View of HUBUNGAN MATRIKS AB DAN BA PADA STRUKTUR JORDAN NILPOTEN

  

HUBUNGAN MATRIKS AB DAN BA PADA STRUKTUR JORDAN NILPOTEN

Sondang Purnamasari Pakpahan (sondang@upbjj-ut.ac.id)

UPBJJ-UT Medan

  

Elvina Herawaty

FMIPA Matematika Universitas Sumatera Utara

_ABSTRACT

In this paper, we give another proof about the relationship between AB and BA with eigenvalue zero that reduced by structure Jordan for nilpoten matrix Keywords : eigenvalue, nilpotent matrix, structure Jordan

  Perkalian dua matriks kuadrat AB dan BA tidak selalu komutatif, tetapi bukan berarti AB

dan BA tidak mempunyai hubungan satu dengan yang lainnya. Salah satu hubungan yang diperoleh

melalui trace (AB) = trace(BA)

  Hubungan matriks AB dan BA yang lain diperlihatkan oleh Flander (1951), melalui struktur Jordan AB dan BA sebagai berikut:

  1. Untuk nilai eigen tak nol, struktur Jordan AB sama dengan struktur Jordan BA ...

  1 ...

2. Untuk nilai eigen nol jika m  m   m  dan m  m   m  m ukuran-

  _{1 2 q 1 2 q} ukuran blok Jordan AB dan ...

  1 dengan ... ukuran-

  n  n   n  n  n   n  n _{1 2 p 1 2 p} ukuran blok Jordan BA, maka

  1 ; yaitu struktur Jordan keduanya akan naik sebesar

  n  m  _{i i} satu atau relatif sama.

  

Hubungan matrik AB dan BA juga diperlihatkan Flander (1951) dengan menggunakan

konsep pembagi nol atas lapangan secara umum, yang relatif abstrak. Thomson (1968)

membuktikan pernyataan Flander dengan menggunakan konsep rank dan Parker dan Mitchell (1952)

membuktikannya dengan menggunakan konsep variansi, tetapi keduanya tidak memberikan bukti yang transparan.

  Dalam teori matriks, struktur Jordan dari suatu matriks nilpoten mempunyai bentuk yang khas, yaitu blok-blok Jordannya berbentuk matriks nilpoten dengan entri satu pada superdiagonal dan entri nol pada posisi lainnya, dan matriks nilpoten mempunyai nilai eigen nol (Horn & Johnson, 1985).

  Melihat pernyataan yang diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) untuk matrik nilpoten, maka timbul pertanyaan, apakah pernyataan Flender (1951) yang kedua dapat dibuktikan tanpa menggunakan konsep pembagi nol dan lebih transparan?

  Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 9, Nomor 1, Maret 2009, 1-5 Tulisan ini membahas cara pembuktian yang berbeda tentang hubungan struktur Jordan _{KONSEP DASAR} antara perkalian matriks AB dan BA hanya pada matriks nilpoten.

  Struktur Jordan untuk matriks nilpoten diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) sebagai berikut :

Setiap matriks nilpoten L berindeks k similar ke bentuk matriks dengan blok- blok diagonal N =

_{n x n}

  , , ...,

  diag J J J , yaitu ada matriks invertible P sehingga berlaku  n ^{1 n 2 np } 1 ...

   

  J

      _{n 1} 1 ...

      _{ 1} J _{n 2}    

  : : :

  P A P  N  dengan setiap blok J  _{n i}

      ...

  1    

  J _n

   p   

    ...

    dan dengan .

  n  n  ...  n  _{1 2 p} 1 n  n  ...  n  n _{1 2 p} Dalam hal ini berlaku :

  1. Jumlah blok di N sebanyak n = dim N(L) _p

  2. Ukuran blok Jordan terbesar di N adalah k x k _i

  3. Jumlah blok yang berukuran i x i di ditentukan oleh r + r dengan r = rank ( L ) _{i-1 i i+1 i}

• – 2r Contoh : Diberikan matriks L sebagai berikut

  1 1 

  2

  1 1 

  1    

  3

  1

  5 1 

  1

  3    

   2  1 

  1  

  2

  1

  1    

   5  3  1  1  1 

  1  

   3  2  1  1 

  1  

  Banyaknya blok N adalah dim N (L) = 6 – rank ( L) = 3. _{2 3} Dengan r = rank ( L ) = 3 r = rank ( L ) = 1 dan r = rank ( L ) = 0. _{1 2 3} Banyak blok berukuran 3 x 3 = r + r = 1, blok berukuran 2 x 2 = r + r = 1, banyak blok _{2 – 2r 3 4 1 – 2r 2 3} berukuran 1 x 1 = r ^{1 + r 2 = 0.}

• – 2r

• – 1

   D ¹ X J J _{p n} ⁿ dan dipilih keberadaan P =

  X P P A P

  I P

  X L

  I P P D P _{p n} ⁿ _{k k} (*) Karena D berupa matriks nilpoten berarti similar kebentuk matriks blok Jordan, yaitu ada matriks invertible Q sehingga Q ^-1 D Q =

      

       _{mq m}

  J J ₁ (**) Dengan

  1 ...    

  m m m , m m m m

      ...

