DIAGRAM LATTICE DAN KONSTRUKSI DYCK PATH DENGAN PANJANG K – UPSTROKES DAN K – DOWNSTROKES DARI TITIK (0,0) KE (2K,0) DAN PERUBAHAN BENTUK DARI DYCK PATH MENJADI 2 – COLORED MOTZKIN PATH DAN SCHRÖDER PATH
DIAGRAM LATTICE DAN KONSTRUKSI DYCK PATH DENGAN
PANJANG K – UPSTROKES DAN K – DOWNSTROKES DARI TITIK (0,0)
KE (2K,0) DAN PERUBAHAN BENTUK DARI DYCK PATH MENJADI
2 – COLORED MOTZKIN PATH DAN SCHRÖDER PATH
ABSTRAK
Penelitian ini membahas salah satu aplikasi dari bilangan Catalan yaitu ketika
menghitung banyaknya cara yang dapat dilakukan oleh seseorang dalam memilih
rute perjalanan dari titik awal (0,0) sampai titik Lattice (n,n) dengan cara
melangkah setiap satu satuan ke arah kanan atau ke arah atas. Hal ini dikenal
sebagai Lattice path. Akan tetapi ketika cara melangkah Lattice path berubah
menjadi diagonal maka lintasan yang dihasilkan disebut sebagai Dyck path. Selain
itu, Dyck Path dengan panjang K – upstrokes Dan K – downstrokes dari titik (0,0)
ke (2k,0) juga dapat berubah bentuk menjadi 2 – colored Motzkin path dan
Schröder path. Dalam penelitian ini juga akan dibuktikan dengan induksi
matematika bahwa bilangan Catalan Cn dapat dinyatakan dalam bentuk
Cn
2n
1 2n
; n 1 atau 2
n
n n 1
2n 1 untuk n ≥ 0.
n
Kata Kunci : Bilangan Catalan, Dyck path, Lattice path, 2 – colored Motzkin path,
Schröder path
LATTICE DIAGRAM AND DYCK PATH CONSTRUCTION OF LENGTH
K – UPSTROKES AND K – DOWNSTROKES FROM (0,0) TO (2K,0) AND
DYCK PATH CHANGING TO 2 – COLORED MOTZKIN PATH AND
SCHRÖDER PATH
Abstract
This research discusses about one application of the Catalan numbers which is
how to calculate the number of strategies for someone in choosing a travel route
from (0,0) to (n,n) using one unit step to the right or above. This is known as the
Lattice path. If the Lattice path changes into diagonal path, then the generated
path is called as the Dyck path. Moreover, the Dyck path with k – upstrokes and k
– downstrokes from (0,0) to (2k,0) also can be changed into 2 – colored Motzkin
path and Schroder path. We also prove that the Catalan numbers can be
alternatively defined as follow : C n
2n
1 2n
; n 1 or 2
n
n n 1
2n 1
n
for n ≥ 0.
Keywords: Catalan number, Dyck path, Lattice path, 2 - colored Motzkin path,
Schröder path
DIAGRAM LATTICE DAN KONSTRUKSI DYCK PATH DENGAN
PANJANG K – UPSTROKES DAN K – DOWNSTROKES DARI TITIK (0,0)
KE(2K,0) DAN PERUBAHAN BENTUK DARI DYCK PATH MENJADI 2 –
COLORED MOTZKIN PATH DAN SCHRÖDER PATH
Oleh :
Cut Nurliana Setia Putri
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
IWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Karang pada tanggal 27 September 1986
merupakan anak pertama dari enam bersaudara pasangan Bapak Teuku M. Nur
dan Ibu Agustina E.
Pendidikan formal yang pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 1 Kampung Baru pada tahun 1991 – 1997.
2. Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 8 Bandar
Lampung pada tahun 1997 – 2000.
3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Al – Kautsar Bandar Lampung pada
tahun 2000 – 2003.
4. S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung pada tahun 2003 – 2007.
Pada tahun 2008 sampai dengan Juli 2009 penulis bekerja sebagai salah satu staf
pengajar Universitas Teuku Umar (UTU) Meulaboh Aceh Barat dan pada bulan
Januari 2010 penulis diangkat sebagai CPNS guru matematika Kota Bandar
Lampung di SMA Negeri 12 Bandar Lampung.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap alhamdulillah puji syukur atas karunia Allah SWT, atas izin
dan ridha – Nya karya ku ini dapat terselesaikan dan kupersembahkan kepada
orang – orang tercinta :
Ayahanda dan ibunda, Bapak Teuku M. Nur dan Ibu Agustina E atas doa dan
kasih sayang yang diberikan dalam setiap langkahku dalam menggapai semua
impian.
Zaujih al – mahboob, Dedi Syahputra atas cinta, pengertian, semangat dan
dukungan yang selalu diberikan
Adik – adik yang paling kakak sayang, TM Fawaaty HS, Cut Dara Permata Sari,
TM. Robby Mandala, Cut Annisa Intan Keumala, Cut Aziza Tasya Malahayati
Almamater tercinta Universitas Lampung
MOTTO
Berusaha sebaik dan semaksimal mungkin. Apapun hasilnya, pasrahkan pada
Allah Subhanahuwata’ala.
SANWACANA
Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang
berjudul “Diagram Lattice dan Konstruksi Dyck Path dengan
Panjang
K – Upstrokes dan K – Downstrokes dari Titik (0,0) Ke (2k,0) dan Perubahan
Bentuk dari Dyck Path Menjadi 2 – Colored Motzkin Path dan Schröder Path”.
Shalawat dan salam penulis sanjungkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW.
Tesis ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi guna memperoleh gelar
Magister Sains
di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. Penulis menyadari bahwa penulisan
tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik secara
moril maupun materil. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D, selaku pembimbing I yang telah
memberikan sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si, selaku Pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
serta pembahas yang
memberikan arahan pada
penulis dalam
menyelesaikan tesis ini.
4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A, Ph.D, selaku Ketua Program Studi
Magister Matemtika sekaligus pembimbing akademik yang telah mendidik
dan memberikan arahan kepada penulis.
5. Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama
menyelesaikan masa studi.
6. Ayahanda dan Ibunda yang telah mendukung penulis dari awal masa studi
ke penulisan tesis ini selesai.
7. Yang selalu mendampingi, suamiku Dedi Syahputra, SP sebagai orang
yang paling mendukung baik doa, moril dan materil demi tercapainya
gelar M.Si ini
8. Teman-teman angkatan 2013 yang telah membantu penulis baik secara
langsung maupun tidak langsung yang telah membantu dan memotivasi
penulis untuk menyelesaikan tesis ini.
Harapan penulis semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi perkembangan ilmu
pengetahuan.
Bandar Lampung, 31 Juli 2015
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI..............................................................................................
i
DAFTAR GAMBAR.................................................................................
iii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
iv
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah .............................................................
1
1.2
Batasan Penelitian ......................................................................
4
1.3
Tujuan Penelitian........................................................................
4
1.4
Manfaat Penelitian......................................................................
5
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Koefisien Binomial .....................................................................
6
2.2
Segitiga Pascal (Koshy, 2009) ....................................................
7
2.3
Bilangan Catalan (Koshy, 2009).................................................
8
2.3.1 Relasi Rekurensi (Anderson, 2002)...................................
8
2.3.2 Definisi Rekursif dari Bilangan Catalan Cn (Davis, 2014)
10
Konsep Dasar Teori Graf ............................................................
11
2.4
2.5 Lattice Path, Dyck Path, 2 – colored Motzkin path
dan Schrödder Path.....................................................................
12
III METODE PENELITIAN
3.1
Penelitian Relevan yang Telah Dilakukan..................................
16
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian ....................................................
17
3.3
Metode Penelitian .......................................................................
17
IV PEMBAHASAN..................................................................................
21
V KESIMPULAN....................................................................................
41
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Bilangan Catalan ........................................................................
8
Tabel 3.1 Konstruksi mountain ranges untuk n = 0,1,2,3...........................
16
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Segitiga Pascal ........................................................................
7
Gambar 2.2 Contoh Graf G dengan 9 vertex dan 5 edge ............................
11
Gambar 2.3 Contoh Graf yang memuat walk..............................................
12
Gambar 2.4 Contoh Lattice .........................................................................
12
Gambar 2.5 Contoh Dyck path dengan peak berjumlah 1 ..........................
14
Gambar 2.6 Contoh Dyck path dengan valley berjumlah 1 ........................
14
Gambar 2.7 Contoh k – colored Motzkin Lattice path dengan k = 2..........
15
Gambar 2.8 Contoh Schröder path dari (0,0) sampai (6,0) ........................
15
Gambar 3.1 Cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
18
Gambar 3.2 Cara mengubah Dyck path menjadi Schrödder path tanpa peak
19
Gambar 3.3 Diagram alir penelitian............................................................
20
Gambar 4.1 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 1 ...................................
21
Gambar 4.2 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 2 ...................................
22
Gambar 4.3 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 3...................................
23
Gambar 4.4 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 4 ...................................
25
Gambar 4.5 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 5 ..................................
