PENYELESAIAN PERPINDAHAN TANGGA NADA DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI TRANSPOSISI AKORD.

PENYELESAIAN PERPINDAHAN TANGGA NADA DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI TRANSPOSISI AKORD

Oleh: Dahlia N NIM 072244510043 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN 2014

NIM

Program Studi Jurusan

072244510043 Matematika Matematika

Drs. H. Banjarnahor, M. Pd N[p. 185805131988031002

Mengetahui :

Jurusan Matematika Ketua,

Drs. Syafari, M.Pd

NIP. 195409291989031001

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan kuasa-Nya yang senantiasa menyertai sepanjang hidup dan mencukupkan serta menolong penulis selama memulai perkuliahan sampai melakukan penelitian dan penyusunan skripsi, sehingga semuanya berjalan dengan baik. Judul penelitian yang dipilih adalah “Penyelesaian Perpindahan Tangga Nada dengan Menggunakan Fungsi Transposisi Akord”. Skripsi ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains di Jurusan Matematika FMIPA UNIMED.

Pada kesempatan ini dengan kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M. Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M. Sc., Ph. D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Drs. Syafari, M. Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Yasifati Hia, M. Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M. Si., selaku Ketua Program Studi Matematika, Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Si, selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang dengan penuh kesabaran memberikan nasehat dan bimbingan, kepada Ibu Dra. Nerli Khairani, S.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis dalam perkuliahan. Serta Ibu Faiz Ahyaningsih, S.Si, M.Si, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si dan Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan masukan demi selesainya skripsi ini.

Teristimewa kepada orang tua yang sangat saya kasihi Ayahanda Marolo Naibaho, dan Ibunda Sabenna Sinaga, yang telah memberikan dukungan, doa dan kasih sayang serta dukungan materi yang tak terhitung nilainya kepada penulis. Terimakasih juga kepada Kakak, Abang, dan Adikku yang tercinta, Meris, Alpon, Jesse, Josden dan Evelinda Naibaho.

Juga sahabat-sahabatku NonDik07 selalu mendukung selama di perkuliahan, Anastasia Sembiring, Yuli Fitriani, Bungaran Harry, Gencan, Farida dan teman semuanya. Teman satu kos di gg juhar (terkhusus Lina dan kak Chika) dan teman kos saat di pancing 107 yang sangat menghibur. Juga kepada teman

SMA, Tiwa Sigalingging dan Pebriana Lumban Gaol yang menjadi teman curhat. Juga teman Restive Girl (Endang, Ana, Melsi dan Tina). Teristimewa juga buat Mesti Meriana Munthe (sahabat) yang selalu sabar, serta memberikan dukungan doa dan ikut membantu penulis selama penyusunan skripsi ini berlangsung. Tidak lupa penulis juga menyampaikan terimakasih kepada Ms. Siswati Ginting dan Ms. Uci atas kerjasama waktunya.

Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan baik dari segi tata bahasa maupun isi, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi menuju keberhasilan. Dan ilmu yang didapat penulis dapat diamalkan untuk kepentingan mulia dan berguna bagi orang lain. Akhirnya atas semua bantuan, bimbingan dan doa dari semua pihak, penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, April 2014 Penulis

Dahlia N

iii

PENYELESAIAN PERPINDAHAN TANGGA NADA DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI TRANSPOSISI AKORD

Dahlia N (072244510043)

ABSTRAK

Matematika adalah ilmu abstrak tentang ruang dan bilangan. Selain itu matematika terbagi dalam beberapa cabang, salah satunya adalah aljabar. Aljabar merupakan ilmu yang mempelajari tentang sifat-sifat bilangan. Sifat menarik dari bilangan bulat dipelajari dalam teori bilangan. Beberapa topik yang terkait dengan teori bilangan meliputi: sifat bilangan, keterbagian, kongruensi.

Salah satu bidang kelimuan yang mengacu pada konsep kongruensi yaitu transposisi akord dengan menggunakan rumus fungsi transposisi Tn(x)  x + n(mod 12). Transposisi Akord ini bertujuan agar seseorang dapat menyanyikan sebuah lagu dengan karakter suara yang dapat dijangkau agar enak dan indah didengar.

