Evaluasi Kinerja Lingkungan Stokastik Menggunakan Data Envelopment Analisys

EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK
MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT
ANALISYS

TESIS

Oleh

ROFIIEF HARAHAP
097021067/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK
MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT
ANALISYS

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

ROFIIEF HARAHAP
097021067/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: EVALUASI KINERJA LINGKUNGAN STOKASTIK
MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT ANALISYS
Nama Mahasiswa : Rofiief Harahap
Nomor Pokok
: 097021067
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc)
Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 14 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 14 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota

:

1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) tradisional mengabaikan ketidakpastian untuk variabel input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan tersebut merupakan variabel input-output yang sebenarnya guna memilih
unit rujukan untuk penaksiran efisiensi dan penetapan-patokan kinerja. Di lingkungan stokastik, kerangka tradisional bisa mencakup unit rujukan didominasi
stokastik dan mengesampingkan unit rujukan tak didominasi stokastik. Untuk
memasukkan ketidakpastian untuk variabel input-output dalam DEA, diajukan
kerangka mean-variansi yang dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Dari
kerangka tersebut dikembangkan perluasan pada model tradisional yang mencegah
seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, dalam pendekatan meanvariansi, batasan variansi bisa dispesifikasi yang mengurangi ketidakpastian untuk

kinerja unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukannya.
Kata kunci : Data envelopment analysis, Stokastik, Mean-variansi

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Traditional Data Envelope Analysis (DEA) neglects uncertainty for the input-output
variables by treating the observations as if they were the true input-output variables
to select reference units for efficiency estimation and performance benchmarking.
In stochastic environments, the traditional framework may include stochastically
dominated reference units and exclude stochastically undominated ones. To incorporate uncertainty for the input-output variables in DEA, we propose a meanvariance framework derived from the theory of stochastic dominance. From that
framework an extension to the traditional model is derived that prevents the selection of stochastically dominated reference units. In addition, within the meanvariance approach, variance restrictions can be specified that reduce the uncertainty
for the performance of the evaluated unit relative to its reference unit.
Keywords : Data envelopment analysis, Stochastic, Mean-variance

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul ” Evaluasi
Kinerja Lingkungan Stokastik Dengan Menggunakan Data Envelopment Analisys.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan kuliah di Program Studi
Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Sumatera Utara.
Dalam menyelesaikan tesis ini penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih, dan apresiasi yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc (CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Drs. Bahrum Harahap selaku Bupati Padang Lawas Utara yang telah memberi bantuan beasiswa kepada penulis untuk kuliah di Universitas Sumatera Utara.
Ali Usman Siregar, S.Pd selaku kepala SMA Negeri 1 Padangbolak yang
telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Program Studi Magister Matematika MIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan sebagai dosen Pembimbing II
yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini
dapat diselesaikan.
Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dekan FMIPA dan sebagai dosen Pembimbing
I yang telah memberikan bimbingan, masukan dan motivasi untuk perbaikan dan
kesempurnaan tesis ini.
Dra. Mardiningsih, M.Si yang telah banyak memberikan koreksi, bimbingan,

masukan dan motivasi untuk perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, MSc yang telah banyak memberikan koreksi, bimbingan, masukan dan motivasi untuk perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah
Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah membekali penulis ilmu pengetahuan selama perkuliahan hingga selesai.
Sahabat-sahabat mahasiswa angkatan 2009 atas kerjasama, kekompakan dan
kebersamaan yang telah terjalin dengan baik selama perkuliahan hingga selesai.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu administrasi perkuliahan penulis.
Seluruh keluarga, Ayahanda dan Ibunda, istri tercinta Maulinna dan ananda
Risty Amelia Rahmadani Harahap serta teman-teman guru di SMA Negeri 1
Padangbolak yang dengan penuh semangat memberi motivasi internal kepada penulis
hingga selesainya pengerjaan tesis ini.
Hanya ucapan syukur dan terima kasih yang dapat penulis sampaikan kepada
semua pihak yang telah memberi dukungan, do’a, bantuan moral/spiritual, motivasi, bimbingan dan arahan selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini. Semoga amal kebajikan yang telah diberikan kepada penulis menjadi amal ibadah
dan mendapat ganjaran kebajikan di sisi Allah SWT, Amin.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.
Medan, 14 Juni 2011
Penulis,

Rofiief Harahap

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Rofiief Harahap, dilahirkan di desa Hambiri Kecamatan Padangbolak Kabupaten Padang Lawas Utara pada tanggal 16 Januari 1983, merupakan anak ketiga
dari empat bersaudara dari Ayahanda Toguan Harahap dan ibunda Rosmawati
Hasibuan. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Inpres No. 144469 Padangbolak pada
tahun 1995, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 1 Padangbolak
pada tahun 1998, Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 2 Padangbolak
tahun 2001. Pada tahun 2001 memasuki perguruan tinggi UISU Medan jurusan Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2005. Pada tahun 2009 mengikuti
rogram Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera
Utara. Dan hingga saat ini bertugas sebagai pengajar di SMA Negeri 1 Padangbolak Kabupaten Padang Lawas Utara.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

4

1.5 Metode Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 LANDASAN TEORI

6

3.1 Pengertian Kinerja dan Data Envelopment Analisys
BAB 4 DATA ENVELOPMENT ANALISYS MEAN-VARIANSI
4.1 Kerangka Data Envelopment Analisys Tradisional
4.2 Kerangka Data Envelopment Analisys Mean-Variansi Umum

6
8
8
12

BAB 5 KESIMPULAN

26

5.1 Kesimpulan

26

5.2 Saran

26

DAFTAR PUSTAKA

28
vi
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) tradisional mengabaikan ketidakpastian untuk variabel input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan tersebut merupakan variabel input-output yang sebenarnya guna memilih
unit rujukan untuk penaksiran efisiensi dan penetapan-patokan kinerja. Di lingkungan stokastik, kerangka tradisional bisa mencakup unit rujukan didominasi
stokastik dan mengesampingkan unit rujukan tak didominasi stokastik. Untuk
memasukkan ketidakpastian untuk variabel input-output dalam DEA, diajukan
kerangka mean-variansi yang dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Dari
kerangka tersebut dikembangkan perluasan pada model tradisional yang mencegah
seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, dalam pendekatan meanvariansi, batasan variansi bisa dispesifikasi yang mengurangi ketidakpastian untuk
kinerja unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukannya.
Kata kunci : Data envelopment analysis, Stokastik, Mean-variansi

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Traditional Data Envelope Analysis (DEA) neglects uncertainty for the input-output
variables by treating the observations as if they were the true input-output variables
to select reference units for efficiency estimation and performance benchmarking.
In stochastic environments, the traditional framework may include stochastically
dominated reference units and exclude stochastically undominated ones. To incorporate uncertainty for the input-output variables in DEA, we propose a meanvariance framework derived from the theory of stochastic dominance. From that
framework an extension to the traditional model is derived that prevents the selection of stochastically dominated reference units. In addition, within the meanvariance approach, variance restrictions can be specified that reduce the uncertainty
for the performance of the evaluated unit relative to its reference unit.
Keywords : Data envelopment analysis, Stochastic, Mean-variance

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Pada era sekarang ini perusahaan tidak dapat menetapkan secara pasti bahwa
suatu aktivitas produksi yang sedang berlangsung dapat selesai dengan tepat waktu,
demikian juga dengan hasil yang dihasilkan memiliki kemungkinan untuk menyimpang dari apa yang telah direncanakan. Untuk mengantisipasi hal ini maka perlu
memperkirakan berapa besar probabilitas bahwa suatu aktivitas dapat berlangsung
sesuai dengan apa yang di inginkan, juga sebaliknya dapat pula diperkirakan berapa besar probabilitas kegagalannya (ISO 14031, 1999). Umumnya dalam proses
manufaktur, masing-masing proses yang ada memiliki probabilitas dan distribusi
tersendiri, ini disebabkan oleh masing-masing stasiun kerja / mesin pada setiap
proses memiliki kemampuan dan akurasi yang berbeda.
Pengukuran kinerja lingkungan adalah bagian penting dari sistem manajemen
lingkungan. Ini merupakan ukuran hasil yang dapat diberikan sistem manajemen
lingkungan pada perusahaan secara riil dan kongkrit. Pengukuran kinerja lingkungan ditafsirkan bermacam cara. Antara lain yang melihatnya semata kuantitatif, atau hasil proses, atau juga menyertakan kualitatif dan inprocess (ISO 14031,
1999) .
Efisiensi merupakan salah satu parameter kinerja, yang secara teoritis mendasari seluruh kinerja sebuah perusahaan. Kemampuan menghasilkan output yang
maksimal dengan input yang ada, adalah merupakan ukuran kinerja yang diharapkan. Pada saat dilakukan pengukuran efisiensi, perusahaan dihadapkan pada kondisi bagaimana mendapatkan tingkat output yang optimal dengan tingkat input
yang ada, atau menggunakan tingkat input yang minimum dengan tingkat output
tertentu. Dengan diidentifikasi alokasi input dan output, maka dapat dianalisis
lebih jauh untuk melihat penyebab ketidakefisiensian (Hadad el al, 2003).
Pengukuran efisiensi kinerja lingkungan stokastik dapat dilakukan dengan
menggunakan metode parametrik dan metode non parametrik, dalam hal ini ada
1
Universitas Sumatera Utara

2
tiga pendekatan untuk menghitung efisiensi kinerja lingkungan stokastik, yaitu
stochastic frontier analysis (SFA), distribution free analysis (DFA) dan Data envelopment Analisys (DEA) (Hadad, 2003). Metode pendekatan SFA dan DFA
adalah metode pendekatan menggunakan metode parametrik, sedangkan DEA
menggunakan metode non parametrik.
Dalam tesis ini, penulis akan melakukan pendekatan dengan menggunakan
metode non parametrik yaitu metode DEA, karena Metode DEA sebagai perangkat
untuk mengukur kinerja memiliki keunggulan-keunggulan antara lain:

1. Model DEA dapat mengukur banyak variabel input dan variabel output
2. Tidak memerlukan asumsi mengenai bentuk fungsional dari variabel-variabel
yang diukur
3. Variabel input dan output dapat memiliki satuan yang berbeda
4. Decision Making Units (DMU) dapat dibandingkan secara langsung dengan
DMU lain yang sejenis.

Secara garis besar kelebihan pendekatan nonparametrik adalah tidak perlu
bentuk fungsional eksplisit, miss spesifikasi kecil dan pengunaan data input/output
lebih banyak tanpa harus dibatasi sedangkan pendekatan parametrik perlu bentuk
fungsional eksplisit, miss spesifikasi cenderung besar dan pengunaan data input
dan output kurang bervariasi (Rustam, 2005).
Pendekatan DEA tidak menggunakan informasi, sehingga sedikit data yang
dibutuhkan lebih sedikit asumsi yang diperlukan dan sampel yang lebih sedikit
dapat dipergunakan. Namun demikian kesimpulan secara statistika tidak dapat
diambil jika menggunakan metode nonparametrik (Hadad et al, 2003).
DEA tradisional mengasumsikan secara implisit bahwa variabel input-output
dispesifikasi dengan akurat, karena asumsi tersebut bisa salah jika gangguan stokastik seperti kesalahan pengukuran, gangguan acak, pengamatan outlier atau efek
eksternal mengganggu pengamatan. Di lingkungan stokastik, variabel input-output

Universitas Sumatera Utara

3
tidak diketahui dan harus ditaksir. Dalam banyak kasus penaksiran hanya menghasilkan spesifikasi yang tidak akurat, dan ada ketidakpastian tentang variabel
input-output yang sebenarnya.
Ketidakpastian parameter sedemikian mempersulit penaksiran efisiensi dan
penetapan-patokan kinerja, karena hal itu menyebabkan ketidakpastian untuk kinerja Decision Making Unit (DMU) relatif terhadap DMU lainnya dan relatip terhadap kemungkinan-kemungkinan produksi. Selain itu, karena DEA didasarkan
pada pemilihan unit rujukan ekstrim, kinerja relatip terhadap unit rujukan bisa
ditaksir terlalu rendah. Penaksiran terlalu rendah tersebut bisa meniadakan efek
produksi yang tidak efisien oleh unit rujukan, dan menghasilkan penaksiran efisiensi
terlalu rendah relatip terhadap kemungkinan-kemungkinan produksi.
Dalam tesis ini menyajikan pendekatan alternatif untuk memasukkan gangguan stokastik, yang disebut Data Envelopment Analisys Mean-Variansi. Pendekatan ini mengandalkan aplikasi syarat mean-variansi yang dikembangkan dari
teori dominasi stokastik. Mempresentasikan perluasan pada kerangka tradisional
yang mencegah seleksi unit rujukan didominasi stokastik. Selain itu, akan ditunjukkan bahwa batasan variansi bisa ditetapkan yang mengurangi ketidakpastian
untuk kinerja unit yang dievaluasi relatif terhadap unit rujukannya. Dalam hal
ini, untuk memilih unit rujukan digunakan fungsi utilitas U (·).
Fungsi utilitas U (·) dapat diartikan sebagai fungsi matematik yang menunjukkan nilai dari semua alternatif pilihan yang ada. Semakin tinggi nilai suatu
alternatif pilihan semakin tinggi utilitas alternatif tersebut.

1.2 Perumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana cara mengevaluasi kinerja lingkungan stokastik menggunakan data envelopment analisys.

1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk menunjukkan cara mengevaluasi kinerja lingkungan stokastik menggunakan data envelopment analisys.

Universitas Sumatera Utara

4

1.4 Manfaat Penelitian
Dengan adanya penelitian ini adalah sebagai bahan untuk menambah wawasan
keilmuan bagi peneliti, khususnya penelitian bidang matematika, juga diharapkan dapat bermanfaat bagi perusahaan-perusahaan sehingga dapat mengevaluasi
kinerja lingkungan stokastik menggunakan data envelopment analisys. Dengan
demikian dapat meningkatkan efisiensi dan peningkatan kinerja potensial relatif
agar lebih meningkatkan nilai produksi.

1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literature atau kepustakaan dengan mengumpulkan
bahan-bahan dari pengumpulan informasi, dan referensi dari buku dan jurnaljurnal.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Untuk memasukkan ketidakpastian parameter mengharuskan matriks kovariansi dari kesalahan taksiran dispesifikasi dengan akurat.

Spesifikasi bisa di-

dasarkan pada teori sebelumnya atau penaksiran empiris. Akan tetapi, di banyak
lingkungan penelitian, baik teori maupun data tidak memungkinkan spesifikasi
yang akurat. Ketidakpastian yang dihasilkan untuk matriks kovariansi bisa dimasukkan dalam analisa yang analog dengan ketidakpastian untuk variabel inputoutput.
Pada model DEA tradisional kontraksi semua input hingga faktor yang sama
dan produksi setidaknya sama dengan output DMUk mendapat prioritas dimuka.
Ini mungkin tidak selalu sesuai dengan jalur yang diinginkan menuju efisiensi. Akan
tetapi, fungsi tujuan dan batasan alternatip bisa digunakan (Wong and Beasley
1990, Thompson et al. 1995). Selain itu, unit rujukan bisa dipilih dengan menggunakan prosedur keputusan interaktif, sehingga mengurangi persyaratan untuk
informasi preferensi sebelumnya (Belton and Vickers 1993, Post and Spronk 1999).
Sementara itu dalam literatur DEA, sejumlah solusi diajukan untuk menangani lingkungan stokastik. Sebagai contoh misalnya, gangguan bisa dimasukkan
dengan menggunakan ekuivalensi kepastian dari variabel input-output stokastik
(Gong dan Sun. 1995), teknik bootstrap (Atkinson dan Wilson 1995, Gstach 1995,
Grosskopf 1996, Lotgren 1997, Simar dan Wilson 1998) atau programming dengan
batasan kemungkinan (Land et al. 1994; Olesen dan Petersen 1995; Cooper et
al. 1996, 1998). Sebagai alternatif, gangguan bisa disaring dari inefisiensi DEA
dengan menaksir struktur kesalahan parametrik, seperti dalam apa yang disebut
dengan pendekatan DEA+ (Gstach 1998).
Untuk menguraikan pendekatan Data Envelopment Analisys Mean-Variansi,
Yue (1992) dan Yeh (1999) dalam penelitiannya menspesifikasi variabel inputoutput yang relevan.

5
Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1

Pengertian Kinerja dan Data Envelopment Analisys
Sebagai wujud yang dicapai perusahaan dalam periode waktu usaha, tidak

lepas dari kinerja yang dilakukan pihak perusahaan. Apabila kinerja bagus, akan
menghasilkan prestasi kerja yang bagus pula, begitu juga sebaliknya. Menurut
Amin (1996) kinerja adalah : Hasil nyata yang dicapai, kadang-kadang dipergunakannya untuk menunjukkan dicapainya hasil yang positif.
Pengertian kinerja menurut Bernadin dan Russell (1993) adalah hasil dari
prestasi kerja yang telah dicapai seorang karyawan sesuai dengan fungsi tugasnya
pada periode tertentu. Sedang evaluasi kinerja lingkungan merupakan ukuran hasil
yang dapat diberikan sistem manajemen lingkungan pada perusahaan secara riil
dan kongkrit.
Sedangkan kinerja lingkungan menurut ISO 14031, (1999) adalah hasil yang
dapat diukur dari sistem manajemen lingkungan, yang terkait dengan kontrol
aspek-aspek lingkungannya. Pengkajian kinerja lingkungan didasarkan pada kebijakan lingkungan, sasaran lingkungan dan target lingkungan.
Data Envelopment Analisys (DEA) adalah teknik untuk mengevaluasi kinerja
yang diakui sebagai alat pendukung keputusan berharga untuk diagnosis organisasi
dan pengendalian managemen (Charnes,A. dan E. Rhodes. 1978). Salah satu kekuatannya adalah persyaratan minimal yang berkenaan dengan teknologi produksi
dan preferensi evaluator, dan fleksibilitasnya dalam memasukkan asumsi tambahan atau alternatif. Namun demikian, kerangka DEA tradisional terkendala oleh
asumsi distribusi implisitnya bahwa semua variabel input-output dispesifikasi dengan akurat. Gangguan stokastik, seperti kesalahan pengukuran, gangguan acak,
pengamatan outlier atau efek eksternal, bisa melanggar asumsi ini. Dalam banyak
kasus, teori dan data hanya memungkinkan penaksiran yang tidak akurat, dan ada
ketidakpastian tentang variabel input-output. Jika parameter-parameter ini tidak
pasti, maka kerangka tradisional bisa mencakup unit rujukan tak didominasi sto6
Universitas Sumatera Utara

7
kastik dan mengesampingkan unit rujukan tak didominasi stokastik. Selain itu,
ketidakpastian parameter bisa meningkatkan bias dan variansi taksiran efisiensi
tradisional.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
DATA ENVELOPMENT ANALISYS MEAN-VARIANSI

4.1

Kerangka Data Envelopment Analisys Tradisional
Dalam DEA, kinerja Decision Making Units (DMU) dievaluasi terhadap ap-

roksimasi empiris untuk Production Possibility Set (PPS). PPS didefinisikan sebam
gai himpunan semua kombinasi dari input x ∈ ℜm
+ dan output y ∈ ℜ+ yang bisa

dicapai dengan teknologi produksi saat ini:

P = {(y, x) : y bisa diproduksi dari x}

(1)

Himpunan tersebut diaproksimasi dengan menggunakan suatu himpunan pengamatan atas input x.j = (xij , dan output y = (yij , . . . , ypj ) untuk sebanyak n DMU
(j = 1, . . . , n). Pengamatan-pengamatan tersebut digambarkan dengan matriks
output Y = (y.1, . . . , y.n ) dan matriks input X = (x.1, . . . , x.n). Dalam analisa
di bawah ini, kita juga akan menggunakan baris xi . = (xi1 , . . . , xin ), i = 1, . . . , m
dan yr . = (yr1, . . . , yr n), r = 1, . . . , p. Struktur himpunan pengaproksimasi tergantung pada asumsi-asumsi yang ditetapkan pada teknologi produksi dan distribusi
pengamatan-pengamatan. Model Charnes et al. (1978) standar didasarkan pada
asumsi bahwa teknologi produksi yang sebenarnya dicirikan oleh kembali-ke-skala
atau Constant Return to Scale (CRS) konstan, yaitu

(y, x) ∈ P ⇒ K (y, x) ∈ P, K > 0

(2)

Selain itu, diasumsikan bahwa untuk semua kombinasi input-output yang bisa dicapai, dimungkinkan memproduksi lebih sedikit output, mengkonsumsi lebih banyak
′

′

′

input, atau keduanya. Dengan memisalkan s = (s1 . . . sp )T dan s = (s1 . . . sm )T
masing-masing merupakan output slack dan input slack, sehingga asumsi menjadi



′
′
(y, x) ∈ P ⇒ y − s , x + s ∈ P, s , s > 0

(3)
8

Universitas Sumatera Utara

9
Terakhir, model standar mengasumsikan bahwa semua pengamatan tercakup di
dalam PPS, yaitu

(Y, X) ∈ P

(4)

Himpunan pengaproksimasi yang bersesuaian dengan asumsi ini adalah himpunan
semua kombinasi linier positip dari pengamatan-pengamatan, dan semua kombinasi
input-output yang memproduksi lebih sedikit output, mengkonsumsi lebih banyak
input, atau keduanya. Dengan menggunakan λ = (λ1 . . . λn )T untuk menyatakan
vektor intensitas (n × 1), yang ditetapkan sebagai:

PCCR =

(

(y, x) :

Y
−X

!

λ−

S

′

S

!

y
−x

!

′

; λ, S , S, ≥ 0

)

(5)

Dengan asumsi produksi dan distribusi standar, semua kombinasi input-output
yang termuat di dalam himpunan pengaproksimasi ini juga termuat di dalam PPS,
dan akibatnya bisa dicapai dengan adanya teknologi produksi. Akan tetapi, jika
asumsi ini dilanggar, aproksimasi CCR bisa mencakup kombinasi input-output
yang tidak bisa dicapai. Namun demikian, metodologi DEA menawarkan fleksibilitas yang berarti untuk menetapkan asumsi produksi alternatip. Sebagai contoh,
model DEA standar diperluas untuk mencakup sifat kembali-ke-skala tidak tetap.
Untuk setiap DMU yang dievaluasi, unit rujukan dipilih dari himpunan pengaproksimasi. Unit rujukan ini bisa digunakan untuk tujuan penaksiran efisiensi
dan penetapan-patokan kinerja. Kombinasi input-output dari unit yang dievaluasi relatip terhadap unit rujukan bisa digunakan untuk mengevaluasi efisiensi
operasi masa lalu dan untuk menilai peningkatan potensial untuk operasi masa
mendatang. Unit-unit yang membentuk unit rujukan adalah mitra patokan potensial. Selain itu, dengan membandingkan proses produksi unit yang dievaluasi
dengan proses produksi mitra patokan bisa menunjukkan sebab-sebab inefisiensi
masa lalu dan perbaikan-perbaikan untuk peningkatan masa mendatang. Sementara struktur himpunan pengaproksimasi tergantung pada asumsi yang ditetapkan pada teknologi produksi dan distribusi pengamatan, pemilihan unit rujukan

Universitas Sumatera Utara

10
khusus dari himpunan tersebut tergantung pada preferensi manager pengevaluasi.
Umumnya sulit menguraikan preferensi managemen secara handal dan, selain itu,
memasukkan preferensi dengan tepat dalam masalah optimisasi. Akan tetapi, dengan menggunakan asumsi tertentu tentang ciri-ciri umum dari struktur preferensi,
masalah keputusan bisa disederhanakan. Asumsi yang implisit dalam sebagian besar model DEA adalah bahwa evaluator lebih menyukai output penetapan rujukan
dan kurang menyukai input. Ini adalah asumsi yang sah, karena tujuan unit rujukan adalah untuk menilai inefisiensi dan peningkatan kinerja potensial relatip
terhadap kemungkinan-kemungkinan produksi dan, selain itu, unit memberikan
gambaran yang lebih tepat dari kemungkinan-kemungkinan tersebut jika outputnya lebih tinggi dan input-nya lebih rendah. Jika asumsi di atas berlaku, semua
unit gabungan yang didominasi unit lainnya, yaitu unit yang memproduksi lebih
banyak output dengan input yang sama atau lebih kecil atau sebagai alternatip
mengkonsumsi lebih sedikit input untuk output yang sama atau lebih banyak, bisa
dicoret sebagai alternatip keputusan. Hanya unit yang tidak didominasi yang boleh
dipertimbangkan sebagai unit rujukan potensial. Unit tersebut bisa dikatakan juga
sebagai himpunan diperbolehkan-CCR. Secara lebih formal, himpunan tersebut
didefinisikan sebagai
ACCR =

(

λ:

(

τ:

Y
−X

!

τ−

S

′

S

!

=

Y
−X

!

= φ; λ ≥ 0

′

′

; λ; τ, S , S, ≥ 0; eτ S + eτ S > 0



)

(6)
′

Dalam rumus ini, τ menyatakan vektor intensitas (n × 1), dan e dan e masingmasing menyatakan vektor satuan (p × 1) dan (m × 1).
Pemilihan unit rujukan dari himpunan yang bisa diterima umumnya membutuhkan informasi preferensi yang lebih spesifik. Informasi tersebut biasanya
dimasukkan dalam fungsi tujuan dan batasan-batasan dari masalah programming
linier. Sebagai contoh misalnya, model CCR versi terorientasi-input memilih untuk
unit dievaluasi (DMUk ) unit gabungan yang tidak didominasi yang mengkonsumsi
bagian terkecil yang mungkin dari input DMUk untuk memproduksi setidaknya
output DMUk . Secara lebih formal, dengan menggunakan untuk faktor kontraksi
radial dan ε > 0 untuk suatu kuantitas non-Archimedean kecil, masalah berikut
ini diselesaikan:

Universitas Sumatera Utara

11

Min θ − ε

ϕ,λj ,Si ,Sγ′

n
X

"

m
X
i=1

′

λj yrj − Sr = yrk ,

Si +

P
X
γ=1

′

Sγ

#

r = 1, . . . , p;

j=1

Dengan batasan

n
X

λj xrj + Si = θxik ,

(7)
i = 1, . . . , m;

j=1

λj ≥ 0, j = 1, . . . , n;
′

Sr ≥ 0, r = 1, . . . , S;
Si ≥ 0, i = 1, . . . , m.
Dimana:
θ = faktor kontraksi radial
ε = kuantitas non-Archimedean
λ = vektor intensitas
′

S = output slack
S = input slack

Koreksi slack ”non-Archimedean” dimaksudkan untuk mencegah pemilihan unit
rujukan yang didominasi unit gabungan lainnya, yaitu yang juga mengkonsumsi
paling banyak sebesar fraksi minimal untuk semua input dan memproduksi paling
sedikit sebesar output DMUk , tetapi menggunakan lebih sedikit input tertentu,
atau memproduksi lebih banyak output tertentu. Koreksi ini membatasi dengan
efektif unit rujukan potensial pada himpunan yang dapat diterima (6).
Model (7) sering digunakan untuk penaksiran efisiensi, karena fraksi optimal
bisa dianggap sebagai taksiran untuk ukuran efisiensi-input Farrell (1957). Statistik tersebut mengukur efisiensi DMUk sebagai fraksi terkecil dari input yang bisa
memproduksi output, yaitu

Universitas Sumatera Utara

12

θkF = Min {θ : (yk , θxk ) ∈ P }

(8)

θ

Kebaikan penyelesaian untuk model CCR terorientasi-input (7) sebagai estimator
untuk ukuran ini tergantung pada sifat sebenarnya dari teknologi produksi dan distribusi pengamatan. Seperti yang telah disebutkan di atas, jika asumsi produksi
dan distribusi standar dipenuhi, semua kombinasi linier positip dari pengamatanpengamatan termuat dalam PPS. Ini menyatakan secara tidak langsung bahwa
efisiensi tidak bisa ditaksir terlalu rendah. Akan tetapi, efisiensi bisa ditaksir terlalu tinggi, sekalipun asumsi standar dipenuhi. Jika kumpulan data tidak memuat
pengamatan-pengamatan dari mana kombinasi linier positip bisa disusun yang
menggambarkan produksi potensial untuk unit yang dievaluasi, efisiensi ditaksir
terlalu tinggi. Secara lebih formal, unit rujukan tidak efisien dan efisiensi ditaksir
terlalu tinggi jika
(

(x, y) ∈ PCCR :

y
−x

!

≥

yk
−θkF xk

!)

=θ

(9)

Ini berlaku terutama untuk sampel kecil, jumlah variabel input-output yang relatip tinggi dan untuk distribusi efisiensi yang tipis dekat frontier yang sebenarnya
(yaitu, fraksi besar dari pengamatan yang tidak efisien). Di lingkungan sedemikian,
praktek terbaik yang diamati tidak mencapai kinerja potensial setidaknya untuk
sebagian pengamatan, dan karenanya inefisiensi ditaksir terlalu tinggi untuk pengamatan tersebut.

4.2 Kerangka Data Envelopment Analisys Mean-Variansi Umum
Untuk memasukkan ketidakpastian parameter, dirumuskan masalah pemilihan unit rujukan dalam bentuk teori perkiraan utilitas Von Neumann dan Morgenstern (1967). Lebih spesifik lagi, diasumsikan bahwa evaluator memilih unit rujukan dengan memaksimalkan nilai fungsi utilitas U (·) yang ditentukan secara unik,
hingga transformasi linier positif, menurut preferensinya. Penaksiran efisiensi dan
penetapan-patokan kinerja terfokus pada pengukuran dan penjelasan perbedaan
kinerja relatif. Kinerja unit yang dievaluasi relatif terhadap kinerja unit rujukan

Universitas Sumatera Utara

13
digunakan sebagai taksiran untuk efisiensi, relatif terhadap kemungkinan produksi.
Selain itu, sebab-sebab dan perbaikan-perbaikan untuk inefisiensi ditelusuri dengan
membandingkan proses produksi unit yang dievaluasi dan proses produksi unit rujukan. Karena itu, diasumsikan bahwa fungsi utilitas didefinisikan atas perbedaan
antara variabel input-output unit rujukan dan variabel input-output unit yang
dievaluasi, yaitu

U (·) = U (Y ∗λ − yk∗, X ∗ λ − x∗k )

(10)

Dalam rumus ini, matriks Y ∗ (p × n) dan matriks X ∗ (m × n) merupakan nilai yang
sebenarnya untuk variabel input-output. Seperti yang telah disebutkan di atas,
nilai hasil pengamatan bisa menyimpang dari nilai ini karena gangguan stokastik.
Selain itu, untuk memenuhi asumsi standar bahwa unit rujukan dibatasi
pada himpunan kombinasi-kombinasi pengamatan yang bisa dicapai secara teknis dengan asumsi-asumsi yang ditetapkan pada teknologi produksi. Dalam hal
ini, ditetapkan asumsi standar CRS (2), produksi tidak efisien (3) dan pemuatan
pengamatan (4) dan selanjutnya membatasi unit rujukan pada himpunan semua
kombinasi linier positif. Dengan asumsi-asumsi ini, masalah pemilihan unit rujukan
bisa dinyatakan sebagai

Max ≥ 0 U (Y ∗ λ − yk∗, X ∗ λ − x∗k )
λ

(11)

Rumus ini bisa menghapuskan komplikasi penting yang dihadapi dalam masalah
evaluasi kinerja aktual, seperti jumlah dan identitas mitra patokan. Dimasukkannya komplikasi sedemikian akan mengharuskan peningkatan pada analisa yang
diberikan dalam studi ini. Akan tetapi, seperti yang akan ditunjukkan di bawah
ini, dengan DEA tradisional struktur yang diasumsikan sesuai dengan perkiraan
maksimisasi utilitas jika pengamatan tidak terganggu atau sebagai alternatif jika
evaluator netral risiko berkenaan dengan ketidakpastian parameter. Akibatnya,
kerangka tradisional bisa berfungsi sebagai patokan untuk lingkungan yang melibatkan gangguan dan penghindaran risiko.

Universitas Sumatera Utara

14
Untuk menyelesaikan masalah keputusan (11), variabel input-output yang
sebenarnya harus dispesifikasi. Berbeda dengan pendekatan tradisional, dalam
tesis ini mengasumsikan secara eksplisit bahwa variabel input-output terganggu
dan tidak bisa dispesifikasi secara akurat. Namun, diasumsikan bahwa hanya taksiran yang tidak akurat yang menyimpang secara acak dari nilai sebenarnya yang
ada tersedia. Dalam analisa di bawah ini, misalkan Y (X) menotasikan taksiran
untuk output (input). Dalam DEA tradisional notasi ini digunakan untuk nilai
hasil pengamatan. Akan tetapi, dengan tergantung pada teori tertentu dan data
yang ada, estimator alternatif bisa digunakan, seperti mean sampel pengamatan
ganda. Jika taksiran alternatif digunakan dalam model mean-variansi, di asumsikan demi penyederhanaan bahwa model tradisional juga menggunakan taksiran
ini (dan bukan pengamatan). Selain itu, gunakan W’ (W) untuk kesalahan penaksiran output (input). Secara lebih formal, gunakan struktur berikut untuk
taksiran input-output:
Y =Y∗+W

(12)

