SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATENKOTA 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2003

  SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2003 Prestasi itu diraih bukan didapat !!!

SOLUSI SOAL

  Bidang Matematika Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST

BAGIAN PERTAMA

  1. (Jawaban : C)

  8

  4

  32

  32

  2

  2

  2 ( )

  1

  ∴

  = = =

  2

  16

  32

  8

  4

  2

  4 ( )

  2. (Jawaban : B) Ingkaran dari : paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong adalah : ∴ Kedua-duanya pernah berbohong

  3. (Jawaban : C)

  44

  44

  44

  22

  44

  22

  22

  44

  22

  3

  7

  44

  29

  44

  44 = 4 = 16 = 8 = 8 ) = 8 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ 2 ⋅ 11

44 Karena 8 tidak membagi (2 ) , maka :

  ⋅ 11 = 29

  ∴ n

  maks

  4. (Jawaban : A) Dasar teori :

  2 Jika x < 0 maka x > x

  2 Jika 0 < x < 1 maka x < x

  2 Jika x > 1 maka x > x

A. Benar

  2 B. Salah karena jika x > 0 dimungkinkan x < 0 atau x > 0

  2 C. Salah. x > x

  Æ x (x −1) > 0 maka x < 0 atau x > 1

  2 D. Salah karena jika x > x dimungkinkan x < 0 atau x > 1

  2 E. Salah karena untuk x < 0 maka x > x

  2

  > x ∴ Pernyataan yang benar adalah : jika x < 0 maka x

  5. (Jawaban : A)

  3

  3

  2

  2

  (a ) = (a +ab + b ) − b −b)(a _{3 2}

  ⎛ ⎞ _{3 3 3}

  1 _{3 3 ⎛ ⎞}

  1 _{2 ⎛ ⎞}

  1

  1

  − ⎛ ⎞ −

  ⎜ ⎟ Æ

  a a a a − a = a − a a ⋅

• − = −

  ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟

  a a a a

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  1

  1

  3

  2 −

  1

  ∴

  a a a a − = − + +

  3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ a a

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  6. (Jawaban : D) Kecepatan makan untuk 1 ekor kambing, v = 1 lap. bola/ 5 hari / 5 kambing.

  k

  V = 1/5 lap bola/hari/kambing

  k

  Banyaknya rumput yang dimakan, n dirumuskan dengan :

  r

  N = v ⋅ n ⋅ n

  r k hari kambing

  3 = 1/5 ⋅ n ⋅ 3

  hari

  ∴ n = 5 hari

  hari

  7. (Jawaban : D) (x + y) $ (x

  − y) = (x + y) (x − y) − (x + y) + (x− y)

  2

  2

  ∴ (x + y) $ (x − y) = x − y − 2y 8. (Jawaban : ?)

  1 Karena b > 0 maka sehingga a > 6 1 < ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

  6 a

  1

  1

  1 a b

• 1
• Æ

  = =

  6

  6 a b ab

  ab = 6a + 6b Æ a (b − 6) = 6b

  6

  6

  6

  36 b b

  ( − ) + a Æ a

  = =

  6

  6 b b

  − −

  36

  a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) =

• 6

  6 b

  −

  Karena a > 6 maka (b − 6) > 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

  Karena a bilangan bulat maka (b −6) adalah faktor dari 36 dan karena (b − 6) > 0 maka nilai (b − 6) yang memenuhi adalah 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 atau 36.

  Untuk b b b b b − 6 = 1 − 6 = 2 − 6 = 3 − 6 = 4 − 6 = 6 b = 7 b = 8 b = 9 b = 10 b = 12 a = 42 a = 24 a = 18 a = 15 a = 12 b b b b

  − 6 = 9 − 6 = 12 − 6 = 18 − 6 = 36 b = 15 b = 18 b = 24 b = 42 a = 10 a = 9 a = 8 a = 7

  Pasangan bilangan bulat (a,b) yang memenuhi adalah : { (7,42) ; (8,24) ; (9,18) ; (10,15) ; (12,12) ; (15,10) ; (18,9) ; (24,8) ; (42,7) } ∴ Maka banyaknya pasangan (a,b) yang memenuhi adalah 9

  9. (Jawaban : C)

  2

  6x = x + a

  2

  x −6x + a = 0

  2 Disk = 6

  − 4(1)(a) = 36 − 4a

  2 Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x + a di satu titik adalah Disk = 0

  36 − 4a = 0

  ∴ a = 9 10. (Jawaban : B)

  Misal bilangan selanjutny adalah ABCD, maka A = 2 karena 1 + 9 + 9 + 9 ≠ 27. B + C + D = 25 Karena diinginkan B sekecil-kecilnya, maka (C + D) harus sebesar-besarnya dan karena B

  ≤ 9; C = 18 sehingga B = 25 ≤ 9 dan D ≤ 9 maka (C + D) − 18 = 7.

  maks min

  Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 adalah 2799 ∴ Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 terjadi di antara tahun 2701 dan 2900

  11.