Penelitian ini menyajikan proses atau langkah-langkah perpindahan tangga nada pada lagu dengan menggunakan rumus fungsi transposisi akord. Adapun langkah-kangkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan jenis lagu yang akan ditransposisi. 2. Mencari susunan akord-akord lagu tersebut

3. Mengubah akordnya ke dalam bentuk integer model of pitch

4. Menentukan transposisi yang diinginkan atau yang sesuai dengan jangkauan suara

5. Mengubah akord-akordnya ke dalam akord-akord yang baru (yang diinginkan) dengan menggunakan rumus fungsi transposisi.

6. Menyusun kembali akord-akord yang telah ditransposisi. Kata Kunci:Kongruensi, Akord, Rumus Fungsi Transposisi

DAFTAR ISI

Lembaran Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Himpunan 4

2.2 Fungsi 6

2.3 Sistem Bilangan Bulat 7

2.4 Sifat-Sifat Keterbagian 9

2.5 Aritmatika Modulo 11

2.6 Istilah Dalam Teori Musik 12

2.7 Nama-Nama Nada (Tone _{atau Not) 14}

2.8 Tangga Nada 14

2.9 Interval Musik 16

2.10 Nada Dasar 17

2.11 Akord 17

2.12 Hubungan Tangga Nada, Akord dan Melodi dalam Lagu 19

vii

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 21

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 21

3.2 Jenis Penelitian 21

3.3 Prosedur dan Persiapan 21

3.4 Teknik Analisis Data 21

BAB IV. PEMBAHASAN

4.1 Mengubah Nada dalam Bentuk Bilangan 23

4.2 Fungsi Transposisi Akord 25

4.3 Menerapkan Fungsi Transposisi Akord pada Pencarian Akord 26 4.4 Penerapan Rumus Fungsi Transposisi Akord pada Lagu 31

BAB V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan 43

5.2 Saran 43

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Penjumlahan Mod 5 12 Tabel 2.2 Perkalian Mod 5 12 Tabel 2.3 Tangga Nada Kromatik dalam Musik 15 Tabel 2.4 Nama dan Ukuran Interval 17 Tabel 4.1 Tangga Nada Mayor 26 Tabel 4.2 Akord Triad Mayor 27

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Nada Dasar Mayor 23

Gambar 4.2 Nada Berkruis 24

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Geothe menyebut katedral sebagai musik yang membeku, sementara J.W.A Young menyebutnya sebagai matematika yang membeku. Sementara itu, Paul Erdos, matematikawan besar dunia, menyebut musik sebagai derau (Hakim,2010).

Musik itu sendiri adalah cabang seni yang membahas dan menetapkan berbagai suara ke dalam pola-pola yang dapat dimengerti dan dipahami manusia (Banoe dalam Achmad, 2007:2). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (Depdiknas, 2001) menyatakan musik adalah nada atau suara yang disusun sedemikian rupa sehingga mengandung irama, lagu dan keharmonisan. Sedangkan matematika berkenaan dengan gagasan berstruktur yang diatur secara logis. James dan James (1976: 239) menyebutkan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dalam jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis dan geometri.

Ada hubungan yang erat antara musik dan matematika, jika musik terdiri dari ketukan, irama dan nada, maka matematika adalah sebuah angka (Gunawan dalam Martha, 2010:2). Persamaan musik dan matematika ada pada pemahamannya. Untuk memahami musik, orang harus menikmati seluruh lagu dari awal sampai akhir dan menangkap maknanya. Begitu juga memahami matematika. Untuk memahaminya, seseorang harus mempelajari teori komprehensifnya, pembelajaran yang panjang dan penerapannya di dunia nyata. Hal yang perlu diperhatikan adalah pandangan mayarakat umum yang masih menganggap matematika hanya sebagai ilmu hitung dengan bermacam-macam rumus yang belum tentu dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah nyata. Sedangkan musik itu indah, hampir semua orang suka mendengarkan musik, hampir semua orang suka menyanyi.

2

Kaitan matematika dengan musik sebenarnya telah lama, paling tidak semenjak masa Pythagoras (580 – 475 SM). Hal ini berangkat dari motto perguruan tingginya, semuanya adalah bilangan. Bagi mereka, bilangan asli dan rasionya merupakan basis dari semua fenomena alam apakah itu di bumi maupun di langit. Dalam musik, perguruan Pythagoras mempelajari hubungan antara panjang senar yang direntangkan dan nada yang dihasilkannya. Sebagai contoh, bila panjang sebuah senar dipotong, maka suara yang dihasilkan oleh petikan senar akan naik satu oktaf. Kemudian muncullah konsep skala dalam musik. Skala

pada dasarnya disusun dalam pitch (tinggi rendah suatu nada) dengan

pengaturannya memberikan ukuran jarak musikal. Jarak antara dua nada berurutan dalam skala disebut langkah skala. Pola C-D-E dapat digeser naik satu langkah skala menjadi D-E-F.

”Ada pula hubungan antara teori musik dengan himpunan”, Hadiwidjojo (dalam Achmad, 2007:16). Ini terbukti dengan adanya suatu relasi ekuivalensi. Nada- nada dalam 1 kelas ekuivalensi diberi nama yang sama. Misalnya nada-nada dengan frekuensi {… 55, 110, 220, 440, 880, 1760, …} dapat diwakili oleh A(=440). Kaitan matematika dengan musik ini dicakup oleh Aljabar dasar yang meliputi sistem-sistem bilangan dan sifat-sifatnya secara umum. Beberapa topik yang terkait dengan teori bilangan meliputi sifat bilangan, keterbagian, keprimaan, kongruensi dan lain- lain. Dalam kurikulum sekolah dasar kongruensi diartikan sebagai bilangan jam atau bilangan bersisa.

Meskipun hampir semua orang suka mendengarkan musik dan menyanyi. Akan tetapi, tidak semua orang bisa menyanyikan sebuah lagu dengan baik sesuai dengan jangkauan suaranya. Dalam menyanyikan sebuah lagu, faktor jenis suara sangat dipertimbangkan. Seseorang yang menyanyikan suatu lagu harus dapat memilih nada lagu yang sesuai dengan karakter suaranya agar enak dan indah didengar, di samping itu saat menyanyikan suatu lagu tidak merasakan nada yang ketinggian maupun kerendahan. Sebagai tuntutan profesi, seorang penyanyi harus bisa menyanyikan semua lagu walaupun nada asli dirasakan tidak sesuai dengan jenis suaranya. Hal ini dapat diatasi dengan mentransposisi (merubah) akord penyusunan lagu yang akan dinyanyikan dengan cara membuat nada dasar asli ke

nada dasar yang dapat dijangkau oleh penyanyi. Pada permasalahan ini, kongruensi tentang nada dalam musik dengan menggunakan modulo 12 yang diterapkan pada rumus fungsi transposisi akord. Fungsi Transposisi Akord berfungsi sebagai penyelesaian dari perpindahan antar akord-akord sehingga perpindahan kunci nada yang diperoleh tidak menghasilkan suar yang fals dan nyaman saat didengarkan. Uraian di atas menjadi alasan penulis tertarik membuat

penelitian dengan judul “Penyelesaian Perpindahan Tangga Nada dengan

Fungsi Transposisi Akord”. 1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada penelitian ini adalah: Bagaimana menerapkan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini yaitu hanya membahas pada perpindahan tangga nada dengan akord dasar penyusun lagu yang bernada dasar mayor.

1.4 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah, maka tujuan penelitian yaitu untuk mengetahui penerapan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada.

1.5 Manfaat Penenlitian Bagi Penulis

a. Mampu mengaplikasikan matakuliah Aljabar dan Teori Bilangan yang pernah dipelajari di bangku kuliah dalam kehidupan sehari-hari.

b. Mampu menerapkan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada.

Bagi Pembaca

a. Memperkaya wawasan dalam memanfaatkan ilmu matematika.

b. Membantu mempelajari dan memperluas ilmu pengetahuannya khususnya dalam aplikasi matematika.