X = X∗ + W
Jika taksiran ini digunakan dan bukan nilai yang sebenarnya untuk variabel inputoutput, pemilihan unit rujukan merupakan masalah pilihan dengan ketidakpastian,
karena ini melibatkan ketidakpastian parameter. Dengan asumsi-asumsi di atas, ini
sesuai dengan aksioma-aksioma Von Neumann dan Morgenstern (1967) untuk unit
rujukan optimal yang akan diberikan oleh penyelesaian untuk masalah maksimisasi
berikut:


i
h 

′
Max E U (Y − W ) λ − yk − wk , ((X − W ) λ − (xk − wk ))
λ>0

= Max
λ>0

′

R

(Y − W ) λ − yk − wk

D (W ,W )
′





, ((X − W ) λ − (xk − wk ))

 ′

∂F W , W



(13)

′

′

Dalam rumus ini, w.k (w.k ) menotasikan kolom ke-k dari W (W ). Dengan analogi,
′

dalam analisa di bawah ini, akan kita gunakan wr. (wi. ) untuk menotasikan baris

Universitas Sumatera Utara

15
′

′

′

ke-r (ke-i) dari W (W ). Selain itu, f(W , W ) dan D(W , W ) masing-masing menotasikan fungsi distribusi multivariat dan domain untuk kesalahan penaksiran.
Seperti yang berlaku untuk banyak masalah pilihan dengan ketidakpastian,
masalah ini tidak bisa diselesaikan tanpa menetapkan asumsi lebih lanjut tentang distribusi probabilitas kesalahan penaksiran dan struktur preferensi evaluator. Akan tetapi, untuk menetapkan asumsi preferensi dan distribusi minimal,
sehingga meminimalkan persyaratan informasi dan melanggengkan sifat konservatif dari kerangka DEA konvensional. Karena itu, diajukan untuk menggunakan
kriteria keputusan dari teori dominasi stokastik. Ini adalah teori pilihan dengan
ketidakpastian yang mengalami perkembangan teoritis dan aplikasi empiris yang
berarti di bidang ekonomi dalam dekade-dekade terakhir. Bentuk stochastic Dominance (SD) yang paling umum tidak menetapkan asumsi tentang bentuk distribusi
gangguan. Lebih jauh lagi, tidak ada bentuk fungsional spesifik untuk preferensi
pengambil-keputusan diasumsikan. Namun, SD mengandalkan asumsi tentang
ciri-ciri umum dari preferensi pengambil-kebijakan. Ada tiga asumsi preferensi
yang lebih kuat secara progresif yang digunakan dalam literatur SD. Ketiganya
menghasilkan secara langsung kriteria SD orde-satu, orde-dua dan orde-tiga. Seluruh ketiga kriteria tersebut mengasumsikan bahwa pengambil-keputusan berusaha
memaksimalkan perkiraan utilitas yang terkait dengan hasil pilihannya. SD ordesatu mengasumsikan pengambil-keputusan tidak terbatas, yaitu lebih suka yang
lebih daripada yang kurang. Second-order SD (SSD) mengasumsikan, selain dari
ketiadaan kepuasan, bahwa pengambil-keputusan adalah penghindar risiko yaitu
tidak suka ketidakpastian. Terakhir, Third-order SD (TSD) menambah pada ketiadaan kepuasan dan penghindaran risiko asumsi bahwa pengambil-keputusan
mengalami Decreasing Absolute Risk Aversion (DARA), yaitu ketidaksukaan akan
ketidakpastian absolut berkurang sesuai dengan meningkatnya tingkat hasil. Semakin tinggi kriteria orde melibatkan kekuatan pembedaan yang lebih besar daripada kriteria orde lebih rendah, karena kriteria orde lebih tinggi memicu penurunan
yang lebih besar dari himpunan alternatif pilihan yang tidak didominasi. Akan
tetapi, kekuatan tersebut tidak diimbangi dengan keketatan asumsi preferensi yang
ditetapkan. Pada umumnya, aneh memang keseimbangan mengharuskan pertimbangan yang cermat atas struktur dan konteks masalah keputusan yang dipertimbangkan.

Universitas Sumatera Utara

16
Untuk masalah evaluasi kinerja, mengasumsikan ketiadaan kepuasan bersesuaian dengan mengasumsikan bahwa utilitas naik monoton dalam output dan
turun monoton dalam input. Ini tampaknya merupakan asumsi yang sah, karena
semakin tinggi output dan semakin rendah input, semakin didekatilah frontier dan
semakin tinggilah peningkatan kinerja potensial yang ditunjukkan. Selain itu, ketiadaan kepuasan diasumsikan secara implisit dalam model standar dan evaluator
adalah penghindar risiko yang tidak suka ketidakpastian untuk variabel inputoutput. Menurut hematnya, asumsi ini dapat dipertahankan, misalnya karena
ganjaran yang dikaitkan manager pengevaluasi pada peningkatan kinerja unit yang
dievaluasi, dan selain itu manager pengevaluasi menghindari risiko demi kekayaan
pribadinya. DARA bisa juga menjadi asumsi yang dapat dipertahankan, yang
menghasilkan kriteria TSD paling kuat. Akan tetapi, dalam literatur SD tidak
ada algoritma operasional sederhana untuk pencocokan kriteria ini dengan data
diskrit empiris. Karena itu, diajukan penggunaan SSD yang kurang kuat. Aturan
keputusan tersebut bisa dengan mudah dioperasionalisasikan dengan menggunakan
asumsi distribusi umum.
Pada umumnya, variabel acak mendominasi variabel lainnya secara stokastik
dengan orde dua, jika dan hanya jika, untuk setiap nilai yang dipilih, yang disebut terakhir mempunyai massa probabilitas kumulatif yang lebih besar daripada
yang disebut pertama. Secara lebih formal, dengan memisalkan G(·) menotasikan
kepadatan probabilitas kumulatip untuk variabel acak A dan H(·) untuk B, A
mendominasi B secara stokastik dengan orde-dua, jika dan hanya jika
Zc

−∞

H (z) ∂z >

Zc

G (z) ∂z∀c ∈ ℜ

(14)

−∞

Jika syarat ini dipenuhi, semua perkiraan utilitas yang memaksimalkan ketiadaan
kepuasan dan pengambil-keputusan penghindar risiko akan lebih menyukai A ketimbang B.
Untuk mengoperasionalisasikan kriteria SSD untuk memilih unit rujukan, kita
harus menspesifikasi lebih lanjut distribusi kesalahan penaksiran. Diasumsikan di
sini bahwa kesalahan datang dari distribusi normal multivariat dengan mean nol.

Universitas Sumatera Utara

17
Ini merupakan asumsi mudah yang membantu menyederhanakan analisa, karena
untuk variabel acak berdistribusi normal, SSD ekuivalen dengan dominasi meanvariansi, yaitu suatu variabel mendominasi variabel lainnya secara stokastik dengan
orde dua jika variabel tersebut mempunyai mean yang lebih tinggi dan variansi
yang lebih rendah. Selain itu, asumsikan bahwa kesalahan-kesalahan yang saling
bebas atas variabel input-output. Ini merupakan asumsi yang berguna, karena untuk fungsi distribusi multivariat SSD bersesusian dengan SSD untuk semua variabel asalkan variabel-variabel yang saling bebas. Akan tetapi, asumsi saling bebas mengesampingkan efek dari korelasi antara kesalahan-kesalahan input-output.
Asumsi ini dapat dipertahankan untuk kesalahan pengukuran, gangguan acak dan
outlier, karena sifatnya yang unik. Namun demikian, saling ketergantungan bisa
terjadi jika variabel input-output ganda dipengaruhi oleh sumber eksternal umum
ketidakpastian. Sebagai contoh misalnya, kenaikan suku bunga yang tidak diantisipasi meningkatkan pendapatan bunga maupun biaya bunga untuk bank. Ini
menyebabkan korelasi positip antara pendapatan bunga dan biaya bunga. Dengan mengabaikan saling ketergantungan ini akan menghasilkan penaksiran sistematik terlalu tinggi atas risiko suku bunga. Generalisasi untuk kasus di mana
dimungkinkan korelasi sedemikian akan mengharuskan batasan yang menjelaskan
saling ketergantungan sedemikian. Sebagai alternatip, faktor-faktor risiko eksternal
bisa dimasukkan sebagai variabel input-output tambahan, atau dengan mengkoreksi variabel input-output untuk ketidakpastian sistematik, yang hanya menyisakan ketidakpastian unik.
Secara lebih formal, andaikan

P′ P
( ) menotasikan matriks kovariansi un-

tuk kesalahan penaksiran untuk output (input), diasumsikan struktur kovariansi
berikut:
 P′

1

X

0



 P

1

0




 X  .
 .
 ..
;
;
..
=
=




P
P′
0
0
m
P

Universitas Sumatera Utara

18




′
′
σr11 . . . σr1n
X′  .
.. 
..
 ..
.
. 
r =
 , r = 1 . . . , p;
′
′
σrn1 · · · σrnn

(15)




′
′
σi11 . . . σi1n
X
 .
.. 
..
 ..
.
. 
i = 
 , i = 1 . . . , m.
′
′
σin1 · · · σinn
′

Di sini elemen σrlj (σilj ) menyatakan kovariansi antara kesalahan penaksiran pengamatan j dan pengamatan l untuk output r (input i). Dalam analisa di bawah ini,
′

akan digunakan σrl .(σil.) untuk menotasikan kolom ke-l dari matriks kovariansi
untuk output r (input i).
Yang jelas, keabsahan asumsi-asumsi distribusi di atas (normalitas, mean
nol dan saling bebas) tergantung pada estimator tertentu yang digunakan untuk
variabel input-output. Satu cara membenarkannya adalah dengan mengasumsikan bahwa variabel input-output diganggu oleh gangguan dari distribusi yang
memenuhi asumsi ini, dan selain itu bahwa variabel-variabel ditaksir dengan mean
sampel dari sampel T pengamatan yang berdistribusi identik dan secara bebas.
Dalam kasus tersebut, kesalahan penaksiran juga merupakan variabel acak bebas
dengan distribusi normal mean-nol, dengan matriks kovariansi yang diberikan sebagai 1/T kali matriks kovariansi gangguan.
Karena kesalahan penaksiran mengikuti distribusi normal bebas, kesalahan
′

′

penaksiran untuk perbedaan input-output, W λ − w.k dan W λ − w.k , juga adalah
variabel acak dengan distribusi normal bebas. Variansi kesalahan penaksiran ini
besarnya adalah:

i
h ′
X′
′
T
σrk (λ) = V wr .λ − wrk = λT
r λ − 2λ σrk + σrkk , r = 1, ..., p;
X
′
2
T ′
σik
(λ) = V [wi .λ − wik ] = λT
i λ − 2λ σik + σikk , i = 1, . . . , m;
′2

′

′

′

Dengan menggunakan σ.k (λ) = σik (λ) . . . σpk (λ)


T

(16)

dan σ.k (λ) = (σik (λ) . . . σmk (λ))T

Universitas Sumatera Utara

19
untuk menyatakan vektor standar deviasi yang bersesuaian, dan

N

untuk pergan-

daan vektor elemen-per-elemen, kesalahan penaksiran bisa dinyatakan sebagai
′

′

′

W λ − wk = σk (λ)

N

W λ − wk = σk (λ)

z

′

O

z

(17)

′
′
′

Di sini z = z1 . . . zp dan z = (z1 . . . zn ) menyatakan vektor variabel acak dengan
′

distribusi normal standar bebas F (z , z). Saling bebas menyatakan secara tidak
langsung bahwa distribusi multivariat sama dengan produk distribusi marginal
′

F (zr ), r = 1, . . . , p dan F (zi), i = 1, . . . , m, yaitu



′



F z ,z =

p
Y
r=1

m
 ′Y
F zr
F (zi)

(18)

i=1

Dengan mensubstitusi (17) dan (18) ke dalam (13) dihasilkan rumus berikut untuk
perkiraan utilitas:




i
h 
′
′
E U
Y − W λ − yk − wk , ((X − W ) λ − (xk − wk ))
=

Z∞

−∞
p
Q

r=1

U



′
′
Y λ − yk + σk (λ) ⊗ z , (Xλ − xk + σk (λ) ⊗
′

σF zr

m

Q

(19)

σF (zi)

i=1

Dalam rumus ini, perkiraan utilitas hanya tergantung pada taksiran perbedaan
input-output dan variansi kesalahan. Karena itu, masalah keputusan bisa dinyatakan dengan:




Max E U Y λ − yk , Xλ − xk , σkr2 (λ) , σk2 (λ)
λ>0

(20)

Ini berbeda dari kerangka tradisional, karena ini melibatkan variansi kesalahan
sebagai variabel tujuan selain taksiran perbedaan input-output.

Universitas Sumatera Utara

20
DEA tradisional mengasumsikan bahwa evaluator suka yang lebih banyak
untuk input dan yang lebih sedikit untuk input. Asumsi ini bersesuaian dengan
asumsi ketiadaan kepuasan. Seperti yang telah dibahas di atas ketiadaan kepuasan
tampaknya merupakan asumsi yang sah untuk evaluasi kinerja. Akan tetapi, dalam
kasus ketidakpastian parameter, umumnya tidak cukup membatasi unit rujukan
pada himpunan CCR yang dapat diterima (6), karena variansi kesalahan juga
harus dipertimbangkan. Pendekatan tradisional mengasumsikan secara implisit
bahwa suku-suku ini bisa diabaikan, atau yang ekuivalen dengan hal ini, bahwa
pengamatan tidak terganggu, atau sebagai alternatif bahwa evaluator adalah netral risiko. Sebaliknya, selain ketiadaan kepuasan kita asumsikan bahwa evaluator
penghindar risiko. Penghindaran risiko menyatakan secara tidak langsung bahwa
perkiraan utilitas adalah turun monoton dalam variansi kesalahan. Karena itu,
himpunan yang dapat diterima bisa berkurang untuk semua unit gabungan yang
tidak didominasi dalam suku mean-variansi, yaitu tidak ada unit alternatip yang
memberikan taksiran output (input) yang lebih tinggi (lebih rendah) dan variansi
yang lebih rendah. Secara lebih formal, hal ini berarti

AM V =


(

(

λ; τ :

Y
−X

!

