Getaran Harmonis Sederhana - Tan Marajo

Bahan Ajar Fisika Dasar

GETARAN HARMONIK SEDERHANA
A. Pendahuluan
Getaran (vibrasi) dapat diartikan sebagai gerak bolak-balik terhadap snatu
titik kesetimbangan tertentu. Di alam ini kita dapat menjumpai berbagai gejala
yang berdasarkan kepada prinsip getaran, seperti gerakan dari ; dawai gitar, dawai
biola, garpu tala, gerakan balok yang digantungkan pada pegas, ayunan dan
sebagainya. Pada umumnya benda-benda yang bergetar tersebut akan berhenti
bergerak jika dibiarkan, gerakan demikian disebut getaran harmonik teredam
(damped). Salah satu faktor penyebab redaman ini adalah karena faktor disipasi
oleh gesekan. Untuk meniadakan efek redaman ini, dan menjaga agar amplitudo
getaran tetap, diperlukan energi ekternal misalkan dengan menggunakan baterai,
sehingga getaran yang terjadi seolah-olah tanpa redaman. Apabila simpangan
getaran tidak terlalu besar, getaran demikian disebut getaran harmonik
sederhana.
Getaran harmonis sederhana memiliki ciri-ciri
1. resultan gaya yang bekerja pada titik sebarang selalu mengarah ke titik keseimbangan
2. besar resultan gaya sebanding dengan jarak titik sebarang ke titik keseimbangan
3. getaran tanpa teredam
B. Persamaan Matematis Getaran Harmonik

Sebuah pita karet atau per sulur jika ditarik (diberi gaya) maka panjangnya
akan berubah, dan jika gaya tersebut ditiadakan maka pita atau per tersebut akan
kembali lagi seperti semula, Bahan yang mempunyai sifat demikian disebut
bahan elastis. Pada saat bahan tersebut ditarik, terasa oleh kita adanya gaya
perlawanan dari bahan tersebut. Gaya perlawanan tersebut muncul karena pegas
mempunyai elastisitas. Elastisitas bahan mempunyai batas-batas tertentu dimana
pada suatu gaya tertentu yang diberikan terhadap bahan, bahan tersebut tidak
dapat kembali lagi ke keadaan semula, bahkan jika ditarik terus bahan akan
putus. Dan dikatakan bahan tidak elastis lagi , daerah ini dikenal dengan daerah
plastis seperti ditunjukkkan grafik pada gambar 1

1
Tim Dosen MK Fisika Dasar

Tinjaulah sebuah pegas sulur pada Gambar 2. Pegas yang dalam keadaan
tergantung panjangnya yo (I) diberi beban W sehingga panjangnya menjadi y1
(II) Untuk meninjau gerak titik p pada ujung pegas, beban W ditarik ke bawah
sampai panjangnya menjadi y2. (III). Berarti pertambahan panjang pegas dari
posisi keseimbangan , memenuhi persamaan :

y  y2  y1 ……………………………….(1-1)

Pada saat beban W diberikan pada pegas, pegas memberikan perlawanan
terhadap beban dengan gaya sebesar F . Bila luas penampang pegas adalah A,
maka besarnya nilai F/A disebut stress (tegangan) pegas dan nilai y / y0 disebut
strain (regangan). Perbandingan stress dengan strain dikenal dengan istilah
modolus elastistisitas (E) memenuhi persamaan :
F
stress
E
 A ………………………..(1-2)
y
strain
y0
Persamaan (1-2) dapat ditulis sebagai :
 E 
 y ……………………………(1-3)
F  
 y0 A 
 E 

 merupakan bilangan konstan ditulis dengan symbol k (konstanta
Harga 
y
A
 0 
pegas ) memenuhi persamaan :
 E 
 …………………
k = 
…………(1-4)
y
A
 0 

Dari persamaaan (1-3) dan (1-4) diperoleh
F = - ky ……………………………..

(1-5)

F = gaya pada pegas

k = konstanta pegas yang tergantung pada karakteristik pegas.
y = pertambahan panjang pegas

2
Tim Dosen MK Fisika Dasar

(tanda minus menunjukkan bahwa gaya F yang diberikan oleh pegas terhadap
beban bersifat menantang arah pertambahan panjang y). Gaya F cendrung
mengembalikan pegas ke posisi seimbang (y = 0)
Persamaan (1-5) dikenal sebagai hukum Hooke yang berbunyi :
"Jika sebuah benda diubah bentuknya , maka benda itu akan melawan
perubahan bentuk (deformasi) dengan gaya yang sebanding dengan besarnya
deformasi tersebut asalkan deformasi tidak terlalu besar "
Menurut Hukum II Newton besar gaya F memenuhi persamaan
F = may ………………………………………….( 1 -6)
ay = percepatan arah y

besarnya memenuhi persamaaan :
ay=(-ω2y)………………………………... (1-7)

