INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR) Titi Udjiani SRRM

INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

(THE MOORE PENROSE INVERSE OF MATRICES OVER COMMUTATIVE RING WITH UNITY)

Titi Udjiani SRRM

Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang Abstrak

Jika A adalah matriks dengan elemen Ring komutatif dengan elemen satuan yang berukuran mxn maka matriks invers dari A yang disebut dengan matriks invers Moore Penrose dari A ditulis G(A) dapat diperoleh dengan memenuhi syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A

Kata Kunci : invers matrik, ring komutatif

1. PENDAHULUAN

Sudah diketahui bahwa invers matriks bujur sangkar dengan determinan0 dapat diperoleh dengan menggunakan pertolongan matriks adjoint Pengertian matriks invers dari matriks berukuran mxn dengan elemen bilangan riil yang sekarang dikenal dengan sebutan matriks inverse Moore Penrose (Moore E. H., 1920 ). Tulisan ini membahas penentuan matriks invers Moore Penrose G(A) dari matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan A dan menentukan syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A.

2. MATRIKS INVERS MOORE PENROSE

Dalam tulisan ini, R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan dengan involusi .... Involusi ... adalah pemetaan a  R  aRsedemikian sehingga untuk setiap a, b  R berlaku :

(1) ab  ab; (2) ab  a .b; (3) aa

Selanjutnya MR adalah himpunan matriks atas ring R dengan involusi : (aij)  (aij)* = (aji), sedemikian sehingga berlaku :

(i) (A + B)* = A* + B* (ii) (AB)* = B*A* (iii) A** = A

dengan ukuran matriks A dan B memenuhi kondisi di atas.

Definisi 1 (R.B.Bapat,1992)

Suatu matriks A  MR dikatakan mempunyai invers Moore Penrose di MR jika terdapat matriks A+  MR sedemikian sehingga : (i) AA+A = A ; (ii) A+AA+ = A+ ;

(iii) (AA+)* = AA+ ; (iv) (A+A)* = A+A

Jika A+ ada maka tunggal dan disebut invers Moore Penrose dari A. Teorema 2(R.B.Bapat,1992)

Diketahui A  MR.

Pernyataan di bawah ini berlaku untuk setiap invers Moore Penrose dari A a. (A++) = A

b. (A*)+ = (A+)*

c. (AA*)+ = (A+)* A+ dan (A*A)+ = A+(A*)+

d. AA+, A+A, I- AA+, I- A+A adalah hermit dan idempoten. Notasi:

A  MR yang berukuran m x n

Qr, m adalah himpunan dari himpunan bagian berurutan α = (α1,α2, … αr) dengan

1 ≤ α1< α2< … < αr≤ m

Qr, nadalah himpunan dari himpunan bagian berurutan β = (β1, β2, … βr) dengan

1 ≤ β1< β2< … < βr≤ n α

β

A adalah sub matriks A yang ditentukan oleh baris sesuai dengan α dan kolom

sesuai dengan β. Jika α = (α1,α2, … αm) maka A cukup ditulis Aαβ β . Jika β = (β1,

β2, … βn) maka A cukup ditulis A_βα α. A = (aji)  MR yang berukuran m x n

α = (α1,α2, … αr)  Qr, mdan 1 ≤j ≤ m, j α artinya terdapat indeks t sedemikian sehingga j = atuntuk suatu indeks t atau t = j(α a)

Demikian juga β = (β1, β2, … βr)  Qr, n dan 1 ≤ i ≤ n, i  β artinya terdapat

indeks s sedemikian sehingga i = βsatau s = i(β)

Jika j α dan i β maka kofaktor elemen aij submatriks A dari Aβα (m x n) adalah (-1)j(α)+i(β) det j

i

α β

A dengan αj  Qr-1, m berisi elemen-elemen α dengan

mengabaikan baris ke j dan βi  Qr-1, m berisi elemen-elemen β dengan mengabaikan kolom ke i.

Selanjutnya jika j α dan 1 ≤ k ≤ m didefinisikan α(j k )

β

A  adalah matriks berukuran r x r yang sama dengan matriks A , kecuali pada elemen aα_β jβ, dari baris j(α) diganti secara bersesuaian dengan elemen-elemen akβ.

Teorema 3 (R.B.Bapat,1992) Jika A = (aji)  MR dengan rank r,

α = (α1, α2, …, αr)  Qr, m

β = (β1, β2, …, βr)  Qr, n, j α, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ h ≤ n maka 1. Det α(j k )

β

A  =







β

i

α β

ki i(β(

j(α( j

i

A det a

(-1)

2. a_khdetA_ = ( )

det a_jh j k

A

j





_ 

 

.

Bukti :

(1) Dengan menggunakan ekspansi baris ke k det α(j k )

β A 

=

j

βs

s

α β

r

1

kβ s ) j(

A det a ) 1 (



_{ } 

s

 ₌ j

i

α β β

i

ki )

β

( i ) j(

A det a )

1 (



_{ } 

(2) Diambil A(₍ ,_,kh)₎



 adalah matriks berukuran (r + 1) x (r + 1) yang dibangun oleh

baris-baris (1, 2, … , r, k) dan kolom-kolom (1, 2, … , r, h) dari A. Karena rank A = r maka semua minor yang berukuran (r + 1) x (r + 1) bernilai nol. Akibatnya A(₍_,_,k_h)₎ = 0. Dengan menggunakan ekspansi kolom terakhir diperoleh :

0 = a_ A_ akh A_

r r k

h r t r

t

t

t det ( 1) det

) 1

( , ( , ) ( 1) ( 1)

) 1 (

1

   



   

 

A

det

a_kh = ( , )

1 h , det a ) 1 ( t k r t r t _t

A_





_{ }  ₌ ( , ) jh ) ( det a ) 1 ( k j r j j

A_

 



_{ }  = ( ) det ) 1 ( a ) 1

( ( ) _jh ( ) j k

A

j r j

r

j  

  _ 



     ₌ ( ) det a_jh j k

A j 



_    (Terbukti)

Teorema 4 (R.B.Bapat,1992)

Diketahui A  MR (mxn) dengan rank r. Jika u(A) = _

 



 A

A

m r rn

Q Q det det , ,

 

 

mempunyai invers Moore Penrose u(A)+ di R dan gij = u(A)+

 

                j Q i Q i j m r rn

j i A A ) ( ) ( , , det det ) 1

( . Maka G(A) = (gij(A)) adalah invers Moore

Penrose dari A jika dan hanya jika u(A) u(A)+A = A. Bukti :

Selanjutnya untuk menyederhanakan penulisan



Qr,m



ditulis dengan





.

 (1). (A G(A))kj =



 n i ij kig a 1 =





                n i j i i j ki j i A A A u a 1 ) ( ) ( det det ) 1 ( ) ( _         =





    n _

j i ki i j j i A a A A u          

 ( 1) det

det )

( ( ) ( )

= j k

A A A u j 



         det det ) (

Jika j = k, det j k

A_  = det A_ sehingga (A G(A))jj = _

     A A A u j det det ) (



 

=



A G(A)



_jj

Jika j  k dan k , maka terdapat dua baris yang sama sehinggadet jj 0

A_

Jika j  k dan k , jk  Qr,m adalah elemen-elemen dari  dengan mengganti j dengan k.

j k jk jk

A A_ ( 1)j k det _ det    ( ) ( )

jika  = jk maka  = kj.



AG(A) = u(A)



kj

+ ( )

det A det

k j

k j

A 



 

  

  

 

= u(A)+ jk αjk

β α β α

kα j

α β

) k(α j(α(

detA detA 1)

(



 





= u(A)+ _{β β}

j k β

k(( ) j(

A det A det 1)

( k j k j









= u(A)+ (k j)

β

j k β

β det A

A

det 





= (A G(A))jk

Sampai di sini terbukti bahwa (A G(A))* = A G(A). (ii)(G(A) A)ih =





m

1 jh ia

G

j

=





 

 

 _

α

j

α β

i

β jh

α β α

β

i(β( j(α( m

1 j

a A det A det 1)

(

u(A) j

i

= u(A)+





 





α β

i

β

α

j j

) ( ) (

α

β ( 1) det

A

det j

i

A a_jh

i

j 

 



= u(A)+







  

   

i

h j

A A

) (

det det

Jika i = h;

 ( )

det

h j

A _ = detA_ sehingga (G(A) A)ii = u(A)+ _

  



 A

A

i

det det





= u(A)+ u(A) =



G(A)A



ii

Jika ih, h maka terdapat dua kolom yang sama sehingga detAα_β 0

h) (i 

Jika ih, h. ih  Qr,m adalah elemen-elemen dari  dengan mengganti i dengan h.



G(A)A



ih = u(A)

+





 



  

det ( )

det

β

hβ i

β i h

A A

= u(A)+



 







    



ih ih _{A A}

h i

det det )

1 (

β

hβ i

β

) ( ) (

= u(A)+











  



  

 _{A A}

i h

h i

h i h i _{det det}

) 1

( ( ) ( )

= u(A)+ _

  



 det ( )

det

i h

h i

A

A _





= (G(A) A)ih

Terbukti (G(A) A)* = G(A) A (iii) (A G(A) A) =





m

1 h

hj iha

G(A))

(A

= α_{β hj}

h

α

h

α β

α

βdetA a A

det

u(A) (hi)





 

= α(h i)

β α

h hj

α β

α

β a detA A

det

u(A)







 

h

= _{ij β}α

α β

α

βa detA A

det u(A)



= α_{β ij} α β

α

βdetA )a A

det (

u(A)



= u(A)+ u(A) aij. A G(A) A = u(A)+ u(A) A = u(A) u(A)+ A = A

(iv) (G(A) A G(A))ij =



 

n

1 h

m

1 k

hj kh ik a g

g

= u(A) ( 1)    det A det A k x

i

α β α

k

α β

i

β

α β β

i

α

k

k





 

  _

h

akh x    

     

   





 

 

j hδ δ

δ δ

δ

h

j j

h

A det A det 1)

( )

=





              



    α β i β j δ β α β j β i 2 A det A det 1) ( )

(A 

u          

_

_    δ

h k α

δ kh α β δ h α k j h k

i a det A

A det 1) ( =

 

              



    α β i β j δ β α j β i 2 A det A det 1) ( )

(A _ 

u          

_

_    δ

h k α

β kh α δ δ h α k j i k

h a det A

A det 1) ( =

 

              



    β i β j β β j β i j i A det A det 1) ( u(A)          

_

_    

α δ h δk α

α δ α δ kh δ h α k A det A det a 1) ( ) ( k h A u

= u(A)+ u(A) gij = gij G(A) A G(A) = G(A)

Dari (i),(ii),(iii) dan (iv) terbukti bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A.

 karena A G(A) A = u(A) u(A)+A; G(A) A G(A) = G(A); (A G(A))* = A G(A); (G(A) A)* = G(A) A maka A+ = G(A) jika dan hanya jika u(A) u(A)+A = A

(terbukti). Contoh : Diberikan A =

5 Z M 1 3 4 3 0 2 0 2 4 2 2 2           

Akan ditentukan matriks invers Moore Penrose G(A) dari A.

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 3 ; det A_βα = det

          3 4 3 2 0 2 2 2 2 = 0

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 4 ; det A_βα = det

          1 4 3 0 0 2 4 2 2 = 3

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 3, 4 ; det A_βα = det

          1 3 3 0 2 2 4 2 2 = 0

j = 1, 2, 3 ; i = 2, 3, 4 ; det A_βα = det

          1 3 4 0 2 0 4 2 2 = 2

u(A) = 0.0 + 3.3 + 0.0 + 2.2 = 3; u(A)+ = 2 g11 = 2 { (-1)1+1.0.

3 4

2 0

+ (-1)1+1.3.

1 4

0 0

+ (-1)1+1.0.

1 3

0 2

} = 0

Dengan cara sama diperoleh g12 = 4 ; g13 = 0 ; g21 = 1 ; g22 = 0 ; g23 = 1 ; g31 = 0

; g32 = 4 ; g33 = 0 ; g41 = 1 ; g42 = 1 ;g43 = 2. Sehingga G(A) =

            2 1 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A.

(i) A G(A) A =

                                1 3 4 3 0 2 0 2 4 2 2 2 2 1 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 3 4 3 0 2 0 2 4 2 2 2 =           1 3 4 3 0 2 0 2 4 2 2 2

(ii) G(A) A G(A) =

      

          

          

    

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

1 3 4 3

0 2 0 2

4 2 2 2

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

=

      

    

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

= G(A)

(iii) (A G(A)) =

     

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= A G(A)

(iv) (G(A) A) =

      

    

1 0 0 0

0 3 0 3

0 0 1 0

0 3 0 3

= G(A) A

Dari (i), (ii), (iii) dan (iv) terbukti A+ = G(A). Selanjutnya u(A) u(A)+A = 3.2.A = A

Dalam hal ini u(A) u(A)+ = e(A) disebut Moore indempotent dari A.

3. KESIMPULAN

Jika A adalah matriks berukuran m x n atas ring komutatif dengan elemen satuan dan rank A = r, maka matriks invers Moore Penrose dari A adalah

G(A) = (gij(A)) dengan gij = = u(A)+

 

 



 

 

    



j m Qr,

i

n Qr,

) i( ) j(

A det A det

(-1) j

i dan

u(A) = _

 



 A

A

m r rn

Q Q

det det

, ,

 

 

mempunyai invers Moore Penrose u(A)+ di R.

Syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A adalah u(A) u(A)+ A = A.

DAFTAR PUSTAKA :

F.R. Gantmacher , 1960, The Theory of Matrices, Chealsea Publishing Company, New York.

Jin Ho Kwak, Sung pyo Hong,1997,Linear Algebra, Birkhauser,Boston. John B Fraeleigh, 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison Wesley

Publishing Company Inc, United States.

R.B. Bapat, Donald W. Robinson, 1992, The Moore Penrose Inverse over a commutative Ring, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York. R.B.Bapat, K.P.S. Bhaskara Rao and K.Manjunatha Prasad, 1990, Generalized

Inverses Over Integral Domain, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York..

William C.Brown, 1993, Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker Inc., New York.

j k jk jk A A_ ( 1)j k det _ det    ( ) ( ) jika  = jk maka  = kj.



AG(A) = u(A)



kj

+ ( )

det A det

k j

k j A 



 

  



 

 

= u(A)+ jk αjk

β α β α

kα j

α β

) k(α j(α(

detA detA 1)

(



 





= u(A)+ _{β β}

j

k β

k(( ) j(

A det A det 1)

( k j k j









= u(A)+ (k j)

β

j

k β

β det A

A

det 





= (A G(A))jk

Sampai di sini terbukti bahwa (A G(A))* = A G(A). (ii)(G(A) A)ih =





m

1 jh ia

G

j

=





 

 

 _

α

j

α β

i

β jh

α β α

β

i(β( j(α( m

1 j

a A det A det 1)

(

u(A) j

i

= u(A)+





 





α β

i

β

α

j j

) ( ) (

α

β ( 1) det

A

det j

i A a_jh

i

j 

 



= u(A)+







  

    i

h j A A

) ( det det

Jika i = h;

 ( ) det

h j

A _ = detA_ sehingga (G(A) A)ii = u(A)+ _ 

 



 A

A

i

det det





= u(A)+ u(A) =



G(A)A



ii

Jika ih, h maka terdapat dua kolom yang sama sehingga detAα_β 0 h) (i 



G(A)A



ih = u(A) +





 



  

det ( ) det

β

hβ i

β i h

A A

= u(A)+



 







    



ih

ih _{A A}

h i

det det )

1 (

β

hβ i

β

) ( ) (

= u(A)+











  



  

 _{A A}

i h

h i

h i h i _{det det} )

1

( ( ) ( )

= u(A)+ _

  



 det ( )

det

i h

h i A

A _





= (G(A) A)ih

Terbukti (G(A) A)* = G(A) A (iii) (A G(A) A) =





m

1 h

hj iha

G(A))

(A

= α_{β hj}

h

α

h

α β

α

βdetA a

A det

u(A) (hi)





 

= α(h i)

β α

h hj

α β

α

β a detA

A det

u(A)







 

h

= _{ij β}α

α β

α

βa detA

A det u(A)



= α_{β ij}

α β

α

βdetA )a

A det (

u(A)



= u(A)+ u(A) aij.

