BAB 2. FUNGSI - Bab 2 Fungsi

BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember

  20th March 2018

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus

  A B f A B Misal dan himpunan tak kosong. disebut fungsi dari ke , bila untuk setiap unsur x A , menentukan dengan tunggal unsur y B . y ditulis dengan f ( x ) dan

  ∈ ∈ y f x f = ( ) disebut dengan persamaan/rumus fungsi . Notasi Fungsi :

  f A B

  : → dibaca adalah fungsi dari ke atau memetakan ke

  f A B f A B A disebut daerah asal(domain) dari f dan B disebut daerah hasil

  (kodomain) dari .

  f

  Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasi Kita menuliskan f ( a ) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen bdi dalam B .

  Jika f a b , maka b dinamakan bayangan(image) dari a dan a ( ) = dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b .

  Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B .

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus

  1. Fungsi dengan satu variabel bebas y = f ( x ) atau f ( x , y ) = 0 dengan: x = Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. y

variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari keliling lingkaran

dan luas lingkaran.

  2. Fungsi dengan dua variabel bebas z = f ( x , y ) atau f ( x , y , z ) = 0 dengan: Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. x y z

  , = variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari volume tabung/silinder dan volume kerucut.

  3. Fungsi dengan n variabel bebas z f x , x , x , ..., x

  Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. = ( ^{1 2 3 n ) atau} f x x x x z x x x x z

  ( ^{1 , 2 , 3 , ..., n , ) = 0 dengan: 1 , 2 , 3 , ..., n = variabel bebas dan = variabel} tak bebas

  1. Fungsi dengan satu variabel bebas y = f ( x ) atau f ( x , y ) = 0 dengan: x = Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. y

variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari keliling lingkaran

dan luas lingkaran.

  2. Fungsi dengan dua variabel bebas z = f ( x , y ) atau f ( x , y , z ) = 0 dengan: Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. x y z

  , = variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari volume tabung/silinder dan volume kerucut.

  3. Fungsi dengan n variabel bebas z f x , x , x , ..., x

  Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. = ( ^{1 2 3 n ) atau} f x x x x z x x x x z

  ( ^{1 , 2 , 3 , ..., n , ) = 0 dengan: 1 , 2 , 3 , ..., n = variabel bebas dan = variabel} tak bebas

  1. Fungsi dengan satu variabel bebas y = f ( x ) atau f ( x , y ) = 0 dengan: x = Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. y

variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari keliling lingkaran

dan luas lingkaran.

  2. Fungsi dengan dua variabel bebas z = f ( x , y ) atau f ( x , y , z ) = 0 dengan: Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. x y z

  , = variabel bebas dan = variabel tak bebas. contoh: rumus mencari volume tabung/silinder dan volume kerucut.

  3. Fungsi dengan n variabel bebas z f x , x , x , ..., x

  Simbolnya dapat dituliskan sebagai berikut. = ( ^{1 2 3 n ) atau} f x x x x z x x x x z

  ( ^{1 , 2 , 3 , ..., n , ) = 0 dengan: 1 , 2 , 3 , ..., n = variabel bebas dan = variabel} tak bebas

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus Bentuk fungsi diantaranya: ₁ Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. ₂

  2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f x x ₃ ( ) = + 10 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 ₄ di dalam suatu string biner.

  Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung x | | fungction abs ( x :integer):integer; begin if x

  < 0 then abs:= − x else abs:= x ; end; Bentuk fungsi diantaranya: ₁ Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. ₂

  2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f x x ₃

  ( ) = + 10

  Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 ₄ di dalam suatu string biner.

  Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung x | | fungction abs ( x :integer):integer; begin if x

  < 0 then abs:= − x else abs:= x ; end; Bentuk fungsi diantaranya: ₁ Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. ₂

  2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f x x ₃

  ( ) = + 10 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 ₄ di dalam suatu string biner.

  Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung x | | fungction abs ( x :integer):integer; begin if x

  < 0 then abs:= − x else abs:= x ; end; Bentuk fungsi diantaranya: ₁ Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. ₂

  2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f x x ₃

  ( ) = + 10 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 ₄ di dalam suatu string biner.

  Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung x | |

  fungction abs ( x :integer):integer; begin if x

  < 0 then abs:= − x

  else

  abs:= x ;

  end;

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus Sebuah fungsi f A B dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika : → setiap elemen pada himpunan A mempunyai bayangan yang tidak sama pada elemen B . Contoh: A=himpunan sistem operasi = MacOS OS

  { , /2} B=himpunan komputer =

  {

  IBM , Macitosh } Sebuah fungsi dikatakan fungsi pada jika dan hanya jika

  f : A → B

  setiap elemen pada himpunan B muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen himpunan . Contoh:

  A

  A=himpunan software aplikasi B=himpunan sistem operasi

  Sebuah fungsi dikatakan fungsi konstan jika dan hanya jika

  f : A → B

  setiap elemen pada himpunan B yang menjadi bayangan dari seluruh elemen himpunan . Contoh:

  A

  A=himpunan software aplikasi B=himpunan sistem operasi

  Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi(bijection) jika ia fungsi satu ke satu dan juga fungsi pada. Contoh:

  f u w v

  = {(1, ), (2, ), (3, )} dari A B u v w = {1, 2, 3} ke = { , , } adalah fungsi yang berkoresponden satu ke satu,karena f adalah fungsi satu ke satu maupun fungsi pada.

  −1

  Fungsi invers f B A adalah fungsi dimana untuk setiap b B : → ∈ mempunyai bayangan tunggal dalam himpunan A . Dengan demikian hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers.Contoh 1:

  Contoh 2:

  3 ₋₁

  Misalkan f x log x f x ( ) = ( − 2), maka ( ) adalah

  3 y log x

  = ( − 2)

  y

  3 = ( x − 2)

  y x

  = 3 + 2

  x y = 3 + 2 ₋₁ x

  sehingga f = 3 + 2

  Komposisi fungsi dinyatakan oleh g f gf ( ◦ ) atau ( ). jika f A B dan g B C , maka:

  : → : →

  g f A C

  ( ◦ ) : →

  g f a g f a

  ( ◦ )( ) ≡ ( ( )) maka: ( g ◦ f )(1) = g ( f (1)) = g ( b ) = z

  g f g f g c x

  ( ◦ )(2) = ( (2)) = ( ) =

  g f g f g b z

  ( ◦ )(3) = ( (3)) = ( ) =

  2

  1. Misalkan f x x g x x ( ) = − 1 dan ( ) = + 3 maka:

  f g f g f

  ( ◦ )(2) = ( (2)) = (5) = 24 ( g ◦ f )(2) = g ( f (2)) = g (3) = 6

1 Fungsi

  Definisi Fungsi Fungsi Beberapa Variabel Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi-fungsi Khusus

  1. Fungsi konstan Fungsi konstan : adalah fungsi yang mempunyai bayangan di satu nilai. Fungsi f x k k f x konstan ( ) = , dengan adalah sebuah konstanta. Contoh : ( ) = 2

  2. Fungsi identitas Fungsi identitas : adalah fungsi yang memetakan sebuah nilai ke dirinya sendiri. f ( x ) = x

  Fungsi identitas

  3. Fungsi berbentuk suku banyak _{n n}

  a x a x a n ( + ) = n n ₋₁ ^{−1 1 , dengan bilangan cacah. Fungsi berbentuk suku}

• f ( x ) = ax b banyak yang sering kita jumpai adalah Fungsi linier , grafiknya
2<
• f x x a

  ( + berbentuk garis lurus dan Fungsi kuadrat ) = , grafiknya berbentuk parabola.

• f x ax bx c

  1. Fungsi konstan Fungsi konstan : adalah fungsi yang mempunyai bayangan di satu nilai. Fungsi f x k k f x konstan ( ) = , dengan adalah sebuah konstanta. Contoh : ( ) = 2

  2. Fungsi identitas Fungsi identitas : adalah fungsi yang memetakan sebuah nilai ke dirinya sendiri. f ( x ) = x

  Fungsi identitas

  3. Fungsi berbentuk suku banyak _{n n}

  a x a x a n ( + ) = n n ₋₁ ^{−1 1 , dengan bilangan cacah. Fungsi berbentuk suku}

• f ( x ) = ax b banyak yang sering kita jumpai adalah Fungsi linier , grafiknya
2<
• f x x a

  ( + berbentuk garis lurus dan Fungsi kuadrat ) = , grafiknya berbentuk parabola.

• f x ax bx c

  1. Fungsi konstan Fungsi konstan : adalah fungsi yang mempunyai bayangan di satu nilai. Fungsi f x k k f x konstan ( ) = , dengan adalah sebuah konstanta. Contoh : ( ) = 2

  2. Fungsi identitas Fungsi identitas : adalah fungsi yang memetakan sebuah nilai ke dirinya sendiri. f ( x ) = x

  Fungsi identitas

  3. Fungsi berbentuk suku banyak _{n n}

  a x a x a n ( + ) = n n ₋₁ ^{−1 1 , dengan bilangan cacah. Fungsi berbentuk suku}

• f ( x ) = ax b banyak yang sering kita jumpai adalah Fungsi linier , grafiknya
2<
• f x x a

  ( + berbentuk garis lurus dan Fungsi kuadrat ) = , grafiknya berbentuk parabola.

• f x ax bx c

  4. Fungsi modulus atau fungsi harga mutlak √ ₂ x x

  Definisi : , atau bisa juga | | =

x untuk x

  ; ≥ 0 x

  | | = x untuk x &lt;

  ; −

  Contoh : f x x ( ) = | + 2|

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x

  Definisi : .

  

⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan

Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil f x f x f x f x

  

Definisi : ( ) dikatakan fungsi genap apabila ) = ( ) dan ( ) dikatakan fungsi

(− ganjil apabila f x f ( x ).

  (− ) = −

  4. Fungsi modulus atau fungsi harga mutlak √ ₂ x x

  Definisi : , atau bisa juga | | =

x untuk x

  ; ≥ 0 x

  | | = x untuk x &lt;

  ; −

  Contoh : f x x ( ) = | + 2|

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x

  Definisi : .

  

⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan

Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil f x f x f x f x

  

Definisi : ( ) dikatakan fungsi genap apabila ) = ( ) dan ( ) dikatakan fungsi

(− ganjil apabila f x f ( x ).

  (− ) = −

  4. Fungsi modulus atau fungsi harga mutlak √ ₂ x x

  Definisi : , atau bisa juga | | =

x untuk x

  ; ≥ 0 x

  | | = x untuk x &lt;

  ; −

  Contoh : f x x ( ) = | + 2|

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x

  Definisi : .

  

⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan

Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil f x f x f x f x

  

Definisi : ( ) dikatakan fungsi genap apabila ) = ( ) dan ( ) dikatakan fungsi

(− ganjil apabila f x f ( x ).

  (− ) = −

  7. Fungsi periodik f x

  

Fungsi periodik : adalah fungsi yang grafiknya bersifat periodic. Jika ( ) bukan fungsi

• f x kp f x p k Z f x

  konstan, dan ( ) = ( ) untuk sembarang konstanta ,dan maka ( ) ∈ f x sinx disebut fungsi periodik. Contoh : ( ) = .

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x Definisi : ⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan .

  Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi : f ( x ) dikatakan fungsi genap apabila f x ) = f ( x ) dan f ( x ) dikatakan fungsi

(− f x f x ganjil apabila ( ).

  (− ) = −

  7. Fungsi periodik f x

  

Fungsi periodik : adalah fungsi yang grafiknya bersifat periodic. Jika ( ) bukan fungsi

• f x kp f x p k Z f x

  konstan, dan ( ) = ( ) untuk sembarang konstanta ,dan maka ( ) ∈ f x sinx disebut fungsi periodik. Contoh : ( ) = .

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x Definisi : ⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan .

  Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi : f ( x ) dikatakan fungsi genap apabila f x ) = f ( x ) dan f ( x ) dikatakan fungsi

(− f x f x ganjil apabila ( ).

  (− ) = −

  7. Fungsi periodik f x

  

Fungsi periodik : adalah fungsi yang grafiknya bersifat periodic. Jika ( ) bukan fungsi

• f x kp f x p k Z f x

  konstan, dan ( ) = ( ) untuk sembarang konstanta ,dan maka ( ) ∈ f x sinx disebut fungsi periodik. Contoh : ( ) = .

  5. Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar x x Definisi : ⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan .

  Contohnya : ⌊2, 4⌋ = 2

  6. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi : f ( x ) dikatakan fungsi genap apabila f x ) = f ( x ) dan f ( x ) dikatakan fungsi

(− f x f x ganjil apabila ( ).

  (− ) = −

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) ! Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x ! ( ) =

  3

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) !

  Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x ! ( ) =

  3

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) ! Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x

  ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x ! ( ) =

  3

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) ! Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x

  ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

  Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x ! ( ) =

  3

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) ! Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x

  ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

  Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x

  ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x ! ( ) =

  3

  ₁

  

2

Diberikan dua fungsi f x x x g x x .

  ( ) = 2 + 5 + 1 dan ( ) = 3 Tentukan f g x g f

  ( ◦ )( ) dan ( ◦ )(2) ! ₂

2 Diketahui f x x g x x

  ( ) = + 1 dan ( ) = 2 − 3, maka tentukan ₃ ( f ◦ g )( x ) ! Diberikan dua buah fungsi yaitu f x x

  ( ) = 2 − 3 dan

  2 ₄

g ( x ) = x + 2 x + 3. Jika ( f ◦ g )( a ) = 33, tentuka nilai 2 a − 1 !

  Diketahui f g x x f x x ( ◦ )( ) = 5 − 3 dengan ( ) = + 2. Tentukan rumus dari ₅ g ( x ) !

  Diketahui g x x f g x x ( ) = − 3 dengan ( ◦ )( ) = 2 + 2. Tentukan rumus dari f x

  ( ) !

• ⁺ x
₆

  2

  5 Carilah fungsi invers dari f x !

  ( ) =

  3