43

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Rumus fungsi transposisi Tn(x)x+n(mod 12) dapat diterapkan pada perpindahan semua nada dasar sebuah lagu. Jadi, seseorang dengan jenis suara apapun baik rendah atau tinggi dapat mentransposisi nada dasar dan akord sebuah lagu sesuai dengan jangkauan suara agar mampu menyanyikan suatu lagu dengan baik.

5.2 Saran

Pada seni musik terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep matematika. Dalam penulisan skripsi ini, penulis menggunakan teori bilangan untuk membantu menyelesaikan transposisi akord penyusun lagu. Penulis dapat memberikan saran untuk penelitian lebih lanjut, misalnya menerapkannya pada lagu yang bernada dasar minor atau mengkaji musik dengan teori matematika yang lain.

062024101.musik_matematika_kecerdasan.pdf.

Dumairy., (2003), Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. BPFE, Yogyakarta.

Fiore, TM. Musik and Mathematics. fiore@umich.edu. Diakses tanggal 20 Juli 2013.

Hakim, O., (2010), Matematika dan Musik. www.faktailmiah.com

Hakim, T., (2004), Teknik Paling Praktis Belajar Memainkan Biola dan Gitar. Kawan Pustaka, Jakarta.

Handjojo., (2013), Matematikaku. www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/ pythagoras.html

Hasugian, J., (2008), Teori Musik. http://yoyokpm.files.wordpress.com/ 2008/04/teori_musik1.pdf

Hendro, SD., (2004), Panduan Praktis Improvisasi Gitar. Puspa Swara, Jakarta. James.; James., (1976), Mathematics Dictionary 4th edition. New York, Van

Nostrand Reinhold.

Johnsonbaugh, R., (1998), Matematika Diskrit. PT Prenhallindo, Jakarta. Alih Bahasa: Didiek Djunaedi. Terjemahan dari: Discrete Mathematics.

Katja, A., (2010), Menaik-turunkan Nada. keyboardiz.com/?p=article&id=98 Marta, C., (2010), Pengaruh Musik Instrumental terhadap Hasil Belajar

Matematika Siswa Kelas 1 Sekolah Dasar. 99ebook.com/read- file/pengaruh-musik-instrumental-terhadap-hasil-belajar-matematika-pdf-pdf-1032021/

Mulyanto, ES., (2005), Metode Dasar Bermain Piano Pop. Kawan Pustaka, Jakarta.

Munir, R., (2001), Matematika Diskrit. Informatika, Bandung.

Nickol, P., (2005), Membaca Notasi Musik. PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Nugroho, DB., (2009), Teori Bilangan. Fakultas Sains dan Matematika

Rendra, Y., (2008), Belajar Main Piano. Media Pressindo, Yogyakarta.

Situmorang, M., (2010), Pedoman Penulisan Proposal dan Penulisan Skripsi Mahasiswa. UNIMED, Medan.

Soeharto, M., (1986), Belajar Notasi Balok. PT Gramedia, Jakarta.

Supranto, J., (2005), Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis. Ghalia Indonesia, Bogor.

Yahya, Y.; Suryadi, DS.; Agus., (2004), Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Siahaan Bagasan Jl. Tanah Lapang, Pangururan Samosir dengan nama lengkap Dahlia Riris Valentina Naibaho, pada tanggal 9 Januari 1990. Ayah bernama Marolo Naibaho dan Ibu bernama Sabenna Sinaga, dan merupakan anak ke-lima dari enam bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk SD Negeri 173739 Tanah Lapang Pasar Pangururan, dan lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis melanjutkan sekolah SMP Negeri 1 Pangururan, dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Pangururan, dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun 2007, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru) dan lulus pada 07 April 2014. Selama mahasiswa penulis pernah mengikuti berbagai organisasi kemahasiswaan yaitu IKBKM (Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika), PAMASA (Parsadaan Mahasiswa Asal Samosir).