32
Gambar 4.6 Banyaknya cara bersalaman yang mungkin untuk 0 ≤ n ≤ 3 ..
38
Gambar 4.7 Banyaknya cara yang mungkin dapat dilewati semut untuk
0 ≤ n ≤ 4.................................................................................
40
I.
PENDAHULUAN
1.1. LATAR BELAKANG MASALAH
Eugene C. Catalan adalah seorang matematikawan asal Belgia yang menemukan
bilangan Catalan pada tahun 1838 ketika mempelajari bentuk barisan parentheses
(barisan bentuk kurung). Barisan parentheses dibuat dari semua string seimbang
yang dibentuk dari n tanda kurung sebelah kiri dan n tanda kurung sebelah kanan
dengan jumlah dari tanda kurung sebelah kanan tidak boleh melebihi tanda
kurung sebelah kiri. Catalan menghitung banyaknya cara suatu rantai dari n + 1
simbol yang bisa dibentuk dengan n pasang tanda kurung sehingga setiap
pasangan memiliki 2 simbol, sebuah ekspresi kurung dan sebuah simbol atau dua
ekspresi kurung. Sebagai contoh, untuk n = 3, dapat dibentuk string seperti ()()()
dan (())(), namun tidak diizinkan membentuk string seperti (())) atau ())(()
(Grimaldi, 2012). Akan tetapi, bilangan tersebut tidaklah ditemukan pertama kali
oleh Catalan.
Sekitar tahun 1751 Euler menemukan bilangan Catalan ketika mempelajari
trigonometri dari poligon konveks (Koshy, 2009). Euler menentukan jumlah total
dari cara seseorang bisa menggambarkan n – 3 diagonal dalam suatu poligon
konveks n – sisi ( untuk n ≥ 3) sehingga tidak ada dua diagonal beririsan didalam
poligon dan bagian dalam poligon adalah triangulasi pada n – 2 segitiga.
2
Bilangan Catalan ini dapat diaplikasikan dalam berbagai macam hal. Berbagai
contoh aplikasi bilangan Catalan ini telah dipublikasikan oleh Jiang (2012), antara
lain sebagai berikut :
1. Stacking coins yaitu jumlah cara mengambil koin pada baris bagian bawah
yang terdiri dari n berurutan dalam sebuah bidang sedemikian sehingga
tidak ada koin yang diijinkan untuk diletakkan pada dua sisi dari koin
bagian terbawah dan setiap koin tambahan harus berada di atas dua koin.
2. Balanced parantheses yaitu jumlah cara mengelompokkan suatu string
dari n pasangan dari tanda kurung sedemikian sehingga setiap kurung buka
berpasangan dengan kurung tutup
3. Mountain ranges yaitu jumlah cara membentuk daerah gunung pada suatu
garis dengan n upstrokes dan n downstrokes sedemikian sehingga setiap
upstroke bersesuaian dengan downstroke dengan lintasan tidak berada di
bawah titik awal.
4. Polygon triangulation yaitu jumlah cara memotong n+2 polygon sisi
konveks dalam sebuah bidang menjadi segitiga dengan menghubungkan
titik – titik dengan garis lurus dan tidak ada garis yang berpotongan.
5. Balanced trees yaitu jumlah dari pohon biner lengkap dengan n titik
dalam. Titik dalam adalah sebuah titik yang menghubungkan titik lain
yang berada diatasnya. Pohon biner lengkap adalah suatu akar pohon yang
setiap titik dalamnya memiliki tepat dua segmen untuk tumbuh.
Salah satu aplikasi lain dari bilangan Catalan adalah ketika menghitung
banyaknya cara yang dapat dilakukan oleh seseorang
dalam memilih rute
3
perjalanan dari titik awal (0,0) sampai titik Lattice (n,n) dengan cara melangkah
setiap satu satuan ke arah kanan atau ke arah atas. Hal ini dikenal sebagai Lattice
path. Akan tetapi ketika cara melangkah Lattice path berubah menjadi diagonal
maka lintasan yang dihasilkan disebut sebagai Dyck path.
Sebelumnya sudah banyak peneliti melakukan penelitian mengenai Dyck path,
akan tetapi di Indonesia, sangat jarang sekali peneliti yang meneliti tentang hal
ini. Beberapa penelitian yang telah dilakukan mengenai Dyck path adalah sebagai
berikut :
1. Heubach and Toufik pada tahun 2006 dalam jurnalnya yang berjudul
Staircase Tilings and Lattice Paths menjelaskan mengenai bagaimana
menentukan suatu struktur kombinatorial, yaitu suatu pengubinan dari tangga
dalam bidang
2 ketika dibatasi dengan cara yang berbeda untuk
menciptakan bijeksi langsung untuk Dyck path dengan panjang 2n, Motzkin
Path dengan panjang n dan n – 1 serta Schröder Paths dan Little Schröder
Paths dengan panjang n.
2. Dalam jurnal Counting Humps in Motzkin Paths,
Ding and Du pada tahun
2011, membahas mengenai jumlah bukit dari Dyck, Motzkin dan Schröder
paths. Sebelumnya, Regev (2010) menyadari bahwa jumlah gunung dari
semua Dyck path panjang n adalah satu setengah dari jumlah Super Dyck path
panjang n. Super Dyck path adalah suatu Dyck path yang diizinkan berada di
bawah x – axis. Kemudian dihitung jumlah bukit dari Motzkin Path dan
ditemukan relasi yang sama. Dalam jurnal ini, Ding and Du memberikan
suatu bijeksi dan membuktikannya. Selain itu diberikan pula pembuktian baru
4
bahwa jumlah Dyck path dengan panjang n dengan k bukit adalah bilangan
Narayana. Bilangan Narayana N(n, k), n = 1, 2, 3 ..., 1 ≤ k ≤ n sesuai nama
penemunya seorang matematikawan dari India T.V. Narayana (1930
1987)
1 n n
(Grimaldi, 2012).
didefinisikan dalam bentuk N (n, k )
n k k 1
Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai banyaknya cara mengkonstruksi
Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0)
sampai (2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada
titik titik ujungnya dan perubahan bentuk dari Dyck path menjadi 2 – colored
Motzkin path dan menjadi Schröder path.
1.2 Batasan Penelitian
Dalam penelitian ini hanya akan didiskusikan tentang diagram Lattice dan
konstruksi Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik
(0,0) sampai dengan (2k,0) yang dilakukan dibatasi dengan syarat path tidak
boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada titik – titik ujung serta perubahan
bentuk menjadi 2 – colored Motzkin path dan menjadi Schröder path tanpa peak.
Hasil konstruksi yang digambarkan dalam penelitian ini hanya sampai k = 5
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengkonstruksi diagram Lattice dari titik (0,0) sampai (k,k) dan Dyck path
dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0) sampai
5
(2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada titik
titik ujungnya.
2. Menentukan pola barisan dari Dyck path yang telah dikonstruksi.
3. Mengubah konstruksi dari Dyck path yang telah dibentuk menjadi 2-colored
Motzkin path.
4. Mengubah konstruksi dari Dyck path yang telah dibentuk menjadi Schröder
path.
5. Membuktikan bahwa Dyck path yang terbentuk adalah bilangan Catalan
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang salah
satu aplikasi bilangan Catalan yaitu diagram Lattice serta Dyck path dan
bagaimana cara mengkonstruksinya serta mengubahnya dalam beberapa bentuk.
6
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar, istilah – istilah dan definisi
yang erat kaitannya dengan masalah yang harus dibahas yaitu mengenai
banyaknya cara mengkonstruksi Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k –
downstrokes dari titik (0,0) ke (2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh
sumbu - x kecuali pada titik titik ujungnya.
2.1 Koefisien Binominal
Misalkan n dan r adalah bilangan buat non negatif. Koefisien binomial
didefinisikan sebagai berikut :
�
�
n
n!
r r! n r !
Dengan 0 ≤ r ≤ n. Jika r > n, maka
Teorema 2.1.1 (Koshy, 2009)
�
didefinisikan sebagai 0 (Koshy, 2009).
�
Misalkan n dan r adalah bilangan bulat non negatif, maka
�
�
=
�−�
�
7
Bukti :
n
n!
n r n r !n (n r )!
n!
(n r )! r!
2.2 Segitiga Pascal (Koshy, 2009)
Koefisien binomial
�
�
dengan 0 ≤ r ≤ n dapat disusun dalam bentuk
segitiga. Setelah Pascal pada tahun 1663 menulis buku yang berjudul
Treatise on Arithmetic Triangle kemudian buku tersebut dipublikasikan pada
tahun 1665, maka segitiga yang dibentuk dari koefisien binomial
�
disebut
�
segitiga Pascal. Segitiga Pascal dapat digambarkan sebagai berikut :
0
0
1
1
1
0
4
0
5
0
5
1
5
3
5
4
1
1
1
1
1
3
5
6
1
2
4
1
3
6
10
15
6
6
baris 1
1
1
5
5
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
5
2
4
4
4
3
4
2
4
1
3
3
3
2
3
1
3
0
2
2
2
1
2
0
1
4
10
20
1
5
15
Gambar 2.1. Segitiga Pascal
1
6
1
8
2.3 Bilangan Catalan (Koshy, 2009)
Bilangan Catalan Cn secara umum didefinisikan sebagai berikut :
Cn
(2n)!
(n 1)! n!
1 2n
,n 0
n 1 n
Beberapa bilangan Catalan adalah sebagai berikut :
Tabel 2.1. Tabel bilangan Catalan
2.3.1
n
Cn
0
1
1
1
2
2
3
5
4
14
5
42
6
132
7
429
8
1430
9
4862
Relasi Rekurensi (Anderson, 2002)
Ketika mempelajari barisan dari bilangan an, akan didapatkan suatu
hubungan antara an dan an-1 atau antara beberapa nilai sebelum ai, i < n.
Hubungan inilah yang disebut dengan relasi rekurensi.
9
Contoh 1 : (Menara Hanoi) (Anderson, 2002)
Masalah ini terkenal pada abad ke 19 oleh seorang matematikawan
Perancis yang bernama E. Lucas. Terdapat n piringan, semua
berukuran berbeda yang memiliki lubang ditengahnya dan tiga wadah
vertikal sehingga piringan bisa disusun. Kondisi awalnya adalah semua
piringan berada dalam satu tempat secara berurutan dengan urutan
bagian bawah adalah piringan yang paling besar dan bagian atas adalah
piringan terkecil sehingga membentuk sebuah menara. Piringan akan
dipindahkan satu persatu, sehingga n piringan dapat tersusun dalam
wadah yang lain, dengan syarat tidak ada langkah dimana sembarang
piringan terletak di atas dibagian paling atas dari piringan yang
terkecil. Berapakah jumlah minimum langkah untuk memindahkan
piringan tersebut ?
Misalkan an dinotasikan sebagai jumlah langkah minimum untuk
memindahkan n piringan. Jelas bahwa a1 = 1 dan a2 = 3. Pindahkan
dari bagian atas ke wadah kedua, dan pindahkan bagian berikutnya ke
wadah ketiga. Kemudian pindahkan lagi piringan terkecil di atas
piringan yang lebih besar. Bagaimanakah dengan an ?. Jelas bahwa
untuk memindahkan piringan bagian bawah, harus ada wadah yang
kosong untuk memindahkannya sehingga untuk n -1 piringan yang lain
harus dipindahkan ke wadah ketiga. Untuk memperoleh langkah ini,
an-1 harus dipindahkan. Piringan terbesar harus dipindahkan dalam
wadah yang kosong kemudian piringan an
– 1
yang lain dipindahkan
sehingga piringan n – 1 yang lain berada di atasnya. Sehingga,
10
an = 2an-1 + 1.
Dengan relasi rekurensi ini, dan kondisi awal adalah a1 = 1 , maka
dapat ditentukan an.
a1 = 1
a2 = 2.1 + 1 =3
a3 = 2.3 + 1 = 7
a4 = 2.7 + 1 = 15
... ...
an = 2an-1 + 1 = 2 (1 +2an-2) + 1 = 1 + 2 + 22an-2
= 1 + 2 + 22 (1 +2an-3) = 1 + 2 +22 + 23an-2
= 1 + 2 +22 + ... + 2n-2 + 2n-1a1
= 1 + 2 +22 + ... + 2n-1
= 2n - 1
2.3.2
Definisi Rekursif Dari Bilangan Catalan Cn (Davis, 2014)
Bilangan Catalan Cn didefinisikan sebagai berikut :
Cn
(2n)!
(n 1)! n!
1 2n
,n 0
n 1 n
Diasumsikan telah dihitung bilangan Catalan Cn untuk n = 0,1,2,...,n-1.
Akan dihitung untuk nilai n.
Telah dihitung secara langsung bilangan Catalan Cn untuk n = 0,1,2,3,4
sehingga diperoleh Co = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14
Sehingga, dapat diperoleh bentuk relasi rekurensi sebagai berikut :
11
Kondisi Awal :
C0
=1
C1
= C0C0
C2
= C1C0 + C0C1
C3
= C2C0 + C1C1 + C0C2
C4
= C3C0 + C2C1 + C1C2 + C0C3
...
...
Cn
= Cn-1C0 + Cn-2C1 + ... + C1Cn-2 + C0Cn-1
2.4 Konsep Dasar Teori Graf
Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) himpunan tak kosong yang
elemen – elemennya disebut titik / vertex , sedangkan E(G) (mungkin kosong)
adalah himpunan pasangan tak terurut dari elemen – elemen di V(G) yang
anggotanya disebut sisi / edge. (Deo, 1989)
Contoh 2 :
Gambar 2.2. Contoh graf G dengan 9 vertex dan 5 edge
Walk
Deo pada tahun 1989 menyatakan bahwa walk adalah barisan berhingga dari
titik dan garis, dimulai dan diakhiri dengan titik sehingga setiap garis
menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Tidak ada sisi yang muncul
lebih dari sekali dalam satu walk.
12
V2
Contoh 3:
e1
e6
e2
e5
V1
V3
e3
e4
V4
Gambar 2.3. Contoh graf yang memuat walk
Contoh walk : v1, e1, v2, e2, v3, e5, v1,e4,v4
Path / Lintasan
Path / lintasan adalah suatu walk yang tidak memiliki pengulangan vertex.
(Hsu and Lin, 2009)
Berdasarkan Gambar 2, contoh path adalah v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4
2.5 Lattice Path, Dyck Path, 2 – colored Motzkin path dan Schröder Path
Lattice
Lattice (V , E ) adalah suatu model matematika dalam ruang diskrit yang
terdiri dari dua himpunan, suatu himpunan vertex V n dan suatu
himpunan edge E n n dengan tidak lebih dari dua sisi diantara dua
titik. (Wallner, 2015)
Contoh 4 :
Gambar 2.4. Contoh Lattice
13
Definisi Lattice Path / Lattice Walk
Misalkan (V , E ) . n – step Lattice path / Lattice walk atau walk dari
s V menuju x V adalah suatu barisan (0 , 1 ,..., n ) dari elemen
dalam V , sedemikian sehingga :
1. 0 s, n x
2. (i , i 1 ) E
Panjang dari suatu Lattice path adalah jumlah n langkah (edge) pada
barisan (0 , 1 ,..., n ) (Wallner, 2015)
Dyck path
Dyck path adalah suatu path dalam kuadran pertama yang dimulai dari titik
asal dan berakhir pada (2n, 0) dan terdiri dari langkah (1,1) (disebut rise ) dan
(1,-1) (disebut fall). (Deutsch, 1999)
Definisi lain dari Dyck path (atau Mountain path) adalah Lattice path dalam
koordinat bidang (x,y) dari (0, 0) to (2n, 0) dengan langkah (1, 1) (Up) dan (1,
-1) (Down) tanpa pernah terletak di bawah sumbu – x. (Došlić and Veljan,
2007)
Peak / Puncak
Pada Dyck path, suatu peak dapat terjadi sebagai bagian dari path ketika suatu
upstroke D (↗) diikuti dengan langkah downstroke D*(↘). (Grimaldi, 2012)
14
Contoh 5 :
Y
Y
2
1
1
X
1
X
2
1
2
3
4
Gambar 2.5. Contoh Dyck path dengan peak berjumlah 1
Valley / lembah
Suatu valley dalam Dyck path dapat terjadi sebagai bagian dari path ketika
suatu downstroke D*(↘) diikuti dengan langkah upstroke D (↗).(Grimaldi,
2012)
Contoh 6 :
Y
3
2
1
X
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.6. Contoh Dyck path dengan valley berjumlah 1
K – Colored Motzkin Lattice Path
Motzkin path dengan panjang n adalah suatu Lattice path dari 2 yang
berjalan dari (0,0) sampai (n,0) tanpa pernah berada di bawah sumbu – x
dengan langkah yang diizinkan adalah langkah diagonal ke atas / rise
(1,1), langkah diagonal ke bawah /fall(1,-1) dan langkah horizontal (1,0).
Jika langkah dilabeli oleh k warna, maka kita menyebutnya K – colored
Motzkin Lattice path. (Tsikouras dan Sapounakis, 2004)
15
Contoh 7 :
y
1
x
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.7. Contoh k – colored Motzkin Lattice path dengan k = 2
Schröder Path
Schröder path adalah suatu barisan dengan langkah rise yang didefinisikan
oleh (1,1), fall yang didefinisikan oleh (1,-1) dan langkah horizontal yang
didefinisikan oleh (2,0) dimulai dari (0,0) sampai (2n,0) tanpa pernah
berada di bawah sumbu - x. (Pinzani and Pergola,1999)
Contoh 8 :
y
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.8. Contoh Schröder path dari (0,0) sampai (6,0)
16
te by Dn the set of all Dyck paths of semilength n. We denote by Do the
set consisting only of the
III. METODE PENELITIAN
3.1 Penelitian Relevan yang Telah Dilakukan
Adapun beberapa hasil penelitian yang telah dilakukan oleh beberapa peneliti
sebelumnya adalah :
3.1.1 Jiang (2012) mengkonstruksi mountain range untuk n = 0 sampai
n = 3 pada sebuah garis dengan n upstrokes (/) dan n downstrokes (\)
sehingga setiap upstrokes bersesuaian dengan downstrokes dan path
tidak berada di bawah titik awal. Hasil yang diperoleh adalah
berdasarkan konstruksi tersebut didapat bahwa untuk setiap n dan n
adalah bilangan non negatif, sehingga cara untuk mengkonstruksinya
adalah sebanyak bilangan Catalan Cn.
Tabel 3.1. Konstruksi mountain ranges untuk n = 0,1,2,3
Bentuk mountain ranges yang
dikonstruksi
n
n= 0
n = 1 /\
n = 2 /\ ,
n=3
/\
/ \
/\
/\/\
/ \
/\/\/\ , /\/ \ , / \/\ , /
\,/
\
/\
/\
Banyaknya
cara
mengkonstruksi
1 cara
Bilangan
Catalan
1 cara
C1
2 cara
C2
5 cara
C3
C0
17
3.1.2 Peart dan Woan (2001) menghitung Dyck path tanpa peak pada tinggi
k dengan k ≥ 1. Dalam jurnalnya disimpulkan bahwa jumlah dari
Dyck path dengan panjang 2n + 2, untuk n ≥ 0 dengan tanpa peak
pada ketinggian 2 adalah bilangan Catalan Cn.
3.2 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Program Studi Magister Matematika Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan alam (MIPA)
Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran 2014 – 2015.
3.3 Metode Penelitian
Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan Dyck path dan bilangan Catalan
2. Mengkonstruksi Lattice path dari (0,0) sampai (k,k) untuk k = 1 sampai
dengan k = 5. Lattice path yang dibentuk adalah Lattice path yang berada
pada kuadran pertama pada koordinat Cartesius tanpa pernah melewati
garis
y = x dengan langkah yang diizinkan adalah sebagai berikut :
langkah ke kanan : R : (x,y)→ (x +1,y)
langkah ke atas
: U : (x,y)↑ (x +1,y)
3. Mengkonstruksi Dyck path dengan
panjang k – upstrokes dan k –
downstrokes dari titik (0,0) sampai (2k,0) dengan syarat path tidak boleh
menyentuh sumbu – x kecuali pada titik titik ujungnya.
18
Langkah mengkonstruksi Dyck path (Grimaldi, 2012) adalah mengubah
Lattice path yang telah dibentuk menjadi Dyck path dengan cara sebagai
berikut :
Langkah ke kanan diganti menjadi upstroke/ rise
R : (x,y)→ (x +1,y) diubah menjadi D : (x,y)
(x +1,y+1)
Langkah ke atas diganti menjadi downstroke / fall
U : (x,y)↑ (x +1,y) diubah menjadi D* : (x,y)
(x +1,y-1)
4. Tentukan pola bilangan dari Dyck path yang telah dikonstruksi
5. Susun korespondensi satu – satu dari bentuk Dyck path menjadi 2 –
colored Motzkin path. Empat jenis langkah yang diizinkan dalam 2 –
colored Motzkin path menurut Grimaldi (2012)adalah :
1. D : (x,y)
2. D* : (x,y)
(x +1,y+1)
(x +1,y-1)
3. R1 : (x,y) merah
(x +1,y)
4. R2 : (x,y) biru
(x +1,y)
Adapun cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
adalah sebagai berikut :
Dyck
D,D
Dyck
D,D*
Motzkin
D
Motzkin
R2
Dyck
D*,D*
Motzkin
D*
Dyck
D*,D
Motzkin
R1
Gambar 3.1 Cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
19
6. Susun korespondensi satu – satu bentuk Dyck path menjadi Schröder path
tanpa peak.
Menurut Grimaldi (2012) tiga langkah yang diizinkan dalam Schröder
path adalah sebagai berikut :
1. D : (x,y)
2. D* : (x,y)
(x +1,y+1)
(x +1,y-1)
3. R* : (x,y)
(x +2,y)
Cara mengubah bentuk Dyck path menjadi Schröder path tanpa peak
adalah:
Dyck
D,D*
Schröder
R*
Gambar 3.2 Cara mengubah bentuk Dyck path menjadi Schröder path
tanpa peak
7. Membuktikan bahwa jumlah pola bilangan dari Dyck path yang telah
dikonstruksi adalah bilangan Catalan.
20
Langkah penelitian ini dapat dinyatakan dalam bentuk diagram alir sebagai
berikut :
Start
Tentukan k
k5
ya
Gambarkan Lattice
path
Ubah menjadi Dyck
path
Ubah menjadi 2 –
colored Motzkin path
Tidak ada
konstruksi
Ubah menjadi 2 –
Schröder path
Tentukan pola
bilangan Dyck path
Buktikan jumlah
pola bilangan Dyck
path adalah Cn
Stop
Gambar 3.3. Diagram alir penelitian
Lebih dari 14
pola
V. KESIMPULAN
Pada penelitian ini telah didiskusikan mengenai diagram Lattice dan konstruksi
Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0)
sampai (2k,0) dan perubahan bentuk dari Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin
path dan Schröder path dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x
kecuali pada titik – titik ujung serta perubahan bentuk menjadi 2 – colored
Motzkin path dan menjadi Schröder path tanpa peak. Hasil konstruksi yang
digambarkan dalam penelitian ini hanya sampai k = 5.
Berdasarkan hasil observasi diperoleh bahwa
untuk n k 1 dengan k ,
n 0 maka Dyck path yang memiliki panjang k - upstrokes dan k -
downstrokes mulai dari titik ujung (0,0) sampai (2k,0) dan tidak pernah
menyentuh sumbu – x kecuali pada titik titik ujungnya adalah berjumlah bilangan
Catalan Cn. Selain itu telah dibuktikan bahwa bilangan Catalan Cn dapat
1 2n
2n 2n 1
untuk
; n 1 atau 2
dinyatakan dalam bentuk Cn
n n 1
n n
n 0.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, Ian. 2002.A first Course in Discrete Mathematics. Springer, London.
Davis, Tom. 2014. Catalan Number. http://www.geometer.org/mathcircles,
diakses tanggal 20 Mei 2015 pukul 14.00 WIB.
Drake, Dan. 2010. Bijection From Weighted Dyck Paths to Schroder Paths.
Journal Integer Seq. 13 (2010), n0 9, Article 10.9.2, 20pp.
arXiv:1006.1959v2 [math.CO].
Deo, N. 1989. Graph Theory With Application To Engineering and Computer
Science. Prentice Hall, Inc. Engelewood Cliffs, New Jersey.
Deutsch, Emeric. 1998. A Bijection on Dyck Path and Its Cosequences. Discrete
Mathematics, Vol 179, pp 253 - 256.
Deutsch, Emeric. 1999. An Involution on Dyck paths and its consequences.
Discrete Mathematics, Vol 204,pp 163 – 166.
Došlić, Tomislav and Veljan, Darko. 2007. Secondary Structures, Plane Tree and
Motzkin Number. Mathematical Communication, Vol 12, pp 163 – 169.
Ding,Yun and Du, Rosena R.X. 2011. Counting Humps in Motzkin
Paths.Departement of mathematics. Shanghai. arXiv:1 109.2661v1
[math.CO]13 Sep 2011.
Grimaldi, Ralph P. 2012. Fibonacci and Catalan Numbers: An Introduction.
Hoboken, NJ: John Wiley & Sons,. Print.
Heubach, Silvia and Mansour, Toufik. 2006. Staircase Tilings and Lattice Paths.
CA 90032 – 8204 USA. Congressus Numerantium, Vol 182, 97 – 109.
Hsu, Lih-Sing and lin, Cheng-Kuan.2009. Graph Theory and Interconnection
Network. Taylor & francis Group, Boca Raton.
Jiang,
Xiaotong.
2012.
Aplication
of
Catalan
Numbers.
http://www.sbc.edu/sites/default/files/Honors/XiaotongJiang.July20_0.pdf,
diakses tanggal 20 Mei 2015 pukul 14.30 WIB.
Koshy, Thomas. 2009. Catalan Numbers with Applications. Oxford: Oxford
UP,Print.
Peart , Paul and Woan, Wen Jin. 2001. Dyck Path With No Peaks at Height k.
Journal of Integer Sequences, Vol. 4, Article 01.1.3
Pinzani, R and Pergola, E. 1999. A combinatorial Interpretation of area of
Schröder Paths. The Electronic Journal of Combinatorics Vol 6, #R40
Regev, A. 2010. Humps For Dyck And For Motzkin Paths. arXiv: 1002. 4504 v1
[math.CO] 24 Feb 2010
Tsikouras, P and Sapounakis, A. 2004. On k – colored Motzkin Word. Journal of
Integer Sequences, Vol. 7, Article 04.2.5
Wallner, Michael. Lattice Path Combinatorics. http://dmg.tuwien.ac.at/drmota/
Thesis_Wallner.pdf diakses tanggal 23 Mei 2015 pukul 16.00 WIB.
PANJANG K – UPSTROKES DAN K – DOWNSTROKES DARI TITIK (0,0)
KE (2K,0) DAN PERUBAHAN BENTUK DARI DYCK PATH MENJADI
2 – COLORED MOTZKIN PATH DAN SCHRÖDER PATH
ABSTRAK
Penelitian ini membahas salah satu aplikasi dari bilangan Catalan yaitu ketika
menghitung banyaknya cara yang dapat dilakukan oleh seseorang dalam memilih
rute perjalanan dari titik awal (0,0) sampai titik Lattice (n,n) dengan cara
melangkah setiap satu satuan ke arah kanan atau ke arah atas. Hal ini dikenal
sebagai Lattice path. Akan tetapi ketika cara melangkah Lattice path berubah
menjadi diagonal maka lintasan yang dihasilkan disebut sebagai Dyck path. Selain
itu, Dyck Path dengan panjang K – upstrokes Dan K – downstrokes dari titik (0,0)
ke (2k,0) juga dapat berubah bentuk menjadi 2 – colored Motzkin path dan
Schröder path. Dalam penelitian ini juga akan dibuktikan dengan induksi
matematika bahwa bilangan Catalan Cn dapat dinyatakan dalam bentuk
Cn
2n
1 2n
; n 1 atau 2
n
n n 1
2n 1 untuk n ≥ 0.
n
Kata Kunci : Bilangan Catalan, Dyck path, Lattice path, 2 – colored Motzkin path,
Schröder path
LATTICE DIAGRAM AND DYCK PATH CONSTRUCTION OF LENGTH
K – UPSTROKES AND K – DOWNSTROKES FROM (0,0) TO (2K,0) AND
DYCK PATH CHANGING TO 2 – COLORED MOTZKIN PATH AND
SCHRÖDER PATH
Abstract
This research discusses about one application of the Catalan numbers which is
how to calculate the number of strategies for someone in choosing a travel route
from (0,0) to (n,n) using one unit step to the right or above. This is known as the
Lattice path. If the Lattice path changes into diagonal path, then the generated
path is called as the Dyck path. Moreover, the Dyck path with k – upstrokes and k
– downstrokes from (0,0) to (2k,0) also can be changed into 2 – colored Motzkin
path and Schroder path. We also prove that the Catalan numbers can be
alternatively defined as follow : C n
2n
1 2n
; n 1 or 2
n
n n 1
2n 1
n
for n ≥ 0.
Keywords: Catalan number, Dyck path, Lattice path, 2 - colored Motzkin path,
Schröder path
DIAGRAM LATTICE DAN KONSTRUKSI DYCK PATH DENGAN
PANJANG K – UPSTROKES DAN K – DOWNSTROKES DARI TITIK (0,0)
KE(2K,0) DAN PERUBAHAN BENTUK DARI DYCK PATH MENJADI 2 –
COLORED MOTZKIN PATH DAN SCHRÖDER PATH
Oleh :
Cut Nurliana Setia Putri
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
IWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Karang pada tanggal 27 September 1986
merupakan anak pertama dari enam bersaudara pasangan Bapak Teuku M. Nur
dan Ibu Agustina E.
Pendidikan formal yang pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 1 Kampung Baru pada tahun 1991 – 1997.
2. Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 8 Bandar
Lampung pada tahun 1997 – 2000.
3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Al – Kautsar Bandar Lampung pada
tahun 2000 – 2003.
4. S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung pada tahun 2003 – 2007.
Pada tahun 2008 sampai dengan Juli 2009 penulis bekerja sebagai salah satu staf
pengajar Universitas Teuku Umar (UTU) Meulaboh Aceh Barat dan pada bulan
Januari 2010 penulis diangkat sebagai CPNS guru matematika Kota Bandar
Lampung di SMA Negeri 12 Bandar Lampung.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap alhamdulillah puji syukur atas karunia Allah SWT, atas izin
dan ridha – Nya karya ku ini dapat terselesaikan dan kupersembahkan kepada
orang – orang tercinta :
Ayahanda dan ibunda, Bapak Teuku M. Nur dan Ibu Agustina E atas doa dan
kasih sayang yang diberikan dalam setiap langkahku dalam menggapai semua
impian.
Zaujih al – mahboob, Dedi Syahputra atas cinta, pengertian, semangat dan
dukungan yang selalu diberikan
Adik – adik yang paling kakak sayang, TM Fawaaty HS, Cut Dara Permata Sari,
TM. Robby Mandala, Cut Annisa Intan Keumala, Cut Aziza Tasya Malahayati
Almamater tercinta Universitas Lampung
MOTTO
Berusaha sebaik dan semaksimal mungkin. Apapun hasilnya, pasrahkan pada
Allah Subhanahuwata’ala.
SANWACANA
Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang
berjudul “Diagram Lattice dan Konstruksi Dyck Path dengan
Panjang
K – Upstrokes dan K – Downstrokes dari Titik (0,0) Ke (2k,0) dan Perubahan
Bentuk dari Dyck Path Menjadi 2 – Colored Motzkin Path dan Schröder Path”.
Shalawat dan salam penulis sanjungkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW.
Tesis ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi guna memperoleh gelar
Magister Sains
di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. Penulis menyadari bahwa penulisan
tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik secara
moril maupun materil. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D, selaku pembimbing I yang telah
memberikan sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si, selaku Pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
serta pembahas yang
memberikan arahan pada
penulis dalam
menyelesaikan tesis ini.
4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A, Ph.D, selaku Ketua Program Studi
Magister Matemtika sekaligus pembimbing akademik yang telah mendidik
dan memberikan arahan kepada penulis.
5. Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama
menyelesaikan masa studi.
6. Ayahanda dan Ibunda yang telah mendukung penulis dari awal masa studi
ke penulisan tesis ini selesai.
7. Yang selalu mendampingi, suamiku Dedi Syahputra, SP sebagai orang
yang paling mendukung baik doa, moril dan materil demi tercapainya
gelar M.Si ini
8. Teman-teman angkatan 2013 yang telah membantu penulis baik secara
langsung maupun tidak langsung yang telah membantu dan memotivasi
penulis untuk menyelesaikan tesis ini.
Harapan penulis semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi perkembangan ilmu
pengetahuan.
Bandar Lampung, 31 Juli 2015
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI..............................................................................................
i
DAFTAR GAMBAR.................................................................................
iii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
iv
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah .............................................................
1
1.2
Batasan Penelitian ......................................................................
4
1.3
Tujuan Penelitian........................................................................
4
1.4
Manfaat Penelitian......................................................................
5
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Koefisien Binomial .....................................................................
6
2.2
Segitiga Pascal (Koshy, 2009) ....................................................
7
2.3
Bilangan Catalan (Koshy, 2009).................................................
8
2.3.1 Relasi Rekurensi (Anderson, 2002)...................................
8
2.3.2 Definisi Rekursif dari Bilangan Catalan Cn (Davis, 2014)
10
Konsep Dasar Teori Graf ............................................................
11
2.4
2.5 Lattice Path, Dyck Path, 2 – colored Motzkin path
dan Schrödder Path.....................................................................
12
III METODE PENELITIAN
3.1
Penelitian Relevan yang Telah Dilakukan..................................
16
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian ....................................................
17
3.3
Metode Penelitian .......................................................................
17
IV PEMBAHASAN..................................................................................
21
V KESIMPULAN....................................................................................
41
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Bilangan Catalan ........................................................................
8
Tabel 3.1 Konstruksi mountain ranges untuk n = 0,1,2,3...........................
16
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Segitiga Pascal ........................................................................
7
Gambar 2.2 Contoh Graf G dengan 9 vertex dan 5 edge ............................
11
Gambar 2.3 Contoh Graf yang memuat walk..............................................
12
Gambar 2.4 Contoh Lattice .........................................................................
12
Gambar 2.5 Contoh Dyck path dengan peak berjumlah 1 ..........................
14
Gambar 2.6 Contoh Dyck path dengan valley berjumlah 1 ........................
14
Gambar 2.7 Contoh k – colored Motzkin Lattice path dengan k = 2..........
15
Gambar 2.8 Contoh Schröder path dari (0,0) sampai (6,0) ........................
15
Gambar 3.1 Cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
18
Gambar 3.2 Cara mengubah Dyck path menjadi Schrödder path tanpa peak
19
Gambar 3.3 Diagram alir penelitian............................................................
20
Gambar 4.1 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 1 ...................................
21
Gambar 4.2 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 2 ...................................
22
Gambar 4.3 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 3...................................
23
Gambar 4.4 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 4 ...................................
25
Gambar 4.5 Konstruksi Lattice path, Dyck path, 2 – colored Motzkin path,
Schrödder path tanpa peak untuk k = 5 ..................................
32
Gambar 4.6 Banyaknya cara bersalaman yang mungkin untuk 0 ≤ n ≤ 3 ..
38
Gambar 4.7 Banyaknya cara yang mungkin dapat dilewati semut untuk
0 ≤ n ≤ 4.................................................................................
40
I.
