https://adisetiawan26.files.wordpress.com/2014/07/mitha.

MODEL KOREKSI KESALAHAN DENGAN METODE BAYESIAN

PADA DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN

KOTA - KOTA DI PAPUA

Mitha Febby R. D 1, Adi Setiawan 2, Hanna Arini Parhusip 3

1, 2 , 3

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711 Email: mithafebby@gmail.com1,adi_setia_03@yahoo.com2,hannaariniparhusip@yahoo.co.id3

ABSTRAK

Melalui Model Koreksi Kesalahan (Error Correction Model– ECM) didapatkan bahwa Indeks Harga Konsumen di kota Jayapura, Sorong dan Manokwari saling berhubungan. Hubungan Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua merupakan hubungan linier dan membentuk garis regresi linier. Garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier tersebut. Pada makalah ini, data yang digunakan adalah data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dengan periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Estimasi parameter dengan metode Bayesian digunakan untuk membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian dibandingkan dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh metode kuadrat terkecil dan metode bootstrap. Diperoleh bahwa kedua pendekatan tidak berbeda secara signifikan.

Kata-kata kunci: indeks harga konsumen, model koreksi kesalahan, regresi linier berganda, metode bayesian

PENDAHULUAN

Indeks Harga Konsumen (IHK) merupakan nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga. IHK digunakan sebagai tolok ukur inflasi. Tingkat perubahan IHK berbeda di setiap daerah, seperti halnya IHK di kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari di Papua. Meski memiliki tingkat perubahan yang berbeda, IHK kota-kota di Papua saling berhubungan. Pada studi Donggori dkk [1] telah dijelaskan tentang model koreksi kesalahan dengan metode bootstrap untuk data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Berdasarkan uji akar unit didapatkan data IHK kota-kota di Papua tidak stasioner dan melalui uji kointegrasi diketahui bahwa data tersebut memiliki hubungan jangka panjang sehingga dapat dibentuk model koreksi kesalahannya. Model koreksi kesalahan yang didapat merupakan model regresi linier berganda tanpa intersep. Model koreksi kesalahan yang didapat selanjutnya digunakan untuk membentuk hubungan jangka panjang. Hubungan jangka panjang IHK kota-kota di Papua merupakan hubungan linier karena apabila digambarkan dalam

diagram pencar, sebaran data cenderung membentuk pola linier atau garis lurus. Garis lurus tersebut atau yang lebih sering disebut garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Dalam Puspaningrum [2] telah dijelaskan mengenai penerapan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter pada model regresi sederhana dengan menggunakan data biaya promosi dan jumlah penjualan motor pada perusahaan “S” dari bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2006. Makalah ini akan dijelaskan mengenai membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga konsumen kota-kota di Papua periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013 dengan estimasi parameter-parameternya menggunakan metode Bayesian.

METODE

Regresi Linier Berganda

Analisis regresi linier berganda ialah suau alat analisis peramalan nilai pengaruh dua atau lebih variabel independen terhadap variabel

dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih dengan satu variabel dependen [3]. Model ini dijelaskan dalam persamaan berikut :

p pX

X X

Y _{0 1 1 2 2}  (1)

Dalam hubungannya dengan data hasil pengamatan, model regresi linier berganda dituliskan sebagai berikut :

i ip p i

i

i x x x

y _{0 1 1 2 2}  (2)

untuk i 1,2,,n dengan _i ~ N(0, 2)[4]. Model ini dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks sebagai berikut :

, 2 1 n y y y  y np n n p p x x x x x x x x x         2 1 2 22 21 1 12 11 1 1 1 X , 2 1 p 

β 2 .

1

n



Dengan menggunakan notasi tersebut, model dapat dituliskan kembali sebagai :

ε β

X

y (3)

) 1

(n _{n (p 1) (p 1) 1 (n 1)} Dalam hal ini, fungsi likelihood didefinisikan sebagai : n i i X y p X y p 1 2 2 ) , , | ( ) , , | ( n i T

1 2 2

) ( ) ( 2 1 exp 2 1 Xβ y Xβ y ) ( ) ( 2 1 exp )

( 2 n/2 ₂ y Xβ T y Xβ

sehingga fungsi likelihood menjadi :

2 / 2

2_{) ( )}

, , |

( n

p y Xβ

) ( ) ( 2 1

exp ₂ y Xβ T y Xβ (4) Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :

i i i i

i x x x

y 1 1 2 2 3 3 (5)

dengan i 1,2,,n dan _i ~ N(0, 2) sehingga mempunyai fungsi likelihood :

) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) , , | ( 2 2 / 2 2 Xβ y Xβ y β X y T n p dengan i i

i x x

x_{1 2 3}

X danβ ₁, ₂, ₃ T

Distribusi Prior Konjugat

Distribusi prior konjugat memiliki sifat jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior [5]. Dengan β ₁, ₂, ₃ T maka bentuk untuk prior :

) | ( ) ( ) ,

(β 2 p 2 p β 2

p (6)

dengan 2 berdistribusi

Gamma

Invers (a₀,b₀) dengan a₀ v₀ 2 dan b₀ v₀s₀2 dengan v₀ 1 dan

1

2 0

s Kepadatan prior ditulis sebagai berikut : 2 2 0 0 ) 1 2 / ( 2 2 2 exp ) ( )

( 0 v s

p v . (7)

Prior bersyarat β| 2 berdistribusi )

, (μ₀ 2Λ₀1

N .

