Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu: Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang

Resistansi konduktor,

Saluran Transmisi Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang

mengalir di konduktor yang lain, Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar konduktor, Arus bocor pada isolator.

biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor.

Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator

Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu:

Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa:

µ = µ 0 µ r ≈ µ 0 = 4 π × 10 − 7 H/m Resistansi Seri

Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:

= ε 0 ε r ≈ 10 36 F/m

Beberapa jenis konduktor: Aluminium: AAL ( all aluminium coductor)

Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan: Aloy aluminium: AAAL ( all aluminium alloy conductor )

resistivitas bahan [ Ω Ω .m] Dengan penguatan kawat baja: ACSR ( aluminium conductor steel reinforced )

R dc = ρ l

panjang konduktor [m] Ω Ω

Ω 2 Ω Ω Ω ] A luas penampang [m ] Data mengenai

ukuran,

× 10 − 8 m. Ω untuk aluminium pada 20 o C

konstruksi,

resistansi [ Ω Ω Ω Ω per km],

= 1 , 77 × 10 − 8 m Ω untuk temb aga pada 20 o C

radius [cm], GMR [cm] ( Geometric Mean Radius )

Resistivitas tergantung dari temperatur. kemampuan mengalirkan arus [A]

dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.

Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :

Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit ( skin effect ), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran penampang konduktor.

Induktansi Seri

Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.

Fluksi Sendiri

H luar

Namun arus mengalir di seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat

H Tinjau satu konduktor lurus berjari-jari r 0 , dengan

H dalam

konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan

panjang l , yang dialiri arus i. Menurut hukum Ampere, arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, medan magnet di sekitar konduktor ini adalah:

selain di sekitar konduktor terdapat juga medan magnet di dalam konduktor .

Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar

Untuk udara:

µ = µ 0 µ r ≈ µ 0 = 4 π × 10 − 7 H/m konduktor dan di dalam konduktor disatukan dengan mencari apa yang disebut GMR ( Geometric Mean Radius ).

Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titik ∫ Hdl = i P yang

GMR merupakan radius konduktor pengganti yang kita bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding

berjarak D kP dari konduktor adalah

tipis berjari-jari r ′ (yaitu GMR ) dan arus mengalir di dinding

konduktor berrongga ini . Dengan GMR ini, fluksi di dalam

P λ P luar =

µ il

D kP

D konduktor telah tercakup dalam perhitungan.

r ∫ Bldr = 0 2 π ln r 0 Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:

D kP

r 0 : radius konduktor

λ′ = µ il ln D 1 P

λ = µ i ln D 1 P

jarak konduktor- k

Atau per satuan panjang:

sampai titik P

Tinjau satu kelompok n konduktor yang masing-masing dialiri arus i i . Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya,

Fluksi Bersama

suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang

mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.

Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:

i 1 + i 2 + ⋅ ⋅⋅ + i n = 0

Fluksi sendiri

Fluksi bersama

Konduktor ke- k memiliki fluksi lingkup total:

λ k = λ k 1 + λ k 1 + ⋅ ⋅⋅ + λ kk + ⋅ ⋅⋅ + λ kn

Fluksi bersama

Fluksi sendiri

Tinjau satu kelompok n konduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P:

Dengan posisi titik P semakin jauh maka:

resistansi : konduktor ke - k [ Ω /m]

D 1 P ≈ D 2 P ⋅ ⋅⋅ ≈ D kP ⋅ ⋅⋅ ≈ D kn = D

GMR : konduktor ke - k [m] ( i 1 + i 2 + ⋅ ⋅⋅ + i n ) ln D = i 0 1 i 2 i k i n

D nP r k

radius : konduktor ke - k [m]

dan

Sampai di titik P konduktor ke- k memiliki fluksi lingkup total:

Dengan demikian fluksi lingkup konduktor- k menjadi

Fluksi lingkup

fluksi sendiri

sendiri

konduktor k

fluksi karena arus di Untuk mencakup seluruh fluksi, titik P kita letakkan pada posisi

konduktor yang lain semakin jauh, sampai tak hingga.

fluksi karena arus di

konduktor yang lain

Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah:

D BN Impedansi Seri  

Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor (3

A I A R A L AA

konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaian

I A ekivalen seperti berikut: ′

Jika konduktor N digunakan sebagai referensi, maka:

V A A ′ − V N N ′ = V AN − V A ′ N ′

V A A ′ = ( R A + j ω L AA ) I A + j ω L AB I B + j ω L AC I C + j ω L AN I N

V B B ′ − V N N ′ = V BN − V B ′ N ′

V B B ′ = ( R B + j ω L BB ) I B + j ω L AB I A + j ω L BC I C + j ω L BN I N

V C C ′ = ( R C + j ω L CC ) I C + j ω L AC I + j ω L I + j ω L I V C C ′ − V N N ′ = V − A V BC B CN N CN C ′ N ′

V N N ′ = ( R N + j ω L NN ) I N + j ω L AN I A + j ω L BN I B + j ω L CN I C

I L AA

Karena λ A =    i A 2 π ln r ′ + i µ ln 1 µ ln

D AB C 2 π

D AC N 2 π ln D AN    maka

Karena λ N = µ  2  i A ln 1 i ln 1 i ln 1 i ln 1  maka

D CN C Impedansi sendiri Z sA

Impedansi bersama

Z mB

Impedansi bersama Z mC

Impedansi bersama

Z mA

Impedansi sendiri Z sB

Impedansi bersama Z mC

Impedansi bersama

Z mA

Impedansi bersama

Z mB

Impedansi sendiri Z sC

CONTOH: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga

I B R B L AB

B • L BB L AC I sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga B

Dalam bentuk matriks

V ABC − V ABC ′ = [ Z ABC ] ~ I ABC  1 l  V  

Matriks komponen simetris:

V ~ 012 − V ~ 012 ′ = [ Z 012 ] I ~ 012

[ Dinyatakan per

Z 012 ][][ = T − 1 Z ABC ][ ] T Ω /m satuan panjang

 Z 0 0 0 [  Z 012 ][][ = T − 1 Z ABC ][ ] T =   0 Z s − Z m

Transposisi

2 π ln r ′ r N ′ + 2   R N + j ω 2 π ln 3 r ′ N  

= 4 R + 3 R N + j ω µ 2 ln

27 r ′ () r N ′ 3 2

Z 1 = Z 2 = Z s − Z m = R + R N + j ω µ 2 π ln D µ

D r ′ r N ′ − R N − j ω 2 π ln 3 r N ′

= R + j ω 2 µ π ln 3 r D ′ = R + j ω 2 µ π ln 3 r D ′

 Misalkan : R A = R B = R C = R

Jika didefinisikan D x = 3 D AN 1 D AN 2 D AN 3 dan

D e = 3 D AB D BC D CA maka:

V AN − V A ′ N ′ = l 3 ( V AN − V A ′ N ′ ) 1 + l 3 ( V AN − V A ′ N ′ ) 2 + l

l ( V AN − V 

l ( V AN − V A ′ N ′ ) = 1   3 R A + 3 R N + j ω µ ln D AN 1 D AN 1 D AN 3 3 2 π r   ′ A r ′ N   I A Z s = R + R N + j ω µ ln D 2 x

e r ′ () r N ′ 3

CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi:

230 KV L-L

r=

1,35 cm I rated 900 A

4,082 m 4,082 m

r’ = R

gmr = 1,073 cm = 0,088

Ω / km

D e = 3 4 , 082 × 4 , 082 × 8 , 164 = 5 , 143 m

Untuk udara µ : = 4 π × 10 − 7 H/m = 4 π × 10 − 4 H/km Admitansi

Untuk frekuensi 50 Hz ω : = 100 π = 314

Z 1 = R + j ω µ ln D e = 0 , 88 + j ( 314 ) 4 π × 10 5 , 2 143 π r ′ 2 π ln 0 , 01073

= 0 , 088 + j 0 , 3877 Ω /km

Tinjau konduktor a dengan radius r a bermuatan ρρρρ a Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan

dan dua konduktor lain i dan j yang tidak bermuatan mengandung muatan dengan kerapatan penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidang ρρρρ , maka geometri untuk equipotensial di sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement

dan kuat

D jk

medan listrik di suatu titik berjarak x dari konduktor adalah

D ik

k, r k, ρ k

2 πε x

v ij ρ k = v ik ρ k + v kj ρ k =

  ln

+ ln

D jk 

r k   2 πε ln D ik

D jk

Beda potensial antara

x A titik A yang berjarak x A dari konduktor dan

D ik

titik B yang berjarak x B dari konduktor

A B adalah

Ini adalah beda potensial konduktor i dan j yang

diakibatkan oleh adanya muatan di konduktor a

v x = B Edx = B ρ

dx = AB ρ ∫ x A ∫ x B x A 2 πε x 2 πε ln x

D jk v Ini menjadi formula

ij ρ k = 2 πε ln D ik

umum

Tinjau sistem 3 konduktor a, b, c

sistem 3 konduktor a, b, c

Formula umum:

v ab = v ab ρ a + v ab ρ b + v ab ρ c Merupakan superposisi dari

= ρ ρ k 2 πε b tidak bermuatan. ρ k 2 πε ln D k jk D ik

v ab oleh pengaruh ρρρρ a , ρρρρ b ,

ρρρρ Formula umum:

c v bc = v bc ρ a + v bc ρ b + v D bc ρ c

v ij = ρ k ln jk

seandainya konduktor

a dan

v ij

D ik

sistem 3 konduktor a, b, c Tinjau sistem empat konduktor a, b, c, n.

D ac

ρ a, r a b, ρ b, r b c, ρ c, r c n, r n, ρ n

D ab D bc Formula umum:

a,

Formula umum: ρ c + v an ρ n

a,

ρ a, r a b, ρ b, r b c, ρ c, r c

= ρ k ln D jk

v ij

v an = v an ρ a + v an ρ b + v an

a + v ca ρ b + v ca ρ c

v ca = v ca ρ k

ik

k v D ij ρ k = 2 πε ln

D jk

v an ρ = ρ a ln na

D ik

sistem empat konduktor a, b, c, n. sistem empat konduktor a, b, c, n.

v in = v in ρ a + v in ρ b + v in ρ c + v in ρ n i = a , b , c , n

ρρρρ n dapat di-ganti melalui konservasi muatan

D nn   = 0 ρ a + ρ b + ρ c + ρ n = 0 ρ n = − ( ρ a + ρ b + ρ c )

cn cn

~ v abc = [] F ~ ρ

Ini menjadi formula umum

abc

abc

Untuk tegangan sinus keadaan mantap:

Admitansi Y

[ abc ] [ abc ]

= jC ω

Inversi matriks ini menyulitkan kita  ρ a 

 f aa f ab f ac  − 1       V a 

untuk menghitung langsung

 ρ b  =  f f f V ba  bb bc    b 

[ C abc ] maupun [ Y abc ]

  f ca f cb f cc  

Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah

~ ρ abc = [] F abc -1 V ~ abc = [ C abc ] ~ V abc

 f aa f ab f ac 

[] F abc =   f ba f bb f bc  

Oleh karena itu kita mencari

[ ] [ ] [ ][ ] F 012 = T − 1 F abc T

[ C abc ][] = F abc F/m   f ca f cb f cc  

yang akan memberikan Kita ingat untuk kapasitor

[ Y abc ] = jC ω [ abc ]

Q=CV

[ C 012 ][] = F 012 − 1

admitansi

[ Y 012 ] = j ω [ C 012 ]

Contoh: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga

f s = 1 ln D 2 f m = 1 ln D

D ab = D bc = D ca = D [] F abc = ?

ca = D D ab = D D an = D bn = D cn = D

0 0 3  [] f F

Kita ingat matriks simetris

[ ] [ ] [ ][ ] F 012 = T − 1 F abc T =  0 f 1 0   

c b [ C 012 ] =

D bc = D formula umum

f 0 = f s + 2 f m = 1 2 πε ln D

f ij = 2 πε ln

1 D in D jn

di mana

27 r n r

f 1 = f s − f m = 1 ln D

Dr

Dr n

2 πε   ln Dr n ln

[] F abc = 1 ( D / 3 )

ln

f 2 = f s − f m = 1 ln D

Dr n

 ln  Dr ln n

Dr

ln

[] F 012 yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan

C 012 ][] = F 012 − 1  1 / f 0 0 0 C 0 0 = 0  0 1 / f 1 0     =  0 C 1 0    0 0 1 / f 2     0 0 C 2  

ln ( D 4 C 1 =

Transposisi

/ 27 rr n 3 )

ln ( D / r )

ln ( D / r )

ln ( D / 27 rr n )

4 Y 1 = 2 3 πεω ln D / r

Y 2 = 2 πεω

ln ( D / r )

Telah didefinisikan

[] F abc =  f m f s f m  

formula umum

3 [ ()()() f ij + f ij

1 2 + f ij 3 ] f m = 1 × 1 ln D an 1 D bn 1 D bn 2 D cn 2 D cn 3 D an 0 3 x e n

f s = f ij jika i = j 3 2 πε

f m = f ij jika i ≠ j 1 

Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.

Impedansi :

Admitansi : S / m Ω Ω Ω Ω

/m

Konstanta Propagasi

Impedansi Karakteristik Rangkaian Ekivalen Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran

transmisi.

Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi.

Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi penurunan tegangan dan penurunan arus

Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi

Tinjau jarak sempit ∆∆ ∆ ∆ x

pada posisi x dari ujung kirim ∆

Tinjau saluran transmisi (dua konduktor)

Arus di ujung

ujung terima

dalam jarak ∆∆ ∆ ∆ x ini terdapat kirim

Z impedansi : per satuan panjang

Y admitansi : per satuan panjang

impedansi dan admitansi sebesar:

Z ∆ x dan Y ∆ x

suatu posisi x

Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh

dihitung dari

ujung terima

dan arus antar kedua konduktor sebesar

sehingga

Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima

diketahui, berapakah tegangan dan arus di posisi berjarak x dari ujung terima?

atau V x + ∆ x − V x x = Z I atau I + ∆ x − x I x x x = − Y I

Jika ∆∆ ∆ ∆ x → → → →

0, kita tuliskan persamaan orde pertama:

dx = Z I x

dx = − Y V x

dan persamaan

orde ke-dua

d 2 substitusi

Konstanta Propagasi

Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya.

Dengan harapan akan memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan:

konstanta propagasi

Konstanta Propagasi: CONTOH: Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:

γ = ZY Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, maka γγγγ

Z = 0 , 088 + j 0 , 4654 Ω /km dan

Y = j 3 , 524 µ S/km

juga bilangan kompleks:

Hitung konstanta propagasi γγγγ .

Penyelesaian:

Konstanta redaman

Konstanta fasa

Y = j 3 , 524 µ S/km = j 3 , 524 × 10 − 6 S/km

menyebabkan

menyebabkan perubahan

γ = ZY = ( 0 , 088 + j 0 , 4654 )( j 3 , 524 × 10 − 6 )

penurunan amplitudo

fasa dan bentuk

gelombang karena

gelombang terkait

= 10 − desipasi daya sepanjang 3 dengan perubahan ( 0 , 088 + j 0 , 4654 ) × j 3 , 524

transmisi. Nilai terkait

dengan resistansi αα α α

induktansi dan

= 10 − 3 0 , 474 ∠ 79 , 3 o × 3 , 524 ∠ 90 o = 10 − 3 1 , 67 ∠ 169 , 3 o

kapasitansi sepanjang

saluran

saluran

= 10 - 3 × 1,292 ∠ 84,6 o = ( 0 , 1205 + j 1 , 2863 ) × 10 − 3 per km

Solusi Persamaan Tegangan

Persamaan tegangan orde ke-2:

2 x = ZY V x

dx

Dengan konstanta propagasi

γ 2 = ZY

V r + Z I γ r = 2K 1 V r − Z I γ r = 2K 2

persaman tersebut menjadi

dx 2 = γ V x

dx 2 − γ

Persaman karakteristik:

maka

Solusi:

yang untuk x=

0, yaitu di ujung kirim:

Persamaan tegangan orde ke-1:

V r = K 1 + K 2 = V r cosh( γ x ) + Z I r sinh( γ x )

dx dx = K 1 γ e γ x − K 1 γ e − γ x

⇒ V x = V r cosh( γ x ) + Z I r sinh( γ x )

Persamaan tegangan orde pertama

dx = Z I x menjadi

dx

= V r γ sinh( γ x ) + Z I r cosh( γ x )

atau

I x = γ Z V r sinh( γ x ) + I r cosh( γ x )

Impedansi

Karakteristik

Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk

tegangan dan arus, yaitu:

V x = V r cosh( γ x ) + Z γ I r sinh( γ x )

I x = γ Z V r sinh( γ x ) + I r cosh( γ x )

Impedansi Karakteristik

Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus: CONTOH: Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi

dan admitansi per satuan panjang:

V x = V r cosh( γ x ) + Z γ I r sinh( γ x )

Z V r sinh( γ x ) + I r cosh( γ x )

dan

Z = 0 , 088 + j 0 , 4654 Ω /km Y = j 3 , 524 µ S/km

Hitung Impedansi Karakteristik.

tegangan arus

Ini harus merupakan

Ini harus merupakan

Y = j 3 , 524 µ S/km = j 3 , 524 × 10 − 6 S/km

impedansi

admitansi

0 , 088 + j 0 , 4654 = 10 3 × 1 , 584 ∠ 79 , 3 o

Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik

j 3 , 524 × 10 − 6 3,524 ∠ 90 o

= 366 , 6 ∠ − 5 , 35 o Ω

ZY

Catatan :   Z c = per satuan panjang Z Y

S Ω Perhatikan: 2 Z adalah impedansi  = Ω = = Ω  

 per satuan panjang  Z c adalah impedansi karakteristik

Y adalah admitansi

Dengan menggunakan impedansi karakteristik Z c sepasang

persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:

V x = V r cosh( γ x ) + Z c I r sinh( γ x )

I x = V Z r sinh( γ x ) + I r cosh( γ x )

Rangkaian Ekivalen

Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat kita peroleh

dengan mengantikan x dengan d pada relasi di atas:

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

I s = V Z r c sinh( γ d ) + I r cosh( γ d )

Rangkaian Ekivalen ππππ

Kita tinjau rangkaian ekivalen ππππ seperti berikut:

Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima dan ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita

peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan

Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran transmisi dalam sebuah

Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal Z t dan Y t .

Rangkaian Ekivalen

Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:

Dengan demikian untuk rangkaian ekivalen ππππ kita peroleh persamaan:

Jadi dalam rangkaian ekivalen ππππ

Z t dan Y t adalah “ nilai tergumpal ” impedansi dan admitansi saluran

Jika kita perbandingkan persamaan tegangan ini dengan

persamaan tegangan sebelumnya, yaitu

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

kita dapatkan

Z t = Z c sinh( d γ )

1 + Z t Y t 2 = cosh( γ d ) dan

Z t = Z c sinh( d γ )

Y t = 2 tanh   γ d  

d = jarak ujung terima dan ujung kirim → Y t = cosh( γ d ) − 1 = tanh   γ d 2  Z t

2 = cosh( γ d ) − 1 Y t Z c 2 =

sinh( γ d )

 2   Z c = impedansi karakteris tik

= cosh( γ d ) − 1 Z  c sinh( γ d ) Y t = 2 tanh  γ d

Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks

Sebuah catatan perlu diberikan mengenai fungsi hiperbolik kompleks

sinh x = e x − e − x

Kita mengetahui bahwa

Jika x 2 = a + jb maka:

e ( a + jb ) − e − ( a + jb )

e a e sinh( jb a + jb ) = = − e − a e − jb

Kita dapat menuliskan

e jb = cos b + j sin b dan

e − jb = cos b − j sin b

sinh( a + jb ) = e a (cos b + j sin b ) − e − a (cos b − j sin b )

Sistem Tiga Fasa Seimbang

sehingga

2 e ) cos b + j ( e + e 2 ) sin b

= sinh a cos b + j cosh a sin b

Dengan cara yang sama kita dapatkan

cosh( a + jb ) = cosh a cos b + j sinh a sin b

Sedangkan

tanh( a + jb ) = sinh( a + jb cosh( ) a

Diagram fasor sumber tiga fasa

Beban Terhubung Y,

Im

Diagram fasor

CN

tegangan

A Z=R+jX

+ − V CN

N Z=R+jX A

V V ff B

BN

V AN

120 o

Re

Z=R+jX

V BN I C N Sumber terhubung Y

V AN I = V AN ∠ 0 o N

V BN = V BN ∠ − 120 o

Keadaan Seimbang

Dalam sistem tiga fasa kita berhadapan dengan paling sedikit 6

Beban Terhubung peubah sinyal, yaitu 3 tegangan dan 3 arus. ∆∆∆∆ ,

B V AB V CA I B

A Jaringan

V BC I Jaringan

I Z=R+jX

Z=R+jX

ff Z=R+jX

Dalam keadaan

C seimbang:

V AB = V BC = V CA = V LL = V f 3 ϕ = ϕ A = ϕ B = ϕ C S 3 f = 3 V f I * f = 3 V A I * A S 3 f = 3 V f I f = V LL I L 3

S 3 f = P 3 f + jQ 3 f P 3 f = S 3 f cos ϕ = 3 V f I f cos ϕ = V LL I L 3 cos ϕ Q 3 f = S 3 f cos ϕ = 3 V f I f sin ϕ = V LL I L 3 sin ϕ

Sistem tiga fasa tidak selalu dalam keadaan seimbang. Pada waktu-waktu tertentu, misalnya pada waktu terjadi hubung singkat satu fasa ke tanah, sistem menjadi tidak seimbang.

Analisis sistem tiga fasa tidak seimbang, dilakukan dengan

memanfaatkan komponen simetris.

Sistem Tiga Fasa Tak Seimbang Pada 1918, C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, bahwa

tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat

Komponen Simetris dinyatakan sebagai jumlah dari tegangan-tegangan (atau arus-

arus) yang seimbang. Tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang ini disebut komponen simetris .

Dengan menggunakan komponen simetris, tegangan dan arus tiga fasa yang dalam keadaan tak seimbang di-transformasikan ke dalam komponen-komponen simetris. Setelah analisis dilaksanakan pada setiap komponen simetris, dilakukan transformasi balik dan kita dapatkan solusi dari keadaan tak seimbang.

Operator a

B I B Operator a

aV Im

Jaringan

X C C Jaringan Y

a = 1 ∠ 120 o

Hanya ada 3 kemungkinan fasor seimbang yang bisa menjadi komponen simetris yaitu:

Badingkan dengan operator j yang sudah kita kenal

V A =V B =V C j = − 1 = 1 ∠ 90 jV 2 A

Urutan Positif Urutan Negatif

Urutan Nol

Uraian fasor V A , V B , V C yang tak seimbang ke dalam komponen- Mencari komponen simetris dari fasor tak seimbang komponen simetris dengan menggunakan operator a

V = V + V + V = V + a V V + V + V = 3 V + 1 + a + a V + 1 + a + a 2 C V C 0 C 1 C 2 0 1 + a 2 V 2 A B C 0 ( )( 1 ) 2 V 0 = ( V A + V B + V C ) / 3

Urutan nol

Urutan positif

Urutan negatif

V A + a 2 V B + a V C = ( 1 + a 2 + a )( V 0 + 1 + a + a 2 ) V 1 + 3 V 2 V 2 = ( V A + a 2 V B + a V C ) / 3

Contoh: Transformasi fasor tak seimbang ke dalam komponen simetrisnya dapat

Carilah komponen simetris dari tiga fasor arus tak seimbang

berikut ini. dituliskan dalam bentuk matriks sebagai:

I A = 9 ∠ 60 o ; I B = 9 ∠ − 60 o ; I C = 0

Fasor tak seimbang

Fasor tak

[] ABC [] [] 012

= 3 ∠ 60 o + 3 ∠ 60 o = 6 ∠ 60 o

komponen simetris

I 2 = ( I A + a 2 I komponen simetris

B + a I C ) / 3 = ( 9 ∠ 60 o + 9 ∠ ( 240 o − 60 o ) + 0 ) / 3  V 0 

= 3 ∠ 60 o + 3 ∠ 180 o = 3 (cos 60 + j sin 60 ) − 3 Komponen 

 ditulis V 

[] V 012 = [] T [] V ABC

simetris

Fasor tak seimbang

0 = ( I A + I B + I C ) / 3 = ( 9 ∠ 60 o + 9 ∠ − 60 o + 0 ) / 3

I Inversi matriks [T]

= 3 ∠ 60 o + 3 ∠ − 60 o = 3 ∠ 0 o

Dengan cara yang sama, kita peroleh untuk arus:

~ I ABC = T I ~ 012

~ I 012 = [] T − 1 [] ~ [] [] [] [] I ABC

Fasor tak seimbang

Fasor komponen simetris

Karena fasor tak seimbang ditransformasi ke dalam komponen simetrisnya maka impedansi harus disesuaikan. Sesuai dengan konsep Impedansi di

Contoh:

Tentukan Z 012

kawasan fasor, kita dapat menuliskan relasi :

I [] B

V ~ ABC = [ Z ABC ] [] ~ I ABC

Ini adalah matriks impedansi 3

memberikan induktansi sendiri dan ××××

3 yang

induktansi bersama antar fasa

[] V ~ ABC = [] T [] V ~ 012

[] [] 012 [ ABC ][ ] [] I 012 V B − V ′ B = jX s I A + jX m I B + j X I

V A − V A ′ = jX s I A + jX m I B + j X m I C

m [] C []

I ABC = [] T I 012

[] V ~ 012 = [][ T − 1 ~

Z ABC ][ ] T [] I 012

V C − V C ′ = jX s I A + jX m I B + j X m I C

1 A didefinisikan sebagi  [][][ Z 012 = T Z ABC ][ ] T  V B  −  V ′ B   = j   X m X s X m     I B  

V ~ ABC − V  ~     [][] ABC ′ = j [ Z ABC ] I ~

[] ABC

V []

012 = Z 012 [] I 012

Transformasi: ~ [][] V 012 − V ~ ′ 012 = [ Z 012 ] ~ [] I 012

relasi komponen simetris

[][] V ABC − V ABC ′ = j [ Z ABC ] [] I ABC

Hasil transformasi merupakan 1 set rangkaian seimbang

Transformasi: [][] V 012 − V 012 ′ = [ Z 012 ] [] ~ I 012

Impedansi urutan nol

Impedansi urutan positif

Impedansi urutan negatif

ABC ][ ] 3  

Z 012 ][][ = T − 1 1  1 1 1 2   X s X m X m   1 1 1 Z

 1 1 1  = 3  ( X s + aX 2 m + a X m ) ( X m + aX s + a X m ) ( X m + aX m + a X s )   j   1 a 2 a 

  ( X s + a X m + aX m ) ( X m + a 2 X s + aX m ) ( X m + a 2 X m + aX s )     1 a a 2  

Masing-masing dipecahkan dengan tatacara rangkaian seimbang.

Transformasi balik memberikan pemecahan rangkaian tak seimbang.

Impedansi urutan nol Impedansi urutan positif

Impedansi urutan negatif 83

Rangkaian ekivalen diturunkan dari

Y t 0 Z t V 0 Y t 0 V V Y t 1 Z t sistem dua konduktor 1 s 0 2 2 r 0 s 1 Y t 2 1 2 V r 1

Untuk aplikasi pada sistem tiga fasa kita menggunakan komponen simetris.

Rangkaian Urutan Nol

Rangkaian Urutan Positif

Z 0 = Z 00 Y 0 = Y 00 Z 1 = Z 11 Y 1 = Y 11

Masing-masing komponen dalam komponen simetris merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing

komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen satu fasa.

Dengan demikian masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen

Rangkaian Urutan Negatif

urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol.

Z 2 = Z 22 Y 2 = Y 22

Z ii dan Y ii adalah nilai dalam diagonal matriks [ Z 012 ] dan [ Y 012 ]

Konstanta propagasi urutan adalah

γ Dalam analisis sistem tenaga, sering dilakukan asumsi bahwa sistem

0 = Z 0 Y 0 γ 1 = Z 1 Y 1 γ 2 = Z 2 Y 2 beroperasi dalam Dengan asumsi ini maka hanya rangkaian urutan positif yang keadaan seimbang.

a, rangkaian ekivalen satu Impedansi karakteristik urutan adalah

diperlukan, dan dengan mengambil fasa

fasa menjadi

Y 2 I a a a R ′ jX Impedansi dan Admitansi ekivalen urutan adalah Y v

Z t 0 = Z c 0 sinh( γ 0 d )

n ′ Z t 2 = Z c 2 sinh( γ 2 d )

tanh 

Z = Z sinh( γ d )

Y t 1 = 2 tanh   γ 1 d Z 

Y t 2 = 2 Z tanh   γ 2  d 2  

CONTOH: Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:

( 0 , 1205 j 1 , 2863 ) 10 − 3 per km Z = 0 , 088

d = 100 km + j 0 , 4654 Ω /km dan

Y = j 3 , 524 µ S/km c

Dengan: Z = 366 , 6 ∠ − 5 , 35 γ =

dan telah dihitung pula impedansi karakteristik serta faktor redaman

Z t = Z c sinh( γ d )

= 366 , 6 ∠ − 5 , 35 o sinh ( ( 0 1205 , + j 1 , 2863 ) × 10 − 3 × 100 )

Z c = 366 , 6 ∠ − 5 , 35 o

− 3 = 8 , 76 + j 46 , 41 Ω γ = ( 0 , 1205 + j 1 , 2863 ) × 10 per km

Tentukan elemen-elemen rangkaian ekivalen jika panjang saluran transmisi 100 km.

2 = 1 Z c tanh   γ d   2  

Penyelesaian:

1   ( 0 , 1205 + j 1 , 2863 ) × 10 − = 3 × 100 

366 , 6 ∠ − 5 , 35 o tanh 

Impedansi dan admitansi ekivalen saluran adalah:

= 0 , 0000262 + j 0 , 1764 ≈ j 0 , 1764 mS

Z t = Z c sinh( γ d ) dan

Y t 2 = 1 Z tanh  γ d 

Contoh: Tentukan admitansi urutan positif Y 1 saluran tansmisi:

230 KV L-L

r=

1,35 cm I rated 900 A

4,082 m 4,082 m

r’ = R

= 0,088 gmr = 1,073 cm Ω / km

D e = 3 4 , 082 × 4 , 082 × 8 , 164 = 5 , 143 m Daya Pada Komponen Simetris

ln( D e / r ) = ln( 5 , 143 / 0 , 0135 )

− 9 Untuk udara ε : = 10 36 π F/m = 1 36 π µ F/km Pada frekuensi 50 Hz ω : = 100 π = 314 Y 1 = j 314 ( 2 π )( 1 / 36 π ln( ) 5 , 143 / 0 , 0135 ) = j 2 , 935 µ S/km

B I B Jika fasor tegangan dinyatakan

Jaringan

C X I C Jaringan

dalam bentuk vektor kolom:

ABC

I dan fasor arus dinyatakan dalam

bentuk vektor kolom:

I ABC =

Secara umum relasi daya

kompleks 3 fasa adalah:

maka :

Dalam bentuk matriks jumlah

perkalian ini dinyatakan sebagai:

dituliskan secara kompak:

3 f = V ABCt I ABC ∗

Contoh:

karena

V ~ ABC = [] T ~ V 012 dan ~ I ABC = T I [] ~ 012

Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam keadaan tak seimbang dimana fasor tegangan fasa dan arus saluran diberikan dalam bentuk matriks sbb:

maka

S 3 = f ~ V ABCt I ~ ABC ∗

= { [] T V 012 } t { [] T ~ I 012 * } V ABC =  100

= V ~ 012 t [][] T t T * ~ I 012 *

[][] t =   1 a 2 a     1 a a 2  

Perhatikan bahwa: V ABC =   V B  

dan

ABC =  B 

 j 10 

 − j 10 

S 3 f = V ABC I ABC = [ 100 − 100 0 ]  − 10  = [ 100 − 100 0 ]  − 10 

sehingga

S 3 f = 3 V ~ 012 t I ~ 012 *

= − j 1000 + 1000 + 0 = 1000 − j 1000

atau

Contoh:

Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam Contoh sebelumnya dengan menggunakan komponen simetris

S 3 f = 3 V ~ 012 ~ I 012 ∗

= 0 ∠ − 30 o 100 ∠ 30 o  10 2 ∠ − 45 o  

V 012 = [] T − 1 V ~ ABC = 1   1 a 2  

 − j 10 − 20 

a − 100

 100 − 100 + 0 0   10 2 ∠ − 45 o  

  100 3 ∠ + 30 o   

= 1 3   100 − 100 ∠ 120 o + 0   = 1 3   100 3 ∠ − 30 o 

= 1000 2 [ 1 ∠ − 75 o +

3 1 ∠ − 15 o ]

  100 + 100 ∠ 240 o + 0  

= 1000 − j 1000

1  1 1 1   j 10 I  012 = [] T − 1 I

ABC = 3 1 a 2 a 2     − 10 

Hasil perhitungan sama dengan hasil

pada Contoh sebelumnya.

Sistem per-unit merupakan sistem penskalaan atau normalisasi guna

mempermudah kalkulasi.

Nilai per - unit = nilai sesungguhn nilai ya basis

Nilai basis selalu memiliki satuan sama dengan nilai sesungguhnya sehingga nilai per-unit tidak berdimensi.

Sistem Per-Unit sesungguhnya bisa bilangan kompleks.

Di samping itu nilai basis merupakan bilangan nyata sedangkan nilai

Kita ambil contoh daya kompleks

Kita ambil nilai basis sembarang S base

maka

= S pu

S base ∠ ( α − β )

Basis tegangan dan basis arus harus memenuhi relasi

Contoh:

3 Ω− j4 Ω

S base = V base I base

V s = 100 ∠ 0 o V ∼

j8 Ω

Salah satu, V base atau I base , dapat ditentukan sembarang namun tidak ke-dua-dua-nya . Dengan cara itu maka

Jika kita tentukan S base = 500 VA dan V base = 100 V maka

V I I base = S base = 500 = 5 A dan Z base = V base = V 100 pu =

V base I pu = I base

V base

I base

Dalam per-unit, nilai elemen rangkaian menjadi:

Basis impedansi

Z base = V I base base

pu = Z Z base = R + jX

Z base = Z

tidak diperlukan menentukan basis untuk

R dan X secara sendiri-sendiri

Z pu = 0 , 15 + − j 0 , 2 + j 0 , 4 = 0 , 15 + j 0 , 2 = 0 , 25 ∠ 53 , 1 o pu

I = V pu

CONTOH: Terapkan sistem per-unit untuk menyatakan elemen

pu =

1 ∠ 0 = 4 ∠ − 53 , 1 o pu rangkaian ekivalen pada contoh sebelumnya, dengan

Z pu

0 , 25 ∠ 53 , 1 o

menggunakan besaran basis:

S 3 φ basis = 100 MVA dan

V LLbasis = 230 KV

Penggambaran rangkaian dalam per-unit menjadi

Penyelesaian: Dari basis daya dan basis tegangan, kita hitung basis impedansi:

0,15 − j0,2

j0,4

Z basis V LLbasis 2 230 = 2 S = 100 = 529 Ω

3 φ basis

Z t = 8 , 76 + j 46 , 529 41 = 0 , 0166 + j 0 , 08773 pu

j 0 , 1764

j 01764

2 − 3 j 0 , 09321 pu 1 /( 529 × 10 ) = 1 / 0 , 529 =

Rangkaian ekivalen ππππ menjadi seperti di bawah ini.

103

104

Rangkaian ekivalen ππππ :

0 , 0166 pu

j 0 , 08773 pu

j 0 , 09321 pu j 0 , 09321 pu Diagram Satu Garis

105

106

Diagram satu garis digunakan untuk menggambarkan rangkaian sistem tenaga listrik yang sangat rumit. Walaupun demikian diagram satu garis

harus tetap memberikan informasi yang diperlukan mengenai hubungan- hubungan piranti dalam sistem.

Nomor bus

CB transmisi

2 4 Saluran

Saluran Transmisi

Pentanahan load ∆ ∆∆ ∆ netral melalui Y

3 Hubungan Y ditanahkan

Transformator

Sudaryatno Sudirham

Transformator

dua belitan

tiga belitan Hubungan Y sering dihubungkan ke tanah. Pentanahan melalui

impedansi berarti ada impedansi (biasanya induktif atau resistif) diselipkan antara titik netral dan tanah. Titik netral juga mungkin

dihubungkan secara langsung ke tanah.