5. DERET KOMPLEKS - Deret Kompleks

5. DERET KOMPLEKS

• mengerti definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat kekonvergenannya.
• Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent.

5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks

5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks

  ,

  2

       n n z n n

  konvergen ke - 2. Penyelesaian :

   

   

            

      

     

      genap n n ganjil n n n z n n n n n n

  1 2 lim ,

  2

  1 (

  2

  1 2 lim ) 1 (

  2 lim lim

  2

  2

   2 lim  _{  n n}

  z .

  Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa teorema berikut.

  2

   , 2 , 1 , )

  Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca Bab 5, mahasiswa diharapkan dapat :

   Barisan ⁿ

  Definisi Barisan Bilangan Kompleks

  Barisan bilangan kompleks :

   merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks. Notasi barisan bilangan kompleks : _n

  z

  atau

      n n , z z z z z , , , _{3 2 1}

  

   ,

  1

   n .

  Kekonverg enan Barisan

  z

  Tunjukkan barisan

  konvergen jika ada

  C z 

  sehingga

  z z _{n n}

   _{ } lim .

   Jika

  N  n   

  ,

   sehingga

     z z _{n untuk} n n  .

  Contoh 1

2 Jadi

  Teorema

  w z .

  w z 

  konvergen ke

  w z  .

  2. n

  z c

  konvergen ke

  z c .

  3. n n

  w z

  konvergen ke

  4.

  c

  n z

  1

  konvergen ke

  z

  1 asalkan

   n z

  dan 

  z

  untuk setiap

  n .

  konstanta kompleks, maka 1. n n

  , dan

  5.1 Jika n n n y i x z

  n x

   

  dengan

    n x

  dan

    n y

  , maka n

  z

  konvergen ke

  b i a z  

  jika dan hanya jika

  konvergen ke

  w

  a

  dan n

  y

  konvergen ke

  b

  . □

  Teorema

  5.2 Jika n z

  dan n

  w

  berturut-turut konvergen ke z dan

  □

5.1.2 Deret Bilangan Kompleks

  





1 n

n z

  konvergen 

  konvergen  lim

    1 n n z

  2.

    1 n n y konvergen.

  dan

    1 n n x

    1 n n z

  3.

  bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut : 1.

  n y

  dan

  x

  , n

  y i x z  

  dengan n n n

     n n z .

    1 n n z

  Diberikan deret bilangan kompleks

  Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret

  z .

   _{ } ⁿ _n

  konvergen  lim

    1 n n z

  1.

  dapat diuji dengan beberapa uji kekonvergenan berikut.

    1 n n z

  □

  konvergen

    1 n n z konvergen .

  konvergen 

    1 n n z

  4.

     , .

  N n M z n

   terdapat bilangan riil M sehingga

    1 n n z

  Teorem a 5.3

  dengan suku-suku deret yaitu

  2

  1

  2

  3

  merupakan jumlah dua suku pertama

  Diberikan deret bilangan kompleks

  1

  merupakan jumlah suku pertama

  merupakan jumlah tiga suku pertama 

  1 z S 

  1

  . Misalkan,

  1 z z z

  2

  3

   , , ,

  3 S z z z   

  n n S z z z

   1 .

  konvergen ke

   

  S z n n

  lim , dan ditulis

    

  S S

n

n

  jika dan hanya jika

  S

    1 n n z

      

  lim . Jadi deret

    

  S S n n

  menyatakan jumlah deret di atas apabila

  S

  suku pertama Bilangan

  2 1 merupakan jumlah n

  2 S z z  

   lim z

   ^{n z}

    _{n  } n divergen. n 1 ^  z z

  2. konvergen mutlak. _{n 1 n 1} ^{n konvergen  n}  ^

   

  

n konvergen dan divergen konvergen bersyarat.

