MATERI MATEMATIKA MATERI MATEMATIKA MATERI MATEMATIKA

MATERI MATEMATIKA : PERSAMAAN
DAN FUNGSI KUADRAT
A.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0

a, b dan c adalah bilangan real.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau
x = 3 atau

x–1=0

x=1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x +
p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x=5

atau

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
2.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 –
4ac disebut diskriminan (D).
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat
berikut:

1. x2 + 5 x + 2 = 0

Jawab :
1. x2 + 5 x + 2 = 0

a=1 , b=5 , c=2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
3.

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
1. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

ax2 + bx + c = 0

x2 +x + = 0
Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut,

hitunglah nilai:
1. x1 + x2 d.
2. x1.x2 e. x13 + x23
3. x12 + x22

Jawab:

x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
4.

Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian
jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .

Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar
persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan
dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x
+ 3 = 0.
Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)

p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6

= x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

=2+6=8

= 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
B.

Fungsi Kuadrat

1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan
disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang

memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:
1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)

f(x) = x2 – 2x – 3

= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil
(minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –
4.
Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)

f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9
untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.


Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.



Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.



Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.



Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1)

Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0,
maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka
banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)

Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0.
Sehingga koordinatnya (0 , c).
3)

Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka
persamaan sumbu simetri adalah:
4)

Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak
Catatan:


Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.



Parabola terbuka ke atas jika a > 0.

Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.



Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y=0–0–3=–3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
4.

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a – b + c = 0 (2)

a+ b+c=8

(2) a + b + c = 8
–2b = –8
b=4

a–b+c=0
(3) 4a + 2b + c = 6

3a – b = 2

–2 – 4 + c = 0
c=6

– 3a – 4 = 2

a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6.
b.

Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0)
dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta
melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a=1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik
(0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3
0=a+3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan
menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau
terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik
(0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a=1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu
D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai
diskriminan .
1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).
1. Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola
menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung
sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentukbentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0.

Untuk a > 0:
1)

D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) < 0 untuk x1< x < x2
2)

D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3)

D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.
Untuk a < 0:
1)

D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
2)

D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3)

D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 x – m + 2
Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0.

a = 1 bilangan positif
D = (–4)2 – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
=4m+8
D