MODEL PEMANENAN LOGISTIK UNTUK PEMANENAN IKAN DENGAN LAJU PEMANENAN PROPOSIONAL - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

MODEL PEMANENAN LOGISTIK UNTUK PEMANENAN IKAN
DENGAN LAJU PEMANENAN PROPOSIONAL
Sigit Nova Riyanto, Kartono
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang
Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, 50275

Abstrak: Terdapat banyak model pemanenan, yang salah satunya model pemanenan logistik.
Model pemanenan ini bergantung pada jenis laju pemanenannya. Pada makalah ini dikaji tentang
model pemanenan logostik dengan laju pemanenan proposional. Dengan menggunakan analisis
kestabilan diperoleh besarnya pemanenan yang diijinkan.
Kata Kunci: laju pemanenan proposional, analisa kestabilan

PENDAHULUAN
Indonesia sebagai salah satu Negara Kepulauan, banyak menyimpan sumber kekayaan hayati. Salah
satu sumber kekayaan hayati di perairan Indonesia adalah ikan. Ekploitasi ikan dapat berperan dalam
menambah pendapatan devisa negara. Namun demikian, ekploitasi yang tidak memperhatikan pemanfaatan
yang berkelanjutan dapat menyebabkan hilangnya sumber kekayaan hayati tersebut.
Fokus utama dalam manajemen perikanan adalah “ Bagaimana menjaga kestabilan populasi ikan?.
Secara jelas obyek dari manajemen perikanan, yaitu membuat strategi pemanenan yang tidak akan membawa
suatu spesies dalam kepunahan. Oleh karena itu, diperlukan tindakan pencegahan sedini mungkin melalui
kebijakan strategi pemanenan yang baik.

Sumber daya alam hayati khususnya ikan mengalami pertumbuhan. Pertumbuhan tersebut dipengaruhi
oleh antara lain : persediaan makanan, faktor-faktor lingkungan (intensitas cahaya, suhu, habitat, musim),
intensitas penangkapan. Pengaruh faktor lingkungan terutama musim dan intensitas penangkapan sangat
signifikan terhadap jumlah populasi ikan.
Pertumbuhan jumlah populasi ikan pada masa tertentu akan mendekati titik kesetimbangan
(equilibrium ), dalam kondisi ini jumlah kelahiran dan kematian populasi ikan dianggap sama, serta mengingat
bahwa setiap populasi ikan memiliki potensi untuk berkembang biak. Populasi memiliki laju pertumbuhan yang
berangsur-angsur menurun secara tetap. Sepanjang waktu pertumbuhan keadaan lingkungan atau daya dukung
lingkungan tidak berubah. Dari asumsi tersebut dapat diturunkan suatu model pertumbuhan populasi yang
disebut model pertumbuhan logistik
Model pertumbuhan logistik menurut Fulford [2] dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi
(Gambar. 1):
(a) laju pertumbuhan populasi

1

dN (t )

N (t )

dt

pada saat N (t )

= 0 adalah r(dimana r konstan);

(b) laju pertumbuhan ini menurun secara linier dan bernilai 0 saat N (t ) = K
⎛
1
dN (t ) ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
dt
⎝ N (t )
⎠

Gambar 1. Grafik Laju Pertumbuhan Populasi
Dimana

r adalah laju pertumbuhan intrinsik (intrinsic growth rate), yaitu nilai yang
menggambarkan daya-tumbuh suatu populasi. Dalam hal ini diasumsikan r > 0 , yaitu mengingat setiap
populasi memiliki potensi untuk berkembang biak. Dari asumsi di atas dapat diturunkan suatu model
pertumbuhan populasi yang disebut sebagai model pertumbuhan logistik, yaitu:

1 dN (t )
r
= r − N (t )
K
N (t ) dt

(1)

Atau

77

dN (t )
⎛ N (t ) ⎞
= rN (t )⎜1 −

(2)
⎟
K ⎠
dt
⎝
Jika ditambahkan syarat awal N (0) = N 0 , maka diperoleh solusi khusus persamaan diferensial ini, yaitu:
K
(3)
N (t ) =
⎛ K
⎞ −rt
⎜⎜
− 1⎟⎟e + 1
⎝ N0
⎠
Untuk r > 0 berlaku

lim N (t ) = K sehingga disimpulkan bahwa grafik dari persamaan (3) mempunyai
t →∞

asimtot mendatar N (t ) = K . Grafik solusi untuk kasus K > N 0 dapat dilihat pada Gambar 2.