_n  n n 1 n

   ⁿ

   z z z

  1 1

    z z 3. n konvergen mutlak  n konvergen.

    n 1 n 1

  4. Uji Banding

    b z z  b

  dan konvergen konvergen. ^{n n} _n

  



   _{1 n 1  } ^{n n} z a  ^{n n a z} dan n divergen n divergen. _{n n 1 1}

   _

   

  5. Ratio Test

   L

  1 , z konvergen mutlak

    ^ z

    _{n 1 } ⁿ

   _{n 1} L L 1 , z divergen

  lim _{n n} z

   ^

      n

   ^{n  1  }

  L

  1 , uji gagal

   

    _

  6. Root Test

   L

  1 , z konvergen mutlak

    ^ n

    _{n 1 } ⁿ

   

  z L  L

  1 , z divergen  n n

   n   ^{n 1 }  L

  lim 

  1 , uji gagal

   

   

  7. Deret Geometri _{n 2 }

  q

  1 q q  Bentuk umum :

   _{n 1 }    

  q

   q

  1 Jika maka deret konvergen.

  1 Jika maka deret divergen.

   8. Deret p

  1

  1 ^

  1

  1

  Bentuk umum :

   2

    _{n 1 n p p p}   

  3 _

  p

   p

  1 Jika maka deret konvergen.

  1 Jika maka deret divergen.

   5.2 Deret Pangkat _ z z 

  Deret pangkat dalam berbentuk :

  Bentuk _{n 2} a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z )

  Deret

   _n       n ^{1 2 } Pangkat

   

  z z

  denga dengan bilangan kompleks, bilangan kompleks sebarang

  a , a , a ,  _{1 2}

  yang disebut pusat deret, konstanta kompleks yang disebut koefisien deret.

  z z

  Apabila diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam yaitu _ 

  a z a a z a z

   ₁  _n    _{ } ²  n _n

  a ( z z ) 

  Untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan tunggal dengan _

   _n  n

  z z

      

    yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan disebut lingkaran kekonvergenan deret. ^ Teorema ⁿ

  a ( z z ) _{n n}

  Misal diberikan deret pangkat . Jika

   

  5.4 ^ a _n

  lim

    _{n  }   

   

  , dengan maka adalah jari-jari _ a _{n 1} kekonvergenan. □ _n ^ Teorema

  a ( z z ) _n Misal diberikan deret pangkat .

   _n

   ^

  5.5

  1 lim  

    n a n

   _{ }  

1 Jika n , dengan maka adalah jari-

  jari kekonvergenan. □ Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.

      z

  z z 

  1. Jika maka deret konvergen hanya di (pusat deret).

    z z   z z   dengan dan deret divergen untuk setiap z dengan .

  2. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap

       3.

  Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z

  z z    dengan . ^ n z

  Contoh 2 Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret .

   3 n n 1

  Penyelesaian :

  1 z a

   n

  Misal , pusat deret yaitu . 

  3 n

  

1

  3

  2

  3 a n n 3 n 3 n

  1 n    lim lim lim

  1     

  3 n n n ^{     } a n ^ n

  1

  1

  3

( n

1 )

   Oleh karena itu :

  1

  deret konvergen pada

   z 

  z

  1

  deret divergen pada

   

  C

  , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila

   z .

  Suatu fungsi

  ) (z f

  tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila

  ) (z f

  dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat

  z

  

) (z f

  dan divergen pada

  analitik di dalam lingkaran

  C

  maka

  ) (z f

  dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.

  C r

  

) (z f

  analitik di dalam

  1

   z

  Apabila

  1  p

  1

   z

  , maka

     ^ _ ^ _ ^ _

    _{1 3 1 3 1 3}

  1 _{n n} ⁿ _n ⁿ

  n n z n z

  (merupakan

   ^ _{1 n} ⁿ n z

  1

   ^ _1

  3 n n n z

  konvergen pada

  1  z .

  Jadi,

  1

   z

  konvergen pada

5.3 Deret Taylor dan MacLaurin

• z

  C

  ) ( ) ( . (5.2)

  maka untuk setiap titik

  z

  di dalam

  C

  berlaku

  n n n z n

f

f z f

   

    

  1 ) (

  ! ) (

  Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari

  Jika pada persamaan (5.1),

  ) (z f .

  Beberapa contoh deret MacLaurin.

  1.

   ^ _

        ^{3 2} ! ! 3 !