PENDAHULUAN
1.1. LATAR BELAKANG MASALAH
Eugene C. Catalan adalah seorang matematikawan asal Belgia yang menemukan
bilangan Catalan pada tahun 1838 ketika mempelajari bentuk barisan parentheses
(barisan bentuk kurung). Barisan parentheses dibuat dari semua string seimbang
yang dibentuk dari n tanda kurung sebelah kiri dan n tanda kurung sebelah kanan
dengan jumlah dari tanda kurung sebelah kanan tidak boleh melebihi tanda
kurung sebelah kiri. Catalan menghitung banyaknya cara suatu rantai dari n + 1
simbol yang bisa dibentuk dengan n pasang tanda kurung sehingga setiap
pasangan memiliki 2 simbol, sebuah ekspresi kurung dan sebuah simbol atau dua
ekspresi kurung. Sebagai contoh, untuk n = 3, dapat dibentuk string seperti ()()()
dan (())(), namun tidak diizinkan membentuk string seperti (())) atau ())(()
(Grimaldi, 2012). Akan tetapi, bilangan tersebut tidaklah ditemukan pertama kali
oleh Catalan.
Sekitar tahun 1751 Euler menemukan bilangan Catalan ketika mempelajari
trigonometri dari poligon konveks (Koshy, 2009). Euler menentukan jumlah total
dari cara seseorang bisa menggambarkan n – 3 diagonal dalam suatu poligon
konveks n – sisi ( untuk n ≥ 3) sehingga tidak ada dua diagonal beririsan didalam
poligon dan bagian dalam poligon adalah triangulasi pada n – 2 segitiga.
2
Bilangan Catalan ini dapat diaplikasikan dalam berbagai macam hal. Berbagai
contoh aplikasi bilangan Catalan ini telah dipublikasikan oleh Jiang (2012), antara
lain sebagai berikut :
1. Stacking coins yaitu jumlah cara mengambil koin pada baris bagian bawah
yang terdiri dari n berurutan dalam sebuah bidang sedemikian sehingga
tidak ada koin yang diijinkan untuk diletakkan pada dua sisi dari koin
bagian terbawah dan setiap koin tambahan harus berada di atas dua koin.
2. Balanced parantheses yaitu jumlah cara mengelompokkan suatu string
dari n pasangan dari tanda kurung sedemikian sehingga setiap kurung buka
berpasangan dengan kurung tutup
3. Mountain ranges yaitu jumlah cara membentuk daerah gunung pada suatu
garis dengan n upstrokes dan n downstrokes sedemikian sehingga setiap
upstroke bersesuaian dengan downstroke dengan lintasan tidak berada di
bawah titik awal.
4. Polygon triangulation yaitu jumlah cara memotong n+2 polygon sisi
konveks dalam sebuah bidang menjadi segitiga dengan menghubungkan
titik – titik dengan garis lurus dan tidak ada garis yang berpotongan.
5. Balanced trees yaitu jumlah dari pohon biner lengkap dengan n titik
dalam. Titik dalam adalah sebuah titik yang menghubungkan titik lain
yang berada diatasnya. Pohon biner lengkap adalah suatu akar pohon yang
setiap titik dalamnya memiliki tepat dua segmen untuk tumbuh.
Salah satu aplikasi lain dari bilangan Catalan adalah ketika menghitung
banyaknya cara yang dapat dilakukan oleh seseorang
dalam memilih rute
3
perjalanan dari titik awal (0,0) sampai titik Lattice (n,n) dengan cara melangkah
setiap satu satuan ke arah kanan atau ke arah atas. Hal ini dikenal sebagai Lattice
path. Akan tetapi ketika cara melangkah Lattice path berubah menjadi diagonal
maka lintasan yang dihasilkan disebut sebagai Dyck path.
Sebelumnya sudah banyak peneliti melakukan penelitian mengenai Dyck path,
akan tetapi di Indonesia, sangat jarang sekali peneliti yang meneliti tentang hal
ini. Beberapa penelitian yang telah dilakukan mengenai Dyck path adalah sebagai
berikut :
1. Heubach and Toufik pada tahun 2006 dalam jurnalnya yang berjudul
Staircase Tilings and Lattice Paths menjelaskan mengenai bagaimana
menentukan suatu struktur kombinatorial, yaitu suatu pengubinan dari tangga
dalam bidang
2 ketika dibatasi dengan cara yang berbeda untuk
menciptakan bijeksi langsung untuk Dyck path dengan panjang 2n, Motzkin
Path dengan panjang n dan n – 1 serta Schröder Paths dan Little Schröder
Paths dengan panjang n.
2. Dalam jurnal Counting Humps in Motzkin Paths,
Ding and Du pada tahun
2011, membahas mengenai jumlah bukit dari Dyck, Motzkin dan Schröder
paths. Sebelumnya, Regev (2010) menyadari bahwa jumlah gunung dari
semua Dyck path panjang n adalah satu setengah dari jumlah Super Dyck path
panjang n. Super Dyck path adalah suatu Dyck path yang diizinkan berada di
bawah x – axis. Kemudian dihitung jumlah bukit dari Motzkin Path dan
ditemukan relasi yang sama. Dalam jurnal ini, Ding and Du memberikan
suatu bijeksi dan membuktikannya. Selain itu diberikan pula pembuktian baru
4
bahwa jumlah Dyck path dengan panjang n dengan k bukit adalah bilangan
Narayana. Bilangan Narayana N(n, k), n = 1, 2, 3 ..., 1 ≤ k ≤ n sesuai nama
penemunya seorang matematikawan dari India T.V. Narayana (1930
1987)
1 n n
(Grimaldi, 2012).
didefinisikan dalam bentuk N (n, k )
n k k 1
Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai banyaknya cara mengkonstruksi
Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0)
sampai (2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada
titik titik ujungnya dan perubahan bentuk dari Dyck path menjadi 2 – colored
Motzkin path dan menjadi Schröder path.
1.2 Batasan Penelitian
Dalam penelitian ini hanya akan didiskusikan tentang diagram Lattice dan
konstruksi Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik
(0,0) sampai dengan (2k,0) yang dilakukan dibatasi dengan syarat path tidak
boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada titik – titik ujung serta perubahan
bentuk menjadi 2 – colored Motzkin path dan menjadi Schröder path tanpa peak.
Hasil konstruksi yang digambarkan dalam penelitian ini hanya sampai k = 5
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengkonstruksi diagram Lattice dari titik (0,0) sampai (k,k) dan Dyck path
dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0) sampai
5
(2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x kecuali pada titik
titik ujungnya.
2. Menentukan pola barisan dari Dyck path yang telah dikonstruksi.
3. Mengubah konstruksi dari Dyck path yang telah dibentuk menjadi 2-colored
Motzkin path.
4. Mengubah konstruksi dari Dyck path yang telah dibentuk menjadi Schröder
path.
5. Membuktikan bahwa Dyck path yang terbentuk adalah bilangan Catalan
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang salah
satu aplikasi bilangan Catalan yaitu diagram Lattice serta Dyck path dan
bagaimana cara mengkonstruksinya serta mengubahnya dalam beberapa bentuk.
6
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar, istilah – istilah dan definisi
yang erat kaitannya dengan masalah yang harus dibahas yaitu mengenai
banyaknya cara mengkonstruksi Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k –
downstrokes dari titik (0,0) ke (2k,0) dengan syarat path tidak boleh menyentuh
sumbu - x kecuali pada titik titik ujungnya.
2.1 Koefisien Binominal
Misalkan n dan r adalah bilangan buat non negatif. Koefisien binomial
didefinisikan sebagai berikut :
�
�
n
n!
r r! n r !
Dengan 0 ≤ r ≤ n. Jika r > n, maka
Teorema 2.1.1 (Koshy, 2009)
�
didefinisikan sebagai 0 (Koshy, 2009).
�
Misalkan n dan r adalah bilangan bulat non negatif, maka
�
�
=
�−�
�
7
Bukti :
n
n!
n r n r !n (n r )!
n!
(n r )! r!
2.2 Segitiga Pascal (Koshy, 2009)
Koefisien binomial
�
�
dengan 0 ≤ r ≤ n dapat disusun dalam bentuk
segitiga. Setelah Pascal pada tahun 1663 menulis buku yang berjudul
Treatise on Arithmetic Triangle kemudian buku tersebut dipublikasikan pada
tahun 1665, maka segitiga yang dibentuk dari koefisien binomial
�
disebut
�
segitiga Pascal. Segitiga Pascal dapat digambarkan sebagai berikut :
0
0
1
1
1
0
4
0
5
0
5
1
5
3
5
4
1
1
1
1
1
3
5
6
1
2
4
1
3
6
10
15
6
6
baris 1
1
1
5
5
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
5
2
4
4
4
3
4
2
4
1
3
3
3
2
3
1
3
0
2
2
2
1
2
0
1
4
10
20
1
5
15
Gambar 2.1. Segitiga Pascal
1
6
1
8
2.3 Bilangan Catalan (Koshy, 2009)
Bilangan Catalan Cn secara umum didefinisikan sebagai berikut :
Cn
(2n)!