τ−

S

′

S

!

=

Y
−X

!

λ;


   
′


σ (τ )
d
σ (λ)
 k
 ; τ, s′ , d′ , s, d > 0; e′ τ s′ + d′ +eτ (s + d)} = φ; λ > 0}
+  =  k
σk (λ)
σk (τ )
d
(21)
′

′

′

′

Dalam rumus ini d = (d1 . . . dp )T dan d = (d1 . . . dm )T menyatakan variansi kesalahan berlebih, yaitu perbedaan antara variansi kesalahan dari unit-unit gabungan
yang dicirikan oleh vektor intensitas τ dan λ.
Himpunan ini disebut himpunan mean-variansi yang dapat diterima. Akibat
dari ketidakpastian parameter dan penghindaran risiko, himpunan ini berbeda dari
himpunan yang dapat diterima yang diperoleh dengan analisa tradisional. Lebih
tepatnya, himpunan mean-variansi mengesampingkan semua unit gabungan yang
tidak didominasi dalam suku taksiran input-output tetapi untuk mana himpunan
data memuat unit alternatif dengan taksiran input-output yang identik, tetapi
variansi kesalahan yang lebih rendah, yaitu

Universitas Sumatera Utara

21

  
  



 
Y
s
Y
τ −   = 
 λ; τ, s′ , s > 0; e′ τ s′ + eτ s > 0 = φ
λ: τ :

 
−X
s
−X



   

′
Y
d
σk (λ) 
Y
σ (τ )
+ =
 ;
τ = 
 λ;  k
τ :

σk (τ )
d
σk (λ) 
−X
−X








′

′

τ, d, d > 0; eτ d + e τ d





′

(22)

= φ; λ > 0}

Evaluator netral-resiko bisa memilih unit rujukan dari himpunan ini, karena elemenelemennya tidak didominasi dalam suku taksiran input-output. Akan tetapi, untuk evaluator penghindar-risiko himpunan ini tidak dipakai, karena didominasi
dalam suku variansi kesalahan. Berbeda dengan himpunan CCR, himpunan meanvariansi mencakup semua unit yang didominasi dalam suku taksiran input-output,
tetapi tidak di dalam suku variansi kesalahan, yaitu


  


Y
s′
′τ ′
′
τ






λ: τ :
=
τ−
λ; τ, s , s > 0; e s + e s > 0 6= φ

 
s
−X
−X








Y



(23)


 

   
′
′
′


σk (τ )
σ (λ)
d
 ; τ, d′ , d > 0; e′ τ d′ + eτ d > 0} = φ; λ > 0
+ = k
τ :


d
σk (λ)
σk (τ )

Semua evaluator netral-risiko tidak menggunakan asumsi ini, karena kumpulan

data memuat unit alternatif dengan taksiran input-output yang lebih baik. Akan
tetapi, evaluator penghindari-risiko bisa memilih unit rujukan dari himpunan ini,
karena unit tersebut tidak didominasi dalam suku variansi kesalahan.
Dengan menggunakan himpunan mean-variansi (21) dan bukan himpunan
CCR (6), masalah keputusan (11) bisa dinyatakan sebagai
j 
k
′
Max E U Y λ − yk , Xλ − xk , σ 2 (λ) , σk2 (λ)
λ∈AM V

(24)

Seperti halnya dalam DEA tradisional, unit rujukan bisa dipilih dari himpunan ini
dengan menggunakan masalah programming matematik yang mencerminkan informasi preferensi selain ketiadaan kepuasan dan penghindaran-risiko, atau sebagai

Universitas Sumatera Utara

22
alternatif dengan menggunakan prosedur keputusan interaktif. Sebagai contoh misalnya, dengan memenuhi asumsi standar bahwa evaluator lebih menyukai unit
rujukan yang menggunakan fraksi terkecil yang mungkin dari input unit yang dievaluasi untuk memproduksi setidaknya sama dengan outputnya, model (7) bisa
diperluas sebagai berikut:

m
P
P
P
′
sr
si +
Min θ − ε

θ.λj .si .kr

+ε

"

m
P

i=1

i=1

n P
n
P

r=1

λj λl σilj − 2

j=1 l=1

n
P

λj σikj + σikk

j=1
n
P

j=1
n
P

′

!

+

P
P

r=1

n P
n
P

j=1 l=1

λj yrj − sr = yrk ,

r = 1, . . . , p;

λj yij − si = θxik,

i = 1, . . . , m;

′

λj λl σrlj − 2

n
P

j=1

′

λj σikj + σikk

j=1

Dengan batasan :λj ≥ 0,
′

j = 1, . . . , n;

sr ≥ 0,

r = 1, . . . , p;

si ≥ 0,

i = 1, . . . , m;

′

(25)

Fungsi tujuan dari model ini mencakup koreksi variansi ”non-Archimedean” selain
koreksi slack yang digunakan dalam model tradisional. Koreksi variansi tersebut
dimasukkan untuk mengesampingkan pemilihan unit rujukan yang didominasi oleh
unit lainnya yang memberikan penurunan input radial yang identik, tetapi mempunyai variansi kesalahan yang lebih kecil, yaitu elemen dari himpunan (21). Unit
yang didominasi dalam suku taksiran input-output tetapi tidak didominasi dalam
suku variansi kesalahan, yaitu elemen dari himpunan (22), bisa dicoret di sini,
karena kontraksi input dan produksi output DMUk diberi prioritas dimuka ketimbang penurunan variansi. Karena itu, koreksi variansi efektif membatasi unit
rujukan pada himpunan mean-variansi.
Model standar (7) bisa diselesaikan dengan mula-mula memaksimalkan keuntungan radial dan selanjutnya memaksimalkan jumlah target untuk memperoleh
keuntungan lebih lanjut di mana memungkinkan, dengan mempertahankan semua
keuntungan radial. Sebagian besar software DEA (misalnya, software Warwick)
menanamkan prosedur dua-tahap sedemikian. Prosedur dua-tahap serupa bisa di-

Universitas Sumatera Utara

!#

23
gunakan untuk menyelesaikan (25). Lebih tepatnya, tahap pertama adalah mencari
nilai optimal untuk dengan menyelesaikan masalah berikut:
Min θ

θ.λj .si .kr

n
P

Dengan batasan:

′

j=1

λj yrj − sr = yrk ,
n
P

r = 1, . . . , p;

λj yij − si = θxik,

i = 1, . . . , m;

j=1

λj ≥ 0,
′

j = 1, . . . , n;

sr ≥