GEOMETRI ANALITIK BIDANG PADA KOORDINAT MIRING

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016 α α α ≠

  α

  y y m x x

  − =

  −

  with _{2 1 (180 ) 2 1}

  tan o o _{r r}

  y y m m x x

  β

  1

  −

  − = =

  − Keywords: Plane Analytic Geometry, Oblique coordinates.

   Geometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perpaduan antara Geometri dan Aljabar. Seperti yang diketahui bahwa himpunan semua titik pada suatu garis lurus berkorespondensi 1 - 1 dengan himpunan semua bilangan real. Demikian pula himpunan semua titik pada bidang datar berkorespondensi 1 - 1 dengan himpunan semua pasangan bilangan-bilangan real (x, y). Dan himpunan semua titik pada ruang berkorespondensi 1 – 1 dengan himpunan semua tripel bilangan- bilangan real (x, y, z). Oleh karena itu, gambar/kurva pada bidang maupun luasan dalam ruang, yang biasa dipelajari dalam geometri, dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan/tripel dari bilangan-bilangan real, yang biasa dipelajari dalam Aljabar. Misalnya, lingkaran pada bidang dapat dipandang sebagai (x, y)

  ∈ R ² | x ² + y ² = 25). Untuk mempermudah dalam mempelajarinya, seperti dalam geometri dipilahkan menjadi Geometri Datar dan Geometri Ruang, maka dalam Geometri Analitik dibedakan pula menjadi Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang.

  Dalam Geometri Analitik Bidang disajikan posisi titik pada bidang koordinat, jarak dua titik, persamaan garis lurus dan hubungan letak dua garis lurus, persamaan kurva-kurva istimewa seperti lingkaran, elips, hiperbola dan parabola. Akan tetapi selama ini yang peneliti ketahui bahwa sistem koordinat yang digunakan adalah system koordinat kartesius tegak dengan perpotongan sumbu-X dan sumbu-Y membentuk sudut 90°. Siceloff, Wentworth dan Smith dalam bukunya yang berjudul Analytic Geometry, Fuller dalam bukunya yang berjudul Analytic Geometry, dan Bocher dalam bukunya Plane Analytic Geometry memberikan gagasan tentang sistem koordinat baru yaitu koordinat miring, dimana sumbu-X dan sumbu-Y tidak tegak lurus (membentuk 90°) melainkan membentuk sudut α, dimana 0° < α < 180° dan α ≠ 90°. Oleh karena itu peneliti berkeinginan untuk mengkaji bentuk dan sifat-sifat dari garis, lingkaran, parabola, elips dan hiperbola pada koordinat miring.

  Berdasarkan paparan tersebut rumusan masalah yang akan ditulis yaitu sebagai berikut:

  ( ) _r

  1

  ℝ ∪

  The method to be used is a literature review to collaborate with existing theories. The results showed that the equation of the line through

  − −

  ≥ ⎧ ⎨

  − ⎩

  ≥ ≥

  − − −

  GEOMETRI ANALITIK BIDANG PADA KOORDINAT MIRING Zainnur Wijayanto, M.Pd dan Drs. B. Kusmanto, M.Pd Pendidikan Matematika, FKIP UST Email: zannuwijaya@yahoo.com

  Abstract The aim of this study was to determine (1) the shape and properties of any of the lines in the coordinate oblique, (2) the shape and properties of any of the circles on the coordinate oblique, (3) the shape and properties of any of parabola in oblique coordinates, (4) the shape and properties of any of the ellipse in oblique coordinates, (5) the shape and properties of any of the hyperbole in oblique coordinates.

  1

  α becomes:

  1

  1

  ( , ) P x y = and

  2

  2

  2

  ( , ) P x y = at oblique coordinate ^o

1. PENDAHULUAN

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016 “Bentuk dan sifat-sifat apa saja dari garis pada Garis bilangan diilustrasikan koordinat miring?”

  2. METODE PENELITIAN Elemen dari garis bilangan biasanya disebut Metode yang akan digunakan adalah titik (.). kajian literatur dengan mengkolaborasikan teori Jika diberikan dua titik berbeda pada garis yang sudah ada seperti analytic geometry yang bilangan, yaitu a dan b, maka jarak antara a mengkaji garis, lingkaran, parabola, elips dan dan b adalah sebuah bilangan positif yang hiperbola pada koordinat kartesius tegak lurus. r a b didefinisikan dengan = atau

  −

  Kemudian yang harus dikerjakan adalah mengkaji analytic geometry tentang garis, r b a = .