  ∠C = 3∠A dan ∠B = 2∠A

  o o o o

  ∠A + ∠B + ∠C = 180 Æ ∠A + 2∠A + 3∠A = 180 Æ ∠A = 30 Æ ∠C = 90

AB BC

  = sin C sin A ∠ ∠

  90 AB sin °

  2

  ∴

  = =

  30 BC sin °

12. Misal kecepatan Bando mengecat v = 1 pagar / 3 jam = 1/3 pagar/jam

  o

  Kecepatan Bandi mengecat v = 1 pagar / 4 jam = 1/4 pagar/jam

  i

  t adalah lamanya waktu Bando dan Bandi mengecat bersama (dalam jam)

  1 Maka banyaknya pagar yang dicat oleh mereka n adalah : p1

  n = v ⋅t + v ⋅t

  p1 o

  1

  1

  1

  1

  1

  7

  1 =

  1 1 =

• n t t t

  1 p

  3

  4

  12

  t adalah lamanya waktu Bando mengecat pagar sendirian setelah pertengkaran (dalam jam)

  2

  n = v ⋅t

  p2 o

  2

  1 n t

  2 =

  2 p

  3

  29

  t adalah waktu dari 12.00 sampai 14.25 = jam Æ t

  total total

  12

1 Lama pertengkaran 10 menit atau jam

  6

  t = t + lama pertengkaran + t

  total

  1

  2

  29

  1 t t

  =

  2

  12

  6

  1 + +

  9

  9

  1 2 = 2 = −

• t t Æ t t

  1

  4

  4

  7

  1

  1 n n t t p 1 p + + 2 = =

  1

  2

  12

  3

  7

  1

  9 ⎛ ⎞

  t t = 1 −

• 1

  1 ⎜⎜ ⎟⎟

  12

  3

  4 ⎝ ⎠

  12 = 7t + 9 − 4t Æ t = 1 jam

  1

  1

1 Maka pertengkaran dimulai 1 jam setelah pukul 12.00

  ∴ Pertengkaran dimulai pukul 13.00

  2002 2003 2002 2002

13. N = 2 ⋅ 5 = 5 ⋅ (2⋅5) = 5 ⋅ 10

  N = 500000 ⋅⋅⋅⋅⋅ ( Sebuah bilangan yang terdiri dari 2003 digit dengan digit pertama 5 diikuti digit 0 sebanyak 2002 kali) ∴ Jumlah digit N = 5 + 0 + 0 + 0 + ⋅⋅⋅ = 5

  8

  8

  4

14. Misal P = x + y ; maka P < 10000

  Æ P &lt; 10

  8

  8

  8

  

4

  8

  4 Karena x &gt; 0 dan y &gt; 0 maka x &lt; 10 dan y &lt; 10

  2

  2

  x &lt; 10 y &lt; 10 Maka x = 1; 2; atau 3 dan y = 1; 2; atau 3

  8

  8 Untuk x = 1 dan y = 1 maka P = 1 + 1 = 2 &lt; 10000 (memenuhi)

  8

  8 Untuk x = 1 dan y = 2 atau x = 2 dan y = 1 maka P = 1 + 2 = 257 &lt; 10000 (memenuhi)

  8

  8 Untuk x = 1 dan y = 3 atau x = 3 dan y = 1 maka P = 1 + 3 = 6562 &lt; 10000 (memenuhi)

  8

  8 Untuk x = 2 dan y = 2 maka P = 2 + 2 = 512 &lt; 10000 (memenuhi)

  8

  8 Untuk x = 2 dan y = 3 atau x = 3 dan y = 2 maka P = 2 + 3 = 6817 &lt; 10000 (memenuhi)

  8

  8 Untuk x = 3 dan y = 3 maka P = 3 + 3 = 13122 &gt; 10000 (tidak memenuhi)

  Maka nilai P yang memenuhi adalah 2; 257; 6562; 512; 6817

  8

  8

  ∴ Banyaknya nilai yang berbentuk x + y dengan x, y bilangan bulat adalah 5

  15. Misal a − b = 8. Kemungkinan 2 nilai yang berselisih 8 adalah : 20 − 12 18 − 10 16 − 8 14 − 6 12 − 4 10 − 2 19 − 11 17 − 9 15 − 7 13 − 5 11 − 3 9 − 1 Bilangan 9; 10; 11; 12 berperan 2 baik sebagai a maupun b.

