6. FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE. - 6forme prov e

  1 6. FORME LINIARE. FORME BILINIARE.

FORME PATRATICE.

1.1 A. Teorie

  

Formele liniare sunt aplicatii definite pe spatii vectoriale peste un corp K avand

codomeniul corpul K. Formele liniare sunt de fapt functii polinomiale de gradul

intai omogene, iar formele biliniare si cele patratice sunt functii polinomiale de

gradul al doilea omogene.

  Peste tot in aceasta sectiune V este un spatiu vectorial peste corpul K ∈ , e , ..., e n {R, C}, iar B = {e

  1 2 } este o baza in acest spatiu.

  1.1.1

  6.1. Forme liniare

Cele mai importante aplicatii ingineresti ale formelor liniare sunt in tehnicile de

optimizare ale unor procese.

  Reamintim ca, deoarece (K, +) este un grup abelian, K este si el un spatiu

vectorial peste corpul K, operatia externa de inmultire a scalarilor din K cu vec-

tori din K fiind chiar operatia (interna ) de inmultire din corpul K. Reamintim

si faptul ca multimea L (V, K) este un spatiu vectorial peste corpul K (adunarea

vectorilor f, g ∈ L (V, K) fiind definita prin (f + g) (x) := f (x) + g (x), iar in-

multirea scalarului α ∈ K cu vectorul f fiind definita prin (αf) (x) := αf (x)).

  Definitia 6.1.1.

  O aplicatie liniara f : V → K se numeste forma liniara

a spatiului V (sau forma liniara pe spatiul V ). Notam spatiul vectorial al

  ∗

  si il numim spatiul dual al spatiului vectorial formelor (adica L (V, K)) cu V

  V.

  ∗

  este complet determinata daca cunoastem val- Reamintim ca forma f ∈ V P n orile f (e ) , f (e ) , ..., f (e n x i e i

  1 2 ) ∈ K, deoarece atunci pentru orice v = ∈ V i =1

  avem

f (v) = x f (e ) + x f (e n f (e n ) .

  1

  1

  2 2 ) + · · · + x

  Scalarii f (e ) , f (e ) , ..., f (e n

  1 2 ) ∈ K se numesc coeficientii formei f in

  

baza B. Cum dimensiunea spatiului K/K este 1 (deoarece sistemul {1} ⊂ K

este o baza pentru spatiul vectorial K/K) rezulta ca matricea unei forme relativ

la o pereche de baze este o matrice linie cu n coloane si ca

  ∗ 1×n ∗

V , iar dim V = n.

  ≃ K Definitia 6.1.2. B aza duala a bazei B. Construim, pornind de la baza B

  ∗ ∗

  formele e

  i ∈ V , i ∈ {1, 2, ..., n} prin

  1 daca i = j

  ∗

  

e (e j ) = δ ij = ,

  i

  0 daca i 6= j

  P P n n ∗

  ∗

  adica e x i e i := x i , pentru orice v = x i e i :=

  i ∈ V. Sa aratam ca B i i =1 =1

  ∗ ∗ ∗ ∗

  , e , ..., e . Daca {e n } este o baza pentru V

  1

  2 ∗ ∗ ∗

  ∗ x e + x e n e = θ

  V

  1 2 + · · · + x n

  1

  2 ∗ ∗ ∗

  ∗ rezulta ca (x e + x e n e ) (e i ) = θ

  V (e i ) = 0, deci x i = 0 pentru

  1 2 + · · · + x n

  1

  2 ∗ este un sistem de vectori liniar independent maximal.

  i ∈ {1, 2, ..., n} , adica B

  ∗ Definitia 6.1.2.

  Baza B se numeste baza duala a bazei B. P n

  ∗

  Daca v = x i e i (v) = x j ∈ V atunci e j , pentru j ∈ {1, ..., n} iar daca

  i =1 P P n n

  ∗ ∗ ∗

  f = y i e atunci f (e j ) = y i e (e j ) = y j . Am obtinut astfel formula f ∈ V

  i i i =1 i =1

  de reprezentare a unei forme din urmatoarea propozitie.

  Propozitia 6.1.1. , e , ..., e n Daca B = {e

  1 2 } este o baza in spatiul V , iar ∗ ∗ ∗ ∗

  ∗

  B , e , ..., e in

  := {e n } este baza duala atunci coordonatele vectorului f ∈ V

  1

  2 ∗

  baza B sunt f (e ) , f (e ) , ..., f (e n ), adica

  1

  2 ∗ ∗ ∗ f = f (e ) e + f (e ) e + ... + f (e n ) e .

  1 2 n

  1

  2 Avem urmatoarea formula de calcul a matricei de trecere dintre doua baze duale.

  Propozitia 6.1.2.