Pada makalah ini,

T ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1

0 , ,

μ 0,0,0T,Λ₀ I dan memiliki kepadatan prior bersyarat :

2 / 2

2_{) ( )}

| ( k p β ) ( ) ( 2 1

exp 2 β μ0 Λ0 β μ0

T

(8) dengan (β μ₀)TΛ₀(β μ₀)

) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 3 3 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 I T ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 3 3 ) 0 ( 3 3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 1

1 , , I

2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2 2 2 ) 0 ( 1

1 ) ( ) ( )

(

sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :

2 ) 0 ( 1 1 2 2 / 2 2 ) ( 2 1 exp ) ( ) | ( k p β 2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2

2 ) ( )

( ₍₉₎

Distribusi Posterior

Posterior dapat diperoleh dari hasil kali fungsi likelihood dan prior dan dapat dinyatakan sebagai [6]:

) | ( ) ( ) , , | ( , |

, 2 y X y X β 2 2 β 2

β p p p

p ) ( ) ( 2 1 exp ₂ 2 2 Xβ y Xβ y T n 2 2 2 0 1 2 2 exp 0 k a b ( ) ( ) 2 1

exp 2 β μ0 Λ0 β μ0 T

(10) Posterior pada persamaan di atas dapat ditulis ulang sehingga mean posterior μ_n dari vektor parameter β dapat dinyatakan dalam esimator kuadrat terkecil βˆ dan mean prior

0

μ dengan kekuatan dari prior ditunjukkan oleh matriks prior presisi Λ0 1 2 [3]:

)

ˆ

( )

(X X Λ₀ 1 X X Λ₀μ₀

μ T T

n (11)

sehingga istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam β μ_n :

0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( μ Λ μ μ Λ X X μ y y μ β Λ X X μ β μ β Λ μ β Xβ y Xβ y T n T T n T n T T n T T

Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi Invers-Gamma :

2 0 0 0 0 0 1 2 ) ( 2 0 2 2 2 2 2 ) ( exp ) )( ( ) ( 2 1 exp , | , 0 μ Λ μ μ Λ X X μ y y μ β Λ X X μ β X y β T n T T n T v n n T T n k b p

maka posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut :

) , | ( ) , , | ( , |

, 2 y X β 2 y X 2 y X

β p p

p (12)

dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi N( _n, 2(XTX Λ₀) 1) dan

) , (a_n b_n Gamma

Invers dengan parameternya

diberikan oleh :

I Λ μ Λ y X Λ X X μ μ Λ μ μ Λ μ y y 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 T T n n n T n T T n n b b v n a

Pada makalah ini digunakan v₀ 1, n 52 dan XTX berdimensi 3 3 sehingga Λ₀ berdimensi 3 3 yaitu I₃₃.

Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Untuk merancang rantai Markov dapat digunakan Gibbs Sampling dari distribusi posterior dengan p( 2|y,X)~IG(a_n,b_n) dan

1 0 2

2_{, , )~ , ( )}

|

(β y X N _n XTX Λ

p yan

g menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat.

Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat

dengan ( )~ ( 0, 0)

2 b a Gamma Invers p

dengan a₀ v₀ 2 dan b0 v0s02 dengan v0

dan 2 0

s ditentukan secara subyektif dan

1 0 2 2 ) ( , ~ ) |

(β N _n XTX Λ

p dengan

0

μ ditentukan secara subyektif dan prior presisi Λ0 1 2 dengan memilih nilai

2

. Jika 2 ~Invers Gamma(an,bn) maka :

), ( 2 1 ~ , | 0 2 v n Gamma Invers X y ) ( 2 1 0 0 0

0 n n

T n T

T

b y y μ Λ μ μ Λ μ (*)

Jika ~ , ,

22 21 12 11 3 2 1 3 2 1 N [7]

maka distribusi dari 1 bersyarat pada ) 0 ( 3 ) 0 (

2 , (**) :

12 1 22 3 2 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2

1| , ~N

dengan 22 33 32 23 22

11 11, 12 12 13,

Apabila diberikan 2 dan

vektorβ ₁, ₂, ₃ T yang tidak diketahui maka untuk mendapatkan distribusi dari

T 3 2

1, , dengan metode Gibbs sampler

digunakan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Dipilih nilai awal 2(0), ₁(0), ₂(0), ₃(0) 2. Sampel 2(1) dari p( 2(1)|y,X) sehingga

X y, | ) 1 ( 2 memenuhi (*).

Sampel ₁(1) dari ( | , , 3(0), , )

) 0 ( 2 2 ) 1 ( 1

) 1 (

X y

p sehingga

) 0 ( 3 ) 0 ( 2 2 ) 1 (

1 | , ,

) 1 (

memenuhi (**). 3. Langkah 2 diulangi sebanyak B kali

sehingga didapatkan sampel dari )

, | ( 2 y X

p dan p(β| 2,y,X) dalam bentuk rantai Markov.

Model Koreksi Kesalahan

Model koreksi kesalahan adalah model yang memasukkan penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan. Model koreksi kesalahan digunakan dalam mengatasi permasalahan data yang tidak stasioner, regresi lancung, mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang [8]. Model koreksi kesalahan dapat digunakan ketika data tidak stasioner tapi terkointegrasi. Dalam mekanisme yang dipopulerkan oleh Engle-Granger, koreksi perilaku jangka pendek dilakukan menggunakan kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) dalam jangka panjang [9].

Salah satu model koreksi kesalahan yang berkembang adalah model koreksi kesalahan dari Domowitz dan Elbadawi. Model koreksi kesalahan Domowitz-Elbadawi menjelaskan bahwa perubahan Y atau Y dipengaruhi oleh perubahan variabel Xatau X , variabel X periode sebelumnya X_{t 1} dan variabel koreksi kesalahan periode sebelumnya. Bentuk standar ECM Domowitz-Elbadawi adalah sebagai berikut :

t t t

t

t g g X g X g EC

Y _{0 1 2 1 3 1} (13)

dengan EC_{t 1} X_t1 Y_{t 1}.

Menurut model ini, model koreksi kesalahan valid jika koefisien koreksi kesalahan bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai koefisien kesalahan besarnya adalah 0 g₃ 1 . Koefisien g dalam persamaan merupakan analisis jangka pendek. Sedangkan koefisien jangka panjang pada kondisi keseimbangan (ketika Y_t Y_{t 1} dan X_t X_{t 1}) adalah :

1 1 3

1 2 1 1

0 1

t t

t t

t t

t

Y X g

X g X X g g Y Y

Y_t h₀ h₁X_t (14)

dengan h₀ g₀/g₃ dan h₁ g₂ g₃ /g₃. Pada makalah ini digunakan model koreksi kesalahan tanpa intersep sebagai berikut :

t t t

t

t g X g X g EC

Y 1 2 1 3 (15)

dengan EC_{t 1} X_{t 1} Y_{t 1}.

Model Regresi Bayesian untuk Model Koreksi Kesalahan Data Indeks Harga Konsumen Kota-Kota di Papua

Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :

i i i

i

i x x x

y _{1 1 2 2 3 3}

dengan i 1,2,,n dan

) , 0 (

~N 2

i sehingga model koreksi

kesalahan untuk data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dapat dituliskan sebagai berikut :

t t t

t

t g X g X g EC

Y _{1 2 1 3 1}

dan mempunyai fungsi likelihood :

) (

) (

2 1 exp

) ( ) , , | (

2 2 / 2 2

Xβ y Xβ y β

X y

T n

p

dengan y Y_t, X Xt Xt 1 ECt 1 dan T

g g g₁, ₂, ₃

β

Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) dipengaruhi IHK kota Manokwari (MAN) maka model koreksi kesalahan dapat dituliskan kembali menjadi:

t t t

t

t g MAN g MAN g EC

JPR _{1 2 1 3 1}

mempunyai fungsi likelihood :

) (

) (

2 1 exp

) ( ) , , | (

2 2 / 2 2

Xβ y Xβ y β

X y

T n

p

dengan y JPR_t,

1

1 t

t

t MAN EC

MAN

X dan

T

g g g₁, ₂, ₃

β _{sehingga bentuk untuk prior :} )

| ( ) ( ) ,

(β 2 p 2 p β 2

p

dengan 2 berdistribusi Invers-Gamma )

,

(a₀ b₀ dengan a₀ v₀ 2 dan 2 0 0

0 v s

b

dengan v₀ 1 dan s₀2 1. Kepadatan prior ditulis sebagai berikut :

2 2 0 0 )

1 2 / ( 2 2

2 exp )

( )

( 0 v s

Prior bersyarat β| 2 berdistribusi

) ,

(μ₀ 2Λ₀1

N

dengan g g g3(0)T ) 0 ( 2 ) 0 ( 1

0 , ,

μ 0,0,0T, I

Λ0 dan memiliki kepadatan prior

bersyarat :

) ( ) ( 2

1 exp

) ( ) | (

0 0 0 2

2 / 2 2

μ β Λ μ β β

T k

p

sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :

2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2 2

2 ) 0 ( 1 1 2 2

/ 2 2

) (

) (

) (

2 1 exp )

( ) |

( k

p β

Posterior diparameterisasi sebagai berikut : ) , | ( ) , , | ( ,

|

, 2 y X β 2 y X 2 y X

β p p

p

dengan kedua faktor sesuai dengan

kepadatan dari distribusi

) ) (

,

( 0 1

2 _Λ

X XT

n

N dan

Invers-Gamma (a_n,b_n) dengan parameternya diberikan oleh:

I Λ

μ Λ y X Λ X X μ

μ Λ μ μ Λ μ y y

0

0 0 1

0

0 0 0 0

0

) (

) (

2 1

) ( 2 1

T T

n

n n T n T

T n

n

b b

v n a

serta digunakan v₀ 1 , n 52 dan XTX berdimensi 3 3 sehingga Λ₀ berdimensi

3

3 yaitu I₃₃.

METODE PENELITIAN

Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari pada bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013 yang diperoleh dari website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya menerapkan metode Bayesian pada model koreksi kesalahan data IHK kota-kota di Papua untuk memperoleh taksiran parameternya. Taksiran parameter diperoleh melalui beberapa tahap penghitungan, yaitu menentukan fungsi likelihood, distribusi prior konjugat, distribusi posterior dan kemudian mengestimasi parameter. Pengolahan data dilakukan setelah taksiran parameter diperoleh.

Langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut :

1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior

) , | ( ) , , | ( ,

|

, 2 y X β 2 y X 2 y X

β p p

p

dengan p( 2 |y,X)~

Invers-Gamma (a_n,b_n) dan

~ ) , , |

(β 2 y X

p N( _n, 2(XTX Λ₀) 1)

yaitu Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter

3 2 1,g ,g

g .

2. Taksiran g₁,g₂,g₃ diperoleh dengan mencari nilai rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler setelah memotong nilai Gibbs sampler dari 500 iterasi pertama. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut,

dihasilkan fungsi densitas untuk g₁,g₂,g₃ berdistribusi normal.

Untuk melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3.

PENGEMBANGAN MODEL KOREKSI KESALAHAN

Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) berpengaruh terhadap IHK kota Manokwari (MAN) dan IHK kota Sorong (SRG), melalui uji akar unit didapatkan data JPR, MAN dan SRG tidak stasioner namun stasioner pada tingkat diferensi pertama. Dengan demikian JPR, MAN dan SRG terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antara ketiganya.

Uji kointegrasi dapat dilakukan dengan membentuk persamaan :

t t t

t MAN SRG e

JPR 0 1 2 (16)

selanjutnya persamaan ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut :

t t

t

t JPR MAN SRG

e 0 1 2 (17)

variabel gangguan e_t dalam hal ini merupakan kombinasi linier. Jika variabel gangguan e_t stasioner atau I(0) maka antar variabelnya terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang. Dari uji kointegrasi didapatkan nilai-p residual sebesar 0,0017, lebih kecil dari tingkat signifikansi 0,05 sehingga antar

variabel terbukti terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antar IHK ketiga kota tersebut. Selanjutnya dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi sebagai berikut :

1 3

2 1

0 t t t

t g g MAN g SRG g MAN

JPR

t t

t g EC e

SRG

g_{4 1 5 1} (18)

dengan

,

1 1

1

1 t t t

t MAN SRG JPR

EC

JPR= IHK kota Jayapura, MAN = IHK kota Manokwari dan SRG = IHK kota Sorong. Hubungan jangka panjang dari model pada persamaan (18) :

t t

t h h MAN h SRG

JPR 0 1 2 (19)

dengan h0 g0 g5,h1 g3 g5 g5, dan

5 5 4

2 g g g

h

Tabel 1. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota

Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

C 6.4047 3.5223 1.8183 0.0755

D(MAN) 0.3645 0.1307 2.7885 0.0077 D(SRG) -0.1197 0.1350 -0.8866 0.3799 MAN(-1) -0.0667 0.0890 -0.7501 0.4570 SRG(-1) -0.4415 0.1414 -3.1217 0.0031 ECT07 0.4192 0.1145 3.6612 0.0006 Pada Tabel 1, koefisien koreksi kesalahan (ECT07) bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai-p untuk variabel D(SRG) dan MAN( 1) lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05 sehingga kedua variabel tersebut secara statistik dikatakan tidak signifikan. Maka model koreksi kesalahan dikoreksi kembali dan didapatkan hasil estimasi model koreksi kesalahan tersebut yang ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota

Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(MAN) 0.3167 0.1203 2.6330 0.0113 SRG(-1) -0.3397 0.1074 -3.1634 0.0027 ECT07 0.3089 0.0970 3.1821 0.0025 Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1

3089 . 0

3397 . 0 3167

. 0

t

t t

t

EC

SRG MAN

JPR

dan memiliki hubungan jangka panjang :

t

t SRG

JPR 0.0998

Dengan cara yang sama, dilakukan estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan Sorong. Hasil estimasi ditampilkan pada Tabel 3. Sedangkan hasil estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Jayapura dan kota Manokwari ditampilkan pada Tabel 4. Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1

2241 . 0

2301 . 0 3785

. 0

t

t t

t

EC

JPR SRG

MAN

dan memiliki hubungan jangka panjang : t

t SRG

MAN 0.0269

Sedangkan model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1

1730 . 0

1637 . 0 3466

. 0

t

t t

t

EC

JPR MAN

SRG

dan memiliki hubungan jangka panjang : t

t JPR

SRG 0.0541

Tabel 3. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota

Jayapura dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(SRG) 0.3785 0.1391 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.2301 0.0885 -2.5985 0.0123 ECT08 0.2241 0.0852 2.6286 0.0114

Tabel 4. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota

Manokwari dan kota Jayapura Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(MAN) 0.3466 0.1274 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.1637 0.0806 -2.0311 0.0477 ECT09 0.1730 0.0835 2.0710 0.0436 HASIL DAN DISKUSI

Pada Gambar 1, 2, dan 3 ditampilkan diagram pencar data Indeks Harga Konsumen (IHK) kota Jayapura, Sorong dan Manokwari. Dari ketiga gambar tersebut, terlihat sebaran data cenderung membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan hubungan diantara variabel bebas dan variabel terikatnya merupakan hubungan linier. Karena data memiliki hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya.

Gambar 1. Diagram pencar data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x

(kanan)

Gambar 2. Diagram pencar data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu

x (kiri) dan data IHK kota Sorong pada pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kanan)

Gambar 3. Diagram pencar data IHK kota Sorong pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x

(kiri) dan data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kanan) Model koreksi kesalahan yang digunakan

dalam makalah ini adalah model regresi berganda tanpa intersep dan dinyatakan dalam persamaan berikut :

t t t

t

t g MAN g MAN g EC

JPR _{1 2 1 3 1}

untuk t 1,2,,n dengan JPR IHK kota Jayapura, MAN IHK kota Manokwari dan

EC variabel koreksi kesalahan.

Dengan asumsi parameter berdistribusi normal, untuk mendapatkan estimasi parameter gˆ g₁,g₂,g₃ dengan metode Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Dipilih nilai awal g₁(0) 0, g₂(0) 0 dan g3(0) 0 . Agar tidak mengacaukan hasil estimasi, dilakukan pemotongan (burn in) 500 iterasi pertama (yang terdapat nilai awal) sehingga didapatkan hasil estimasi pada Tabel 5. Rantai Markov untuk taksiran parameter

2 1,g

g dang₃ ditampilkan dalam Gambar 4. Gambar 4 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter g₁,g₂ dan g₃ yaitu berturut-turut sebesar 0.3006, -0.0313 dan 0.3039. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut didapatkan fungsi densitas pada Gambar 5.

Tabel 5. Distribusi statistik model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura dan IHK kota

Manokwari dengan metode Bayesian.

node g1 g2 g3

mean 0.3006 -0.0313 0.3039

Sd 0.1211 0.0114 0.1035

MC error 0.0037 0.0012 0.0111

2.5% 0.0582 -0.0554 0.1192

median 0.3013 -0.0301 0.2938

97.5% 0.5364 -0.0109 0.5208

start 501 501 501

Gambar 4. Rantai Markov untuk taksiran parameter g1, g2, dan g3.

Gambar 5. Fungsi densitas parameter g1, g2,

g3.

Dengan parameter g1,g2 dan g3 yang

diperoleh menggunakan metode Bayesian, dibentuk model koreksi kesalahan yang baru. Model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari dituliskan dalam persamaan berikut :

. 3039 . 0

0313 . 0 3006

. 0

1

1 t

t t

t

EC

MAN MAN

JPR

Dari persamaan di atas, dibentuk hubungan jangka panjangnya untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari sebagai berikut :

. 8970

.

0 _t

t MAN

JPR

Dari persamaan di atas berarti bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8970%. Dengan cara yang sama, dilakukan

perhitungan untuk memperoleh taksiran parameter untuk model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain. Model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain ditampilkan dalam Tabel 6. Pada Tabel 6 ditunjukkan bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766% dan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787%. Sedangkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari dan kota Sorong berturut-turut sebesar 1.135% dan 1.2024%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK kota-kota di Papua hampir sama tetapi tingkat kenaikan IHK kota Jayapura dan kota Manokwari sedikit lebih lambat dibanding dengan tingkat kenaikan IHK kota Sorong.

Tabel 6. Model Koreksi Kesalahan IHK Kota-Kota di Papua dengan metode Bayesian

No. Model Koreksi Kesalahan Hubungan Jangka

Panjang

1

1 1 0.3039

0313 . 0 3006

.

0 _{t t t}

t MAN MAN EC

JPR JPR_t 0.8970MAN_t

2 MAN_t 0.3735 JPR_t 0.0285 JPR_{t 1} 0.2111EC_t1 MAN_t 1.1350JPR_t

3

1 1 0.2271

0053 . 0 3751

.

0 _{t t t}

t SRG SRG EC

MAN MANt 0.9766 SRGt

4

1 1 0.1650

0080 . 0 3437

.

0 _{t t t}

t MAN MAN EC

SRG SRGt 1.0484 MANt

5

1

0973 . 0 0197

.

0 _{t t}

t JPR EC

SRG SRG_t 1.2024 JPR_t

6

1

1715 . 0 0208

.

0 _{t t}

t SRG EC

JPR JPRt 0.8787SRGt

Tabel 7. Hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode kuadarat terkecil, metode Bootstrap dan metode Bayesian.

Metode Kuadrat Terkecil Metode Bootstrap Metode Bayesian

t

t MAN

JPR 0.8966 JPR_t 0.8972 MAN_t JPR_t 0.8970 MAN_t

t

t SRG

JPR 0.8788 JPR_t 0.8793SRG_t JPR_t 0.8787 SRG_t

t

t JPR

MAN 1.1335 MAN_t 1.1328 JPR_t MAN_t 1.1350 JPR_t

t

t SRG

MAN 0.9763 MAN_t 0.9765 SRG_t MAN_t 0.9766 SRG_t

t

t MAN

SRG 1.0484 SRG_t 1.0485 MAN_t SRG_t 1.0484 MAN_t

t

t JPR

SRG 1.1993 SRG_t 1.1958JPR_t SRG_t 1.2024 JPR_t

Gambar 6. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Jayapura dan Manokwari (kiri: model 1, kanan : model 2)

Gambar 7. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Sorong dan Manokwari (kiri : model 3, kanan : model 4)

model 6) Perbandingan hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode Bootstrap dan metode kuadrat terkecil ditampilkan pada Tabel 7. Dari Tabel 7 dapat dilihat bahwa hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode kuadrat terkecil dan dengan metode Bootstrap memiliki koefisien yang relatif hampir sama. Diagram pencar dan persamaan garis regresi hubungan jangka panjang pada Tabel 6 ditampilkan pada Gambar 6, 7, dan 8. Sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus dan membentuk hubungan linier. KESIMPULAN

Dalam makalah ini telah dijelaskan mengenai model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi parameter dengan metode Bayesian menghasilkan rata-rata posterior yang hampir sama dengan estimasi parameter dengan metode bootstrap. Dari analisis data IHK menggunakan model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, didapatkan hasil bahwa dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787% dan peningkatan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK pada kota-kota di Papua hampir sama tetapi kenaikan IHK kota Jayapura dan Manokwari sedikit lebih lambat daripada kota Sorong. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian memiliki nilai-nilai parameter yang hampir sama dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode bootstrap sehingga hubungan jangka panjang yang dibentuk dari model koreksi kesalahan yang diperoleh dari kedua metode tersebut memiliki koefisien yang hampir sama.