N (t ) =

K
⎛ K
⎞
⎜⎜
− 1⎟⎟e −rt + 1
N
⎝ 0 ⎠

Gambar 2. Grafik Pertumbuhan Logistik yang Naik
Sedangkan, untuk K < N 0 , r > 0 grafik solusinya adalah:

N (t ) =

K
⎛ K
⎞

⎜⎜
− 1⎟⎟e −rt + 1
N
⎝ 0 ⎠

Gambar 3 Grafik Pertumbuhan Logistik yang menurun
Grafik dari persamaan (2) secara geometris dapat ditafsirkan dari grafik yang menggambarkan hubungan

dN (t )
dan N pada bidang fasa berikut (Gambar 4):
dt
dN (t )
dt

Gambar 4. Grafik

dN (t )
versus N
dt

78

dN (t )
> 0 , yaitu berarti N (t ) adalah fungsi naik
dt
dN (t )
pada selang tersebut. Sedangkan, untuk N(t)>K berlaku
< 0 , yaitu berarti N (t ) merupakan fungsi
dt
K
turun. Hal lain adalah bahwa grafik N (t ) terbuka ke atas pada 0 < N (t ) <
atau N(t) 0 atau

λqβ < r

(24)

Pemanenan disekitar daerah kesetimbangan yang berarti nilai

Y (t ) = λqN (α (t ) − β (t )

dN (t )
=0
dt

1 dN
)
N dt

Sehingga diperoleh Y (t ) = λqαN (t )

(25)
(26)

Untuk menjaga keseimbangan populasi maka pemanenan dilakukan disekitar N(t)=N2 maka

82

⎛ λ qα ⎞
Y = λ qα N 2 = λ qαK ⎜1 −

⎟
r ⎠
⎝

Y = λ qα K −
Jika

(27)

K
( λ qα ) 2
r

(28)

dY
= 0 maka
d (λqα )

2K

( λ qα ) = 0
r
2K
K=
( λ qα )
r
K−

sehingga diperoleh

λqα =

(29)
(30)

r
2

(31)

Persamaan (30) disubsitusikan dalam persamaan (27) diperoleh

r
K⎛r⎞
K− ⎜ ⎟
2
r ⎝2⎠
rK rK
Y max =
−
2
4

2

Y max =

Y max =

(32)

rK
4

(33)
rK
4

r/2

λqα

Gambar 8. Grafik Laju Pemanenan Proposional Maksimum

KESIMPULAN
Untuk mencegah kepunahan model pemanenan ikan dengan laju pemanenan proposional dilakukan dalam
interval 0 < N (t ) < N 2 atau 0 < N (t ) < ⎛⎜1 −

⎝

λqα ⎞ . Pemanenan disekitar titik kesetimbangan stabil
⎟K
r ⎠

mengijinkan pemanenan maksimum yang bisa dilakukan pada saat

λqα =

r
rk
dengan Y max =
2
4

DAFTAR PUSTAKA
[1]. Boyce, William E. and. Diprima, Richard C., Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problem, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992.
[2]. Fulford, Glenn, Modelling with Differential and Difference Equations, Cambrigde University Press,
Cambrigde, 1997.
[3]. Haberman, Richard, Mathematical Models: Mechanical Vibrations,Population Dynamics, and Traffic Flow.
Society for Industrial and AppliedMathematics, Philadelphia, 1998.
[4]. Idels, Lev V and Mei Wang, Harvesting Fisheries Management Strategies with Modified Effort Function,
IJMC jurnal dalam Modelling Complex systems, 2006.

83