2

Kaitan matematika dengan musik sebenarnya telah lama, paling tidak semenjak masa Pythagoras (580 – 475 SM). Hal ini berangkat dari motto perguruan tingginya, semuanya adalah bilangan. Bagi mereka, bilangan asli dan rasionya merupakan basis dari semua fenomena alam apakah itu di bumi maupun di langit. Dalam musik, perguruan Pythagoras mempelajari hubungan antara panjang senar yang direntangkan dan nada yang dihasilkannya. Sebagai contoh, bila panjang sebuah senar dipotong, maka suara yang dihasilkan oleh petikan senar akan naik satu oktaf. Kemudian muncullah konsep skala dalam musik. Skala pada dasarnya disusun dalam pitch (tinggi rendah suatu nada) dengan pengaturannya memberikan ukuran jarak musikal. Jarak antara dua nada berurutan dalam skala disebut langkah skala. Pola C-D-E dapat digeser naik satu langkah skala menjadi D-E-F.

”Ada pula hubungan antara teori musik dengan himpunan”, Hadiwidjojo (dalam Achmad, 2007:16). Ini terbukti dengan adanya suatu relasi ekuivalensi. Nada- nada dalam 1 kelas ekuivalensi diberi nama yang sama. Misalnya nada-nada dengan frekuensi {… 55, 110, 220, 440, 880, 1760, …} dapat diwakili oleh A(=440). Kaitan matematika dengan musik ini dicakup oleh Aljabar dasar yang meliputi sistem-sistem bilangan dan sifat-sifatnya secara umum. Beberapa topik yang terkait dengan teori bilangan meliputi sifat bilangan, keterbagian, keprimaan, kongruensi dan lain- lain. Dalam kurikulum sekolah dasar kongruensi diartikan sebagai bilangan jam atau bilangan bersisa.

Meskipun hampir semua orang suka mendengarkan musik dan menyanyi. Akan tetapi, tidak semua orang bisa menyanyikan sebuah lagu dengan baik sesuai dengan jangkauan suaranya. Dalam menyanyikan sebuah lagu, faktor jenis suara sangat dipertimbangkan. Seseorang yang menyanyikan suatu lagu harus dapat memilih nada lagu yang sesuai dengan karakter suaranya agar enak dan indah didengar, di samping itu saat menyanyikan suatu lagu tidak merasakan nada yang ketinggian maupun kerendahan. Sebagai tuntutan profesi, seorang penyanyi harus bisa menyanyikan semua lagu walaupun nada asli dirasakan tidak sesuai dengan jenis suaranya. Hal ini dapat diatasi dengan mentransposisi (merubah) akord penyusunan lagu yang akan dinyanyikan dengan cara membuat nada dasar asli ke

3

nada dasar yang dapat dijangkau oleh penyanyi. Pada permasalahan ini, kongruensi tentang nada dalam musik dengan menggunakan modulo 12 yang diterapkan pada rumus fungsi transposisi akord. Fungsi Transposisi Akord berfungsi sebagai penyelesaian dari perpindahan antar akord-akord sehingga perpindahan kunci nada yang diperoleh tidak menghasilkan suar yang fals dan nyaman saat didengarkan. Uraian di atas menjadi alasan penulis tertarik membuat penelitian dengan judul “Penyelesaian Perpindahan Tangga Nada dengan Fungsi Transposisi Akord”.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada penelitian ini adalah: Bagaimana menerapkan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini yaitu hanya membahas pada perpindahan tangga nada dengan akord dasar penyusun lagu yang bernada dasar mayor.

1.4 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah, maka tujuan penelitian yaitu untuk mengetahui penerapan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada.

1.5 Manfaat Penenlitian Bagi Penulis

a. Mampu mengaplikasikan matakuliah Aljabar dan Teori Bilangan yang pernah dipelajari di bangku kuliah dalam kehidupan sehari-hari.

b. Mampu menerapkan fungsi transposisi akord pada perpindahan tangga nada.

Bagi Pembaca

a. Memperkaya wawasan dalam memanfaatkan ilmu matematika.

b. Membantu mempelajari dan memperluas ilmu pengetahuannya khususnya dalam aplikasi matematika.