A G(A) A = u(A)+ u(A) A = u(A) u(A)+ A = A (iv) (G(A) A G(A))ij =



 

n

1 h

m

1 k

hj kh ik a g

g

= u(A) ( 1)    det A det A k x i

α β α

k

α β

i

β

α β β

i

α

k

k





 



 _

h

 

=





   

     

   





 

 

α β

i

β

j δ

β α

β

j

β

i 2

A det A det 1)

( )

(A 

u

    

  





_

_

 



δ

h k α

δ

kh

α β δ

h

α

k j

h k

i a det A A

det 1)

(

=

 

   

     

   





 

 

α β

i

β

j δ

β α

j

β

i 2

A det A det 1)

( )

(A _ 

u

       





_

_

 



δ

h k α

β

kh

α δ δ

h

α

k j

i k

h a det A A

det 1)

(

=

 

   

     

   





 

 

β

i

β

j

β β

j

β

i j

i A det A det 1)

( u(A)

       





_

_

 

 

α δ h δk α

α δ α

δ

kh

δ

h

α

k

A det A det a 1)

( )

( k

h A

u

= u(A)+ u(A) gij = gij

G(A) A G(A) = G(A)

Dari (i),(ii),(iii) dan (iv) terbukti bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A.

 karena A G(A) A = u(A) u(A)+A; G(A) A G(A) = G(A); (A G(A))* = A G(A); (G(A) A)* = G(A) A maka A+ = G(A) jika dan hanya jika u(A) u(A)+A = A

(terbukti). Contoh : Diberikan A =

5

Z

M 1 3 4 3

0 2 0 2

4 2 2 2

      

   

Akan ditentukan matriks invers Moore Penrose G(A) dari A.

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 3 ; det A_βα = det

     

   

3 4 3

2 0 2

2 2 2

= 0

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 4 ; det A_βα = det

     

   

1 4 3

0 0 2

4 2 2

= 3

j = 1, 2, 3 ; i = 1, 3, 4 ; det A_βα = det

     

   

1 3 3

0 2 2

4 2 2

= 0

j = 1, 2, 3 ; i = 2, 3, 4 ; det A_βα = det

     

   

1 3 4

0 2 0

4 2 2

= 2

u(A) = 0.0 + 3.3 + 0.0 + 2.2 = 3; u(A)+ = 2 g11 = 2 { (-1)1+1.0.

3 4

2 0

+ (-1)1+1.3. 1 4

0 0

+ (-1)1+1.0. 1 3

0 2

} = 0

Dengan cara sama diperoleh g12 = 4 ; g13 = 0 ; g21 = 1 ; g22 = 0 ; g23 = 1 ; g31 = 0

; g32 = 4 ; g33 = 0 ; g41 = 1 ; g42 = 1 ;g43 = 2. Sehingga G(A) =

      

    

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A.

(i) A G(A) A =

     

          

          

   

1 3 4 3

0 2 0 2

4 2 2 2

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

1 3 4 3

0 2 0 2

4 2 2 2

  

(ii) G(A) A G(A) =

      

          

          

    

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

1 3 4 3

0 2 0 2

4 2 2 2

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

=

      

    

2 1 1

0 4 0

1 0 1

0 4 0

= G(A)

(iii) (A G(A)) =

     

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= A G(A)

(iv) (G(A) A) =

      

    

1 0 0 0

0 3 0 3

0 0 1 0

0 3 0 3

= G(A) A

Dari (i), (ii), (iii) dan (iv) terbukti A+ = G(A). Selanjutnya u(A) u(A)+A = 3.2.A = A

Dalam hal ini u(A) u(A)+ = e(A) disebut Moore indempotent dari A.

3. KESIMPULAN

Jika A adalah matriks berukuran m x n atas ring komutatif dengan elemen satuan dan rank A = r, maka matriks invers Moore Penrose dari A adalah

G(A) = (gij(A)) dengan gij = = u(A)+

 

 



 

 

    

 j

m Qr,

i

n Qr,

) i( ) j(

A det A det

(-1) j

i dan

u(A) = _

 



 A

A m

r rn

Q Q

det det

, ,

 

 

mempunyai invers Moore Penrose u(A)+ di R.

Syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A adalah u(A) u(A)+ A = A.

DAFTAR PUSTAKA :

F.R. Gantmacher , 1960, The Theory of Matrices, Chealsea Publishing Company, New York.

Jin Ho Kwak, Sung pyo Hong,1997,Linear Algebra, Birkhauser,Boston. John B Fraeleigh, 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison Wesley

Publishing Company Inc, United States.

R.B. Bapat, Donald W. Robinson, 1992, The Moore Penrose Inverse over a commutative Ring, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York. R.B.Bapat, K.P.S. Bhaskara Rao and K.Manjunatha Prasad, 1990, Generalized

Inverses Over Integral Domain, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York..

William C.Brown, 1993, Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker Inc., New York.