  2

  1 _n ^{n z}

  n z z z z e

   ,

    z

   z

  Deret MacLaurin

  dengan pusat deret

  z

  z Deret Taylor

  Jika

Gambar 5.1 Lingkaran

  analitik di dalam lingkaran

  C

  yang berpusat di

  z

  dan berjari-jari

  r

  ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik

  di dalam

  z .

  C

  berlaku

    n n n z z n z f z f z f

  1 ) (

  ! ) (

  ) ( ) (   

   

   . (5.1) Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari

  ) (z f

  di sekitar titik

  ) (z f

  2.

   Menggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor :

  1 ) (

  1

  1

  ) 1 ( 1 ( ) 1 (

  1 )

  ) 1 ( 1 (

  1 1 , 1 )

   

  ( 1 ) 1 ( ^{3 2}           z z z z z f  Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )

  1 ) 1 , ) 1 (

) 1 (

  f z z f

              

       ^

  ' 1 ( '' . 6 ) ( 6 ) '' ' ⁴

  f z z f

     ^

  '' 1 ( . 2 ) ( 2 ) '' ³

  f z z f

       ^

  ' 1 ( . 1 ) ( 1 ) ' ²

  ) 1 ( (   f z f 1 )

  C .

  analitik di dalam

  3

₂

   

  ), sehingga

  Deret Laurent

  (5.2)

      ₁ ) ( ) ( ) ( _{n n} ⁿ _n ⁿ

_n

z z b z z a z f

    ^ _ ^ _

  ) (z f dapat dinyatakan sebagai

     ,

  , maka untuk setiap z di dalam ^{2 1} R z z R

  C sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus ^{2 1} R z z R    yang mengelilingi z

     , dan

  ) (z f analitik di dalam annulus ^{2 1} R z z R

  Jika

  

) (z f

dapat diekspansi dalam deret Laurent.

   

  di dalam annulus ^{1 2} R z z R    , maka

  z

  analitik untuk setiap

  ) (z f

  , tetapi

  z

  tidak analitik di

  ) (z f

  Apabila

  

   ^ _ z z z z z z z z f _n n ⁿ

  ) (z f

  1  1 :  z C

   ^ _ ^

  ,

   ,

  z z z z z

  1 _{n n}

  1

  1

   ^{4 2}

       

   ^ _

  4.

    z .

  n z z z z 

  5.

  2 1 cos _n ^{n n}

  ) 1 ( ! 4 !

        ^{2 4 2} ! ) 2 (

   ^ _

  3.

    z .

  ,

  n z z z z z 

  ! 5 ! 3 sin _n ^{n n}

  1 2 ( ) 1 (

         ^{1 2 5 3} ! )

  

1  z

.

   ^ _

  dan jari-jari 1 (

  1

   z

  1

  dengan pusat

  C

  . Dibuat lingkaran

  z

  yaitu 

  ) (z f

  Titik singular

  Penyelesaian :

   z .

   di sekitar

         

  1 ) (

  z z f

  Tentukan deret Taylor untuk

  Contoh 3

  1  z .

   ,

  z z z z z z

  1 _n ^{n n}

  1

  1

   ^{4 3 2} ) 1 (

5.4 Deret Laurent

  dengan

    ^

     . □

  Apabila

  ) (z f

  analitik untuk ² R z z

   

  , maka

  ! ) ( ) ( ) (

  2

  1

  1 n z f dz z z z f i a n C n n

   

   dan

  C n n

  ) ( ) (

  2

  1

  1

   

    ^{ } C n n dz z z z f i b

   , sehingga persamaan (5.2) menjadi deret Taylor n n n z z n z f z f ) (

  ! ) ( ) (

   

   ^ _ .

  Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret Laurent.