43

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Rumus fungsi transposisi Tn(x)x+n(mod 12) dapat diterapkan pada perpindahan semua nada dasar sebuah lagu. Jadi, seseorang dengan jenis suara apapun baik rendah atau tinggi dapat mentransposisi nada dasar dan akord sebuah lagu sesuai dengan jangkauan suara agar mampu menyanyikan suatu lagu dengan baik.

5.2 Saran

Pada seni musik terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep matematika. Dalam penulisan skripsi ini, penulis menggunakan teori bilangan untuk membantu menyelesaikan transposisi akord penyusun lagu. Penulis dapat memberikan saran untuk penelitian lebih lanjut, misalnya menerapkannya pada lagu yang bernada dasar minor atau mengkaji musik dengan teori matematika yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Achmad., (2007), Musik Matematika dan Kecerdasan.

www.BAB%202-062024101.musik_matematika_kecerdasan.pdf.

Dumairy., (2003), Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. BPFE,

Yogyakarta.

Fiore, TM. Musik and Mathematics. fiore@umich.edu. Diakses tanggal 20 Juli 2013.

Hakim, O., (2010), Matematika dan Musik. www.faktailmiah.com

Hakim, T., (2004), Teknik Paling Praktis Belajar Memainkan Biola dan Gitar. Kawan Pustaka, Jakarta.

Handjojo., (2013), Matematikaku. www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/

pythagoras.html

Hasugian, J., (2008), Teori Musik. http://yoyokpm.files.wordpress.com/

2008/04/teori_musik1.pdf

Hendro, SD., (2004), Panduan Praktis Improvisasi Gitar. Puspa Swara, Jakarta.

James.; James., (1976), Mathematics Dictionary 4th edition. New York, Van Nostrand Reinhold.

Johnsonbaugh, R., (1998), Matematika Diskrit. PT Prenhallindo, Jakarta. Alih Bahasa: Didiek Djunaedi. Terjemahan dari: Discrete Mathematics.

Katja, A., (2010), Menaik-turunkan Nada. keyboardiz.com/?p=article&id=98

Marta, C., (2010), Pengaruh Musik Instrumental terhadap Hasil Belajar

Matematika Siswa Kelas 1 Sekolah Dasar. 99ebook.com/read- file/pengaruh-musik-instrumental-terhadap-hasil-belajar-matematika-pdf-pdf-1032021/

Mulyanto, ES., (2005), Metode Dasar Bermain Piano Pop. Kawan Pustaka,

Jakarta.

Munir, R., (2001), Matematika Diskrit. Informatika, Bandung.

Nickol, P., (2005), Membaca Notasi Musik. PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Nugroho, DB., (2009), Teori Bilangan. Fakultas Sains dan Matematika

Rendra, Y., (2008), Belajar Main Piano. Media Pressindo, Yogyakarta.

Situmorang, M., (2010), Pedoman Penulisan Proposal dan Penulisan Skripsi Mahasiswa. UNIMED, Medan.

Soeharto, M., (1986), Belajar Notasi Balok. PT Gramedia, Jakarta.

Supranto, J., (2005), Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis. Ghalia Indonesia, Bogor.

Yahya, Y.; Suryadi, DS.; Agus., (2004), Matematika Dasar untuk Perguruan

ii

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Siahaan Bagasan Jl. Tanah Lapang, Pangururan Samosir dengan nama lengkap Dahlia Riris Valentina Naibaho, pada tanggal 9 Januari 1990. Ayah bernama Marolo Naibaho dan Ibu bernama Sabenna Sinaga, dan merupakan anak ke-lima dari enam bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk SD Negeri 173739 Tanah Lapang Pasar Pangururan, dan lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis melanjutkan sekolah SMP Negeri 1 Pangururan, dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Pangururan, dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun 2007, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru) dan lulus pada 07 April 2014. Selama mahasiswa penulis pernah mengikuti berbagai organisasi kemahasiswaan yaitu IKBKM (Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika), PAMASA (Parsadaan Mahasiswa Asal Samosir).