BAB I BILANGAN BULAT

1

BAB I BILANGAN BULAT
Bilangan Bulat
a. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
•
•
•

Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
Nol
:0
Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan Bilangan bulat
A=

{

…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

}

Garis bilangan bulat :
•
-4

•
-3

•
-2

•
-1

•
0

•

1

•
2

●
3

●
4

bilangan bulat negatif

bilangan bulat positif
Bilangan nol

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
•
•

Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

}

}

b. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat :
• Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
1. Sifat Asosiatif
(a+b)+c=a+(b+c)
Contoh :
(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

2
2. Sifat Komutatif

a+b=b+a
Contoh :
7+2=2+7=9
3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
a+0=0+a
Contoh :
6+0=0+6
4. Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a
Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
a + (-a) = (-a) + a
contoh :
5 + (-5) = (-5) + 5 = 0
5. Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah
bilangan bulat juga.
a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat

•

Pengurangan dan Sifat-sifatnya
1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

3

2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a–b ≠ b-a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :

7 – 3 ≠ 3 -7 Æ 4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) Æ 2 ≠ 8
3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan
hasilnya adalah bilangan bulat juga
a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

:

contoh :
7 - 8 = -1 ;

•

7,8,-1 ∈ bilangan bulat

Perkalian dan Sifat-sifatnya
1. a x b = ab Æ hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42

a x –b = -ab Æ hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah
bilangan bulat negatif
Contoh : 3 x -4 = -12
-a x -b = ab Æ hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif
Contoh : -4 x -5 = 20
2. Sifat Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24
3. Sifat komutatif
axb=bxa
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
4. Sifat distributif
a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

4

5 Unsur identitas untuk perkalian

- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
ax0=0
- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
ax1=1xa=a
6. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
axb=c
; a, b, c ∈ bilangan bulat

•

Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) : (+) = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) : (-) = (+)
Contoh : -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)
Contoh : 6 : -2 = -3
-12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 Æ tidak terdefinisi (~)
0 : a Æ 0 (nol)
Contoh :

5
0

= ~ (Tidak terdefinisi)

5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a:b ≠ b:a
(a:b):c ≠ a : (b:c)
Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 Æ 2 ≠

1
2

(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) Æ 1 ≠ 16

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

5
6. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh : 6 : 2 = 3 Æ bilangan bulat
1
7:2= 3
Æ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
2

•

Pemangkatan bilangan bulat

an = a x a x a x … x a

Sejumlah n faktor
Contoh : 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

•

Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat

( )

1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
a = b Æ
a 2 = b2 Æ a = b2 = b x b
Contoh :

81 = ? Æ 81 = 9 2 = 9 x 9 Æ b = 9
20 = ? Æ 20 = b 2 Æ b = nilainya tidak bulat
20 = 4x5 = 4 x 5 = 2 5

Tabel :
1 = 1x1 = 1
4 = 2x 2 = 2

9 = 3x3 = 3
16 = 4x 4 = 4
25 = 5x5 = 5 dan seterusnya

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

6

( )

2. Akar kubik (akar pangkat tiga)
3
a = b Æ 3 a 3 = b3 = b x b x b
Contoh :

3
3

27 = ? Æ 27 = 33 = 3 x 3 x 3 Æ b = 3
54 = ? Æ 3 27 x 2 = 3 27 x 3 2 = 3 3 2

Tabel :
3

1 = 3 1x1x1 = 1

3

8 = 3 2 x2 x2 = 2
3
27 = 3 3 x3 x3 = 3
3
64 = 3 4 x 4 x 4 = 4
3
125 = 3 5 x5 x5 = 5 dan seterusnya

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya