PROGRAM LINIER – METODE GRAFIK
PROGRAM LINIER – METODE GRAFIK
Program Linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber- sumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan
dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Contoh: Masalah alokasi fasilitas produksi, alokasi SDM, penjadwalan produksi, sistem distribusi, dan sebagainya.
Istilah “Program” berarti memilih serangkaian tindakan/
perencanaan untuk memecahkan masalah dalam membantu
manajer mengambil keputusan.
Istilah “Linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis
dalam model merupakan fungsi linier. Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan merupakan fungsi yang menggambarkan tujuan di dalam permasalahan PL yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal.
Fungsi Batasan
Fungsi Batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Variabel Keputusan
Variabel Keputusan merupakan variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.
Pembatas Tanda
Pembatas Tanda merupakan pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga non-negatif atau hanya boleh positif atau negatif. Perusahaan mainan anak-anak memproduksi 2 jenis mainan terbuat dari kayu, yaitu mobil dan motor. Mobil dijual dengan harga Rp.27.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 10.000 dan biaya tenaga kerja RP. 14.000. Motor dijual dengan harga Rp.21.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 9.000 dan biaya tenaga kerja RP. 10.000. Untuk pembuatan mainan ini, memerlukan 2 kelompok tenaga kerja, tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin mainan mobil memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 2 jam pemolesan. Sedangkan setiap lusin mainan motor memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 1 jam pemolesan. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia hanya 80 jam untuk pekerjaan kayu dan 100 jam untuk pemolesan.
Dari pengamatan selama ini, permintaan pasar untuk mainan motor tidak terbatas, namun permintaan pasar untuk mainan mobil tidak lebih dari 40 lusin per minggu. Bagaimana formulasi model dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan masing-masing harus diproduksi setiap minggunya agar diperoleh keuntungan maksimum?
- 21 x
- 9 x
- 10 x
- 21 x
- 9 x
- 10 x
- 2x
- 2x
1
Sehingga Fungsi Tujuan Z = 3x
2
1
2 ) = 3x
1
2 )-(14x
1
2
)-(10 x
1
Keuntungan = (27x
2
Biaya Tenaga Kerja = 14x
1
2
1
Biaya Material = 10 x
2
1
Pendapatan = 27 x
Keuntungan = Pendapatan – Biaya
Fungsi Tujuan : maksimumkan keuntungan
2 : motor
1 : mobil dan x
x
Variabel Keputusan : banyaknya mainan yang harus dibuat
2
Pembatas
Pembatas 1: waktu pemolesan tidak lebih dari 100 jam atau 2 x + x 100
1
2
Pembatas 2: waktu pekerjaan kayu tidak lebih dari 80 jam atau x1 + x 80
2
Pembatas 3: mainan mobil yang dibuat tidak lebih dari 40 buah atau x
401
Pembatas Tanda; pembatas untuk variabel-variabel keputusan. Kedua mainan harus dibuat atau nilainya masing-masing harus non-negatif. Jadi x
1 0 dan x 0.
2
Model Matematika: Maksimumkan : Z = 3x + 2x
1
2 dengan batasan : 2 x + x 100
1
2 x + x 80
1
2 x 40
1 x 0
1 x 0
2
Kegiatan Pemakaian Sumber Per-unit Kapasitas Kegiatan (Keluaran) Sumber Sumber ….
1
2 3 n 1 a a a …. a b
11
12
13 1 1n
2 a a a …. a b
21
22 23 2n
2
3 a a a …. a b
31
32 33 3n
3
… … … … … … …. m a a a a b
m1 m2 m3 mn m
ΔZ Pertambahan Tiap Unit C C C …. C
1
2 3 n
Tingkat Kegiatan
X X X ….
X
1
2 3 n
- C
- C
- ….+ C
3
n
X
Fungsi tujuan:
Maksimumkan Z = C
1
n
2
1 X
3 X
- a
- a
- ….+ a
- a
- a
- ….+ a
mn
m1
X
11
m2
X
2
m3
X
3
n
X
1 …..
≤ b
m
dan
X
1
≥ 0, X
2
≥ 0, ………. X
n
≥ 0
m. a
n
≤ b
X
Batasan :
1. a
11 X
11
12 X
2
13 X
3
1n
n
2 X
≤ b
1
2. a
21 X
11
22 X
33 X
3
2n
X
2
- a
- a
- ….+ a
Proportionality
Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan Additivity
Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu
kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi
bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain Divisibility
Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan
Deterministic (Certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (a , b , C ) dapat
ij i j
diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I ,
1 dgn sol karet, dan merek I dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin.
2 Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3
membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas
dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I mula-mula dikerjakan di mesin 1
1
selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin
3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I tidak diproses di mesin 1,
2 tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di
mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8
jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbanganterhadap laba setiap lusin sepatu merek I = Rp 30.000,00 sedang merek
1 I = Rp 50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin
2 sebaiknya sepatu merek I dan merek I yang dibuat agar bisa
Merek Mesin
2
3
30 Sumbangan laba
5
6
3
15
3
2
8
1
I
) Kapasitas Maksimum
2
(X
2
I
)
1
(X
1
5
Maksimumkan Z = 3X
- 5X
1
2
Batasan (constrain) (1)
2X
1 8 (2)
3X
2 15 (3)
6X
- 5X
1
2 30 Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan:
X
1 0, X
2 0 dan 2X
1 8
X
1
2X
1 = 8
4
2X 1 8 dan X 1 0, X 2 0 Fungsi batasan dari 2 X
1 8
2 X
Fungsi batasan:
X
2
2 X 8; 3X 15;
1
2
2X = 8
6X + 5X = 30
1
1
2
6X + 5X 30; X 0 dan
1
2
1 X 0
2
6 C D
5
3X = 15
2 Daerah Feasible B A
4 X
5
1 X
2
2X = 8
6X + 5X = 30
1
1
2
3X + 5X = 20
1
2
6 C
10 = 3X + 5X
1
2 D
5
3X = 15
2
4 Daerah
Feasible B A
4 X
5
1 Menggambar fungsi tujuan X
2 X
- 5X
1
25
Titik D: Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) =
X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =
12 Titik B: X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30.
Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 =
= 15
2
3X
D A Daerah Feasible
Membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif Z = 3X + 5X
= 30
2
1
6X
5
6
4
= 8
1
2X
5 Titik A:
B C
18 Titik C:
Contoh :
X
2 Batasan ketiga (6X1 + 5X2
2X = 8
6X + 5X = 30
2
30) diubah ketidaksamaannya
1
2
menjadi 6X1 + 5X2 30
6 B
C
3X = 15
2
5 Daerah
Feasible A
4
5 X
1 Contoh :
X
2 Batasan ketiga (6X1 + 5X2
2X = 8
6X + 5X = 30
2
1
2
30) diubah ketidaksamaannya menjadi 6X1 + 5X2 = 30
6 C
B
3X = 15
2
4
2 A
4
5 X
1
Selesaikan soal-soal dengan Metode Grafik:
1. Max Z = 2 X + X
1
2 Fungsi Kendala :
1
2
a. X + 2 X ≤ 80
1
b. 3X + 2 X
≤ 120
2
c. 2X ≤ 360 dan X ≥ 0, X ≥ 0.
1
1
2
2. Max Z = 2 X + 3X
1
2 Fungsi Kendala :
1
2
a. 5X + 6X ≤ 60
1
2
b. X + 2X ≤ 16
c. X ≤ 10
1 d. X ≤ 6, dan X ≥ 0, X ≥ 0.
2
1
2
3. Max Z = 2 X - 7X
1
2 Fungsi Kendala :
a. -2X + 3X = 3
1
2
2
2
b. 4X + 5X ≥ 16
1
c. 6X + 7X
≤ 3
2 d. 4X + 8X ≥ 5, dan X ≥ 0, X ≥ 0.
1
2
1
2
4. Min F = 22 X + 6 X
1
2 Fungsi Kendala :
a. 11X + 3X ≥ 33
1
2
1
2
b. 8X + 5X ≤ 40
c. 7X + 10X ≤ 70 dan X ≥ 0, X ≥ 0
1
2
1
2
5. Min Z = 20 X + 30 Y Fungsi Kendala: a). 2 X + Y ≥ 10
d). X - 8 Y ≤ 0
b). X + 2 Y ≤ 14
e). X ≤ 8
c). X + 4 Y ≥ 12 dan X ≥ 0, Y ≥ 0
6. Min Z = 6X + 8 X
1
2 Fungsi Kendala:
a). 3X + X ≥ 4
1
2
b). 5X + 2X ≤ 10
1
2
c). X + 2X = 3 dan X ≥ 0, X ≥ 0
1
2
1
2