  −

  lingkaran, parabola, elips dan hiperbola pada x x

  , ≥

  ⎧

  koordinat miring α, dimana 0° < α < 180° dan α x

  = ⎨

  x x

  , <

  − ≠ 90°. ⎩

  3. PEMBAHASAN

  = 3 3, karena 3 ≥

  1.1. Definisi

  = 0, karena 0 ≥

  Garis bilangan adalah himpunan yang

  3 ( 3) 3, karena -3<0

  berkorespondensi satu-satu dengan − = − − = ℝ. Ket : korespondensi satu-satu (bijektif) = injektif

  ∪ surjektif

  1.2. Remark Macam-macam Koordinat Kartesius

  1. Koordinat Kartesius Tegak

  2. Koordinat Kartesius Miring

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016 _o Jarak Antara Dua Titik pada Koordinat Kartesius Miring ( : 0 < 90 )

  α α ≤ Diberikan dua titik P (x , y ) dan Q (x , y )

  1

  1

  2

  2

  β α

  −

  −

  − − α

  − α β − Dalam berlaku aturan cosinus sebagai berikut

  PQR

  Δ α β

  − _o

  α

  2

  2

  2

  β

  PQ = PR RQ

  α atau _{2 2 2}

• 2 PR RQ . cos(180 ) − −

  β

  PQ = ( x x ) (y y ) 2( x x )( y y )( cos ) _{2 1 2 1 2 1 2 1} − − − − − − α

• ₂
_{2 2} β &
• = +

  PQ ( x − ₂ x ) (y − y ) 2( x − x )( y − y ) cos α _{1 2 1 2 1 2 1}

  β − β α

  ⎡ − ⎤

  2

2 PQ = ( x x ) (y y ) 2( x x )( y y ) cos

  β − − − − α

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  Jarak antara P (x , y ) dan Q (x , y ) adalah

  − α

  1

  1

  2

  2

  β −

  2

  2 r = PQ = ( x + x ) (y y ) 2( + x x )( y y ) cos

  − − − − α

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  − − α β

  l

  1.3. Definisi Diberikan garis , slope/ kemiringan/ l

  Diberikan garis dan memotong sumbu l gradient dari didefinisikan dengan

  α − −

  β

  x. Sudut inklinasi adalah sudut yang m tan

  = , adalah sudut inklinasi dari β β

  l dibentuk pada sebelah kanan garis dan l . diatas sumbu x.

  β α − −

  1.5. Postulat I Euclid Dari dua titik yang berbeda, dapat dibuat

  β − − α β − − − α tepat satu garis lurus.

  β β

  l Jika garis melalui titik P (x , y ) dan

  1

  1

  − α

  l Q (x , y ) , maka slope dari dapat

  2

  2 diturunkan sebagai berikut:

  − − α − α

  α − −

  1.4. Definisi

  44

  − − =

  Jadi, slope/ gradient dari l adalah _{2 1 2 2 2 2 1}

  − − −

  2 ¹ _{2 2 2 2 1}

  2 ¹ _{2 2 2 2 1}

  sin cos ( ) sin

  ( ) sin ( ) sin

  ( ) sin

  m y y r m r y y r y y m r y y

  β β

  α α

  α α

  = −

  = − −

  − =

  − −

  ( ) sin ( ) sin

  − − =

  l adalah sudut positif terkecil yang diawali dari

  1.7. Definisi Dua buah garis pada koordinat kartesius miring dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut memiliki sudut inklinasi yang sama.

  PQ .

  RS dan diakhiri

  2. Sudut dari garis g ke l adalah sudut positif terkecil yang diawali dari

  RS (arahnya berlawanan jarum jam).

  PQ dan diakhiri

  ke g

  y y m r y y

  1. Sudut dari

  . Garis g dilalui oleh dua titik R dan S ditulis g RS = maka:

  1.6. Sudut diantara Dua Garis Jika diberikan dua garis l dan g , garis l dilalui oleh dua titik P dan Q ditulis l PQ =

  − −

  − =

  α α

• =

  − − = ± = ±

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016

  y y r y y r

  sin β

  dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh ( ) ^{2 1 2 1 2 1} sin(180 ) sin sin sin

  ( ) sin sin . . . 1 ^o y y r y y r y y r

  α β α β

  α β

  − = − −

  = − =

  Mencari

  cos β

  dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh ( ) ( ) ^{2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2} ₂

  sin cos

  1 cos 1 sin (substitusi (1)) sin cos

  1 sin cos

  1

  β β β β

  − − =

  sin cos sin cos

  α β β α β α β α

  α β

  r y y r r y y r r y y r r y y r y y r r

  1 cos sin dan cos sin ... (2)

  1

  1 cos sin

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1}

  α β

  −

  − =

  − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ⎡ ⎤ − =

  = −

  α β

45 Mencari

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016

  − α

  1.11. Definisi

  α − − Penyiku dari sudut adalah .

  β α β − − − α − α − − α α − α

  α α α − −

  − − α α

  1.8. Remark Dua buah garis yang berimpit adalah

  α

  sejajar

  1.12. Definisi Letak kedudukan (locus) adalah

  − − − −

  α

  1.9. Teorema himpunan semua titik yang memiliki Dua buah garis non vertical pada kondisi geometrik tertentu. koordinat kartesius miring adalah sejajar jika dan hanya jika memiliki slope yang

  α sama.

  Bukti: l

  − − − − α

  Diketahui garis dan g sejajar

  ⇒

  l Jelas sudut inklinasi dan sama g

  − − − −

  1.13. Definisi (1.8. definisi) Garis lurus adalah letak kedudukan titik-

  − − − −

  tan Jelas m = = m titik yang memiliki kemiringan tetap _{l g} β terhadap titik tertentu.

  Jelas m = m _{l g}

  − − − −

  l Jadi, slope dan g sama. l

  Diketahui garis dan g memiliki

  ⇐ − − α α

  slope yang sama

  α

  Jelas m = m _{l g}

  α − −

  tan Jelas = = m β m _{l g}

  1.14. Remark

  α

  m l Misalkan adalah kemiringan dan Jelas sudut inklinasi ( ) dan g sama

  β − − α

  Jadi, dan g sejajar

  l P x y ( , ) adalah titik tertentu.

  −

  1

  1

  1

  α

  Berdasarkan 1.15. letak kedudukan titik

  − − − − − −

  dengan yang P x y ( , ) P x y ( , )

  1

  1

  1

  −

  1.10. Definisi m _o memiliki kemiringan diformulasikan

  180 Pelurus dari sudut adalah . β − β

  sebagai berikut:

  − − − − − − −

  − − − − − − −

  − − − − − − − − − − − −

  − − − −

  = −

  ( ) sin sin sin

  − − − −

  − =

  α α α

  α α α α α α α α

  α α

  y y m r y y m r y y y y m r y y y y m r y y y y m r y y y y

  ( ) sin ( ) sin ( ) sin sin sin ( ) sin sin sin

  − − =

  ( ) sin ( ) sin

  − − −

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016

• = − −
• =

  dengan _{2 2 2 1 1 1}

₁

( ) ( ) 2( )( ) cos r x x y y x x y y

  α

  = − + − + − −

1.15. Contoh

• −
• − −
• −
• − −
• −
• − −

• −
• − −
_{2 2} 2<
• =
• −
• − − − −

• −
• − − − −

  47 ^{1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1}

  3 2) ( 2) .

  α α

  α α

  − −

  − − = +

  − − −

  = −

  − = −

  − = −

  − = ² _{2 2 2}

  2 ^{2 2} _{2 2}

  3

  4

  m r y y y y m r y y y y m r y y y y x x y y x x y y x x y

  3 3.( 2) 4 ( 1) (y 2) ( 1)(y 2) ( 2) .

  4 3( 2) 16( 1) 4( 2) 16( 1)( 2)

  16( 1) ( 2) 16( 1)( 2)

  y y x x y y x y x y x y x y

  − − −

  = −

  − =

  −

  −

  =

  α α α

  2 4 ( 1) (y 2) ( 1)(y

  2 ^{o o}

  = −

  Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,2) yang memiliki slope 2, dalam KKM dengan

  60 ^o α =

  ! Penyelesaian: _{2 2 2 1 1 1}

₁

_{2 2 2}

  2 ^{2 2} _{2 2 2}

  ( ) ( ) 2( )( ) cos ( 1) ( 2) 2( 1)( 2) cos 60

  1 ( 1) ( 2) 2( 1)( 2).

  2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) ^o

  r x x y y x x y y r x y x y r x y x y r x y x y

  α =

  −

  = −

  = −

  1 ¹ _{2 2 2 1 1}

  2 ^{2 2} _{1 1 2 2 2 2}

  2 ²

  ( ) sin sin sin ( ) sin sin

  ( ) sin sin 2 ( 1) (y 2) ( 1)(y 2) ( 2) sin 60

  2 sin 60 1 2 ( 1) (y 2) ( 1)(y 2) ( 2) ( 3)

  2

  2

  1

  3

  2 ^{2 2 2}

• −
• − −
• −
• − − − −
• −
• − −
• −
• − −

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016 _{2 2} x y x y

  16( 1)( 2) = 16( 1) ( 2) − − − − − − _{2 2}

  16( x 1) ( y 2) − − − −

  y

  2 − =

  16( x 1) ₂ − ₂ 16( x 1) ( y 2)

  − − −

  y

  2 − = −

  16( x 1) 16( x 1) − − ₂

  ( y 2) −

  y

  2 ( x 1) − = − − −

  16( x 1) −

  β ₂

  α

  ( y 2) −

  y = (

• x 1)

  2 − − −

  − 16( x 1)

  − β

  α Dari contoh 1.20 dapat diketahui bahwa Berikut hasil modifikasi trigonometri

  − β

  persamaan akhir tidak membentuk persamaan dengan mengubah sudut yang lazim digunakan _o α garis namum membentuk persamaan kuadrat.

