Artikel Fraktal Jaidan Jauhari Generic
PENGEMBANGAN PERANGKAT LUNAK PEMBANGKIT GEOMETRI
FRAKTAL BERBASIS BILANGAN KOMPLEKS (PLFRAKOM)
Jaidan Jauhari
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Sriwijaya
Email : jaidan_j@yahoo.com
Abstract
In fractal geometry, object is drawn using iterative algorithm. Fractal has self similarity by nature, such that
each part of fractal is similar to the bigger part, but in different scale. Fractal generation process is done by
iteration toward certain mathematic function. One of the mathematic function is the complex number-based
one. The methodology used in developing this software is waterfall model. The design used functional model,
that is DFD (Data Flow Diagram). PLFraKom software is developed in Microsoft Windows programming
environment. Programming language used here is Borland C++ Builder 6.0. This software has produce the
desired output, such as fractal image generation.
Keywords: Fractal Geometry, Complex Numbers, Self Similarity, Waterfall Model
rumus
matematika
geometri
Euclidian
(Pietronero dkk,1995:70).
I. PENDAHULUAN
Pada umumnya kurva-kurva dan
Geometri
fraktal
memberikan
permukaan memiliki struktur yang rumit,
gambaran dan model matematika kejadian
tetapi dalam lingkungan yang sederhana
kompleks di alam yang berbeda dengan
bentuknya dapat berupa garis atau bidang.
geometri Euclidian yang dikenal selama ini.
Dalam dunia grafika komputer, grafik bentuk
Objek
seperti lingkaran, elips, segiempat atau
digambarkan dengan rumus, sedangkan pada
bentuk-bentuk
geometri
Euclidian
lainnya
mudah
geometri fraktal digambarkan dengan suatu
menggunakan
fasilitas
algoritma iteratif. Dimensi fraktal memiliki
fungsi tertentu yang terdapat pada perangkat
sifat self-similarity, yaitu setiap bagian dari
lunak.
dalam
fraktal menyerupai keseluruhan bagian yang
geometri Euclides dapat dinyatakan sebagai
lebih besar namun dalam skala yang berbeda.
fungsi koordinat. Dengan demikian untuk
Ini artinya, bagian-bagian dari objek akan
menampilkan objek
digambarkan
terlihat identik dengan objek itu sendiri bila
dengan menggunakan titik-titik koordinat
dilihat secara keseluruhan. Alam memiliki
pada koordinat kartesian. Tetapi bentuk objek
sifat ini, misalnya cabang-cabang pohon
di alam umumnya tidak beraturan dan
menyerupai
pohonnya,
puncak
gunung
kompleks yang tidak mudah didekati dengan
mempunyai
bentuk
sama
dengan
digambar
teratur
dalam
dengan
Bentuk-bentuk
tersebut
dapat
pegunungan, awan kecil mempunyai pola
perangkat lunak yang dapat membangkitkan
yang sama dengan awan besar, demikian juga
gambar-gambar fraktal berbasis berbasis
dengan struktur atom sama seperti tata surya
bilangan kompleks.
makro kosmik. Oleh karena itu fraktal sering
disebut geometri alam (Jauhari dkk, 2004:2).
Pembangkitan
fraktal
dapat
Penelitian ini ditulis dengan tujuan
untuk melakukan studi terhadap geometri
fraktal
dan
merancang
pengembangan
dilakukan dengan melakukan iterasi baik
perangkat lunak pembangkit fraktal berbasis
terhadap fungsi matematika atau dapat juga
bilangan kompleks serta untuk membuat
iterasi atas elemen-elemen dasar penyusun
perangkat lunak untuk pembangkit geometri
grafik, seperti titik, garis dan bentuk-bentuk
fraktal, dengan mengikuti langkah-langkah
geometri
sederhana
metodologi pengembangan perangkat lunak
segiempat,
dan
seperti
segitiga,
yang
waterfall model. Sedangkan manfaat dari
bebas,
penelitian ini adalah dapat menghasilkan
contohnya adalah fraktal plasma dan fraktal
gambar fraktal yang bervariasi, tergantung
pohon.