Berdasarkan persamaan (1-5) dan (1-6) diperoleh :
ma,, =-ky atau

m

d2y
 ky
dt 2

sehingga

d2y k
 y  0 ………………………………………..
dt 2 m

(1-

8)
Persamaan (1-8) merupakan persamaan differensial disebut persamaan getaran
harmonik sederhana yang memberikan hubungan antara fungsi waktu y(t) dan

turunan keduanya terhadap waktu, d2x/dt2. Dari persamaan (1-5), (1-6) dan (1-7)
diperoleh :
k

……………………..(1-9)
k  m 2 ;
m
sehingga persamaan (1-8) ditulis menjadi
d2y
 2 y  0
2
dy

Penyelesaian umumnya :

y =C1 cosωt+C2 sin ωt

Pada saat t = 0,
C1 = y = yo = A = simpangan maksimum, dan y' = 0
sehingga C2 = 0, diperoleh :

y = A cosωt……………………………………… (1-10)
Persamaan (1-10) menyatakan bahwa pada saat t = 0 simpangan getar y = A
(amplitudo) = simpangan maksimum. Jika pada saat t = 0 simpangan getar = 0
maka persamaan simpangan getraran harmonis dinyatakan oleh persamaan (1-11)
3
Tim Dosen MK Fisika Dasar

y = A sin ωt…………………………………(1-11)
y = simpangan getaran harmonis
A = simpangan maksimum getaran (amplitudo)
ω = frekwensi anguler getaran
Bila pegas pada posisi (III), seperti ditunjukkan pada gambar 1 di lepaskan.
Ujung pegas akan bergerak bolak-balik disekitar titik keseimbangan (yi) . Bila
simpangan maksimumnya (A) tidak terlalu besar dan dapat dipertahankan
konstan,, gerak bolak balik ini disebut getaran harmonis. Jumlah getaran yang
dilakukan tiap detik disebut frekwensi (f) getaran. Bila waktu yang diperlukan
untuk melakukan satu getaran sempurna adalah prioda getaran (T), hubungan f
dan T dinyatakan oleh persamaan :
f = 1/T atau T= 1/f …………………………………. (1-12)
dan besar besarnya frekwensi anguler (ω) dinyatakan oleh persamaan :

ω=2πf ……………………………………(1-13)
Perhatikan gambar 2 berikut ini :

4
Tim Dosen MK Fisika Dasar

Menunjukkan urutan gerak bolak balik pegas yang bergetar tersebut. Jika ujung pegas
dihubungkan dengan tali, dan dikatkan pada suatu ujung, maka tali tersebut akan
berbentuk gelombang sinusoidal. Secara sederhana persamaan getaran harmonis dapat
di uraikan dari uraian gerak melingkar beraturan.
Berdasarkan gambar 2, misalkan suatu saat titik telah bergetarar selama t detik
dari titik P ke titik Q . Bila y adalah simpangan getar, dan Amplitudo getaran (A)
sama dengan jari-jari lingkaran, maka berdasarkan Δ OPQ diperoleh :
y
sehingga
A

sin  

θ = sudut fase getaran,

y  Asin .......................(1-14)

Berdasarkan persamaan (1-11) dan (1-14) diperoleh

  t

....................................(1-15)

Dititik Q kecepatan linier getaran adalah v. Uraian v ke arah sumbu y (vy)
menunjukkan kecepatan getaran harmonis. Dengan menggunakan rumus trigonometri
dalam Δ QRS diperoleh :
v y  v cos

atau v y  v cos t .............................(1-16)

Dalam gerak melingkar beraturan diketahui bahwa :
v  A ...................................... ..(1-17)

Percepatan yang dialami gerak melingkar beraturan adalah percepatan sentripetal (as)

yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran . Uraian as dalam arah sumbu y
dinyatakan sebagai percepatan getaran harmonis (ay). Berdasarkan Δ QXZ diperoleh :
a y  as sin

atau a y  as sin t ............(1 -18)

Besarnya percepatan sentripetal (as) dinyatakan oleh persamaan :
as 

v2
  2 A .................................(1-19)
A

C. Contoh-Contoh Getaran Harmonis 1. Getaran Pegas
1.

Getaran Pegas

Berdasarkan persamaan (1-9) diperoleh frekwensi getaran harmonik (f)
memenuhi persamaan :

f 

1
2

k
m

…………………………….(1-20)

dan priode getaran (T)
5
Tim Dosen MK Fisika Dasar

T  2

m
k

…………………………..(1-21)

k = konstanta pegas
m = massa beban
ω = kecepatan anguler getaran
f = frekwensi getaran
T = Prioda getaran.
Beberapa buah pegas dapat disusun secara seri atau paralel.
a. Pegas susunan seri
Pada susunan seri, prinsipnya adalah ; pertambahan panjang pegas
pengganti sama dengan jumlah pertambahan panjang masing-masing pegas.