  Daca B, B

  1 sunt doua baze in V atunci T −1

  ∗ T B ∗ B = T . 1 BB

1

  2 Exemplul 6.1.1. Fie V := R spatiul aritmetic bidimensional, B c =

  1 −1 ∗ ∗

  1 , e

  2 B B c = matricea formei

  {e } baza canonica a acestuia si T

  1

  ∗

  2 ∗ ∗

  

in perechea de baze duale B , B . Sa determinam baza B si co-

f ∈ R c

  ∗ ∗ ordonatele formei f in baza B si baza B , stiind ca f (x, y) = 2x + 3y. c

  T −1 −1

  T T −1

  ∗ ∗ Din propozitia 6.1.2 avem T B B = T ; dar T = T = c BB c BB c BB c

  1 T T T , deci T B c B = T = c ∗ ∗ . Am obtinut baza B = {v

  1 = (1, −1) , v 2 = (0, 1)} . B B B B c

  −1 1

  ∗ ∗ ∗ ∗

  Din propozitia 6.1.1 avem f = f (e ) e + f (e ) e = 2e + 3e , deci coordo-

  1

  2

  1

  2

  1

  2 ∗ natele vectorului f in baza B sunt 2, 3. c

  Deoarece

  1

  2 −1 −1 ∗ ∗ ∗ ∗ f B = T B B c B c = = · f

  1

  3

  3

  ∗ .

  rezulta ca −1, 3 sunt coordonatele vectorului f in baza B

  1.1.2

  1.1.3

  6.2. Forme biliniare

Formele biliniare sunt instrumente esentiale pentru definirea formelor patrat-

ice si pentru constructia spatiilor euclidiene - subiecte care vor fi studiate in

continuare.

  Definitia 6.2.1 . Definitia formelor biliniare. O aplicatie ϕ : V × V →

K se numeste forma biliniara (a spatiului V ) daca ea este liniara in ambele

variabile, adica (i) ϕ (αu + βv, w) = αϕ (u, w) +βϕ (v, w) (ii) ϕ (u, αv + βw) = αϕ (u, v) +βϕ (u, w) oricare ar fi u, v, w ∈ V si oricare ar fi α, β ∈ K. Notam cu B (V ) multimea formelor biliniare ale spatiului V. Daca ϕ ∈ B (V ) si (iii) ϕ (u, v) = ϕ (v, u) pentru orice u, v ∈ V spunem ca ϕ este o forma biliniara simetrica.

  (V ) multimea formelor biliniare simetrice ale spatiului V. Notam cu B s Se verifica imediat urmatoarea caracterizare a formelor biliniare. Reamintim

  1 2 } este o baza spatiul V/K.

  , e , ..., e n ca B = {e

  Propozitia 6.2.1 . Caracterizara formelor biliniare. O aplicatie ϕ :

  ∗

  ,

V × V → K este forma biliniara daca si numai daca pentru orice m, p ∈ N

pentru orice v , ..., v m , w ..., w p , ..., x m , y ..., y p

  1 1 ∈ V si pentru orice x !

  1 1 ∈ K P P P P m p m p avem ϕ x i v i , y j w j = x i y j ϕ (v i , w j ) . i =1 j =1 i =1 j =1

  Observatia 6.2.1 . Daca ϕ ∈ B (V ) atunci

  ij := ϕ (e i , e j ),

  • ϕ este complet determinata daca cunoastem scalarii a pentru i, j ∈ {1, ..., n} (intelegand prin aceasta ca expresia analitica a
  • P n formei ϕ este determinata complet). Intr-adevar, daca v = x i e i , w =

      i =1 P n

      y j e j ∈ V , atunci folosind biliniaritatea aplicatiei ϕ avem ϕ (v, w) =

      j =1 ! P P P P P P n n n n n n

      ϕ x i e i , y j e j = x i y j ϕ (e i , e j ) = a ij x i y j . Matriceal

      i j i j i j =1 =1 =1 =1 =1 =1

      avem

      T

      (ϕ (v, w)) = v ϕ B w B ,

      B unde ϕ B := (ϕ (e i , e j )) . i,j

      =1,n

    • ϕ este omogena, cu gradul de omogenitate doi, deoarece ϕ (tv, tw) =

      2

      t ϕ (v, w) pentru orice v, w ∈ V si pentru orice t ∈ K.

    • 2xy

      2

      Deci a = 1.

      1. Conform observatiei 6.2.2 este suficient sa impunem ca ϕ B c sa fie simetrica.

      Rezolvare.

      = (1, 1) , v 2 = (1, 0)} .

      1

      /R. Sa determinam 1. a ∈ R astfel ca forma biliniara ϕ sa fie simetrica; 2. expresia analitica a formei biliniare ϕ; 3. matricea formei biliniare ϕ in baza B = {v

      2

      

    astfel ca ϕ B

    c = a − 1 1 , unde B c este baza canonica din R

      Fie ϕ ∈ B R

      ′

      Exemplul 6.2.3.

      ′ .

      BB

      · T

      B

      ′ · ϕ

      T BB

      ′ = T

      atunci ϕ B

      2. Folosind formula matriceala de la observatia 6.2.1, daca (x, y) , (x

      , y

      ′

    este matricea de trecere de la baza B la baza B

      = x y y

      )) := yy

      ′

      , y

      ′

      

    ) . Prin urmare expresia analitica a formei biliniare ϕ este data de

    ϕ ((x, y) , (x

      ′

      = (yy

      ′

      ′

      ′

      y

      ′

      ))) = x y 0 0 0 1 x

      ′

      , y

      ′

      , avem (ϕ ((x, y) , (x

      2

      ) ∈ R

      ′

      BB

      Definitia 6.2.2

    . Matricea unei forme biliniare. Fie B = {e

      2

      ′

      )) := xx

      ′

      , y

      ′

      → R, ϕ ((x, y) , (x

      2

      × R

      Exemplul 6.2.2. Fie ϕ : R

      − x

      Fie ϕ : R × R → R. Atunci ϕ ∈ B (R) daca si numai daca exista o constanta reala a astfel incat ϕ (x, y) = axy petru orice x, y ∈ R. Intr-adevar, daca ϕ ∈ B (R) si a := ϕ (1, 1) atunci, cum ϕ este liniara in ambele variabile avem ϕ (x, y) = xϕ (1, y) = xyϕ (1, 1) = axy. Invers, daca ϕ (x, y) := axy este imediata liniaritatea in ambele variabile pentru functia ϕ.

      Observatia 6.2.2 . Forma biliniara ϕ este simetrica daca si numai daca matricea ei intr-o baza oarecare este simetrica. Exemplul 6.2.1.

      n×n se numeste matricea formei biliniare ϕ in baza B.

      ∈ K

      B := (ϕ (e i , e j )) i,j =1,n

      , ..., e n } o baza in V /K si forma ϕ ∈ B (V ). Matricea ϕ

      2

      , e

      1

      ′

      ′

      sunt doua baze in V /K, ϕ ∈ B (V ) si T

      ′

      ′

      Avand matricea unei forme intr-o baza, putem sa construim matricea acestei forme intr-o baza noua folosind matricea de trecere. Propozitia 6.2.2 . Schimbarea bazei. Daca B, B

      ′ .

      y

      ′

      2 −1 3 x

      1

      ))) = x y

      , y

      y+3yy

      ′

      /R. Expresia analitica exprimata matriceal este (ϕ ((x, y) , (x

      2

      2 −1 3 unde B c este baza canonica din R

      

    1

      iar ϕ B c =

      2

      . Atunci ϕ ∈ B R

      ′

      ′ .

      T T

      3. Conform propozitiei precedente avem ϕ B = T B c B c B = T c · ϕ · T c ·

      B B B B

      0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 = = . 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

      1.1.4

      6.3. Forme patratice Formele patratice sunt folosite intr-o multime de tehnici statistice de analiza a unor fenomene concrete. De asemenea sunt utilizate in diverse probleme de optimizare, in special pentru a decide natura punctelor stationare. In esenta formele patratice sunt functii omogene de gradul al doilea.

      

    Definitia 6.3.1 . Definitia formei patratice si a polarei sale. O apli-

    catie f : V → K se numeste forma patratica (a spatiului vectorial V/K)

    • -scriem f ∈ Q (V ) − daca exista o forma biliniara simetrica ϕ : V × V → K si

      f (v) = ϕ (v, v) oricare ar fi v ∈ V. In acest caz mai spunem ca f este forma patratica asociata formei biliniare simetrice ϕ, iar ϕ este polara formei patratice

      f. Daca B este o baza in spatiul V /K matricea ϕ B se numeste ma- tricea formei patratice f si se noteaza f B .

    Exemplul 6.3.1. Daca ϕ este forma biliniara de la exemplul 6.2.3 atunci

      2

      forma patratica asociata ei este f : R → R, cu expresia analitica data de

      2 f (x, y) := ϕ ((x, y) , (x, y)) = y .

      

    Expresia ”polara formei patratice f ” isi gaseste justificarea logica in urma-

    toarea propozitie: unei forme patratice ii corespunde o unica forma biliniara simetrica care este polara ei.

      Propozitia 6.3.1. Constructia polarei unei forme patratice.

      Fie f : V → K o forma p˘atratic˘a. Atunci ϕ : V × V → K,

      1 ϕ (v, w) := [f (v + w) − f (v) − f(w)]

      2 defineste polara formei patratice f . Observatia 6.3.1. Expresia analitica a unei forme patratice.

      Din

      1 , e 2 , ..., e n

      observatia 6.2.1 deducem ca daca B = {e } este o baza in V/K atunci forma patratica f ∈ Q (V ) este are reprezentarea analitica P P P n n n f x i e i = a ij x i x j ,

      i =1 i =1 j =1

      unde a ij = a ji , pentru orice i, j ∈ {1, 2, ..., n} . Cu alte cuvinte, aplicatia f : V → K este o forma patratica daca si numai daca exista scalarii a ij ij = a ji , pentru orice

      

    ∈ K, cu a i, j ∈ {1, 2, ..., n} astfel incat daca

    P n v = x i e i ∈ V atunci

      i =1

      2

      2

      2

      

    f (v) = a x +a x +...a nn x +2(a x x +a x x +...a x x n +...+a x x n )

      11

      1

      22 2 n

      12

      1

      2

      13

      1 3 1n

      1 n−1,n n−1

      Aici a ij = ϕ (e i , e j ) , i, j ∈ {1, 2, ..., n} , unde ϕ este polara formei patratice f. Matriceal avem

      T

      (f (v)) = v f B v B ,   B a a a  

      11 12 · · · 1n

      a a a  

      12 22 · · · 2n unde f B = .     .. .. ..

      . . .

      · · · a 1n a 2n a nn · · · Observatia 6.3.2. Tehnica dedublarii. Sa presupunem ca forma patrat- P P P n n n x i e i = a ij x i x j in baza ica f ∈ Q (V ) are reprezentarea analitica f

      i =1 i =1 j =1

      1 2 } . Atunci f are matricea f i,j =1,n

      , e , ..., e n B = (a ij ) iar polara sa ϕ are B = {e

      T

      aceeasi matrice, i.e. ϕ B = f B . Prin urmare, cum (ϕ (v, w)) = v ϕ B w B , oricare

      B

      ar fi v, w ∈ V , rezulta imediat ca expresia analitica a formei biliniare ϕ este data de ! P P P P n n n n ϕ x i e i , y j e j = a ij x i y j .

      i =1 j =1 i =1 j =1

      Aceasta metoda de constructie a expresiei analitice a polarei din expresia ana- litica a formei patratice se numeste dedublare.

      2

      2

      2 Exemplul 6.3.2.

      Fie f : R .

      → R, f (x, y) := x − 2xy + 3y 1. Sa se determine polara formei patratice f.

      2. Sa se determine matricea f B

      1 = (1, 1) , v

      2 , unde B = {v = (−1, 1)} . ∗

      2

      2

      

    3. Fie g , g , unde h (x, y) := f (g (x, y) , g (x, y))

      1 2 ∈ R . Sa se arate ca h ∈ P R

      1

      2

      2 si sa se determine matricea h B c unde B c este baza canonica din R .

      Rezolvare. 1. Folosim procedeul dedublarii. Fie B c = (1, 0) , e = {e

      1 2 = (0, 1)}

      2

      baza canonica din R si ϕ polara formei patratice f . Atunci ϕ B c = f B c si

      2 −2

      a = ϕ (e , e ) = 1 (coeficientul lui x ), a = ϕ (e , e ) = ϕ (e , e ) =

      11

      1

      1

      12

      1

      2

      2 1 = −1

      2

      (jumatate din coeficientul lui xy), iar a = ϕ (e , e ) = 3. Prin urmare ϕ B c =

      22

      2

      2

      1 −1

    . Expresia analitica a formei biliniare simetrice ϕ se obtine imediat

      3 −1

      T ′ ′

      din egalitatea matriceala (ϕ (v, w)) = v ϕ B w B : daca v = (x, y) , w = (x , y )

      B ′

      1 x −1

      ′ ′ ′ ′ atunci (ϕ (v, w)) = x y = (xx y + 3yy ) .

      − xy − x

      ′

      3 y −1

      ′ ′ ′ ′ ′ ′ De aceea ϕ ((x, y) , (x , y )) = xx y + 3yy .

      − xy − x

      1

      1 T T −1 −1 2. Din propozitia 6.2.2 avem f B = ϕ B = T ϕ B c T B c B = T =

      B c B B c B

      3

      1

      1 −1 1 1 2 2 0 −2

      = .

      2 4 2 6 −1 1

    3. Deoarece g , g sunt doua forme liniare rezulta ca exista constantele b , b , b , b

      1

      2

      11

      12

      21 22 ∈

      R astfel ca g (x, y) := b x + b y si g (x, y) := b x + b y. Atunci

      1

      11

      12

      2

      21

      22

      2

      h (x, y) = f (b x + b y, b x + b y) = (b x + b y) x + b y) (b x + b y) +

      11

      12

      21

      22

      11 12 − 2 (b

      11

      12

      21

      22

      2

      2

      2

      2

      3 (b x + b y) = b b + 3b x + 2 (b b b b + 3b b ) xy+

      21 22 − 2b

      11

      21

      11 12 − b

      11 22 − b

      21

      12

      21

      22

      11

      21

      2

      2

      2

      b b + 3b y este expresia analitica a unei forme patratice iar − 2b

      12

      22

      12

      22

      2

      2

      − 2b

      11

      21

      11 12 − b

      11 22 − b

      21

      12

      11

      21

      matricea sa in baza canonica este h B c =

      2

      2

      b b b b + 3b b b b + 3b

      11 12 − b

      11 22 − b

      21

      12

      21 22 − 2b

      12

      22

      12

      22 P P P n n n

      2

      x i e i = a ii x + 2 a ij x i x j , Am vazut ca daca f ∈ Q (V ) atunci f i

      i i i,j =1 =1 =1 i<j P n

      pentru orice vector x i e i ∈ V . Cazul in care cea de-a doua suma din aceasta

      i =1

      expresie analitica este nula pentru orice vector din V , deci daca a ij = 0 pentru i 6= j, este esential in aplicatii.

      Definitia 6.3.2 , e , ..., e n . Daca matricea formei f ∈ Q (V ) in baza B = {e

      1 2 } P n

      are forma diagonala atunci expresia analitica a formei f (adica f x i e i =

      i =1 P n

      2 a ii x ) se numeste forma canonica a formei patratice f . i i

      =1

      Se pune problema existentei unei forme canonice pentru o forma patratica data f , deci a unei baze in care f are forma canonica. Raspunsul este afirmativ: orice forma patratica admite o forma canonica, iar metoda lui Gauss ne indica si o tehnica de depistare a ei.

      Teorema 6.3.1 . Determinarea formei canonice prin metoda Gauss.

      Fie f ∈ Q (V ) o forma patratica nenula. Atunci exista o baza in care f are forma canonica. Algoritmul de constructie este urmatorul. Presupunem ca, P n 1 , e

      2 , ..., e n x i e i =

      data fiind baza B = {e } , f are reprezentarea analitica f

      i =1 P P n n

      2

      a ii x + 2 a ij x i x j ij

      i si presupunem ca exista i 6= j astfel ca a 6= 0. Avem i i,j =1 =1 i<j

      doua cazuri posibile: 1. daca exista i ∈ {1, ..., n} si a ii 6= 0 grupam toti termenii care contin variabila x i si formam un patrat perfect cu acestia.

      2. Daca a ii = 0 pentru orice i ∈ {1, ..., n} atunci reducem problema la cazul 1. astfel: deoarece exista a ij 6= 0 cu i 6= j schimbam variabilele punand

      ′ ′ ′ ′ ′2 ′2

      x i = x + x si x j = x (in acest caz x i x j = x si se poate

      i j i − x j i − x j aplica cazul 1.).

      Aplicand succesiv algoritmul descris ajungem in cele din urma la o suma P P n n

      2 de patrate, i.e. f (v) = b ii y , unde v = x i e i , adica la forma canonica. i i i

      =1 =1

      Legatura dintre vechile coordonate si noile coordonate ale vectorului arbitrar v

      ne da matricea de trecere de la baza B la baza B o in care f are forma canonica, deoarece stim ca v B = T BB o v B o .

    3 Exemplul 6.3.3. , f (x, y, z) = xy + yz + zx. Sa se reduca

      Fie f ∈ Q R la o forma canonica si sa se indice o baza in care are forma gasita.

      Rezolvare. Aplicam metoda lui Gauss. Daca B c , e , e = {e

      1  

      2 3 } este baza

      1

      1

      2

      2

      1

      1

      3   canonica din R matricea formei in aceasta baza este f B c = .

      2

      2

      1

      1

      2

      2 Trebuie sa aplicam cazul 2 (deoarece a = a = a = 0). Cum a

      11

      22

      33 12 6= 0

      2

      2

      luam x = x + y , y = x , z = z . Atunci f (x, y, z) = x + 2x z si

      1

      1 1 − y

      1 1 − y

      1

      1

      1

      1

      aplicam cazul 1; formam un patrat perfect cu termenii care-l contin pe x si

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      obtinem forma canonica f (x, y, z) = (x + z ) = x , unde

      1 1 − y − z − y − z

      1

      1

      2

      2

      2 x

    • y x−y

      x = x + z , y = y si z = z . Cum x = , y = , z = z, obtinem

      2

      1

      1

      2

      1

      2

      1

      1

      1

      1

      2

      2 x

    • y+2z x−y

      x = , y = , z , v , v

      2

      2 2 = z. Matriceal, daca B = {v

      1

      2 3 } este baza in

      2

      2

      care v = xe + ye + ze = x v + y v + z v , avem

      1      

      2

      3

      2

      1

      2

      2

      2

      3

      1

      1

      x

    1 x

      2

      2

      2      

      1

      1

      y y c c v B =

      2 = − = T BB B .

      · v

      2

      2

      z

    1 z

      2  

      1

      1

      1

      2

      2  

      1

      1 Deci matricea de trecere de la baza B la baza B este T c = , c BB −

      2

      2  

      1

      1

      1 −1

      −1  

      iar T B c B = T = 1 . Prin urmare baza in care f are forma −1 −1

      BB c

      1

      2

      2

      2

      canonica f (x, y, z) = x = (1, 1, 0) , v −y −z este B = {v

      1 2 = (1, −1, 0) , v 3 = (−1, −1, 1)}.

      2

      2

      2   Daca dorim sa verificam rezultatul, tinem seama de faptul ca, pe de o parte f B =

      1   T T si, pe de alta parte, f B = T f B c T BB c . Dar T f B c T B c B = −1 c c

      BB B B         −1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1 −1 −

      2

      2

      2

      2 T        

      1

      1

      1

      1 T

      1 = 1 =

      BB c −1 −1 −1 0

      2

      2

      2

      2

      1

      1

      1

      1 −1 −1 1 −1  

      2

      2  

      1 , ceea ce trebuia demonstrat. 0 −1 −1

      O alta tehnica de aducere la forma canonica este furnizata de urmatoarea teorema. Din pacate ea nu se poate aplica in orice caz. Teorema 6.3.2. Determinarea formei canonice prin metoda Ja- cobi.

      , e , ..., e n Fie f ∈ Q (V ) o forma patratica a carei matrice in baza B = {e

      1 2 }

      este   a

      11 a 12 a 1n   · · · a 12 a 22 a 2n   · · ·

    f B = .

      .. .. ..

      . . .

      · · · a a a nn

      1n 2n · · ·

      Daca determinantii construiti dupa regula nord-vest a a a

      11 12 · · · 1n

      a a a

      12 22 · · · 2n

      a a

      11

      12

      ∆ := n :=

      1 := |a 11 | , ∆ 2 , · · · , ∆ a a .. .. ..

      12

      22 . . .

      · · · a a a nn

      1n 2n · · ·

      sunt nenuli, atunci exista o baza B o , v , ..., v n = {v

      1 2 } in care f are forma canon-

      ica P n 1 ∆

      1 ∆

      2

      2

      2 n−1

      

    f y + i v i = y y y .

    • · · · + n

      1

      2

      ∆ ∆ ∆ n

      i =1

      1

      2 In diferite aplicatii este important de stiut daca o forma patratica isi conserva

      

    semnul. Teorema de inertie si metoda lui Gauss dau informatii despre aceasta

    problema.

      Teorema 6.3.3. Teorema de inertie.

      Fie V /K un spatiu vectorial si f :

    V → K o forma patratica. Numarul termenilor pozitivi (si numarul termenilor

    negativi) din forma canonica a lui f este acelasi, indiferent de metoda prin care

    forma patratica a fost adusa la forma canonica.

      Definitia 6.3.3 . Fie f ∈ Q (V ) , unde V/R este un spatiu n-dimensional.

      

    Daca intr-o forma canonica a formei patratice f numarul de termeni pozitivi

    este p, numarul de termeni negativi este q, iar o = n − p − q (numarul de

    coeficienti nuli), vom numi tripletul (p, q, o) signatura formei f . Daca

      ∗

      (adica n = p) spunem ca f este pozitiv definita; 1. f (v) > 0, ∀v ∈ V

      ∗

      (adica n = q) spunem ca f este negativ definita; 2. f (v) < 0, ∀v ∈ V

      ∗ ∗

      astfel ca f (w) = 0 spunem ca f este 3. f (v) ≥ 0, ∀v ∈ V si exista w ∈ V semidefinita pozitiv

      ;

      ∗ ∗

      astfel ca f (w) = 0 spunem ca f este 4. f (v) ≤ 0, ∀v ∈ V si exista w ∈ V semidefinita negativ ;

    5. ∃v, w ∈ V astfel ca f (v) < 0 si f (w) > 0 spunem ca f este nedefinita.

      1.2 B. Probleme rezolvate

      1.3 PROBLEME REZOLVATE

      4

      −2 3 −4 S˘ a se determine dimensiunea nucleului acestei forme.

      Solut¸ia 1: Din matrice ¸stim c˘ a f (1, 0, 0, 0) = 1, f (0, 1, 0, 0) = −2, f(0, 0, 1, 0) =

    3 ¸si f (0, 0, 0, 1) = −4, deci f(x, y, z, t) = x − 2y + 3z − 4t. (x, y, z, t) ∈

    ker f ⇔ x − 2y + 3z − 4t = 0 care este un ,,sistem” cu o ecuat¸ie ¸si 4

    necunoscute. Rangul matricei sistemului este 1, deci vom avea 3 necunos-

    cute secundare, prin urmare spat¸iul solut¸iilor, ker f , va avea dimensiunea

    3.

      Solut¸ia 2: Cum f nu este aplicat¸ia nul˘

      a, dim Im f = 1, prin urmare

      4

      dim ker f = dim R − dim Im f = 4 − 1 = 3.

      ∗

      2

      2

      2. ˆIn spat¸iul R a c˘ arei matrice ˆın /R consider˘am forma liniar˘a f ∈ R . Se cere: baza B = {v

      1 = (1, −1) , v 2 = (0, 2)} este 2 4

      (a) expresia analitic˘ a a formei f ; (b) dimensiunea nucleului formei f ; (c) duala bazei B ¸si exprimarea formei f ˆın aceast˘a baz˘ a.

      Solut¸ie

    i. Din matrice ¸stim f (1, −1) = 2 ¸si f(0, 2) = 4. Atunci f(0, 1) =

      1

      f (0, 2) = 2, apoi f (1, 0) = f (1, −1) + f(0, 1) = 4. ˆIn fine,

      2 f (x, y) = xf (1, 0) + yf (0, 1) = 4x + 2y.

      ii. (x, y) ∈ ker f ⇔ 4x+2y = 0 ⇔ y = −2x ⇔ (x, y) ∈ Span{(1, −2)}, deci dim ker f = 1.

      ′

      iii. Fie B , f , v = {f

      1 2 } baza dual˘a a bazei B = {v

      1 2 }. Atunci f

      1

      este forma liniar˘a care satisface f (v ) = 1 ¸si f (v ) = 0, iar

      1

      1

      1

      2 f este forma liniar˘a care satisface f (v ) = 0 ¸si f (v ) = 1.

      2

      2

      1

      2

      2 Putem proceda ca mai sus, sau, echivalent, exprima vectorul x

    • y

      arbitrar (x, y) ˆın baza B: (x, y) = x · (1, −1) + · (0, 2),

      2 x

    • y

      apoi f (0, 2) = x, iar f (x, y) =

      1 (x, y) = x · f 1 (1, −1) + · f

      1

      2

      2 x x

    • y +y

      (0, 2) = .

      x · f

      2 (1, −1) + · f

      2

      2

      2 Este u¸sor de v˘ azut c˘ a f (x, y) = 2f (x, y) + 4f (x, y), deci ma-

      1

      2

      tricea lui f ˆın baza dual˘a a lui B coincide cu matricea lui f ˆın baza B.

      3

      este definit˘a prin ϕ ((x

      1 , x 2 , x 3 ) , (y 1 , y 2 , y 3 )) = x + 1 y

      1

      3. Forma ϕ ∈ B R 2x y + 4x y y y . S˘ a se determine matricea sa ˆın

      2

      2

      3 3 − 5x

      3 1 − 2x

      2

      3

      a. baza canonic˘a; b. baza {(0, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0)} .

      , v , v B , Solut¸ie: Matricea formei biliniare ϕ ˆın baza B = {v

      1

      2 3 }, notat˘a [ϕ]

      are pe linia i coloana j elementul ϕ(v i , v j ), i, j ∈ {1, 2, 3}.

    a. Avem ϕ (1, 0, 0), (1, 0, 0) = 1, ϕ (1, 0, 0), (0, 1, 0) = 0, ϕ (1, 0, 0), (0, 0, 1) =

      0, ϕ (0, 1, 0), (1, 0, 0) = 0, ϕ (0, 1, 0), (0, 1, 0) = 2, ϕ (0, 1, 0), (0, 0, 1) = −2, ϕ (0, 0, 1), (1, 0, 0)   = −5, ϕ (0, 0, 1), (0, 1, 0) = 0, ϕ (0, 0, 1), (0, 0, 1) =  

      1 4, deci [ϕ] B = .

      4 −5 0 Observat¸i c˘ a elementul a ij al matricei lui ϕ ˆın baza canonic˘a este tocmai coeficientul lui x y , ceea ce permite scrierea direct˘ a a matricei lui ϕ ˆın

      i j

      aceast˘a baz˘ a.

      b. Avem ϕ (0, 1, 1), (0, 1, 1) = 4, ϕ (0, 1, 1), (1, 0, 1) = −3, ϕ (0, 1, 1), (1, 1, 0) = = 4, ϕ (1, 0, 1), (1, 0, 1) = 0, ϕ (1, 0, 1), (1, 1, 0) = −3, ϕ (1, 0, 1), (0, 1, 1)

      −4, ϕ (1, 1, 0), (0, 1, 1)   = 0, ϕ (1, 1, 0), (1, 0, 1) = −1, ϕ (1, 1, 0), (1, 1, 0) =

      4   −3 −3 3, deci [ϕ] B = 4 .

      −4

      3 −1 Observat¸ie: Odat˘ a calculat˘ a matricea lui ϕ ˆıntr-o baz˘ a B, matricea ei

      t ′

      ˆıntr-o a doua baz˘

    a, B , poate fi determinat˘a ¸si cu formula [ϕ] ′ = T

      B ′ · BB [ϕ] ′ .

      B · T BB        

      0 1 1 1 0 1 1

      4         −3 −3 ˆIn cazul nostru, [ϕ] B = 1 0 1 1 0 1 = 4 . 2 −2 −4 1 1 0

      4 1 1 0

      3 −5 0 −1

      2

      2 ′ ′

      4. S˘ a se arate c˘ a funct¸ia ϕ : R , y )) = × R → R definit˘a prin ϕ ((x, y) , (x

      2 ′ ′ ′ ′

      xx + 3x y + 3yx este o form˘a biliniar˘a a spat¸iului R /R ¸si s˘a se − 2yy scrie matricea ei ˆın baza canonic˘a. Este aceast˘a form˘a simetric˘a? Care

      1 = (1, 1), v

      2

      este matricea lui ϕ ˆın baza B = {v = (1, −1)}? 1 2

      2

      5. Forma biliniar˘a ϕ a spat¸iului vectorial R /R are matricea ˆın baza 3 4 B Care este forma sa analitic˘ a dac˘ a

    a. B este baza canonic˘a; b. B = {(1, 1) , (2, 0)} .

      Solut¸ie: a. Dac˘a not˘am cu e = (1, 0), e = (0, 1) din baza canonic˘a, avem,

      1

      2 din matrice, c˘ a ϕ(e , e ) = 1, ϕ(e , e ) = 2, ϕ(e , e ) = 3, ϕ(e , e ) = 4.

      1

      1

      1

      2

      2

      1

      2

      2 Ca ¸si la aplicat¸iile liniare unde valorile pe vectorii unei baze determinau

      ˆın mod unic aplicat¸ia liniar˘a, o aplicat¸ie biliniar˘a poate fi determinat˘a dac˘ a se cunosc valorile ei pe perechile (e i , e j ) de vectori dintr-o baz˘ a. Ast-

      ′ ′ ′ ′ ′

      fel, avem ϕ (x, y), (x , y ) = ϕ(xe + ye +

      1 2 , x e 1 + y e 2 ) = xϕ(e 1 , x e

      1 ′ ′ ′ ′ ′ ′

      y e

      2 ) + yϕ(y, x e 1 + y e 2 ) = x x ϕ(e 1 , e 1 ) + y ϕ(e 1 , e 2 ) + y x ϕ(e 2 , e 1 ) + ′ ′ ′ ′ ′ ′

      = xx y ϕ(e

      2 , e 2 ) ϕ(e 1 , e 1 ) + xy ϕ(e 1 , e 2 ) + x yϕ(e 2 , e 1 ) + x y ϕ(e 2 , e 2 ).

      ′ ′ ′ ′ ′ ′ ˆIn cazul de fat¸˘a obt¸inem ϕ (x, y), (x , y ) = xx + 2xy + 3x y + 4yy .