pada
terakhir
ini
lain-lain.
dinamakan
Sedangkan
dibangkitkan
Fraktal
fraktal
fraktal-fraktal
melalui
fungsi
yang
matematika
parameter,
variabel,
dan
warna
masukan.
antara lain fraktal yang berbasis bilangan
kompleks, fraktal berbasis fungsi polynomial
II. TINJAUAN PUSTAKA
dan fraktal yang berbasis fungsi transenden.
Fraktal berasal dari bahasa latin, dari
Fraktal berbasis bilangan kompleks akan
kata kerja frangere yang berarti membelah
menghasilkan gambar-gambar yang indah
atau kata sifat fractus yang artinya tidak
dan akan menghasilkan gambar fraktal yang
teratur
unik. Bentuk-bentuk fraktal dari iterasi fungsi
1992:5).
matematika semakin menarik, indah, dan
atau
terfragmentasi
Beberapa
pakar
(Mandelbrot,
yang
lain
bervariasi setelah ditemukan mesin komputer
mengatakan dalam bahwa fraktal adalah
yang
komputasi
gambar yang secara intuitif berkarakter,
membantu
yaitu setiap bagian pada sembarang
sangat
(perhitungan).
komputasinya,
perkembangan
membantu
membantu
Selain
mesin
komputer
teknologi
penampilan
dengan
tampilannya,
bangun
fraktal
menjadi menakjubkan (Mujiono, 2002).
Berdasarkan latar belakang di atas
maka masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana
mengembangkan
sebuah
ukuran jika diperbesar secukupnya akan
tampak seperti gambar seutuhnya. Dari
pengertian tersebut secara tersirat ada dua
informasi terkandung di dalamnya:
a. Gambar
primitif
sebagai
blok
pembangun, yang jika diduplikasi
dengan
berbagai
dikomposisikan
ukuran
dapat
dan
membentuk
1. Self-similarity
Fraktal adalah objek yang memiliki
gambar; dan
kemiripan dengan dirinya sendiri (Self-
b. Aturan rekursif yang mendefinisikan
similarity) namun dalam skala yang
posisi relatif dari gambar primitif dengan
berbeda, ini artinya objek fraktal terdiri
berbagai ukuran.
dari bagian-bagian yang memiliki sifat
Himpunan Fraktal menurut Falconer
seperti objek tersebut. Setiap bagian
(1992:40) mempunyai 5 karakter, yaitu:
objek tersebut bila diperbesar akan
a. Merupakan struktur halus, walaupun
identik dengan objek tersebut.
diperbesar seberapapun;
b. Bersifat
terlalu
tidak
teratur,
jika
2. Dimension
digambarkan dengan bahasa geometri
Fraktal adalah obyek yang memiliki
dimensi
biasa;
c. Mempunyai Self-similarity, mungkin
secara pendekatan maupun secara
bilangan
membandingkan
diperlukan
dimensi
fraktal didefinisikan
statistic;
d. Dimensi fraktal biasanya lebih besar dari
riil.
ukuran
fraktal.
Untuk
fraktal
Dimensi
sebagai kerapatan
fraktal menempati ruang metrik.
Panjang sebuah segmen garis (dimensi
dimensi topologinya; dan
e. Umumnya dapat didefinisikan secara
sederhana, mungkin secara rekursif.
Secara umum dari pendapat-pendapat
di atas dapat disimpulkan sifat-sifat fraktal
dua) dapat diketahui dengan mengukur
panjang antar dua titik. Namun objek
fraktal tidak dapat diukur panjangnya,
karena memiliki variasi tak hingga.
ada 2 macam, yaitu:
(a)
(b)
(c)
Gambar 1. Objek Fraktal
Panjang segmen = 1
Total = 1
Panjang segmen = 1/3
Total = 4/3
Panjang segmen = 1/9
Total = 16/9
Gambar 1 menunjukkan panjang dari
bilangan konstan 0 < c1 < c2 <
objek fraktal tersebut bertambah 4/3 setiap
sedemikian hingga:
tahap.
c1d1(x,y) d2(x,y) c2d1(x,y)
Sehingga
panjang
objek
fraktal
(x,y)
tersebut = 4/3 x 4/3 x 4/3 x ….
