∑
�=
�
�
= ∑ �� − �̂
=
�=
�
∑ �� − �̂
�=
Ima Nursaadah, 2016
PERAMALAN MORTALITA MENGGUNAKAN METODE LEE-CARTER
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu