3. Solikhin, Sumanto, Siti
ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS
FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b]
Solikhin1, Sumanto2, Siti Khabibah3
1,2,3
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
1
[email protected], [email protected]
Abstract. In this paper we study Henstock-Dunford integral on [a,b]. We discuss some properties
of the integrable. We shall define essentially small Riemann sums (ESRS) and show that it is
necessary and sufficient condition for function to be Henstock-Dunford integral on [a,b].
Keywords : Henstock-Dunford integral and Essentially small Riemann sums
1. PENDAHULUAN
Generalisasi dari integral Riemann
salah satunya yang menarik banyak dikaji
adalah
integral
Henstock.
Integral
Henstock didefinisikan atas partisi Perron
d -fine pada interval tertutup [ a , b ] .
Integral ini mencakup integral Riemann
dan integral Lebesgue yang ekuivalen
dengan integral McShane [1, 2].
Integral Henstock telah mengalami
perkembangan baik dari segi teori maupun
terapannya dalam bidang matematika
sendiri atau bidang ilmu lain [3, 4, 5].
Berdasarkan kajian tentang integral
Henstock banyak sifat-sifat yang telah
diungkap baik dalam ruang real R [1, 2],
ruang Banach [6] maupun ruang Euclide
R n [7]. Bahkan kajian tentang integral ini
juga banyak dikombinasikan dengan
integral lain, salah satunya adalah integral
Henstock-Dunford [8].
Integral Dunford didefinisikan oleh
fungsi terukur lemah pada ruang real R
[6]. Diberikan X ruang Banach dan
X * = x* x* : X ® R linear kontinu ruang
{
}
dualnya
(dual
pertama)
dengan
**
**
**
*
X = x x : X ® R linear kontinu
{
}
dual kedua
serta [ a, b] Ì R . Fungsi
terukur lemah f :[ a, b] ® X dikatakan
terintegral Dunford pada [ a , b ] jika untuk
setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] dan untuk setiap himpunan terukur
A Ì [ a, b]
terdapat vektor
x(**f , A) Î X **
sehingga
**
( f , A)
x
(x ) = (H )ò x
*
A
b
*
f = ( H ) ò x* f c A .
a
Integral Dunford kemudian diperluas
ke dalam integral tipe Riemann, yaitu
untuk setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R
terintegral Henstock.
Integral ini dinamakan integral HenstockDunford [8]. Integral jenis ini juga berhasil
digeneralisasi ke dalam ruang Euclide R n
[9].
Berdasarkan hasil kajian integral
Henstock-Dunford mengenai sifat-sifat
sederhana dan fungsi primitifnya [8], dan
kajian sifat-sifat lebih lanjut dari integral
Henstock-Dunford pada ruang R , [6, 10]
maka berdasarkan [11, 12] akan dikaji sifat
Essentially small Riemann sums (ESRS)
fungsi terintegral Henstock-Dunford pada
[a, b] .
2. INTEGRAL
HENSTOCKDUNFORD PADA [a,b]
Pada tulisan ini, dibahas definisi
integral Henstock-Dunford pada [a,b],
sifat-sifat
sederhana,
dan
fungsi
primitifnya yang mengacu pada [8].
Definisi 2.1 [8] Diberikan X ruang
Banach dan X * ruang dualnya (dual
pertama) dengan X ** dual kedua , serta
interval tertutup [ a, b] Ì R . Fungsi
dikatakan
terintegral
f :[ a, b] ® X
55
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
Henstock-Dunford pada [ a , b ] jika untuk
setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R terintegral Henstock pada
[ a , b ] dan untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] terdapat vektor x(**f , A) Î X **
sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f .
Selanjutnya
A
**
( f , A)
vektor
x
Î X ** di
atas
disebut nilai integral Henstock-Dunford
pada A atas fungsi f dan ditulis
x(**f , A) = ( HD ) ò f .
A
Jika f terintegral Henstock-Dunford pada
[a, b] , ditulis f Î HD[a, b] .
Teorema 2.2 [8] Jika f Î HD[ a, b] maka
vektor x(**f , A) Î X ** pada Definisi 2.1.
adalah tunggal.
Bukti:
Diberikan sebarang interval tertutup
A Ì [ a, b] . Andaikan terdapat vektor
x1**( f , A) Î X ** dan x2**( f , A) Î X ** sehingga
x1**( f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f dan
x
(x ) = ( H ) ò x f .
*
*
Oleh karena itu
x1**( f , A) ( x* ) - x2**( f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f - ( H ) ò x* f
A
= 0,
untuk setiap x Î X .
Jadi x1**( f , A) = x2**( f , A) . ■
*
*
Teorema 2.3. [8] Jika f Î HD[a, b] maka
f Î HD( A) untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] .
Bukti:
Jelas menurut definisi. ■
Jika A = [c, d ] Ì [ a, b] maka simbol a ( A)
dalam tulisan ini dimaksudkan sebagai
a ( A) = d - c ,panjang interval tertutup A .
56
= D å x*ca ( D ) - x*ca ( A )
= x *c ( D å a ( D ) - a ( A ) ) = 0
0 dan
x* Î X * maka dapat ditemukan fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
interval
tertutup
dan
A Ì [a, b]
= ( H ) ò x* ( c )
A
= x ca ( A)
Jadi f Î HD[ a, b] dan nilai integralnya
adalah ca ( A) untuk setiap interval
tertutup A Ì [ a, b] . ■
Teorema 2.5 (Kriteria Cauchy) Fungsi
f Î HD[ a, b] jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan e > 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
D = {( D, x )} dan P = {( P , y )} masing*
masing partisi Perron d -fine pada A
berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - P å x* f ( y )a ( P ) < e
untuk setiap x* Î X * .
Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 55-61
Bukti:
(Syarat Perlu) Diketahui f Î HD[ a, b] .
Jadi untuk setiap x* Î X * fungsi x* f
terintegral Henstock pada [ a , b ] dan untuk
setiap interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f .
A
Diberikan bilangan e > 0 sebarang dan
x* Î X * maka terdapat fungsi positif d
pada [ a , b ] sehingga untuk interval
tertutup A Ì [ a, b] dan D = {( D, x )} dan
P = {( P, y )} masing-masing partisi Perron
d -fine pada A berlaku
e
x(**f , A) ( x* ) - D å x* f ( x )a ( D ) <
2
dan
e
x(**f , A) ( x* ) - P å x* f ( y )a ( P ) < .
2
Dengan demikian diperoleh
D å x* f ( x )a ( D ) -P å x* f ( y )a ( P )
£ D å x* f ( x)a ( D) - x(**f , A) ( x* )
+x
**
( f , A)
( x ) - P å x f ( y )a ( P)
*
*
e e
+ =e .
2 2
(Syarat cukup) Diberikan bilangan e > 0
sebarang dan x* Î X * maka terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga untuk
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
D = {( D, x )} dan P = {( P, y )} masingmasing partisi Perron d -fine pada A
berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - P å x* f ( y )a ( P ) < e .
<
Diambil e = 1 terdapat fungsi positif d1
pada [ a , b ] dengan sifat di atas.
1
Diambil e =
terdapat fungsi positif d 2
2
pada [ a , b ] dengan d 2 £ d1 dan memenuhi
sifat di atas.
1
terdapat fungsi positif d n
n
pada [ a , b ] dengan d n £ d n -1 £ ... £ d 2 £ d1
dan memenuhi sifat di atas.
Untuk " n Î ¥ dan x* Î X * didefinisikan
Diambil e =
Sn = Dn å x* f ( x)a ( D) ,
dengan jumlahan Riemann diambil atas
partisi Perron d n - fine Dn = {( D, x )} pada
A.
Diambil sebarang m, n Î ¥ dengan m ³ n ,
maka untuk setiap partisi Perron d m - fine
pada A merupakan partisi Perron d n - fine
pada A .
Akibatnya untuk setiap partisi Perron d m -
fine Dm = {( D, x )} pada A dan sebarang
partisi Perron d n - fine Dn = {( D, x )} pada
A berlaku
Sm - Sn =
Dm å x* f ( x)a ( D) - Dn å x* f ( x)a ( D) <
1
n
.
Berdasarkan sifat Archimedean [13],
diberikan sebarang bilangan e > 0 maka
1 e
terdapat bilangan asli n0 sehingga
< .
n0 2
Selanjutnya jika m, n ³ n0 maka diperoleh
1 1 e
Sm - Sn < < < .
n n0 2
Hal ini berarti {Sn } barisan Cauchy di R .
Karena R lengkap berarti untuk setiap
barisan Cauchy di dalamnya adalah
konvergen, yaitu untuk setiap x* Î X * dan
A Ì [ a, b] di atas terdapat bilangan
x(**f , A) ( x* ) = S Î R sehingga lim S n = S .
n ®¥
Dengan demikian untuk sebarang bilangan
e > 0 di atas terdapat bilangan asli n0* dan
jika n ³ n0* berlaku
e
Sn - S < .
2
Diambil
57
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
{
}
d ( x) = min d n0 ( x), d n* ( x) x Î [a, b]
0
Diperoleh d fungsi positif pada [ a , b ] .
Selanjutnya untuk setiap
P = {( P, x )}
partisi Perron d - fine pada A berlaku
P å x* f ( x)a ( P ) - S
£ P å x* f ( x)a ( P) - Sn* + Sn* - S
0
0
e e
+ =e .
2 2
Hal ini berarti untuk setiap x* Î X * fungsi
x* f terintegral Henstock pada [ a , b ] dan
terdapat vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
<
**
( f , A)
x
(x ) = S = ( H ) ò x f .
*
*
A
Dengan kata lain, f Î HD[ a, b] . ■
Definisi 2.6 [8] Diberikan f Î HD[a, b]
dan I ( E ) koleksi semua interval tertutup
di dalam [a, b] . Fungsi F : I ( E ) ® X
dengan rumus
F ( A) = x(**f , A) = ( HD ) ò f
A
dan F (Æ ) = 0 , untuk setiap A Î I ( E )
disebut fungsi primitif-HD fungsi f .
Contoh
2.7
Didefinisikan
fungsi
f :[ a, b] ® X oleh
f ( x) = c ,
untuk setiap x Î [ a , b] dan suatu konstanta
c Î X , maka untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] fungsi primitif-HD fungsi f
adalah F ( A) = ca ( A) .
Berdasarkan Contoh 2.4 telah dibuktikan
bahwa fungsi konstan f ( x ) = c terintegral
Henstock-Dunford pada [ a , b ] . Hal ini
berarti untuk setiap bilangan e > 0 dan
x* Î X * terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] dan jika A Ì [ a, b] interval tertutup
terdapat vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f
A
= ( H ) ò x* ( c )
A
= x ca ( A).
*
58
Jadi untuk setiap x* Î X * dan A Ì [ a, b]
interval tertutup berlaku
x(**f , A) ( x* ) = x*ca ( A) .
Jadi F ( A) = x(**f , A) = ò f = ca ( A) .
■
A
Berdasarkan Definisi 2.6. maka fungsi F
merupakan fungsi aditif.
Akibat 2.8 [8] Jika f Î HD[a, b] dengan
sebagai
primitif-HDnya
dan
F
E1 , E2 ,..., E p interval-interval tertutup di
dalam [a, b] yang tidak saling tumpangp
tindih dan [ a, b] = U Ei maka
i =1
p
p
i =1
i =1
F ([ a, b]) = å F ( Ei ) = å x(**f , Ei ) .
Bukti:
Karena f Î HD( E , a ) dengan F sebagai
p
primitif-HDnya,
E = U Ei
dengan
i =1
Ei0 Ç E 0j = Æ untuk setiap i ¹ j maka
diperoleh
æ p ö
F ( E ) = F ç U Ei ÷
è i =1 ø
**
= xæ p ö
ç f ,U Ei ,a ÷
ç
÷
è i=1
ø
**
( f , E1 ,a )
=x
+ x(**f , E2 ,a ) + ... + x(**f , E ,a )
p
= F ( E1 ) + F ( E2 ) + ... + F ( E p )
p
= å F ( Ei )
i =1
p
= å x(**f , Ei ,a ) . ■
i =1
Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.1
dan Definisi 2.6 maka integral HenstockDunford pada [ a , b ] dapat dinyatakan
seperti dalam teorema berikut.
Teorema 2.9 [8] Fungsi f Î HD[ a, b]
jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif
F pada [ a , b ] sehingga untuk setiap
bilangan e > 0 dan x* Î X * terdapat
fungsi positif d pada [ a , b ] dan jika
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 55-61
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
Teorema 2.10 (Lemma Henstock) Fungsi
f Î HD[ a, b] dengan fungsi primitif F ,
yaitu untuk setiap bilangan e > 0 dan
x* Î X * terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] sehingga jika A Ì [ a, b] interval
tertutup dan D = {( D, x )} partisi Perron
d -fine pada A berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e
maka untuk setiap jumlahan bagian
å
D
A berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e . ■
å
Teorema 3.2 Jika fungsi f Î HD[ a, b]
maka f Î ESRS [ a, b] .
Bukti:
Diketahui f Î HD[ a, b] berarti untuk
setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
Då x* f ( x)a ( D) - ( H ) ò x* f < e .
1
dari D å berlaku
D å 1 x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e . ■
3. ESSENTIALLY SMALL RIEMANN
SUMS
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa
syarat perlu dan cukup suatu fungsi
terintegral Henstock-Dunford pada [a,b],
yaitu memenuhi sifat essentially small
Riemann sums pada [a,b].
Sifat Essentially small Riemann sums
menyatakan bahwa fungsi yang terintegral
Henstock-Dunford pada [ a , b ] dapat
didekati
dengan
fungsi
terintegral
Lebesgue
pada
Sifat
ini
[a, b] .
memperlemah syarat fungsi terintegral
Lebesgue di dalam sifat functionally small
Riemann sums yang merupakan fungsi non
negatif [11,12].
Definisi 3.1 Diberikan f :[ a, b] ® X
fungsi terukur pada [ a , b ] . Fungsi f
dikatakan mempunyai sifat essentially
small Riemann sums pada [ a , b ] , ditulis
f Î ESRS [ a, b] , jika untuk setiap bilangan
e > 0 , x* Î X * , dan interval tertutup
A Ì [ a, b] terdapat fungsi x* g terintegral
Lebesgue pada [ a , b ] dan terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
A
Menurut
Teorema
[11]
karena
f Î HD[ a, b] maka f Î FSRS [ a, b] , yaitu
untuk setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
non negatif x* h terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] dan terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] sehingga jika D = {( D, x )} partisi
Perron d -fine pada A berlaku
D
*
å
x* f ( x)a ( D ) < e .
*
x f ( x) >x h( x)
Didefinisikan fungsi x* g oleh
ì x* f ( x), jika x* f ( x) £ x*h( x)
ï
x g ( x) = í
, jika x* f ( x) > x*h( x)
ïî0
untuk setiap x Î [a, b] .
*
Diperoleh fungsi x* g terintegral Lebesgue
pada [ a , b ] . Akibatnya untuk setiap
bilangan e > 0 , x* Î X * , dan interval
tertutup A Ì [ a, b] di atas dan sebarang
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
D
å
x* f ( x)a ( D )
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
59
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
å
=D
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) > x* h ( x )
sehingga jika D* = {( D, x )} partisi Perron
d* -fine pada A berlaku
å
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
Fungsi x* g terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] maka terdapat fungsi positif d * pada
[ a , b ] sehingga jika D1* dan D2* partisi
Perron d * -fine pada A berlaku
D1* å x* f ( x)a ( D) - D2* å x* f ( x)a ( D) < e
untuk setiap x* Î X * dan interval tertutup
A Ì [ a, b] di atas.
Diambil fungsi positif d pada [ a , b ]
dengan
d ( x ) = min {d * ( x ), d * ( x )} ,
untuk setiap x Î [ a , b] .
Akibatnya, untuk sebarang D1 dan D2
partisi Perron d -fine pada A berlaku
D1 å x* f ( x )a ( D ) - D2 å x* f ( x )a ( D )
å
£ D1
*
x* f ( x)a ( D)
*
x f ( x)¹ x g ( x )
+ D2
*
å
x* f ( x)a ( D )
å
x* f ( x)a ( D )
*
x f ( x )¹ x g ( x )
+ D1
*
*
x f ( x )= x g ( x )
60
å
x* f ( x)a ( D )
x* f ( x ) = x* g ( x )
Jadi f Î ESRS [ a, b] . ■
Teorema 3.3 Jika fungsi f Î ESRS [ a, b]
maka f Î HD[ a, b] .
Bukti:
Diketahui f Î ESRS [ a, b] , berarti untuk
setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
x* g terintegral Lebesgue pada [ a , b ] dan
terdapat fungsi positif d* pada [ a , b ]
D*
+ D2
FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b]
Solikhin1, Sumanto2, Siti Khabibah3
1,2,3
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
1
[email protected], [email protected]
Abstract. In this paper we study Henstock-Dunford integral on [a,b]. We discuss some properties
of the integrable. We shall define essentially small Riemann sums (ESRS) and show that it is
necessary and sufficient condition for function to be Henstock-Dunford integral on [a,b].
Keywords : Henstock-Dunford integral and Essentially small Riemann sums
1. PENDAHULUAN
Generalisasi dari integral Riemann
salah satunya yang menarik banyak dikaji
adalah
integral
Henstock.
Integral
Henstock didefinisikan atas partisi Perron
d -fine pada interval tertutup [ a , b ] .
Integral ini mencakup integral Riemann
dan integral Lebesgue yang ekuivalen
dengan integral McShane [1, 2].
Integral Henstock telah mengalami
perkembangan baik dari segi teori maupun
terapannya dalam bidang matematika
sendiri atau bidang ilmu lain [3, 4, 5].
Berdasarkan kajian tentang integral
Henstock banyak sifat-sifat yang telah
diungkap baik dalam ruang real R [1, 2],
ruang Banach [6] maupun ruang Euclide
R n [7]. Bahkan kajian tentang integral ini
juga banyak dikombinasikan dengan
integral lain, salah satunya adalah integral
Henstock-Dunford [8].
Integral Dunford didefinisikan oleh
fungsi terukur lemah pada ruang real R
[6]. Diberikan X ruang Banach dan
X * = x* x* : X ® R linear kontinu ruang
{
}
dualnya
(dual
pertama)
dengan
**
**
**
*
X = x x : X ® R linear kontinu
{
}
dual kedua
serta [ a, b] Ì R . Fungsi
terukur lemah f :[ a, b] ® X dikatakan
terintegral Dunford pada [ a , b ] jika untuk
setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] dan untuk setiap himpunan terukur
A Ì [ a, b]
terdapat vektor
x(**f , A) Î X **
sehingga
**
( f , A)
x
(x ) = (H )ò x
*
A
b
*
f = ( H ) ò x* f c A .
a
Integral Dunford kemudian diperluas
ke dalam integral tipe Riemann, yaitu
untuk setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R
terintegral Henstock.
Integral ini dinamakan integral HenstockDunford [8]. Integral jenis ini juga berhasil
digeneralisasi ke dalam ruang Euclide R n
[9].
Berdasarkan hasil kajian integral
Henstock-Dunford mengenai sifat-sifat
sederhana dan fungsi primitifnya [8], dan
kajian sifat-sifat lebih lanjut dari integral
Henstock-Dunford pada ruang R , [6, 10]
maka berdasarkan [11, 12] akan dikaji sifat
Essentially small Riemann sums (ESRS)
fungsi terintegral Henstock-Dunford pada
[a, b] .
2. INTEGRAL
HENSTOCKDUNFORD PADA [a,b]
Pada tulisan ini, dibahas definisi
integral Henstock-Dunford pada [a,b],
sifat-sifat
sederhana,
dan
fungsi
primitifnya yang mengacu pada [8].
Definisi 2.1 [8] Diberikan X ruang
Banach dan X * ruang dualnya (dual
pertama) dengan X ** dual kedua , serta
interval tertutup [ a, b] Ì R . Fungsi
dikatakan
terintegral
f :[ a, b] ® X
55
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
Henstock-Dunford pada [ a , b ] jika untuk
setiap x* Î X * fungsi bernilai real
x* f :[a, b] ® R terintegral Henstock pada
[ a , b ] dan untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] terdapat vektor x(**f , A) Î X **
sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f .
Selanjutnya
A
**
( f , A)
vektor
x
Î X ** di
atas
disebut nilai integral Henstock-Dunford
pada A atas fungsi f dan ditulis
x(**f , A) = ( HD ) ò f .
A
Jika f terintegral Henstock-Dunford pada
[a, b] , ditulis f Î HD[a, b] .
Teorema 2.2 [8] Jika f Î HD[ a, b] maka
vektor x(**f , A) Î X ** pada Definisi 2.1.
adalah tunggal.
Bukti:
Diberikan sebarang interval tertutup
A Ì [ a, b] . Andaikan terdapat vektor
x1**( f , A) Î X ** dan x2**( f , A) Î X ** sehingga
x1**( f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f dan
x
(x ) = ( H ) ò x f .
*
*
Oleh karena itu
x1**( f , A) ( x* ) - x2**( f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f - ( H ) ò x* f
A
= 0,
untuk setiap x Î X .
Jadi x1**( f , A) = x2**( f , A) . ■
*
*
Teorema 2.3. [8] Jika f Î HD[a, b] maka
f Î HD( A) untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] .