  Contoh

   Ruas kanan persamaan (5.2) dan (5.3) disebut deret Laurent ) (z f dalam annulus ^{2 1} R z z R

   ^ n dz z z z f

i

c

  1 ) (

  1

  ) ( ) (

  2

  1

  1

   

  



^ n dz z z z f i a

  

C

n n

   , 3 , 2 , 1 ,

  ) ( ) (

  2

  1

   

   

  



^{ } n dz z z z f i b

  

C

n n

   Persamaan (5.2) sering ditulis dengan

   ^ _{ }

    _n ^{n n}

  ( z z c z f ) ) ( (5.3) dengan

   , 2 , , 1 ,

  ) ( ) (

  2

  1

  1

    

   , 2 , , 1 ,

4 Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari

   

  1 ) 1 (

  analitik untuk

  1

  



z

  , sehingga 1 ,

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  1 ) 2 (

  1 ) ( ₁

   z .

    

   

   

   

   

   

   

   

    

    ^ _ ^{ } _ z z z z z z z z f _{n n n n n}

  b. Deret Laurent untuk

  2

1   z

  .

  ) (z f

  1

  ) ) 2 ( 1 (

   z dan

  ) 2 (

  1 ) 1 (

  1 )

  ) 2 ( 1 (

  1 ) (

   

      

   z z z z z f

  Titik singular

  ) (z f

  yaitu

  1

  2

  a. Deret MacLaurin untuk

   z .

  Dibuat annulus

  2

  1   z

  , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin untuk

  1

   z

  dan deret Laurent untuk

  2

  1   z

  dan

  2

   z .

   z z z f Penyelesaian :

  ) (z f

   

  2

  2 ,

  1

  2

   1 2 ,

    

   

   

  

1

   

    

   

   

   

   

   

  

2

  2

   

  1 ) 1 (

     ^ _

^

_

^{ }

z z z z z z z z f _{n n n n n}

      

   

      

  1 ) ( _{1 1}

  ) 2 ( 1 (

  1 )

  1 ) 2 (

  1

  2

  2 1 ,

  Jadi, .

  1 n n n n n

z

z z z z z

  2

  1

  2

  1

   

    _{  } ^ _   

  analitik untuk

  .

   

   

   

   

   

    

  z z z z z z z z n n n n

  z z z f

   

    

   

  1 ) (

  1 ) 1 (

  ) 2 (

  1   z .

  2

   

    

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ,

   

  1

  1

    _{  } ^ _

1 ,

   

    

   

   

   

  2

c. Deret Laurent untuk

  ) (z f

   

  

1

  2

  2 ,

  1

  2

   1

2 ,

    

   

  1

   

   

    

   

   

   

   

  2

  1

   

  ) 2 ( 1 (

  Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.

  Ringkasan

     ^ _

^

_

^{ }

z z z z z z z z f _{n n n n n}

      

   

     

  1 ) ( _{1 1}

  1 )

  1

  1 ) 1 (

  1 ) 2 (

  2

  2 ,

  Jadi, .

  1 n n n n n

z

z z z z z z z

  2

   

   

  analitik untuk

  .

  1

  1

  1

  1 ,

  1

  1

  1 ,

  z z z f

  1

    

   

  1 ) (

  1 ) 1 (

  ) 2 (

   z .

  2

  1

  1

    _{  } ^ _   

  

 

    _{  } ^ _ z z z z z z z z n n n n

   

    

   

   

   

   

   

  1

   

   

   

   

   

   

  1   

  1

   z .

  Soal-soal

  1. Tentukan jari-jari kekonvergenan deret _{2 n 1   }

  2  3 n n z 

   n ( z i )

  b.

     a.

  2     n 1 ( ⁿ

  2 n 1 ) !

    n  2 

    z 2. Tentukan deret Taylor dari fungsi berikut dengan pusat deret .

  1

  z i f ( z )  1 a.

   

  ,

  z

  2

   1

  f ( z ) z  

  2 3 i

  b. ,

   z

  1

  f ( z ) , z

  1 i    c.

  4 3 z

   z 3. Ekspansikan fungsi berikut dalam deret Laurent dengan pusat deret .

  1 i f ( z ) z 

  a. , 

  2 z

  1

   1

  z f ( z ) b.

   _{2 2 ,}

   z (

  1 z )

   z

   1 i 

  f ( z ) , z i

     c. ² ( z i ) 

4. Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari

  1 f ( z )

  a. 

  2 1 z

   4 f ( z )

  b. 

  4 1 z

   z

  1

   f ( z ) c.

   z

  1 