  Jika kedelapan bilangan berikut :

  a. 9

  c. 11

  e. 5 atau 13

  g. 7 atau 15

  b. 10

  d. 12

  f. 6 atau 14

  h. 8 atau 16 tidak termasuk dalam n , maka tidak akan ada 2 unsur dari n yang berselisih 8. Maka untuk

  unsur unsur n = 20 − 8, masih dimungkinkan tidak ada 2 unsur dari n yang berselisih 8. unsur

  ∴ n = 13

  minimal 16. Dibuat garis EF tegak lurus AB maupun CD serta melalui titik P.

  Karena ∠CPD = ∠APB dan AB sejajar dengan CD, maka ∆APB sebangun dengan ∆CPD.

EP CD

  3 12 = = =

4 PF AB

  1 PF EP ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) = ⋅

3 EP + PF = 4

  1

  4 EP EP = ⋅ +

  3

  ∴ EP = 3 satuan

  a

• 10

  a a b a b

• 10

  2

  2 17.

  Æ =

  =

  b b a b a

• 10
• 1

  10 b

  a x

• 10

  2

2 Misal , maka + 19x

  x x Æ x + 10 = 2 − 10x = = −

  10 b x

• 1

  4

  2

  5x − 9x − 4 =0 Æ (5x − 4) (x − 1) = 0 Æ x = 1 atau x

  =

  5

  4 a

  ∴ Karena a ≠ b, maka x ≠ 1 maka

  =

  5 b

  18. 1 &lt; p &lt; 100 Dari pernyataan selanjutnya, maka : P = 1 + 5x dengan x adalah bilangan bulat.

  1 &lt; 1 + 5x &lt; 100 Æ 0 &lt; 5x &lt; 99 0 &lt; x &lt; 20

  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) p = 6y − 1 dengan y adalah bilangan bulat. 1 &lt; 6y

  − 1 &lt; 100 Æ 2 &lt; 6y &lt; 101 0 &lt; y &lt; 17 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 1 + 5x = 6y

  − 1 5x = 2(3y

  − 1) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3) 3y

  − 1 = 5t dan x = 2t dengan t adalah bilangan bulat

  3

  1 y

  −

  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)

  t =

5 Karena t adalah bilangan bulat, maka 5 membagi (3y − 1) sehingga (3y − 1) adalah bilangan dengan angka satuan 0 atau 5. Maka y harus suatu bilangan dengan angka satuan 2 atau 7.

  Karena 0 &lt; y &lt; 17, maka y = 2 atau 7 atau 12.

  Jika y = 2 maka p = 6(2) − 1 = 11 (bilangan pima) Jika y = 7 maka p = 6(7) − 1 = 41 (bilangan pima) Jika y = 12 maka p = 6(12) − 1 = 71 (bilangan pima)

  ∴ Maka jumlah seluruh bilangan prima = 11 + 41 + 71 = 123

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  3

  2

  4 3 1001 1000 1001 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  19.

  a b L − = − − − − −

• ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  3

  3

  5

  5

  7 7 2001 2001 2003 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  2

2 Mengingat (x ) = (x + y) (x

  − y − y), maka persamaan di atas menjadi :

  2 1001

  1

  1

  1

  1

• 2003

  1 ( ) ( ) ( ) ( ) a b L − = −

  2 1001 1001

  1 a − b = ⋅ − 2003

  1001 2003 1001 ⋅ − ( ) a b

  − = 2003 1001 1002 ⋅ a b

  − = 2003 1002

  dengan mengingat 2003

  a b ≈ 2 ⋅ 1001 − ≈

  2

  ∴ a − b ≈ 501

  20. Dari soal diketahui bahwa DE = 8 dan EF = 2 √2

  OA = OB = 2

  1

  1

  2

  2

  2 OC EF = ⋅ = ⋅ =

  2

  2

  2 OC cos α = =

  2 OA o o

  α = 45 Æ ∠AOB = 90

  90

  1

  2

  2 °

  2 Luas juring OAB = = r π

  ⋅ π = ⋅ π ( )

  360

  4

  1

  1

  

2

  2

  = 2 ∆OAB = OA OB sin AOB sin

  90 Luas

  ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ °

  2

  2 Luas tembereng AB = Luas juring OAB

  − Luas ∆OAB = π − 2 Luas arsir = Luas lingkaran

  − 2 ⋅ Luas tembereng AB

  2 Luas arsir =

  π (r) − 2 ⋅ (π − 2) Luas arsir = 4

  π − 2π + 4 ∴ Luas arsir = 2π + 4