Memenuhi persamaan :
y=y,+y2............... ……............... ....(1-22)
atau
kk
F F F
1 1 1
sehingga  
atau k  1 2 ……………(1-23)
 
k1  k2
k k1 k2
k k1 k 2

b.

Pegas susunan paralel
Pada susunan pegas paralel, perinsipnya adalah ; pertambahan panjang pegas
pengganti adalah sama dengan pertambahan masing-masing pegas

6
Tim Dosen MK Fisika Dasar

Memenuhi persamaan
y = y1 + y2............................................(1-24)
dan
F = F1 + F2............................. ... ...(1-25)
Sehingga
ky = k1y + k2y atau k = k, + k2.......... (1-26)
2. Ayunan Sederhana
Ayunan sederhana terdiri dari sebuah beban dengan massa m yang
digantungkan pada tali yang ringan panjangnya L dan bersifat tidak elastik. Bila
beban di tarik ke samping dengan simpangan yang kecil (θ) dari posisi setimbang,
kemudian di lepaskan, maka beban akan ber ayun pada bidang vertikal akibat
pengaruh gaya grafltasi bumi (w = mg).

Yang menyebabkan beban berayun adalah gaya pemulih F = mg sin θ. Dengan
menggunakan hukum II Newton diperoleh persamaan :

 F  ma

y

atau

mg sin  m 2 y ...............(1-27)

7
Tim Dosen MK Fisika Dasar

Berdasarkan segi tiga siku-siku ABC diperoleh
Y =L sin θ..................................... (1-28)
Dengan mensubsitusikan persamaan (1-27) ke dalam persamaan (1-28)
diperoleh :
g
1 g
atau f 
................(1-29)

L
2 L
dan dengan mensubsitusikan persamaan T = 1/f kedalam pers (1-29) diperoleh

T  2

L
…………………….(1-30)
g

g = percepatan grafitasi
L = panjang tali
ω = kecepatan anguler ayunan
f = frekwensi ayunan
T = prioda ayunan.
D. Energi Getaran Harmonik
Getaran suatu benda disebabkan oleh energi yang dihkandung oleh
benda itu. Sebagai contoh sebuah pegas yang dalam keadaan tertekan atau
tertarik sejarak y memiliki energi potensial (Ep) sebesar :
1 2 1
ky  m 2 A2 sin 2 t ........................(1-31)
2
2
Energi kinetik getaran (Ek) memenuhi persamaan :
Ep 

Ek 

1 2 1
mv  m 2 A2 cos 2 t .......................(1-32)
2
2

Energi total getaran sama dengan energi mekanik yang dimiliki getaran (Em)
merupakan jumlah energi potensial dan energi kinetik getaran . Menenuhi
persamaan :
Em  E p  Ek 

1
m 2 A2 ………………………………………(1-33)
2

Berdasarkan persamaan (1-31), (1-32) dan (1-33),
kecepatan getaran (vy), memenuhi persamaan :

vy 

diperoleh

persamaan

k 2
( A  y 2 ) ………………………………………(1-34)
m

8
Tim Dosen MK Fisika Dasar

D. Fase Getaran
Misalkan suatu titik telah bergetar selama t detik dari keadaan
setimbang (y =0). Dan membetuk sudut fase sebesar θ. Memenuhi persamaan

  t 

2
t
t  2   ……………………………….(1-35)
T
T 

Besarnya fase getaran (φ) memenuhi persamaan



t
………………………………(1-36)
T

Bila ada dua buah titk A dan B melalukan getaran harmonis pada satu
garis lurus yang berangkat dari suatu titik kesetimbangan yang sama dengan
priode masing-masing TA dan TB Berarti beda fase kedua titik bergetar
memenuhi persamaan :
   2  1 

t
t
 .............................(1-37)
TB TA

E. Contoh-Contoh Soal
1

9
Tim Dosen MK Fisika Dasar

2

3

10
Tim Dosen MK Fisika Dasar

4

11
Tim Dosen MK Fisika Dasar

5

12
Tim Dosen MK Fisika Dasar