XxX
Objek fraktal tersebut memiliki panjang tak
Sebuah titik dalam geometri fraktal
berhingga.
dapat berupa gambar hitam putih, yaitu
Dalam
geometri
fraktal,
fraktal
himpunan bagian yang padat dari ruang X.
adalah sebuah titik di dalam ruang metrik.
Dalam geometri fraktal ruang dimana fraktal
Ruang metrik disimbolkan dengan X, adalah
hidup adalah himpunan bagian dari X dan
himpunan titik-titik yang disertai dengan
disimbolkan dengan F.
fungsi d: X x X yang mengukur jarak
Definisi 4. Misalkan (X, d) adalah ruang
antara dua buah titik di ruang tersebut.
metrik, maka F(X) menyatakan
Definisi 1. Sebuah ruang X adalah sebuah
ruang yang titik-titiknya adalah
himpunan. Titik-titik pada ruang
himpunan bagian dari X. Titik-titik
adalah
di ruang F disimbolkan dengan
anggota-anggota
dari
himpunan.
huruf kapital, misalnya A, B, dan
Definisi 2. Sebuah ruang metrik (X,d) adalah
lain-lain.
sebuah ruang X bersama dengan
Jika x X dan B F(X) , maka jarak antara
sebuah fungsi riil d: X x X yang
titik x dengan himpunan B dalam ruang
mengukur jarak antara dua titik x dan
metrik adalah:
y pada X. Fungsi ini memiliki
d(x,B) = minimum{d(x, y), y B}
aksioma sebagai berikut:
(1) Simetri d(x,y) = d(y,x) x,y X
(2) Positif 0
FRAKTAL BERBASIS BILANGAN KOMPLEKS (PLFRAKOM)
Jaidan Jauhari
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Sriwijaya
Email : jaidan_j@yahoo.com
Abstract
In fractal geometry, object is drawn using iterative algorithm. Fractal has self similarity by nature, such that
each part of fractal is similar to the bigger part, but in different scale. Fractal generation process is done by
iteration toward certain mathematic function. One of the mathematic function is the complex number-based
one. The methodology used in developing this software is waterfall model. The design used functional model,
that is DFD (Data Flow Diagram). PLFraKom software is developed in Microsoft Windows programming
environment. Programming language used here is Borland C++ Builder 6.0. This software has produce the
desired output, such as fractal image generation.
Keywords: Fractal Geometry, Complex Numbers, Self Similarity, Waterfall Model
rumus
matematika
geometri
Euclidian
(Pietronero dkk,1995:70).
I. PENDAHULUAN
Pada umumnya kurva-kurva dan
Geometri
fraktal
memberikan
permukaan memiliki struktur yang rumit,
gambaran dan model matematika kejadian
tetapi dalam lingkungan yang sederhana
kompleks di alam yang berbeda dengan
bentuknya dapat berupa garis atau bidang.
geometri Euclidian yang dikenal selama ini.
Dalam dunia grafika komputer, grafik bentuk
Objek
seperti lingkaran, elips, segiempat atau
digambarkan dengan rumus, sedangkan pada
bentuk-bentuk
geometri
Euclidian
lainnya
mudah
geometri fraktal digambarkan dengan suatu
menggunakan
fasilitas
algoritma iteratif. Dimensi fraktal memiliki
fungsi tertentu yang terdapat pada perangkat
sifat self-similarity, yaitu setiap bagian dari
lunak.
dalam
fraktal menyerupai keseluruhan bagian yang
geometri Euclides dapat dinyatakan sebagai
lebih besar namun dalam skala yang berbeda.
fungsi koordinat. Dengan demikian untuk
Ini artinya, bagian-bagian dari objek akan
menampilkan objek
digambarkan
terlihat identik dengan objek itu sendiri bila
dengan menggunakan titik-titik koordinat
dilihat secara keseluruhan. Alam memiliki
pada koordinat kartesian. Tetapi bentuk objek
sifat ini, misalnya cabang-cabang pohon
di alam umumnya tidak beraturan dan
menyerupai
pohonnya,
puncak
gunung
kompleks yang tidak mudah didekati dengan
mempunyai
bentuk
sama
dengan
digambar
teratur
dalam
dengan
Bentuk-bentuk
tersebut
dapat
pegunungan, awan kecil mempunyai pola
perangkat lunak yang dapat membangkitkan
yang sama dengan awan besar, demikian juga
gambar-gambar fraktal berbasis berbasis
dengan struktur atom sama seperti tata surya
bilangan kompleks.
makro kosmik. Oleh karena itu fraktal sering
disebut geometri alam (Jauhari dkk, 2004:2).
Pembangkitan
fraktal
dapat
Penelitian ini ditulis dengan tujuan
untuk melakukan studi terhadap geometri
fraktal
dan
merancang
pengembangan
dilakukan dengan melakukan iterasi baik
perangkat lunak pembangkit fraktal berbasis
terhadap fungsi matematika atau dapat juga
bilangan kompleks serta untuk membuat
iterasi atas elemen-elemen dasar penyusun
perangkat lunak untuk pembangkit geometri
grafik, seperti titik, garis dan bentuk-bentuk
fraktal, dengan mengikuti langkah-langkah
geometri
sederhana
metodologi pengembangan perangkat lunak
segiempat,
dan
seperti
segitiga,
yang
waterfall model. Sedangkan manfaat dari
bebas,
penelitian ini adalah dapat menghasilkan
contohnya adalah fraktal plasma dan fraktal
gambar fraktal yang bervariasi, tergantung
pohon.
pada
terakhir
ini
lain-lain.
dinamakan
Sedangkan
dibangkitkan
Fraktal
fraktal
fraktal-fraktal
melalui
fungsi
yang
matematika
parameter,
variabel,
dan
warna
masukan.
antara lain fraktal yang berbasis bilangan
kompleks, fraktal berbasis fungsi polynomial
II. TINJAUAN PUSTAKA
dan fraktal yang berbasis fungsi transenden.
Fraktal berasal dari bahasa latin, dari
Fraktal berbasis bilangan kompleks akan
kata kerja frangere yang berarti membelah
menghasilkan gambar-gambar yang indah
atau kata sifat fractus yang artinya tidak
dan akan menghasilkan gambar fraktal yang
teratur
unik. Bentuk-bentuk fraktal dari iterasi fungsi
1992:5).
matematika semakin menarik, indah, dan
atau
terfragmentasi
Beberapa
pakar
(Mandelbrot,
yang
lain
bervariasi setelah ditemukan mesin komputer
mengatakan dalam bahwa fraktal adalah
yang
komputasi
gambar yang secara intuitif berkarakter,
membantu
yaitu setiap bagian pada sembarang
sangat
(perhitungan).
komputasinya,
perkembangan
membantu
membantu
Selain
mesin
komputer
teknologi
penampilan
dengan
tampilannya,
bangun
fraktal
menjadi menakjubkan (Mujiono, 2002).
Berdasarkan latar belakang di atas
maka masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana
mengembangkan
sebuah
ukuran jika diperbesar secukupnya akan
tampak seperti gambar seutuhnya. Dari
pengertian tersebut secara tersirat ada dua
informasi terkandung di dalamnya:
a. Gambar
primitif
sebagai
blok
pembangun, yang jika diduplikasi
dengan
berbagai
dikomposisikan
ukuran
dapat
dan
membentuk
1. Self-similarity
Fraktal adalah objek yang memiliki
gambar; dan
kemiripan dengan dirinya sendiri (Self-
b. Aturan rekursif yang mendefinisikan
similarity) namun dalam skala yang
posisi relatif dari gambar primitif dengan
berbeda, ini artinya objek fraktal terdiri
berbagai ukuran.
dari bagian-bagian yang memiliki sifat
Himpunan Fraktal menurut Falconer
seperti objek tersebut. Setiap bagian
(1992:40) mempunyai 5 karakter, yaitu:
objek tersebut bila diperbesar akan
a. Merupakan struktur halus, walaupun
identik dengan objek tersebut.
diperbesar seberapapun;
b. Bersifat
terlalu
tidak
teratur,
jika
2. Dimension
digambarkan dengan bahasa geometri
Fraktal adalah obyek yang memiliki
dimensi
biasa;
c. Mempunyai Self-similarity, mungkin
secara pendekatan maupun secara
bilangan
membandingkan
diperlukan
dimensi
fraktal didefinisikan
statistic;
d. Dimensi fraktal biasanya lebih besar dari
riil.
ukuran
fraktal.
Untuk
fraktal
Dimensi
sebagai kerapatan
fraktal menempati ruang metrik.
Panjang sebuah segmen garis (dimensi
dimensi topologinya; dan
e. Umumnya dapat didefinisikan secara
sederhana, mungkin secara rekursif.
Secara umum dari pendapat-pendapat
di atas dapat disimpulkan sifat-sifat fraktal
dua) dapat diketahui dengan mengukur
panjang antar dua titik. Namun objek
fraktal tidak dapat diukur panjangnya,
karena memiliki variasi tak hingga.
ada 2 macam, yaitu:
(a)
(b)
(c)
Gambar 1. Objek Fraktal
Panjang segmen = 1
Total = 1
Panjang segmen = 1/3
Total = 4/3
Panjang segmen = 1/9
Total = 16/9
Gambar 1 menunjukkan panjang dari
bilangan konstan 0 < c1 < c2 <
objek fraktal tersebut bertambah 4/3 setiap
sedemikian hingga:
tahap.
c1d1(x,y) d2(x,y) c2d1(x,y)
Sehingga
panjang
objek
fraktal
(x,y)
tersebut = 4/3 x 4/3 x 4/3 x ….
XxX
Objek fraktal tersebut memiliki panjang tak
Sebuah titik dalam geometri fraktal
berhingga.
dapat berupa gambar hitam putih, yaitu
Dalam
geometri
fraktal,
fraktal
himpunan bagian yang padat dari ruang X.
adalah sebuah titik di dalam ruang metrik.
Dalam geometri fraktal ruang dimana fraktal
Ruang metrik disimbolkan dengan X, adalah
hidup adalah himpunan bagian dari X dan
himpunan titik-titik yang disertai dengan
disimbolkan dengan F.
fungsi d: X x X yang mengukur jarak
Definisi 4. Misalkan (X, d) adalah ruang
antara dua buah titik di ruang tersebut.
metrik, maka F(X) menyatakan
Definisi 1. Sebuah ruang X adalah sebuah
ruang yang titik-titiknya adalah
himpunan. Titik-titik pada ruang
himpunan bagian dari X. Titik-titik
adalah
di ruang F disimbolkan dengan
anggota-anggota
dari
himpunan.
huruf kapital, misalnya A, B, dan
Definisi 2. Sebuah ruang metrik (X,d) adalah
lain-lain.
sebuah ruang X bersama dengan
Jika x X dan B F(X) , maka jarak antara
sebuah fungsi riil d: X x X yang
titik x dengan himpunan B dalam ruang
mengukur jarak antara dua titik x dan
metrik adalah:
y pada X. Fungsi ini memiliki
d(x,B) = minimum{d(x, y), y B}
aksioma sebagai berikut:
(1) Simetri d(x,y) = d(y,x) x,y X
(2) Positif 0