  Agar (*) dan (**) mempunyai bentuk yang sama diperlukan pengertian berikut 1) Jika bentuk D sebagai berikut      

       

       

     

       

   

  k ^{p n n}

  I W W J J _{p 1 1 d engan} ^T i ^{n i}

  X J W _i

  

  . Dalam hal ini jelas P invertibel dan berlaku

       

       

   

  

   ^{1 1 1} _{p n} ⁿ Y Y J J DP P _p dengan Y _i = X _{i } ^T _{n n i i}

     ^{    } ) ' ( ^{1 1 1 1 1 1} X P J J

     

  Pakpahan, Hubungan Matriks AB dan BA Pada Struktur Jordan Nilpoten Oleh karena itu blok Jordan dari L adalah N =

     _{kxk kxn} ^{nxk nxn}

          

          

  1

  1

  1 Dari matriks nilpoten L _{n x n} berindeks k similar ke bentuk matriks dengan blok- blok diagonal

  N = diag (   ^{np n n}

  J J J

  ..., , , _{2 1}

  untuk 1 ... _{2 1}     _p n n n

  , n n n n _p     ... _{2 1} diperoleh matriks invertible P. Kemudian dibuat matrik P ¹ _mxm untuk m = n + k sebagai berikut

    

    

  I P

     

  I P P ¹ Dalam hal ini matriks ¹ P juga invertible dengan ( ¹ P )

  =

    

    

   _{kxk kxn nxk nxn}

  I P ) ( ¹ .

  Jika diberikan

    

    

   _{kxk kxn} ^{mxk nxn}

  X L D , maka      

       

     

  J J

  Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 9, Nomor 1, Maret 2009, 1-5 Karena ₁

   

  X J dan M _i merupakan submatriks dari M setelah proses pengeliminasian.

  Jika X _ij = [ 0, 0, ... , 1 ] ^t dan ₁ J J _{j m}

  

  maka _i ⁱ _j ⁱⁱ _n ⁿ _m ^{j i n} J J J J

  

X J

_{1 1 1}

  1

  

    

   

    

  Jika X _ij = [ 0, 0, ... , 0 ] ^t maka _{1 1} J J J

    _{j ii m j i n}

  X J _{i j ii n j i n}

     

   

  . Artinya jika

      

      

     

    _{1 1} M

  J

  X J M J

  J

   

    _{ i i i n} ^T _{n n}

  Buat matriks M sebagai berikut

  I J J maka setiap blok n

_i

dari matriks P ^-1 DP mempunyai (n _{i – 1) baris} pertama bernilai nol dan pada baris ke-n _i entrinya sama seperti x _i .

  2) Pada langkah ini setiap blok n _i ambil entri pada baris ke- i, kemudian bentuk matriks R , yang berarti berukuran p x k.

  Matriks

       

       

   _{pk p p} ^{k k}

  x x x x x x x x x R

  ...

  : : : ... ...

  2 ^{1 2 22 21 1 12 11} Pada matriks R ini dilakukan reduksi baris tanpa melakukan pertukaran baris dan kemudian reduksi kolom, sehingga diperoleh matriks R ‘ yang berbentuk 0-1 dengan 1 muncul paling banyak satu pada setiap baris dan kolom.

              

  a) menghapus blok baris ke-i dari sebelah atas dan blok kolom ke-i dari sebelah kiri b) menghapus blok baris ke-j dari sebelah bawah dan blok kolom ke-j dari sebelah kanan. Maka dari blok entri yang dihapus diperoleh matriks

              

  

  q ^{p m m m pq p q q n n n} J J J

  

X

X

  X X

  X X J J J M

   

     

  

  2 ^{1 2 1 1 2 21 1 11} 3) Pada matriks M dilakukan

  X J _j ⁱ _{j ii m} ^{j i n} _{m j i n} maka M similar secara permutasi dengan

  Pakpahan, Hubungan Matriks AB dan BA Pada Struktur Jordan Nilpoten

   J _{n i j i} X   

  J

   m  _j  

  M ₁

   

  Dari 3 langkah observasi dapat dibuat lemma berikut Lemma : Jika A matriks nilopoten n x n dengan blok Jordan ...

  1 untuk

  n  n   n  _{1 2 p} L

  X

    ... dan matriks D = nilpoten berukuran m x m dengan blok-blok

  n  n   n  n _{1 2 p}

    Jordan ... 1 untuk ... maka q p dan 1) Blok m = 1

  

m  m   m  m  m   m  m  i

_{1 2 q 1 2 q} untuk 2) untuk i p 1  i  q m n

  1    = 1, 2, … , p _{i i}

  Untuk memperlihatkan hubungan struktur Jordan matriks AB yang berukuran m x m dengan struktur Jordan BA yang berukuran n x n cukup diasumsikan

  I B B

      _{11 12} A  dan B  yang dibawa kebentuk blok matriks yang bersesuaian.

  B B _{21 22}

     

  B B B

      _{11 12 11} diperoleh AB  dan BA  .

  O B ₂₁

     

  B B

    _{11 12} Untuk AB  dengan det (AB -  I) = 0 memberikan nilai eigen   atau   .

  O

   

  Untuk   maka cukup diasumsikan B berbentuk matriks nilpoten. Jika diaplikasikan lemma di _{11 PENUTUP} atas , berarti struktur Jordan AB sama dengan BA atau naik sebesar satu .

  Hubungan struktur Jordan antara perkalian matriks AB dan BA untuk nilai eigen 0 relatif sama atau berbeda sebesar satu ukuran, dapat diperlihatkan tanpa menggunakan konsep abstrak _REFERENSI hanya pada matriks nilpoten. Untuk matriks secara umum bukti di atas tidak berlaku.

  Flandes, H. (1951). Elementary divisors of AB and BA. Proc. Amer. Math. Soc, 2, 871-874 Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Matrix analysis. New York: Cambridge Univesity Press. Thompson, R.C. (1968). On the Matrices AB and BA. Linear Algebra Apl, 1, 43-58 Parker, W.V., & Mitchell (1952). Elementary divisors of certain matrices. Duke Math J, 19, 483-485