      Observat¸ie: Alternativ, se poate afla expresia analitic˘ a a formei biliniare ϕ

      ′ ′

      

    cunoscˆand matricea sa ˆın baza B ¸si aplicˆand direct formula: ϕ (x, y), (x , y ) =

      t ′ ′

      (x y) B B (x y ) B , unde (x y) B reprezint˘a matricea linie format˘a · [ϕ] · cu coordonatele lui (x, y) ˆın baza B. Astfel, ˆın baza canonic˘a, avem (x y) B = (x y) deci obt¸inem imediat expresia analitic˘ a a lui ϕ calculˆand

      ′

      1 2 x

      ′ ′ ′ ′ ′ ′ ϕ (x, y), (x , y ) = (x y) = xx + 2xy + 3x y + 4yy .

      ′

      3 4 y

    b. Notˆand v

      1 = (1, 1), v 2 = (2, 0), avem, din matrice, c˘ a ϕ(v 1 , v 1 ) = 1,

      ϕ(v

      1 , v 2 ) = 2, ϕ(v 2 , v 1 ) = 3, ϕ(v 2 , v 2 ) = 4. Exprim˘am vectorii arbitrari ′ ′

      (x, y) ¸si (x , y ) ˆın baza B: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 0) conduce la sistemul a + 2b = x

      y−x

      cu solut¸ia a = y, b = . A¸sadar, un vector arbitrar

      2

      a = y x − y (x, y) are ˆın baza B coordonatele (x y) = y .

      B

      2

      x−y ′ ′ ′

      Procedˆ and ca mai sus, obt¸inem c˘ a ϕ (x, y), (x , y ) = ϕ yv + +

      1 v 2 , y v

      1

      2

      ′ ′ ′ ′

      x x x − y −y −y x−y

      ′ ′

      v

      2 = yy ϕ(v 1 , v 1 ϕ(v 1 , v 2 ) + ϕ(v 2 , v 1 ) +

      ) + y · · y ·

      2

      2

      2

      2

      ′ ′ ′ ′ ′ ′

      x x x − y − y x − y x − y − y

      ′ ′

      ϕ(v , v ) = yy + 3 + 4 =

      2 2 + 2y · · y ·

      2

      2

      2

      2

      2

      1

      1

      ′ ′ ′ + xx xy yy .

      −

      2

      2 Observat¸ie: Dup˘ a ce stabilim coordonatele unui vector arbitrar (x, y)

    x − y

    ˆın baza B, anume (x y) B = y , putem aplica direct formula

      

    2

     

      ′

      y x − y 1 2

      t ′ ′ ′ ′  

      = (x y) ′ ′

    ϕ (x, y), (x , y ) B B (x y ) B = y =

    ·[ϕ] · · x

      − y 3 4

      2

      2

      1

      1

    • ′ ′ ′ xx xy yy .

      −

      2

      2

      2

      2

      

    6. Aflat¸i expresia analitic˘ a a formei biliniare ϕ : R =

    ×R −→ R dac˘a ϕ (1, 0), (1, 1) 1, ϕ (1, 1), (1, 2) = 2, ϕ (2, 1), (1, 0) = 3, ϕ (0, 1), (1, 0) = 4. Este ˆıntotdeauna posibil˘ a determinarea expresiei analitice a unei forme

      2

      2

      biliniare ϕ : R × R −→ R dac˘a se cunosc valorile acesteia pe patru

      2

      perechi de vectori din R ? a b Solut¸ie: Dac˘a not˘am cu matricea lui ϕ ˆın baza canonic˘a, avem c d

    ϕ (1, 0), (1, 0) = a, ϕ (1, 0), (0, 1) = b, ϕ (0, 1), (1, 0) = c, ϕ (0, 1), (0, 1) =

    d, iar valorile date ale lui ϕ se traduc prin: 1 = ϕ (1, 0), (1, 1) = ϕ (1, 0), (1, 0) + ϕ (1, 0), (0, 1) = a + b, 2 = ϕ (1, 1), (1, 2) = ϕ (1, 0), (1, 2) +ϕ (0, 1), (1, 2) = ϕ (1, 0), (1, 0) + 2ϕ (1, 0), (0, 1) + ϕ (0, 1), (1, 0) + 2ϕ (0, 1), (0, 1) = a + 2b + c + 2d, 3 = ϕ (2, 1), (1, 0) = 2ϕ (1, 0), (1, 0) + ϕ (0, 1), (1, 0) , 4 = ϕ (0, 1), (1, 0) = c.

      

    1

      3

      9 Rezolvˆ and acest sistem, g˘ , b = . asim a = − , c = 4, d = −

      

    2

      2

      4

      1 Prin urmare, expresia analitic˘ a a lui ϕ este ϕ (x , x ), (y + , y ) x y

      1

      2

      1

      2

      1

      1

      = −

      2

      3

      9 x y + 4x y x y .

      1

      2

      2 1 −

      2

      2

      2

      4

      ˆIn general se obt¸ine un sistem liniar, cu patru ecuat¸ii ¸si patru necunos- cute. Se pot da u¸sor exemple ˆın care acest sistem este incompatibil (caz ˆın care nu exist˘a o asemenea form˘a biliniar˘a) sau compatibil nedeterminat (caz ˆın care exist˘a o infinitate de forme biliniare cu propriet˘ at¸ile date, prin urmare ea nu poate fi determinat˘a).

      2

      2

      7. Determinat¸i a, b ∈ R astfel ˆıncˆat forma biliniar˘a ϕ : R × R −→ R, ϕ (x , x ), (y , y ) = x y + 2x y + ax y + bx y s˘a fie simetric˘a.

      1

      2

      1

      2