Bukti:
Jelas menurut definisi. ■
Jika A = [c, d ] Ì [ a, b] maka simbol a ( A)
dalam tulisan ini dimaksudkan sebagai
a ( A) = d - c ,panjang interval tertutup A .
56
= D å x*ca ( D ) - x*ca ( A )
= x *c ( D å a ( D ) - a ( A ) ) = 0
0 dan
x* Î X * maka dapat ditemukan fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
interval
tertutup
dan
A Ì [a, b]
= ( H ) ò x* ( c )
A
= x ca ( A)
Jadi f Î HD[ a, b] dan nilai integralnya
adalah ca ( A) untuk setiap interval
tertutup A Ì [ a, b] . ■
Teorema 2.5 (Kriteria Cauchy) Fungsi
f Î HD[ a, b] jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan e > 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
D = {( D, x )} dan P = {( P , y )} masing*
masing partisi Perron d -fine pada A
berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - P å x* f ( y )a ( P ) < e
untuk setiap x* Î X * .
Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 55-61
Bukti:
(Syarat Perlu) Diketahui f Î HD[ a, b] .
Jadi untuk setiap x* Î X * fungsi x* f
terintegral Henstock pada [ a , b ] dan untuk
setiap interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f .
A
Diberikan bilangan e > 0 sebarang dan
x* Î X * maka terdapat fungsi positif d
pada [ a , b ] sehingga untuk interval
tertutup A Ì [ a, b] dan D = {( D, x )} dan
P = {( P, y )} masing-masing partisi Perron
d -fine pada A berlaku
e
x(**f , A) ( x* ) - D å x* f ( x )a ( D ) <
2
dan
e
x(**f , A) ( x* ) - P å x* f ( y )a ( P ) < .
2
Dengan demikian diperoleh
D å x* f ( x )a ( D ) -P å x* f ( y )a ( P )
£ D å x* f ( x)a ( D) - x(**f , A) ( x* )
+x
**
( f , A)
( x ) - P å x f ( y )a ( P)
*
*
e e
+ =e .
2 2
(Syarat cukup) Diberikan bilangan e > 0
sebarang dan x* Î X * maka terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga untuk
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
D = {( D, x )} dan P = {( P, y )} masingmasing partisi Perron d -fine pada A
berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - P å x* f ( y )a ( P ) < e .
<
Diambil e = 1 terdapat fungsi positif d1
pada [ a , b ] dengan sifat di atas.
1
Diambil e =
terdapat fungsi positif d 2
2
pada [ a , b ] dengan d 2 £ d1 dan memenuhi
sifat di atas.
1
terdapat fungsi positif d n
n
pada [ a , b ] dengan d n £ d n -1 £ ... £ d 2 £ d1
dan memenuhi sifat di atas.
Untuk " n Î ¥ dan x* Î X * didefinisikan
Diambil e =
Sn = Dn å x* f ( x)a ( D) ,
dengan jumlahan Riemann diambil atas
partisi Perron d n - fine Dn = {( D, x )} pada
A.
Diambil sebarang m, n Î ¥ dengan m ³ n ,
maka untuk setiap partisi Perron d m - fine
pada A merupakan partisi Perron d n - fine
pada A .
Akibatnya untuk setiap partisi Perron d m -
fine Dm = {( D, x )} pada A dan sebarang
partisi Perron d n - fine Dn = {( D, x )} pada
A berlaku
Sm - Sn =
Dm å x* f ( x)a ( D) - Dn å x* f ( x)a ( D) <
1
n
.
Berdasarkan sifat Archimedean [13],
diberikan sebarang bilangan e > 0 maka
1 e
terdapat bilangan asli n0 sehingga
< .
n0 2
Selanjutnya jika m, n ³ n0 maka diperoleh
1 1 e
Sm - Sn < < < .
n n0 2
Hal ini berarti {Sn } barisan Cauchy di R .
Karena R lengkap berarti untuk setiap
barisan Cauchy di dalamnya adalah
konvergen, yaitu untuk setiap x* Î X * dan
A Ì [ a, b] di atas terdapat bilangan
x(**f , A) ( x* ) = S Î R sehingga lim S n = S .
n ®¥
Dengan demikian untuk sebarang bilangan
e > 0 di atas terdapat bilangan asli n0* dan
jika n ³ n0* berlaku
e
Sn - S < .
2
Diambil
57
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
{
}
d ( x) = min d n0 ( x), d n* ( x) x Î [a, b]
0
Diperoleh d fungsi positif pada [ a , b ] .
Selanjutnya untuk setiap
P = {( P, x )}
partisi Perron d - fine pada A berlaku
P å x* f ( x)a ( P ) - S
£ P å x* f ( x)a ( P) - Sn* + Sn* - S
0
0
e e
+ =e .
2 2
Hal ini berarti untuk setiap x* Î X * fungsi
x* f terintegral Henstock pada [ a , b ] dan
terdapat vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
<
**
( f , A)
x
(x ) = S = ( H ) ò x f .
*
*
A
Dengan kata lain, f Î HD[ a, b] . ■
Definisi 2.6 [8] Diberikan f Î HD[a, b]
dan I ( E ) koleksi semua interval tertutup
di dalam [a, b] . Fungsi F : I ( E ) ® X
dengan rumus
F ( A) = x(**f , A) = ( HD ) ò f
A
dan F (Æ ) = 0 , untuk setiap A Î I ( E )
disebut fungsi primitif-HD fungsi f .
Contoh
2.7
Didefinisikan
fungsi
f :[ a, b] ® X oleh
f ( x) = c ,
untuk setiap x Î [ a , b] dan suatu konstanta
c Î X , maka untuk setiap interval tertutup
A Ì [ a, b] fungsi primitif-HD fungsi f
adalah F ( A) = ca ( A) .
Berdasarkan Contoh 2.4 telah dibuktikan
bahwa fungsi konstan f ( x ) = c terintegral
Henstock-Dunford pada [ a , b ] . Hal ini
berarti untuk setiap bilangan e > 0 dan
x* Î X * terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] dan jika A Ì [ a, b] interval tertutup
terdapat vektor x(**f , A) Î X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) = ( H ) ò x* f
A
= ( H ) ò x* ( c )
A
= x ca ( A).
*
58
Jadi untuk setiap x* Î X * dan A Ì [ a, b]
interval tertutup berlaku
x(**f , A) ( x* ) = x*ca ( A) .
Jadi F ( A) = x(**f , A) = ò f = ca ( A) .
■
A
Berdasarkan Definisi 2.6. maka fungsi F
merupakan fungsi aditif.
Akibat 2.8 [8] Jika f Î HD[a, b] dengan
sebagai
primitif-HDnya
dan
F
E1 , E2 ,..., E p interval-interval tertutup di
dalam [a, b] yang tidak saling tumpangp
tindih dan [ a, b] = U Ei maka
i =1
p
p
i =1
i =1
F ([ a, b]) = å F ( Ei ) = å x(**f , Ei ) .
Bukti:
Karena f Î HD( E , a ) dengan F sebagai
p
primitif-HDnya,
E = U Ei
dengan
i =1
Ei0 Ç E 0j = Æ untuk setiap i ¹ j maka
diperoleh
æ p ö
F ( E ) = F ç U Ei ÷
è i =1 ø
**
= xæ p ö
ç f ,U Ei ,a ÷
ç
÷
è i=1
ø
**
( f , E1 ,a )
=x
+ x(**f , E2 ,a ) + ... + x(**f , E ,a )
p
= F ( E1 ) + F ( E2 ) + ... + F ( E p )
p
= å F ( Ei )
i =1
p
= å x(**f , Ei ,a ) . ■
i =1
Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.1
dan Definisi 2.6 maka integral HenstockDunford pada [ a , b ] dapat dinyatakan
seperti dalam teorema berikut.
Teorema 2.9 [8] Fungsi f Î HD[ a, b]
jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif
F pada [ a , b ] sehingga untuk setiap
bilangan e > 0 dan x* Î X * terdapat
fungsi positif d pada [ a , b ] dan jika
interval
tertutup
dan
A Ì [ a, b]
Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 55-61
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
Teorema 2.10 (Lemma Henstock) Fungsi
f Î HD[ a, b] dengan fungsi primitif F ,
yaitu untuk setiap bilangan e > 0 dan
x* Î X * terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] sehingga jika A Ì [ a, b] interval
tertutup dan D = {( D, x )} partisi Perron
d -fine pada A berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e
maka untuk setiap jumlahan bagian
å
D
A berlaku
D å x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e . ■
å
Teorema 3.2 Jika fungsi f Î HD[ a, b]
maka f Î ESRS [ a, b] .
Bukti:
Diketahui f Î HD[ a, b] berarti untuk
setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
Då x* f ( x)a ( D) - ( H ) ò x* f < e .
1
dari D å berlaku
D å 1 x* f ( x )a ( D ) - x* F ( D ) < e . ■
3. ESSENTIALLY SMALL RIEMANN
SUMS
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa
syarat perlu dan cukup suatu fungsi
terintegral Henstock-Dunford pada [a,b],
yaitu memenuhi sifat essentially small
Riemann sums pada [a,b].
Sifat Essentially small Riemann sums
menyatakan bahwa fungsi yang terintegral
Henstock-Dunford pada [ a , b ] dapat
didekati
dengan
fungsi
terintegral
Lebesgue
pada
Sifat
ini
[a, b] .
memperlemah syarat fungsi terintegral
Lebesgue di dalam sifat functionally small
Riemann sums yang merupakan fungsi non
negatif [11,12].
Definisi 3.1 Diberikan f :[ a, b] ® X
fungsi terukur pada [ a , b ] . Fungsi f
dikatakan mempunyai sifat essentially
small Riemann sums pada [ a , b ] , ditulis
f Î ESRS [ a, b] , jika untuk setiap bilangan
e > 0 , x* Î X * , dan interval tertutup
A Ì [ a, b] terdapat fungsi x* g terintegral
Lebesgue pada [ a , b ] dan terdapat fungsi
positif d pada [ a , b ] sehingga jika
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
A
Menurut
Teorema
[11]
karena
f Î HD[ a, b] maka f Î FSRS [ a, b] , yaitu
untuk setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
non negatif x* h terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] dan terdapat fungsi positif d pada
[ a , b ] sehingga jika D = {( D, x )} partisi
Perron d -fine pada A berlaku
D
*
å
x* f ( x)a ( D ) < e .
*
x f ( x) >x h( x)
Didefinisikan fungsi x* g oleh
ì x* f ( x), jika x* f ( x) £ x*h( x)
ï
x g ( x) = í
, jika x* f ( x) > x*h( x)
ïî0
untuk setiap x Î [a, b] .
*
Diperoleh fungsi x* g terintegral Lebesgue
pada [ a , b ] . Akibatnya untuk setiap
bilangan e > 0 , x* Î X * , dan interval
tertutup A Ì [ a, b] di atas dan sebarang
D = {( D, x )} partisi Perron d -fine pada
A berlaku
D
å
x* f ( x)a ( D )
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
59
Solikhin, YD. Sumanto dan Siti Khabibah (Essentially Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-...)
å
=D
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) > x* h ( x )
sehingga jika D* = {( D, x )} partisi Perron
d* -fine pada A berlaku
å
x* f ( x)a ( D ) < e .
x* f ( x ) ¹ x* g ( x )
Fungsi x* g terintegral Lebesgue pada
[ a , b ] maka terdapat fungsi positif d * pada
[ a , b ] sehingga jika D1* dan D2* partisi
Perron d * -fine pada A berlaku
D1* å x* f ( x)a ( D) - D2* å x* f ( x)a ( D) < e
untuk setiap x* Î X * dan interval tertutup
A Ì [ a, b] di atas.
Diambil fungsi positif d pada [ a , b ]
dengan
d ( x ) = min {d * ( x ), d * ( x )} ,
untuk setiap x Î [ a , b] .
Akibatnya, untuk sebarang D1 dan D2
partisi Perron d -fine pada A berlaku
D1 å x* f ( x )a ( D ) - D2 å x* f ( x )a ( D )
å
£ D1
*
x* f ( x)a ( D)
*
x f ( x)¹ x g ( x )
+ D2
*
å
x* f ( x)a ( D )
å
x* f ( x)a ( D )
*
x f ( x )¹ x g ( x )
+ D1
*
*
x f ( x )= x g ( x )
60
å
x* f ( x)a ( D )
x* f ( x ) = x* g ( x )
Jadi f Î ESRS [ a, b] . ■
Teorema 3.3 Jika fungsi f Î ESRS [ a, b]
maka f Î HD[ a, b] .
Bukti:
Diketahui f Î ESRS [ a, b] , berarti untuk
setiap bilangan e > 0 , x* Î X * , dan
interval tertutup A Ì [ a, b] terdapat fungsi
x* g terintegral Lebesgue pada [ a , b ] dan
terdapat fungsi positif d* pada [ a , b ]
D*
+ D2