  90

  yakni menjadi , dimana 0° &lt; α &lt; 180° α

  Oleh karena itu formula yang dihasilkan tidak dan α ≠ 90° yang selanjutnya peneliti sebut

  − −

  dapat digunakan secara umum. Sehingga perlu

  β β

  − α α dengan Trigonometri Relatif. dilakukan modifikasi agar formula persamaan

  − garis dapat berlaku secara umum. β

  β

  − α α

  Trigonometri Relatif

  − β

  β

  α α − b Sin

  = β

  a c Cos

  = β

  a b Tan

  = β

  c α b Sin

  = β

  α a c

  Cos

  = β

  α a b

  Tan

  = − −

  β

  α c

  β

  − α b

1.4 Sudut Berelasi

  −

  Sin _{(180 ° ) β} = − α r

  −

1. Kuadran I

  a Cos

  − α r b

  = _{(180 ° )} β

  Tan _{(180 α ) ° β} = − a

  α

  2. Kuadran II

  48

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016

  − _° − _° −

  = −

  − =

  β β β

  α α α

  Cos r b Tan a

  b Sin r a

  − = =

  − =

  β β β ^°

  Berdasarkan trigonometri relatif maka persamaan garis yang melalui

  α α α

  Cos r b Tan a

  3. Kuadran III (180 ) _{(180 )} (180 ) b Sin r a

  − =

  − =

  β =

  β β

  α α α

  Cos r b Tan a

  =

4. Kuadran IV

  1

  − =

  ! Jawab:

  =

  α

  60 ^o

  Contoh: Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (1,1) dan B (2,2) pada koordinat miring

  = −

  = −

  −

  β

  α

  m y y m x x

  tan o o _{r r}

  dengan ^{(180 )} _{2 1 2 1}

  −

  y y m x x

  1

  ( ) _r

  1

  1

  koordinat miring ^o α menjadi:

  = pada

  P x y

  ( , )

  2

  2

  2

  49 b Sin r a

  P x y

  ( , )

  1

  = dan

  Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 2 Agustus 2016 m tan _{o o}

  = _{r β − − 180 60} y y = m x ( x ) _{1 r 1}

  −

  tan

  m _{o y 1 1( x 1) r} = _{120 β} − = − y = x y y

  −

  2

  1 m = _r x x

  −

  2

  1

  2 1 −

  m = _r

  2 1 −

  m = _r

1 Sehingga persamaan garisnya adalah

  Corral, M. 2009. Trigonometry. Michigan:

4. KESIMPULAN GNU Free Document License.

  Berdasarkan hasil pembahasan maka Fuller, G. 1954. Analytic Geometri. USA: kesimpulan yang diperoleh adalah: Addison-Wesley Publishing Company, Persamaan garis pada koordinat bidang miring _o Inc. dengan kemiringan , dimana 0° &lt; α &lt; 180°

  α dan α ≠ 90° adalah _{2 2 2} Hadiwidjojo, M. 1974. Ilmu Ukur Analit

  Bidang. Yogyakarta: FPMIPA IKIP m r ( y y ) sin y sin _{1 α 1 α}

• y =

  − −

  sin

  Jain, P. K &amp; Ahmad, K. 1996. Analytical

  α _nd

  Geometry of Two Dimensions 2 dengan _{2 2 2} Edition. New Delhi: New Age International (P) Ltd. r = ( x x ) + ( )( + y y ) 2( x x y y ) cos

  − − − − α _{1 1 1 1} Siceloff, L. P, Wentworth. G, &amp; Smith. D. E.

  Akan tetapi persamaan ini tidak berlaku untuk 1922. Analytic Geometry. Boston: Ginn umum karena terdapat contoh yang and Company. menunjukan bahwa persamaan tersebut tidak membentuk persamaan kuadrat melainkan persamaan garis. Sehingga perlu dilakukan modifikasi trigonometri yang umum menjadi

    trigonometri relatif. Diperoleh persamaan   persamaan garis yang melalui = ( , )

  P x y

  1

  1

  1 _o dan = pada koordinat miring

  P ( , x y ) α

  2

  2

  2 menjadi: y y = m x ( x )

  − − _r

  1

  1 m = tan o o _{r (180 )} β

  − α dengan y y ₂ − ₁ m = _r x x ₂ − ₁ DAFTAR PUSTAKA Beecher, J. A, Penna, J. A, &amp; Bittinger, M. L. _rd 2007. Algebra and Trigonometry 3

  Edition. Addison Wesley.

  Bocher, M. 1915. Plane Analytic Geometry.

  USA: Henry Holt and Company.

  50