DAFTAR PUSTAKA

[1] M. F. R. Donggori, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Model Koreksi Kesalahan pada Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen Kota-kota di Papua,” Jurnal de Cartesian, vol.3, no. 1, pp. 81-88, 2014.

[2] D. Puspaningrum, Desy. Penerapan Metode Bayesian untuk Mengestimasi Parameter pada Model Regresi Linier Sederhana. FSM, Universitas Kristen Satya Wacana, 2008.

[3] V. Mutiarani, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Estimasi Parameter dan Interval Kredibel dengan Model Regresi Linier Berganda Bayesian”, Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan 2012 (SENDIKMAD 2012) Universitas Ahmad Dahlan, 2012.

[4] S. Evans, Bayesian Regression Analysis. Faculty of The College of Arts and Sciences, University of Louisville, 2012.

[5] D. B. Rowe, Multivariate Bayesian Statistics : Models for Source Separation and Signal Unmixing. CRC press, 2002.

[6] T. Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. 2003.

[7] R. Jennings, M. Wakeman-Linn, and Xin Zhao, Multivariate Normal Distribution,

2010. [Online] Available :

http://www.colorado.edu/economics/morey/7 818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal /Multivariate%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf.

[8] D. A. I. Maruddani, Y. Wilandari, dan D. Safitri, “Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Indonesia Pasca Krisis Moneter : Suatu Pendekatan Koreksi Kesalahan (Model Koreksi Kesalahan),” Jurnal Sains & Matematika, vol. 15, no. 1, pp. 19-24, 2007. [9] A. Widarjono, Ekonometrika : Pengantar dan Aplikasinya. Ekonisia, 2009.

Prior bersyarat β| 2 berdistribusi )

, (μ₀ 2Λ₀1

N

dengan g g g3(0)T

) 0 ( 2 ) 0 ( 1

0 , ,

μ 0,0,0T,

I

Λ0 dan memiliki kepadatan prior bersyarat : ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) | ( 0 0 0 2 2 / 2 2 μ β Λ μ β β T k p

sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :

2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2 2 2 ) 0 ( 1 1 2 2 / 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) | ( k p β

Posterior diparameterisasi sebagai berikut : ) , | ( ) , , | ( , |

, 2 y X β 2 y X 2 y X

β p p

p

dengan kedua faktor sesuai dengan

kepadatan dari distribusi

) ) (

,

( 0 1

2 _Λ

X XT n

N dan

Invers-Gamma (a_n,b_n) dengan parameternya diberikan oleh: I Λ μ Λ y X Λ X X μ μ Λ μ μ Λ μ y y 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 T T n n n T n T T n n b b v n a

serta digunakan v₀ 1 , n 52 dan XTX

berdimensi

3

3

sehingga Λ₀ berdimensi

3

3

yaitu I₃₃.

METODE PENELITIAN

Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari pada bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013 yang diperoleh dari website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya menerapkan metode Bayesian pada model koreksi kesalahan data IHK kota-kota di Papua untuk memperoleh taksiran parameternya. Taksiran parameter diperoleh melalui beberapa tahap penghitungan, yaitu menentukan fungsi likelihood, distribusi prior konjugat, distribusi posterior dan kemudian mengestimasi parameter. Pengolahan data dilakukan setelah taksiran parameter diperoleh.

Langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut :

1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior ) , | ( ) , , | ( , |

, 2 y X β 2 y X 2 y X

β p p

p

dengan p( 2 |y,X)~

Invers-Gamma (a_n,b_n) dan

~ ) , , |

(β 2 y X

p N( _n, 2(XTX Λ₀) 1)

yaitu Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter

3 2 1,g ,g

g .

2. Taksiran g₁,g₂,g₃ diperoleh dengan mencari nilai rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler setelah memotong nilai Gibbs sampler dari 500 iterasi pertama. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut,

dihasilkan fungsi densitas untuk g₁,g₂,g₃

berdistribusi normal.

Untuk melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3.

PENGEMBANGAN MODEL KOREKSI KESALAHAN

Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) berpengaruh terhadap IHK kota Manokwari (MAN) dan IHK kota Sorong (SRG), melalui uji akar unit didapatkan data

JPR, MAN dan SRG tidak stasioner namun stasioner pada tingkat diferensi pertama. Dengan demikian JPR, MAN dan SRG

terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antara ketiganya.

Uji kointegrasi dapat dilakukan dengan membentuk persamaan :

t t t

t MAN SRG e

JPR 0 1 2 (16)

selanjutnya persamaan ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut :

t t

t

t JPR MAN SRG

e 0 1 2 (17)

variabel gangguan e_t dalam hal ini merupakan kombinasi linier. Jika variabel gangguan e_t stasioner atau I(0) maka antar variabelnya terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang. Dari uji kointegrasi didapatkan nilai-p

residual sebesar 0,0017, lebih kecil dari tingkat signifikansi 0,05 sehingga antar

variabel terbukti terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antar IHK ketiga kota tersebut. Selanjutnya dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi sebagai berikut :

1 3

2 1

0 t t t

t g g MAN g SRG g MAN JPR

t t t g EC e SRG

g_{4 1 5 1} (18)

dengan

, 1 1

1

1 t t t

t MAN SRG JPR

EC

JPR= IHK kota Jayapura, MAN = IHK kota Manokwari dan SRG = IHK kota Sorong. Hubungan jangka panjang dari model pada persamaan (18) :

t t

t h h MAN h SRG

JPR 0 1 2 (19)

dengan h0 g0 g5,h1 g3 g5 g5, dan 5

5 4

2 g g g

h

Tabel 1. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota

Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p C 6.4047 3.5223 1.8183 0.0755 D(MAN) 0.3645 0.1307 2.7885 0.0077 D(SRG) -0.1197 0.1350 -0.8866 0.3799 MAN(-1) -0.0667 0.0890 -0.7501 0.4570 SRG(-1) -0.4415 0.1414 -3.1217 0.0031 ECT07 0.4192 0.1145 3.6612 0.0006

