BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Citra 2.1.1 Definisi Citra Digital - Implementasi Lowpass Filtering Dan Highpass Filtering Untuk Perbaikan Kualitas Citra Digital

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Citra

2.1.1 Definisi Citra Digital

Citra atau gambar merupakan salah satu bentuk informasi visual yang kaya akan informasi. Citra berasal dari cahaya yang dipantulkan oleh sebuah objek. Cahaya yang dipantulkan tersebut ditangkap oleh alat optik seperti mata,kamera,dan scanner.

Citra secara umum adalah merupakan suatu gambar, foto ataupun berbagai tampilan dua dimensi yang menggambarkan suatu visualisasi objek. Citra dapat diwujudkan dalam bentuk tercetak ataupun digital. Citra digital adalah larik angka- angka secara dua dimensional. Citra digital tersimpan dalam suatu bentuk larik (array) angka digital yang merupakan hasil kuantifikasi dari tingkat kecerahan masing-masing pixel penyusun citra tersebut.

Citra digital yang tersimpan dalam larik dua dimensi tersusun atas unsur-unsur kecil yang disebut dengan pixel. Masing-masing pixel terkait secara spasial dengan area di permukaan bumi. Struktur array ini tersusun dalam baris horizontal yang disebut baris (Lines) dan kolom vertikal (Samples). Masing-masing pixel dalam raster citra menyimpan nilai tingkat kecerahan pixel yang diwujudkan sebagai suatu angka digital. Susunan pixel dalam struktur array citra digital yang tersebut disebut dengan data raster [5]. Kolom dan baris yang membentuk pixel data raster diperlihatkan pada gambar 2.1.

Gambar 2.1Kolom dan baris membentuk pixel data raster Sumber :Liu, J.G., Mason, P.J. 2009

2.1.2Representasi Citra Digital Citra merupakan fungsi kontinu dari intensitas cahaya pada bidang 2D.

Secara matematis fungsi intensitas cahaya pada bidang 2D disimbolkan dengan f(x,y), Koordinat citra pada bidang 2 dimensi dapat dilihat pada gambar 2.2. dimana :

(x,y) : koordinat pada bidang 2D f(x,y) : intensitas cahaya (brightness)pada titik (x,y)

Gambar 2.2 Koordinat Citra 2D Untuk mengkonversi objek yang diindera oleh sensor menjadi citra digital dilakukan dua proses yakni Sampling dan Kuantisasi.

1. Sampling

Sampling adalah transformasi citra kontinu menjadi citra digital dengan cara membagi citra analog(kontinu) menjadi M kolom dan N baris sehingga menjadi citra diskrit. Semakin besar nilai M dan N, semakin halus citra digital yang dihasilkan dan artinya resolusi citra semakin baik .

2. Kuantisasi

Warna sebuah citra digital ditentukan oleh besarnya intensitas piksel-piksel penyusunnya. Warna ini diperoleh dari besar kecilnya intensitas cahaya yang ditangkap oleh sensor. Sedangkan skala intensitas cahaya di alam ini tidak terbatas, yang bisa menghasilkan warna dengan jumlah yang tak terhingga. Belum ada satu sensor pun yang mampu menangkap seluruh gradasi warna tersebut oleh sebab itu kita membuat gradasi warna sesuai dengan kebutuhan. Kuantisasi adalah transformasi intensitas analog yang bersifat kontinu ke daerah intensitas diskrit [12] yang digambarkan pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Penggambaran Kuantisasi

Sumber: Sutoyo,T. 2009

2.1.3 Elemen-Elemen Citra Digital

Berikut adalah elemen-elemen yang terdapat pada citra digital:

1. Kecerahan (brightness)

Kecerahan merupakan intensitas cahaya yang dipancarkan piksel dari citra yang dapat ditangkap oleh sistem penglihatan.

2. Kontras (contrast) Kontras menyatakan sebaran terang dan gelap dalam sebuah citra

3. Kontur (contour) Kontur adalah keadaan yang ditimbulkan oleh perubahan intensitas pada piksel- piksel yang bertetangga. Karena adanya perubahan intensitas inilah maka mampu mendeteksi tepi-tepi objek di dalam citra.

4. Warna Warna sebagai persepsi yang ditangkap sistem visual terhadap panjang gelombang cahaya yang dipantulkan oleh objek.

5. Bentuk (shape) Bentuk adalah property intrinsik dari objek 3 dimensi, dengan pengertian bahwa bentuk merupakan propertyintrinsik utama untuk sistem visual manusia.

6. Tekstur (texture) Tekstur dicirikan sebagai distribusi spasial dari derajat keabuan di dalam sekumpulan piksel-piksel yang bertetangga.

2.1.4 Jenis-Jenis Citra Digital

Beberapa jenis citra digital yang sering digunakan adalah citra biner, citra grayscale, dan citra warna.

1. Citra Biner (Monokrom)

Banyakna warna: 2, yaitu hitam dan putih Dibutuhkan 1 bit di memori untuk menyimpan kedua warna ini.

Gradasi warna :

1 Contoh citra biner dapat dilihat pada gambar 2.4.

Gambar 2.4 Contoh citra biner

2. Citra Grayscale (Skala Keabuan)

Banyaknya warna:tergantung pada jumlah bit yang disediakan di memori untuk menampung warna ini.

Citra 3 bit mewakili 8 warna berikut: Contoh citra grayscale dapat dilihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5 Contoh citra grayscale

3. Citra Warna (True Color)

Setiap piksel pada citra warna mewakili warna yang merupakan kombinasi dari tiga warna dasar (RGB =Red Green Blue). Setiap warna dasar menggunakan penyimpanan

8 bit= 1 byte ,yang berarti setiap warna mempunyai gradasi sebanyak 255 warna. Itulah sebabnya format ini dinamakan true color karena mempunyai jumlah warna yang cukup besar.

G=75 B=70 R=40 G=45 B=50 R=50

G=60 B=80 R=50 G=50 B=50 R=70

G=20 B=40 R=40 G=40 B=40 R=40

G=45 B=50 R=60 G=35 B=40 R=20

G=65 B=50 R=80 G=90 B=90 R=30

G=65 B=70 R=50 G=55 B=70 R=90

G=60 B=60 R=60 G=75 B=80 R=35

G=45 B=80 R=20 G=35 B=20 R=70

Penyimpanan citra warna di dalam memori berbeda dengan citra grayscale. Satu piksel citra true color diwakili oleh 3 byte yang masing-masing byte merepresentasikan warna merah (Red), hijau (Green), dan Biru (Blue)[12]. Contoh penyimpanan citra warna dalam memori dapat dilihat pada tabel 2.1.

G=85 B=50 R=40 G=80 B=65 R=50

G=65 B=40 R=70 G=65 B=70 R=40

G=45 B=55 R=90 G=90 B=90 R=80

R=50 G=65 B=50 R=40

Gambar 2.6 Contoh citra warna

Contoh citra berwarna dapat dilihat pada gambar 2.6.

Tabel 2.1 Contoh penyimpanan citra warna di dalam memori.

G=60 B=50 R=90 G=80 B=70

2.1.5 Format Citra Digital

Beberapa format yang umum digunakan dalam pemrograman pengolahan citra diantaranya:

1. JPEG (Joint Photographic Expert Group)

JPG atau JPEG ( Joint Photographic Experts Group), adalah format file yang paling umum digunakan dalam digital fotografi. Format ini mendukung kedalaman warna 24 bit (3 saluran warna masing-masing 8 bit). Hampir setiap kamera digital mampu membaca gambar menggunakan format ini dan secara luas dapat dibaca oleh program penampil gambar lainnya.

Format citra JPG menghasilkan ukuran file kecil menggunakan kompresi lossy. Setiap kali menyimpan gambar dalam format ini, kualitas degradasi menurun karena kompresi lossy tersebut. Kompresi Lossy (Lossy Compression) adalah metode memperkecil ukuran file citra dengan membuang beberapa data, hal ini menyebabkan adanya sedikit penurunan kualitas citra.

Kompressi Lossy menggunakan analisis matematis yang kompleks untuk menghapus bit dari informasi gambar sehingga mata manusia tidak dapat melihat kekurangan`yang mencolok. JPEG merupakan teknik dan standard universal untuk kompresi dan dekompresi citra tidak bergerak yang digunakan pada kamera digital dan system pencitraan dengan menggunakan komputer .

2. BMP (Bitmap)

Bitmap adalah representasi dari citra grafis yang terdiri dari susunan titik yang tersimpan di memori komputer. Dikembangkan oleh Microsoft dan nilai setiap titik diawali oleh satu bit data untuk gambar hitam putih, atau lebih bagi gambar berwarna.Kerapatan titik-titik tersebut dinamakan resolusi, yang menunjukkan seberapa tajam gambar ini ditampilkan, ditunjukkan dengan jumlah baris dan kolom. Tipe file ini biasanya digunakan pada sistem operasi Windows dan OS/2. Kelebihan tipe file BMP adalah dapat dibuka oleh hampir semua program pengolah gambar. Baik file BMP yang terkompresi maupun tidak terkompresi, file BMP memiliki ukuran yang jauh lebih besar daripada tipe-tipe yang lain.

Ukuran file BMP dapat turun menjadi sepersepuluhnya setelah dikonversi menjadi JPG. Meskipun dengan penurunan kualitas gambar, pada gambar-gambar tertentu (misalnya pemandangan), penurunan kualitas gambar hampir tidak terlihat mata.

3. PNG (Portable Network Graphics)

PNG merupakan singkatan dari Portable Network Graphics. Format ini tersedia untuk umum dan versi ini dikembangkan dari Format GIFF. Format ini dapat menangani kedalaman warna hingga 48 bit (3saluran warna masing-masing 16 bit). Format PNG jauh lebih baik untuk transparansi daripada GIF, yang memungkinkan untuk memiliki berbagai tingkat transparansi untuk setiap pixel (alpha channel). Dukungan untuk format ini dimulai sejak tahun 1995, dan saat ini penggunaannya sudah cukup luas.

Secara keseluruhan, PNG adalah format yang lebih baik daripada GIF, yang menawarkan kompresi yang lebih baik, dapat menyimpan banyak warna, memiliki dukungan transparansi yang lebih baik, dan sebagainya. Satu-satunya kelemahan dari PNG dibandingkan GIFF adalah tidak bisa menyimpan gambar animasi. Karena kedalaman warna yang besar, kompatibilitas browser, dan kompresi yang kecil, format ini disarankan untuk digital fotografi. Dibandingkan dengan JPG, PNG mempunyai kualitas gambar yang lebih baik dengan ukuran file yang lebih besar.

4. GIF (Graphics Interchange Format)

GIFmerupakan singkatan dari Graphics InterchangeFormat . Format ini dapatmenyimpankedalamanwarnahanya 8 bit(256 warna). Format ini mampumenanganitransparansidalam bentuk yang sangatdasar ( setiap pixel apakah transparanatau tidak).

Keuntungan utamadari format file iniadalah dapat digunakanuntuk menyimpananimasi. Selain itukarena merupakanformatini merupakan format lama, sangatkompatibel denganversi lama dariwebbrowserdan perangkat lunak lain. Menggunakankompresi lossy. Formatini telahbanyak digunakanuntuk menampilkangrafis dan animasipada halaman web. Karenapembatasanjumlah warna, format ini tidak dianjurkan untuk digunakan menyimpanfoto digital[6].

2.2 Peningkatan Kualitas Citra Digital (Image Enhancement)

Peningkatan kualitas citra adalah suatu proses untuk mengubah sebuah citra menjadi citra baru sesuai dengan kebutuhan melalui berbagai cara. Cara-cara yang bisa dilakukan misalnya dengan fungsi transformasi, operasi matematis, pemfilteran, dan lain-lain. Tujuan utama dari peningkatan kualitas citra adalah memproses citra sehingga citra yang dihasilkan lebih baik daripada citra aslinya untuk aplikasi tertentu. Adapun parameter-parameter citra yang penting dalam proses pengolahan citra adalah:

1. Resolusi Resolusi citra menyatakan ukuran panjang kali lebar dari sebuah citra. Resolusi citra biasanya dinyatakan dalam satuan piksel-piksel. Semakin tinggi resolusi sebuah citra, semakin baik kualitas citra tersebut. Namun, tingginya resolusi menyebabkan semakin banyaknya jumlah bit yang diperlukan untuk menyimpan dan mentransmisikan data citra tersebut.

2. Kedalaman bit Kedalaman bit menyatakan jumlah bit yang diperlukan untuk merepresentasikan tiap piksel citra pada sebuah frame. Kedalaman bit biasanya dinyatakan dalam satuan

bit/ piksel. Semakin banyak jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasikan

sebuah citra, maka semakin baik kualitas citra tersebut.

Peningkatan kualitas citra dibagi dalam dua kategori, yaitu metode domain spasial (ruang atau waktu) dan metode domain frekuensi. Teknik pemrosesan metode domain spasial adalah berdasarkan manipulasi langsung dari piksel di dalam citra. Sedangkan teknik pemrosesan metode domain frekuensi adalah berdasarkan perubahan transformasi fourier citra [12].

2.2.1 Pelembutan Citra (Image Smoothing) Pelembutan Citra bertujuan untuk menurunkan atau menekan gangguan pada citra.

Gangguan ini umumnya berupa variasi intensitas pixel yang tidak berkorelasi dengan pixel tetangganya. Pixel yang terkena gangguan umumnya mempunyai frekuensi tinggi.

Salah satu metode yang digunakan untuk Image Smoothing adalah Lowpass

Filtering (Penapis Lolos Rendah) dimana metode ini digunakan pada domain

frekuensi. Prinsip Lowpass Filtering dilakukan dengan mengurangi nilai FT (Fourier

Transform) pada frekuensi tinggi atau menekan komponen yang berfrekuensi tinggi

dan meloloskan komponen yang berfrekuensi rendah seperti semula [3]. Contoh citra tajam dan citra hasil smoothing dapat dilihat pada gambar 2.7.

Gambar 2.7 (a) citra tajam (b) citra hasil smoothing

2.2.2 Penajaman Citra (Image Sharpening)

Penajaman citra bertujuan memperjelas tepi pada objek didalam citra. Penajaman citra dilakukan dengan melewatkan citra pada penapis lolos-tinggi (highpass filtering). Karena penajaman citra lebih berpengaruh pada tepi (edge) objek, maka penajaman citra disebut juga penajaman tepi (edge sharpening) atau peningkatan kualitas tepi (edge enhancement). Akibatnya, pinggiran objek terlihat lebih tajam dibandingkan sekitarnya.Dalam hal ini pixel-pixel tepi ditampilan lebih terang sedangkan pixel-pixel bukan tepi dibuat gelap [4]. Contoh citra grayscale awaldan citra hasil penajaman tepi dapat dilihat pada gambar 2.8.

Gambar 2.8 (a) citra awal (b)citra penajaman tepi

2.3 Pengolahan Citra dalam Domain Frekuensi

2.3.1 Transformasi Fourier Disktrit 2-D

Transformasi Fourier merupakan salah satu dasar penting dalam pengolahan citra, dapat memproses dengan efisien dan lebih cepat. Dibandingkan dengan linear spatial filtering, maka transformasi Fourier lebih cepat (terutama jika ukuran filternya besar). Transformasi Fourier memungkinkan pengolahan dengan cara mengisolasi satu “frekuensi” tertentu pada citra, sehingga dapat digunakan untuk menerapkan LPF dan HPF dengan ketelitian yang cukup tinggi.

Karena citra digital merupakan besaran diskrit dua dimensi (2D) maka untuk analisis citra hanya dibutuhkan transformasi Fourier diskrit 2D. Untuk menganalisis citra pada domain frekuensi, hasil transformasi Fourier dapat ditampilkan sebagai citra, dimana intensitasnya sebanding dengan besarnya F(u,v) atau spectrum Fourier. Formula untuk Transformasi Fourier :

................................................... (2.1)

) − 2 ( −1 −1

∑ ( , ) = ∑ ( , )

=0 =0

F(u,v) : Spectrum Fourier M,N : ukuran citra f(x,y) : intensitas pixel u:0,1,2,..,M-1 v :0,1,2,..N-1.

Untuk mendapatkan nilai f(x,y) dari persamaan 2.1 di atas, digunakan Invers dari transformasi Fourier diberikan oleh formula:

1 )

− 2 (

−1 −1

............................................. (2.2)

∑ ∑ ( , ) = ( , )

=0 =0 Untuk x= 0,1,2,…M-1 dan y=0,1,2,…N-1. Jadi dengan F(u,v) bisa mendapatkan f(x,y) kembali dengan merata-rata invers DFT. Nilai F(u,v) dalam formula ini kadang disebut sebagai Fourier Koefficients dari ekspansi[3]. Pada gambar 2.9(a) diperlihatkan citra grayscale kemudian pada gambar 2.9(b) diperlihatkan spektrum transformasi fouriernya yang dipusatkan di tengah.

Gambar 2.9 (a) Citra Grayscale (b)Hasil Transformasi Fourier

Sumber : commons.wikimedia.org

Nilai transformasi pada origin domain frekuensi [F(0,0)] disebut dengan komponen dc transformasi Fourier. Jika f(x,y) adalah real, transformasinya secara umum kompleks. Metode prinsip analisis secara visual sebuah transformasi adalah menghitung spektrum dan menampilkannya sebagai citra. Jika R(u,v) dan I(u,v) merepresentasikan real dan komponen imaginary F(u,v), spektrum Fourier didefinisikan sebagai:

( ( ( , ) = � , ) + , ) ..................................................... (2.3)

2.3.2 DFT Terpusat

Perhitungan DFT 2-D sekarang mentransformasikan titik-titik ke dalam interval persegi panjang seperti ditunjukkan pada gambar 2.10. Persegi panjang dengan garis putus-putus adalah pengulangan periodik. Daerah dengan garis utuh menunjukkan nilai F(u,v) yang sekarang meliputi empat back-to-back perempatan periode yang bertemu pada titik yang ditunjukkan pada gambar 2.10(a). Analisis visual spektrum hanya dengan memindahkan nilai origin transformasi ke pusat dari persegi panjang frekuensi.

Nilai spektrum di (M/2, N/2) dalam gambar 2.10(b) adalah sama dengan nilai di (0, 0) dalam gambar 2.10(a) dan nilai di (0, 0) dalam gambar 2.10(b) sama dengan nilai di (-M/2, -N/2) dalam gambar 2.10(a). Dengan cara yang sama, nilai di (M-1, N- 1) dalam gambar 2.10(b) adalah sama dengan nilai di (M/2-1, N/2-1) dalam gambar 2.10(a). Proses ini dinamakan dengan proses shifting[8].

Gambar 2.10 Spektrum Fourier 2D, (a) kiri, (b) kanan

Sumber : Prasetyo, Eko. 2011

Berdasarkan penjelasan di atas dapat diambil kesimpulan untuk mendapatkan DFT terpusat dapat dihitung dengan menggunakan formula 2.4:

′ ′

, ) , ( ≡ � − − �.................................................... (2.4)

cara lain untuk menghitung DFT terpusat adalah dengan mengasumsikan bahwa DFT F(u,v) dari f(x,y) telah diperoleh dengan menggunakan formula DFT, kemudian menukarkan kuadran pertama dari F(u,v) dengan kuadran ketiga dan menukarkan kuadran kedua dengan kuadran keempat seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.11. Cara ini lebih efektif dari pada menggunakan formula sebelumnya karena menghemat proses komputasi yang dilakukan.

Gambar 2.11 Proses pemusatan DFT dapat dilakukan dengan menukarkan kuadran 1 dengan 3, dan 2 dengan 4

Sumber: Solomon,Chris. 2011

2.3.3 Konsep Filter dalam Domain Frekuensi

Penapisan (filtering) pada sebuah citra digital dapat dilakukan baik dalam kawasan (domain)spasial (ruang) dan frekuensi. Mirip dengan isyarat 1 dimensi (1-D), penapisan dilakukan baikdalam kawasan waktu maupun frekuensi dengan operasi konvolusi merupakanlandasan/dasarnya. Hal tersebut dimungkinkan karena adanya hubungan dua arah padatransformasi Fourier, yakni:

( , ) ∗ ℎ(ℎ, ) ⟺ ( , ) ( , ) ........................................................... (2.5) dan sebaliknya : ( , )ℎ(ℎ, ) ⟺ ( , ) ∗ ( , ) ............................................................ (2.6) yang artinya, konvolusi dalam kawasan waktu menjadi perkalian biasa dalam kawasan frekuensi dan sebaliknya perkalian biasa dalam kawasan waktu menjadi konvolusi dalam kawasan frekuensi.

Sebuah citra digital bisa mengandung frekuensisehingga kita bisa mengoperasikan penapisan dalam kawasan frekuensi. Singkatnya frekuensi dalam citra mengandung arti:

1. Frekuensi tinggi menjelaskan tentang nilai intensitas piksel bertetangga yang berubahdengan cepat di dalam citra (contohnya OCR yang isinya teks, teksture dan lainnya).

2. Frekuensi rendah terkait dengan perubahan yang rendah pada nilai intensitas pikselyang bertetangga, juga terkait dengan skala objek yang besar di dalam citra tersebut. Pemfilteran dalam domain spasial berisi konvolusi citra f(x,y) mask filter h(x,y). seperti halnya teori konvolusi, juga bisa mendapatkan hasil yang sama dalam domain frekuensi dengan perkalian antara F(u,v) dengan H(u,v), transformasi fourier filter. Biasanya H(u,v) disebut sebagai filter transfer function. Fungsi berkebalikan antara pemfilteran dalam domain spasial dan pemfilteran dalam doman frekuensi diperlihatkan pada gambar 2.12.

Gambar 2.12Filter Transfer Function Sumber: Prasetyo, Eko .2011

Berdasarkan uraian konsep filtering domain frekusni maka untuk melakukan pemfilteran dalam domain frekuensi harus mengikuti diagram seperti pada gambar

2.13. _{Transformasi Fungsi Filter} _{Fourier H(u,v)} _Transformasi _Fourier _Invers _{Pre-Processing} _{Citra Input} _f(x,y) _F(u,v) H(u,v)F(u,v) _{Citra ter-enhance} _g(x,y) _{Pre-Processing}

Gambar 2.13 Langkah Dasar Pemfilteran dalam Domain Frekuensi

Sumber: Prasetyo, Eko. 2011 Fungsi filter H(u,v) dalam gambar 2.13 mengalikan bagian real dan citra dari F(u,v). jika H(u,v) real maka fase hasil tidak berubah. Dapat dilihat dalam persamaan fase dengan catatan bahwa jika pengali bagian real dan citra sama, maka dapat dibatalkan dan membiarkan fase sudut tidak berubah [8]. Adapun prosedur untuk menapis citra dalam kawasan frekuensi adalah sebagai berikut:

1. Input citra digital berupa citra *.jpg dengan ukuran lebar = ukuran tinggi.

2. Lakukan proses transformasi fourier dari citra input dengan menggunakan FFT 2D untuk mendapatkan F(u,v) yang merupakan nilai kompleks dari transformasi fourier.

3. Hitung filter mask H(u,v) dengan ukuran lebar dan tinggi sama dengan ukuran citra input. Filter mask yang dibahas di dalam skripsi ini adalah Low Pass Filtering dan High Pass Filtering.

4. Kalikan F(u,v) dengan H(u,v) untuk mendapatkan G(u,v) yang merupakan hasil perkalian antara transformasi dengan filter mask.

5. Lakukan proses invers transformasi fourier dari G(u,v) menggunakan invers FFT2D sehingga diperolehlah citra hasil g(x,y).

2.4 Peningkatan Kualitas Citra Domain Frekuensi

2.4.1 Filter Penghalusan (Smoothing) Domain Frekuensi

Tepi dan transisi ketajaman intensitas dalam citra berkontribusi secara signifikan terhadap isi frekuensi tinggi dalam transformasi Fourier. Smoothing dicapai dalam domain frekuensi dengan pelemahan frekuensi tinggi yang disebut dengan Lowpass Filter [8].

2.4.1.1 Ideal Lowpass Filter

Ideal Lowpass Filter adalah filter yang menghilangkan semua komponen frekuensi

tinggi dari transformasi Fourier pada jarak yang lebih besar daripada jarak yang ditentukan (dari pusat transformasi). Formulanya dapat dilihat pada persamaan 2.7.

1 ( , ) ≤

............................................................ (2.7) ( , ) = �

( , ) > Dimana: H(u,v) : fungsi filter D : konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi ,maka:

2 2 1/2

]

( ............................................... (2.8) ( , ) = [( − /2) /2) P dan Q adalah ukuran pad citra yang diproses.

2.4.1.2 Butterworth Lowpass Filter

Fungsi dari Butterworth Lowpass Filter dengan order n dan dengan cutoff frequency pada jarak D dari titik asal adalah :

.............................................................................(2.9) ( , ) =

2 1+[ ] ( , )/

H(u,v) : fungsi filter D : konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi n : order

2.4.1.3 Gaussian Lowpass Filter

Fungsi Gaussian Lowpass Filter dinyatakan oleh persamaan berikut :

2( , )/2 2 −

........................................................... (2.10)

( , ) =

H(u,v) : fungsi filter D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi.

σ : ukuran sebaran terhadap pusat .

Nilai e : 2,718281828459 (logaritma natural) O maka persamaan akan menjadi :

Bila σ = D

2( , )/2

02 −

........................................................................ (2.11)

( , ) =

Dimana D adalah konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi Sebagai contoh, sebuah citra input dengan ukuran dimensi citra 3 x 3. Maka untuk filter mask dari Lowpass Filterakan menghasilkan filter mask dengan ukuran yang sama yaitu 3 x 3. Banyaknya elemen dari filtermask diketahui dengan mengalikan jumlah lebar dan tinggi citra input. Pada contoh ini akan menghasilkan 9 elemen filter mask. Dengan D =60, maka sebelum dilakukan pemfilteran terlebih dahulu dihitung jarak D(u,v).

Perhitungan jarak dari D

0 = 0 D(0,0)=

√0

2 D(0,1)= + 1 = 1

√0

2 D(0,2)= + 2 = 2

√0

2 D(1,0)= + 0 = 1

√1

2 D(1,1)= + 1 = 1.414214

√1

2 D(1,2)= + 2 = 2.236068

√1

2 D(2,0)= + 0 = 2

√2

2 D(2,1)= + 1 = 2.236068

√2

2 = 2.828427 D(2,2)=

√2 Perhitungan mask filter untuk ideal lowpass filter untuk formula 2.9 dengan nilai D =60 H(0,0) →D(0,0)=0

0<60, maka H(0,0)=1 H(0,1)

→D(0,1)=1 1<60, maka H(0,1)=1 H(0,2)

→D(0,2)=2 2<60, maka H(0,2)=1 H(1,0)

→D(1,0)=1 1<60, maka H(1,0)=1 H(1,1)

→D(1,1)=1.41 1.41<60, maka H(1,1)=1 H(1,2)

→D(1,2)=2.23 2.23<60, maka H(1,2)=1 H(2,0)

→D(2,0)=2 2<60, maka H(2,0)=1 H(2,1)

→D(2,1)=2.23 2.23<60, maka H(2,1)=1 H(2,2)

→D(2,2)=2.82 2.82<60, maka H(2,2)=1 Maka diperoleh mask filter dari ideal lowpass filter sebagai berikut:

1 Perhitungan mask filter untuk butterworth lowpass filter untuk formula 2.10 dengan n=1

H (0,0) =

1 1.0009 = 0.99

60 �

1 1+ �

2 =

(2,0) �

1 1+ �

H (2,0) =

2 =

1 1.009 = 0.99

60 �

2.23

1 1+ �

2 =

(1,2) �

1 1+ �

H (1,2) =

1 1.00055 = 0.99

2 =

H (2,1) =

60 �

(2,2) �

Maka diperoleh mask filter dari butterworth lowpass filter sebagai berikut: Perhitungan mask filter untuk gaussian lowpass filter untuk formula 2.11 dengan nilai D0=60

1 1.0009 = 0.99

2 =

60 �

2.28

1 1+ �

2 =

1 1+ �

H (2,2) =

1 1.0009 = 0.99

2 =

60 �

2.23

1 1+ �

2 =

(2,1) �

2 =

1.41

1 1+ �

(0,1) �

H (0,2) =

1 1.000256 = 0.99

2 =

60 �

1 1+ �

2 =

1 1+ �

(0,2) �

H (0,1) =

1 = 1

2 =

60 �

1 1+ �

2 =

(0,0) �

1 1+ �

2 =

1 1+ �

2 =

(1,1) �

1 1+ �

H (1,1) =

1 1.000256 = 0.99

2 =

60 �

1 1+ �

2 =

(1,0) �

1 1+ �

H (1,0) =

1 1.009 = 0.99

2 =

60 �

1 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

2(0.0)/2

02 − −0/7200

H (0,0) = = = = 1 2(0.1)/2

02 − −1/7200

H (0,1) = = = = 1

2(0.2)/2

02 − −2/7200

H (0,2) = = = = 1 2(1.0)/2

02 − −1/7200

H = = = 1 (1,0) =

2(1.1)/2

1 − −1.41/7200 H (1,1) = = = = 1

2(1,2)/2

02 − −2,23/7200

H (1,2) = = = = 1

2(2,0)/2

02 − −2/7200

H (2,0) = = = = 1 2(2,1)/2

02 − −2,23/7200

H (2,1) = = = = 1

2(2.2)/2

02 − −2.23/7200

H (2,2) = = = = 1

Maka diperoleh mask filter dari gaussian lowpass filter sebagai berikut:

2.4.2 Filter Penajaman (Sharpening) Domain Frekuensi

Penajaman citra bisa didapat dengan menggunakan proses Highpass Filtering dengan mengurangi komponen low frequency tanpa mengganggu informasi high frequency pada transformasi Fouriernya [10]. Highpass filtering merupakan kebalikan dari lowpass filtering , persamaannya dapat dilihat pada persamaan 2.12.

H (u,v)=1- H (u,v) ............................................... (2.12) hp lp

H lp (u,v) merupakan fungsi dari lowpass filter yang berkaitan.

2.4.2.1 Ideal Highpass Filter

Ideal Highpass Filter merupakan kebalikan dari Ideal Lowpass Filtering .IHPF memberikan nilai 0 untuk semua frekuensi di dalam lingkaran radius D ketika dilewati,tanpa melemahkan semua frekuensi di luar lingkaran diset menjadi 1.

( , ) ≤ ................................................. (2.13)

( , ) = �

1 ( , ) >

H(u,v) : fungsi filter D : konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi.

2.4.2.2 Butterworth Highpass Filter

Butterworth Highpass Filter merupakan kebalikan dari BLPF,memberikan nilai 0 untuk semua frekuensi di dalam lingkaran radius D

2 ( , ) = 1 − .......................................................... (2.14)

1+ � � ( , )

H(u,v) : fungsi filter D : konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi. n : order

2.4.2.3 Gaussian Highpass Filter Fungsi GHPF dengan cutoff frequency terletak pada jarak D O dari origin.

2( , )/2

02 −

................................................ (2.15) ( , ) = 1 −

H(u,v) : fungsi filter D(u,v): jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi.

D : konstanta positif (cutoff frekuensi)/titik pusat transformasi

Nilai e : 2,718281828459 (logaritma natural)

2.5 MSE (Mean Squared Error) dan PSNR (Peak Signal to Noise Ratio)

2.5.1 MSE

Perbaikan citra pada dasarnya merupakan proses yang bersifat subjektif sehingga parameter keberhasilannya bersifat subjektif pula. Untuk itu perlu adanya alat ukur kuantitatif yang bisa digunakan untuk mengukur kinerja prosedur perbaikan citra. Salah satu alat ukur yang digunakan adalah MSE (Mean Squared Error) [12]. Persamaannya:

( ( ..................................... (2.16)

∑ = ∑ ( , ) − , ))

=1 =1

M dan N adalah ukuran panjang dan lebar citra f a (i,j) : intensitas citra di titik(i,j) pada citra asal.

f b (i,j) : intensitas citra di titik(i,j) pada citra hasil.

2.5.2 PSNR

PSNR merupakan nilai perbandingan antara harga maksimum warna pada citra hasil filtering dengan kuantitas gangguan (noise) yang dinyatakan dalam satuan decibel(dB), noise yang dimaksud adalah akar rata-rata kuadrat nilai kesalahan (

√ ) [6]. Secara matematis, nilai PSNR dapat dirumuskan sebagai berikut:

255

) ......................................................... (2.17) = 20 . log 10 (

√

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Citra 2.1.1 Definisi Citra Digital - Implementasi Lowpass Filtering Dan Highpass Filtering Untuk Perbaikan Kualitas Citra Digital