(n 1)! n!
1 2n
,n 0
n 1 n
Beberapa bilangan Catalan adalah sebagai berikut :
Tabel 2.1. Tabel bilangan Catalan
2.3.1
n
Cn
0
1
1
1
2
2
3
5
4
14
5
42
6
132
7
429
8
1430
9
4862
Relasi Rekurensi (Anderson, 2002)
Ketika mempelajari barisan dari bilangan an, akan didapatkan suatu
hubungan antara an dan an-1 atau antara beberapa nilai sebelum ai, i < n.
Hubungan inilah yang disebut dengan relasi rekurensi.
9
Contoh 1 : (Menara Hanoi) (Anderson, 2002)
Masalah ini terkenal pada abad ke 19 oleh seorang matematikawan
Perancis yang bernama E. Lucas. Terdapat n piringan, semua
berukuran berbeda yang memiliki lubang ditengahnya dan tiga wadah
vertikal sehingga piringan bisa disusun. Kondisi awalnya adalah semua
piringan berada dalam satu tempat secara berurutan dengan urutan
bagian bawah adalah piringan yang paling besar dan bagian atas adalah
piringan terkecil sehingga membentuk sebuah menara. Piringan akan
dipindahkan satu persatu, sehingga n piringan dapat tersusun dalam
wadah yang lain, dengan syarat tidak ada langkah dimana sembarang
piringan terletak di atas dibagian paling atas dari piringan yang
terkecil. Berapakah jumlah minimum langkah untuk memindahkan
piringan tersebut ?
Misalkan an dinotasikan sebagai jumlah langkah minimum untuk
memindahkan n piringan. Jelas bahwa a1 = 1 dan a2 = 3. Pindahkan
dari bagian atas ke wadah kedua, dan pindahkan bagian berikutnya ke
wadah ketiga. Kemudian pindahkan lagi piringan terkecil di atas
piringan yang lebih besar. Bagaimanakah dengan an ?. Jelas bahwa
untuk memindahkan piringan bagian bawah, harus ada wadah yang
kosong untuk memindahkannya sehingga untuk n -1 piringan yang lain
harus dipindahkan ke wadah ketiga. Untuk memperoleh langkah ini,
an-1 harus dipindahkan. Piringan terbesar harus dipindahkan dalam
wadah yang kosong kemudian piringan an
– 1
yang lain dipindahkan
sehingga piringan n – 1 yang lain berada di atasnya. Sehingga,
10
an = 2an-1 + 1.
Dengan relasi rekurensi ini, dan kondisi awal adalah a1 = 1 , maka
dapat ditentukan an.
a1 = 1
a2 = 2.1 + 1 =3
a3 = 2.3 + 1 = 7
a4 = 2.7 + 1 = 15
... ...
an = 2an-1 + 1 = 2 (1 +2an-2) + 1 = 1 + 2 + 22an-2
= 1 + 2 + 22 (1 +2an-3) = 1 + 2 +22 + 23an-2
= 1 + 2 +22 + ... + 2n-2 + 2n-1a1
= 1 + 2 +22 + ... + 2n-1
= 2n - 1
2.3.2
Definisi Rekursif Dari Bilangan Catalan Cn (Davis, 2014)
Bilangan Catalan Cn didefinisikan sebagai berikut :
Cn
(2n)!
(n 1)! n!
1 2n
,n 0
n 1 n
Diasumsikan telah dihitung bilangan Catalan Cn untuk n = 0,1,2,...,n-1.
Akan dihitung untuk nilai n.
Telah dihitung secara langsung bilangan Catalan Cn untuk n = 0,1,2,3,4
sehingga diperoleh Co = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14
Sehingga, dapat diperoleh bentuk relasi rekurensi sebagai berikut :
11
Kondisi Awal :
C0
=1
C1
= C0C0
C2
= C1C0 + C0C1
C3
= C2C0 + C1C1 + C0C2
C4
= C3C0 + C2C1 + C1C2 + C0C3
...
...
Cn
= Cn-1C0 + Cn-2C1 + ... + C1Cn-2 + C0Cn-1
2.4 Konsep Dasar Teori Graf
Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) himpunan tak kosong yang
elemen – elemennya disebut titik / vertex , sedangkan E(G) (mungkin kosong)
adalah himpunan pasangan tak terurut dari elemen – elemen di V(G) yang
anggotanya disebut sisi / edge. (Deo, 1989)
Contoh 2 :
Gambar 2.2. Contoh graf G dengan 9 vertex dan 5 edge
Walk
Deo pada tahun 1989 menyatakan bahwa walk adalah barisan berhingga dari
titik dan garis, dimulai dan diakhiri dengan titik sehingga setiap garis
menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Tidak ada sisi yang muncul
lebih dari sekali dalam satu walk.
12
V2
Contoh 3:
e1
e6
e2
e5
V1
V3
e3
e4
V4
Gambar 2.3. Contoh graf yang memuat walk
Contoh walk : v1, e1, v2, e2, v3, e5, v1,e4,v4
Path / Lintasan
Path / lintasan adalah suatu walk yang tidak memiliki pengulangan vertex.
(Hsu and Lin, 2009)
Berdasarkan Gambar 2, contoh path adalah v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4
2.5 Lattice Path, Dyck Path, 2 – colored Motzkin path dan Schröder Path
Lattice
Lattice (V , E ) adalah suatu model matematika dalam ruang diskrit yang
terdiri dari dua himpunan, suatu himpunan vertex V n dan suatu
himpunan edge E n n dengan tidak lebih dari dua sisi diantara dua
titik. (Wallner, 2015)
Contoh 4 :
Gambar 2.4. Contoh Lattice
13
Definisi Lattice Path / Lattice Walk
Misalkan (V , E ) . n – step Lattice path / Lattice walk atau walk dari
s V menuju x V adalah suatu barisan (0 , 1 ,..., n ) dari elemen
dalam V , sedemikian sehingga :
1. 0 s, n x
2. (i , i 1 ) E
Panjang dari suatu Lattice path adalah jumlah n langkah (edge) pada
barisan (0 , 1 ,..., n ) (Wallner, 2015)
Dyck path
Dyck path adalah suatu path dalam kuadran pertama yang dimulai dari titik
asal dan berakhir pada (2n, 0) dan terdiri dari langkah (1,1) (disebut rise ) dan
(1,-1) (disebut fall). (Deutsch, 1999)
Definisi lain dari Dyck path (atau Mountain path) adalah Lattice path dalam
koordinat bidang (x,y) dari (0, 0) to (2n, 0) dengan langkah (1, 1) (Up) dan (1,
-1) (Down) tanpa pernah terletak di bawah sumbu – x. (Došlić and Veljan,
2007)
Peak / Puncak
Pada Dyck path, suatu peak dapat terjadi sebagai bagian dari path ketika suatu
upstroke D (↗) diikuti dengan langkah downstroke D*(↘). (Grimaldi, 2012)
14
Contoh 5 :
Y
Y
2
1
1
X
1
X
2
1
2
3
4
Gambar 2.5. Contoh Dyck path dengan peak berjumlah 1
Valley / lembah
Suatu valley dalam Dyck path dapat terjadi sebagai bagian dari path ketika
suatu downstroke D*(↘) diikuti dengan langkah upstroke D (↗).(Grimaldi,
2012)
Contoh 6 :
Y
3
2
1
X
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.6. Contoh Dyck path dengan valley berjumlah 1
K – Colored Motzkin Lattice Path
Motzkin path dengan panjang n adalah suatu Lattice path dari 2 yang
berjalan dari (0,0) sampai (n,0) tanpa pernah berada di bawah sumbu – x
dengan langkah yang diizinkan adalah langkah diagonal ke atas / rise
(1,1), langkah diagonal ke bawah /fall(1,-1) dan langkah horizontal (1,0).
Jika langkah dilabeli oleh k warna, maka kita menyebutnya K – colored
Motzkin Lattice path. (Tsikouras dan Sapounakis, 2004)
15
Contoh 7 :
y
1
x
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.7. Contoh k – colored Motzkin Lattice path dengan k = 2
Schröder Path
Schröder path adalah suatu barisan dengan langkah rise yang didefinisikan
oleh (1,1), fall yang didefinisikan oleh (1,-1) dan langkah horizontal yang
didefinisikan oleh (2,0) dimulai dari (0,0) sampai (2n,0) tanpa pernah
berada di bawah sumbu - x. (Pinzani and Pergola,1999)
Contoh 8 :
y
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
Gambar 2.8. Contoh Schröder path dari (0,0) sampai (6,0)
16
te by Dn the set of all Dyck paths of semilength n. We denote by Do the
set consisting only of the
III. METODE PENELITIAN
3.1 Penelitian Relevan yang Telah Dilakukan
Adapun beberapa hasil penelitian yang telah dilakukan oleh beberapa peneliti
sebelumnya adalah :
3.1.1 Jiang (2012) mengkonstruksi mountain range untuk n = 0 sampai
n = 3 pada sebuah garis dengan n upstrokes (/) dan n downstrokes (\)
sehingga setiap upstrokes bersesuaian dengan downstrokes dan path
tidak berada di bawah titik awal. Hasil yang diperoleh adalah
berdasarkan konstruksi tersebut didapat bahwa untuk setiap n dan n
adalah bilangan non negatif, sehingga cara untuk mengkonstruksinya
adalah sebanyak bilangan Catalan Cn.