Pada Tabel 1, koefisien koreksi kesalahan (ECT07) bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai-p untuk variabel D(SRG)

dan MAN( 1) lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05 sehingga kedua variabel tersebut secara statistik dikatakan tidak signifikan. Maka model koreksi kesalahan dikoreksi kembali dan didapatkan hasil estimasi model koreksi kesalahan tersebut yang ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota

Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p D(MAN) 0.3167 0.1203 2.6330 0.0113 SRG(-1) -0.3397 0.1074 -3.1634 0.0027 ECT07 0.3089 0.0970 3.1821 0.0025

Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1 3089

. 0

3397 . 0 3167

. 0

t

t t

t

EC

SRG MAN

JPR

dan memiliki hubungan jangka panjang :

t

t SRG

JPR 0.0998

Dengan cara yang sama, dilakukan estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan Sorong. Hasil estimasi ditampilkan pada

Tabel 3. Sedangkan hasil estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Jayapura dan kota Manokwari ditampilkan pada Tabel 4. Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1 2241

. 0

2301 . 0 3785

. 0

t

t t

t

EC

JPR SRG

MAN

dan memiliki hubungan jangka panjang : t

t SRG

MAN 0.0269

Sedangkan model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

1 1730

. 0

1637 . 0 3466

. 0

t

t t

t

EC

JPR MAN

SRG

dan memiliki hubungan jangka panjang : t

t JPR

SRG 0.0541

Tabel 3. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota

Jayapura dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p D(SRG) 0.3785 0.1391 2.7206 0.0090

JPR(-1) -0.2301 0.0885 -2.5985 0.0123 ECT08 0.2241 0.0852 2.6286 0.0114 Tabel 4. Hasil estimasi model koreksi kesalahan

data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Manokwari dan kota Jayapura

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p D(MAN) 0.3466 0.1274 2.7206 0.0090

JPR(-1) -0.1637 0.0806 -2.0311 0.0477 ECT09 0.1730 0.0835 2.0710 0.0436 HASIL DAN DISKUSI

Pada Gambar 1, 2, dan 3 ditampilkan diagram pencar data Indeks Harga Konsumen (IHK) kota Jayapura, Sorong dan Manokwari. Dari ketiga gambar tersebut, terlihat sebaran data cenderung membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan hubungan diantara variabel bebas dan variabel terikatnya merupakan hubungan linier. Karena data memiliki hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya.

Gambar 1. Diagram pencar data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x

(kanan)

Gambar 2. Diagram pencar data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu

x (kiri) dan data IHK kota Sorong pada pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kanan)

Gambar 3. Diagram pencar data IHK kota Sorong pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x

(kiri) dan data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kanan)

Model koreksi kesalahan yang digunakan dalam makalah ini adalah model regresi berganda tanpa intersep dan dinyatakan dalam persamaan berikut :

t t t

t

t g MAN g MAN g EC

JPR _{1 2 1 3 1}

untuk t 1,2,,n dengan

JPR

IHK kota Jayapura,

MAN

IHK kota Manokwari dan

EC

variabel koreksi kesalahan.

Dengan asumsi parameter berdistribusi normal, untuk mendapatkan estimasi parameter gˆ g₁,g₂,g₃ dengan metode Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Dipilih nilai awal g₁(0) 0, g₂(0) 0 dan g3(0) 0 . Agar tidak mengacaukan hasil estimasi, dilakukan pemotongan (burn in) 500 iterasi pertama (yang terdapat nilai awal) sehingga didapatkan hasil estimasi pada Tabel 5. Rantai Markov untuk taksiran parameter

2 1

,

g

g

dang₃ ditampilkan dalam Gambar 4.

Gambar 4 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter

g

₁

,

g

₂ dan g₃ yaitu berturut-turut sebesar 0.3006, -0.0313 dan 0.3039. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut didapatkan fungsi densitas pada Gambar 5.

Tabel 5. Distribusi statistik model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura dan IHK kota

Manokwari dengan metode Bayesian.

node g1 g2 g3

mean 0.3006 -0.0313 0.3039

Sd 0.1211 0.0114 0.1035

MC error 0.0037 0.0012 0.0111

2.5% 0.0582 -0.0554 0.1192

median 0.3013 -0.0301 0.2938

97.5% 0.5364 -0.0109 0.5208

start 501 501 501

Gambar 4. Rantai Markov untuk taksiran parameter g1, g2, dan g3.

Gambar 5. Fungsi densitas parameter g1, g2, g3.

Dengan parameter

g

1

,

g

2 dan g3 yang diperoleh menggunakan metode Bayesian, dibentuk model koreksi kesalahan yang baru. Model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari dituliskan dalam persamaan berikut :

. 3039 . 0

0313 . 0 3006

. 0

1

1

t

t t

t

EC

MAN MAN

JPR

Dari persamaan di atas, dibentuk hubungan jangka panjangnya untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari sebagai berikut :

. 8970

.