Tabel 3.1. Konstruksi mountain ranges untuk n = 0,1,2,3
Bentuk mountain ranges yang
dikonstruksi
n
n= 0
n = 1 /\
n = 2 /\ ,
n=3
/\
/ \
/\
/\/\
/ \
/\/\/\ , /\/ \ , / \/\ , /
\,/
\
/\
/\
Banyaknya
cara
mengkonstruksi
1 cara
Bilangan
Catalan
1 cara
C1
2 cara
C2
5 cara
C3
C0
17
3.1.2 Peart dan Woan (2001) menghitung Dyck path tanpa peak pada tinggi
k dengan k ≥ 1. Dalam jurnalnya disimpulkan bahwa jumlah dari
Dyck path dengan panjang 2n + 2, untuk n ≥ 0 dengan tanpa peak
pada ketinggian 2 adalah bilangan Catalan Cn.
3.2 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Program Studi Magister Matematika Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan alam (MIPA)
Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran 2014 – 2015.
3.3 Metode Penelitian
Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan Dyck path dan bilangan Catalan
2. Mengkonstruksi Lattice path dari (0,0) sampai (k,k) untuk k = 1 sampai
dengan k = 5. Lattice path yang dibentuk adalah Lattice path yang berada
pada kuadran pertama pada koordinat Cartesius tanpa pernah melewati
garis
y = x dengan langkah yang diizinkan adalah sebagai berikut :
langkah ke kanan : R : (x,y)→ (x +1,y)
langkah ke atas
: U : (x,y)↑ (x +1,y)
3. Mengkonstruksi Dyck path dengan
panjang k – upstrokes dan k –
downstrokes dari titik (0,0) sampai (2k,0) dengan syarat path tidak boleh
menyentuh sumbu – x kecuali pada titik titik ujungnya.
18
Langkah mengkonstruksi Dyck path (Grimaldi, 2012) adalah mengubah
Lattice path yang telah dibentuk menjadi Dyck path dengan cara sebagai
berikut :
Langkah ke kanan diganti menjadi upstroke/ rise
R : (x,y)→ (x +1,y) diubah menjadi D : (x,y)
(x +1,y+1)
Langkah ke atas diganti menjadi downstroke / fall
U : (x,y)↑ (x +1,y) diubah menjadi D* : (x,y)
(x +1,y-1)
4. Tentukan pola bilangan dari Dyck path yang telah dikonstruksi
5. Susun korespondensi satu – satu dari bentuk Dyck path menjadi 2 –
colored Motzkin path. Empat jenis langkah yang diizinkan dalam 2 –
colored Motzkin path menurut Grimaldi (2012)adalah :
1. D : (x,y)
2. D* : (x,y)
(x +1,y+1)
(x +1,y-1)
3. R1 : (x,y) merah
(x +1,y)
4. R2 : (x,y) biru
(x +1,y)
Adapun cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
adalah sebagai berikut :
Dyck
D,D
Dyck
D,D*
Motzkin
D
Motzkin
R2
Dyck
D*,D*
Motzkin
D*
Dyck
D*,D
Motzkin
R1
Gambar 3.1 Cara mengubah Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin path
19
6. Susun korespondensi satu – satu bentuk Dyck path menjadi Schröder path
tanpa peak.
Menurut Grimaldi (2012) tiga langkah yang diizinkan dalam Schröder
path adalah sebagai berikut :
1. D : (x,y)
2. D* : (x,y)
(x +1,y+1)
(x +1,y-1)
3. R* : (x,y)
(x +2,y)
Cara mengubah bentuk Dyck path menjadi Schröder path tanpa peak
adalah:
Dyck
D,D*
Schröder
R*
Gambar 3.2 Cara mengubah bentuk Dyck path menjadi Schröder path
tanpa peak
7. Membuktikan bahwa jumlah pola bilangan dari Dyck path yang telah
dikonstruksi adalah bilangan Catalan.
20
Langkah penelitian ini dapat dinyatakan dalam bentuk diagram alir sebagai
berikut :
Start
Tentukan k
k5
ya
Gambarkan Lattice
path
Ubah menjadi Dyck
path
Ubah menjadi 2 –
colored Motzkin path
Tidak ada
konstruksi
Ubah menjadi 2 –
Schröder path
Tentukan pola
bilangan Dyck path
Buktikan jumlah
pola bilangan Dyck
path adalah Cn
Stop
Gambar 3.3. Diagram alir penelitian
Lebih dari 14
pola
V. KESIMPULAN
Pada penelitian ini telah didiskusikan mengenai diagram Lattice dan konstruksi
Dyck path dengan panjang k – upstrokes dan k – downstrokes dari titik (0,0)
sampai (2k,0) dan perubahan bentuk dari Dyck path menjadi 2 – colored Motzkin
path dan Schröder path dengan syarat path tidak boleh menyentuh sumbu – x
kecuali pada titik – titik ujung serta perubahan bentuk menjadi 2 – colored
Motzkin path dan menjadi Schröder path tanpa peak. Hasil konstruksi yang
digambarkan dalam penelitian ini hanya sampai k = 5.
Berdasarkan hasil observasi diperoleh bahwa
untuk n k 1 dengan k ,
n 0 maka Dyck path yang memiliki panjang k - upstrokes dan k -
downstrokes mulai dari titik ujung (0,0) sampai (2k,0) dan tidak pernah
menyentuh sumbu – x kecuali pada titik titik ujungnya adalah berjumlah bilangan
Catalan Cn. Selain itu telah dibuktikan bahwa bilangan Catalan Cn dapat
1 2n
2n 2n 1
untuk
; n 1 atau 2
dinyatakan dalam bentuk Cn
n n 1
n n
n 0.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, Ian. 2002.A first Course in Discrete Mathematics. Springer, London.
Davis, Tom. 2014. Catalan Number. http://www.geometer.org/mathcircles,
diakses tanggal 20 Mei 2015 pukul 14.00 WIB.
Drake, Dan. 2010. Bijection From Weighted Dyck Paths to Schroder Paths.
Journal Integer Seq. 13 (2010), n0 9, Article 10.9.2, 20pp.
arXiv:1006.1959v2 [math.CO].
Deo, N. 1989. Graph Theory With Application To Engineering and Computer
Science. Prentice Hall, Inc. Engelewood Cliffs, New Jersey.
Deutsch, Emeric. 1998. A Bijection on Dyck Path and Its Cosequences. Discrete
Mathematics, Vol 179, pp 253 - 256.
Deutsch, Emeric. 1999. An Involution on Dyck paths and its consequences.
Discrete Mathematics, Vol 204,pp 163 – 166.
Došlić, Tomislav and Veljan, Darko. 2007. Secondary Structures, Plane Tree and
Motzkin Number. Mathematical Communication, Vol 12, pp 163 – 169.
Ding,Yun and Du, Rosena R.X. 2011. Counting Humps in Motzkin
Paths.Departement of mathematics. Shanghai. arXiv:1 109.2661v1
[math.CO]13 Sep 2011.
Grimaldi, Ralph P. 2012. Fibonacci and Catalan Numbers: An Introduction.
Hoboken, NJ: John Wiley & Sons,. Print.
Heubach, Silvia and Mansour, Toufik. 2006. Staircase Tilings and Lattice Paths.
CA 90032 – 8204 USA. Congressus Numerantium, Vol 182, 97 – 109.
Hsu, Lih-Sing and lin, Cheng-Kuan.2009. Graph Theory and Interconnection
Network. Taylor & francis Group, Boca Raton.
Jiang,
Xiaotong.
2012.
Aplication
of
Catalan
Numbers.
http://www.sbc.edu/sites/default/files/Honors/XiaotongJiang.July20_0.pdf,
diakses tanggal 20 Mei 2015 pukul 14.30 WIB.
Koshy, Thomas. 2009. Catalan Numbers with Applications. Oxford: Oxford
UP,Print.
Peart , Paul and Woan, Wen Jin. 2001. Dyck Path With No Peaks at Height k.
Journal of Integer Sequences, Vol. 4, Article 01.1.3
Pinzani, R and Pergola, E. 1999. A combinatorial Interpretation of area of
Schröder Paths. The Electronic Journal of Combinatorics Vol 6, #R40
Regev, A. 2010. Humps For Dyck And For Motzkin Paths. arXiv: 1002. 4504 v1
[math.CO] 24 Feb 2010
Tsikouras, P and Sapounakis, A. 2004. On k – colored Motzkin Word. Journal of
Integer Sequences, Vol. 7, Article 04.2.5
Wallner, Michael. Lattice Path Combinatorics. http://dmg.tuwien.ac.at/drmota/
Thesis_Wallner.pdf diakses tanggal 23 Mei 2015 pukul 16.00 WIB.