0 _t

t MAN

JPR

Dari persamaan di atas berarti bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8970%. Dengan cara yang sama, dilakukan

perhitungan untuk memperoleh taksiran parameter untuk model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain. Model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain ditampilkan dalam Tabel 6. Pada Tabel 6 ditunjukkan bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766% dan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787%. Sedangkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari dan kota Sorong berturut-turut sebesar 1.135% dan 1.2024%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK kota-kota di Papua hampir sama tetapi tingkat kenaikan IHK kota Jayapura dan kota Manokwari sedikit lebih lambat dibanding dengan tingkat kenaikan IHK kota Sorong.

Tabel 6. Model Koreksi Kesalahan IHK Kota-Kota di Papua dengan metode Bayesian

No. Model Koreksi Kesalahan Hubungan Jangka

Panjang 1

1 1 0.3039 0313

. 0 3006

.

0 _{t t t}

t MAN MAN EC

JPR JPR_t 0.8970MAN_t

2 MAN_t 0.3735 JPR_t 0.0285 JPR_{t 1} 0.2111EC_t1 MAN_t 1.1350JPR_t 3

1 1 0.2271 0053

. 0 3751

.

0 _{t t t}

t SRG SRG EC

MAN MANt 0.9766 SRGt

4

1 1 0.1650 0080

. 0 3437

.

0 _{t t t}

t MAN MAN EC

SRG SRGt 1.0484 MANt

5

1 0973 . 0 0197

.

0 _{t t}

t JPR EC

SRG SRG_t 1.2024 JPR_t

6

1 1715 . 0 0208

.

0 _{t t}

t SRG EC

JPR JPRt 0.8787SRGt

Tabel 7. Hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode kuadarat

terkecil, metode Bootstrap dan metode Bayesian.

Metode Kuadrat Terkecil Metode Bootstrap Metode Bayesian t

t MAN

JPR 0.8966 JPR_t 0.8972 MAN_t JPR_t 0.8970 MAN_t t

t SRG

JPR 0.8788 JPR_t 0.8793SRG_t JPR_t 0.8787 SRG_t t

t JPR

MAN 1.1335 MAN_t 1.1328 JPR_t MAN_t 1.1350 JPR_t t

t SRG

MAN 0.9763 MAN_t 0.9765 SRG_t MAN_t 0.9766 SRG_t t

t MAN

SRG 1.0484 SRG_t 1.0485 MAN_t SRG_t 1.0484 MAN_t t

t JPR

SRG 1.1993 SRG_t 1.1958JPR_t SRG_t 1.2024 JPR_t

Gambar 6. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Jayapura dan Manokwari (kiri: model 1, kanan : model 2)

Gambar 7. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Sorong dan Manokwari (kiri : model 3, kanan : model 4)

model 6)

Perbandingan hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode Bootstrap dan metode kuadrat terkecil ditampilkan pada Tabel 7. Dari Tabel 7 dapat dilihat bahwa hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode kuadrat terkecil dan dengan metode Bootstrap memiliki koefisien yang relatif hampir sama. Diagram pencar dan persamaan garis regresi hubungan jangka panjang pada Tabel 6

ditampilkan pada Gambar 6, 7, dan 8. Sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus dan membentuk hubungan linier.

KESIMPULAN

Dalam makalah ini telah dijelaskan mengenai model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi parameter dengan metode Bayesian menghasilkan rata-rata posterior yang hampir sama dengan estimasi parameter dengan metode bootstrap. Dari analisis data IHK menggunakan model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, didapatkan hasil bahwa dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787% dan peningkatan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK pada kota-kota di Papua hampir sama tetapi kenaikan IHK kota Jayapura dan Manokwari sedikit lebih lambat daripada kota Sorong. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian memiliki nilai-nilai parameter yang hampir sama dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode bootstrap sehingga hubungan jangka panjang yang dibentuk dari model koreksi kesalahan yang diperoleh dari kedua metode tersebut memiliki koefisien yang hampir sama.

DAFTAR PUSTAKA

[1] M. F. R. Donggori, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Model Koreksi Kesalahan pada Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen Kota-kota di Papua,” Jurnal de Cartesian, vol.3, no. 1, pp. 81-88, 2014.

[2] D. Puspaningrum, Desy. Penerapan

Metode Bayesian untuk Mengestimasi

Parameter pada Model Regresi Linier Sederhana. FSM, Universitas Kristen Satya Wacana, 2008.

[3] V. Mutiarani, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Estimasi Parameter dan Interval Kredibel dengan Model Regresi Linier Berganda Bayesian”, Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan 2012 (SENDIKMAD 2012) Universitas Ahmad Dahlan, 2012.

[4] S. Evans, Bayesian Regression Analysis. Faculty of The College of Arts and Sciences, University of Louisville, 2012.

[5] D. B. Rowe, Multivariate Bayesian Statistics : Models for Source Separation and Signal Unmixing. CRC press, 2002.

[6] T. Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. 2003.

[7] R. Jennings, M. Wakeman-Linn, and Xin Zhao, Multivariate Normal Distribution,

2010. [Online] Available :

http://www.colorado.edu/economics/morey/7 818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal /Multivariate%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf.

[8] D. A. I. Maruddani, Y. Wilandari, dan D. Safitri, “Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Indonesia Pasca Krisis Moneter : Suatu Pendekatan Koreksi Kesalahan (Model Koreksi Kesalahan),” Jurnal Sains & Matematika, vol. 15, no. 1, pp. 19-24, 2007. [9] A. Widarjono, Ekonometrika : Pengantar dan Aplikasinya. Ekonisia, 2009.