DETERMINING FASTEST PRODUCTION TIME OF HERBAL PRODUCTION MACHINE SYSTEM IN PT. PUTRO KINASIH WITH MAX-PLUS ALGEBRA.

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM
MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH
DENGAN ALJABAR MAX-PLUS

oleh
CAESAR ADHEK KHARISMA
M0109017

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2013

commit to user

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

SKRIPSI
PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM
MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH
DENGAN ALJABAR MAX-PLUS
yang disiapkan dan disusun oleh
CAESAR ADHEK KHARISMA
M0109017
dibimbing oleh
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Drs. Siswanto, M.Si.

Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom.

NIP. 19670813 199203 1 002

NIP. 19750120 200812 2 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Senin, 29 Juli 2013
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

1.

Anggota Tim Penguji

Tanda Tangan

Drs. Pangadi, M.Si.

1. . . . . . . . . . . . .

NIP. 19571012 199103 1 001
2.

Dra. Yuliana Susanti, M.Si.

2. . . . . . . . . . . . .

NIP. 19611219 198703 2 001
Surakarta,

Agustus 2013

Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,

Ketua Jurusan Matematika,

Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) Ph.D

commit to user
NIP. 19610223 198601 1 001

ii

Irwan Susanto, S.Si., DEA
NIP. 19710511 199512 1 001

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Caesar Adhek Kharisma, 2013. PENENTUAN WAKTU PRODUKSI
TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO
KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabar max-plus merupakan suatu semi-field idempoten. Aljabar maxplus dibentuk oleh himpunan Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi biner ⊕
(maksimum) dan ⊗ (penjumlahan). Penelitian ini bertujuan untuk menentukan
waktu produksi tercepat dari mesin produksi jamu di PT. Putro Kinasih dengan

aljabar max-plus. Waktu produksi ini digunakan untuk mengoptimalkan jumlah
produksi agar dapat memenuhi pemesanan produk jamu oleh konsumen. Mesin
produksi ini merupakan contoh sistem kejadian diskrit. Penelitian ini menentukan
waktu input terlebih dahulu yaitu waktu dimana mesin produksi mulai bekerja.
Waktu input ini dimisalkan x. Jika matriks A, b, dan u merupakan matriks di
dalam aljabar max-plus dengan komponen A , b adalah waktu pemrosesan mesin
produksi dan G(A) adalah graf komunikasi dari A dan komponen u adalah waktu mesin dan komponen siap melakukan produksi, maka dapat diketahui bobot
sirkuit G(A). Penyelesaian untuk sistem x = Ax ⊕ bu adalah A∗ bu. Bobot sirkuit
G(A) akan menentukan komponen matriks A∗ dan x. Setelah waktu input diperoleh kemudian ditentukan waktu output yang dimisalkan y, yaitu waktu mesin
produksi berhenti bekerja. Waktu output sistem mesin produksi adalah
[
]
y T = 15 24 36 41 61 41 61 .
Dari hasil penelitian, diperoleh waktu produksi tercepat dari sistem mesin produksi jamu yaitu 61 jam.

Kata kunci : sistem produksi, aljabar max-plus, graf komunikasi, dan bobot
sirkuit.

commit to user

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Caesar Adhek Kharisma, 2013. DETERMINING FASTEST PRODUCTION
TIME OF HERBAL PRODUCTION MACHINE SYSTEM IN PT. PUTRO
KINASIH WITH MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural
Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra have properties as idempotent semifield. Max-plus algebra is constructed by Rmax = R ∪ {−∞} endowed with ⊕ (maximum) and
⊗ (addition) operations. The aim of this research determine fastest production
time of herbal production machine system in PT. Putro Kinasih with max-plus
algebra. Production time is used to optimize the amount of production in order
to meet the ordering herbal products by consumers. Production machine is an
example of a discrete event system. This research determining the input time, x,
that is the time when production machine started working. If the matrices A, b,
and u are in the max-plus algebra who having component processing time production machine, G(A) is a communication graph of A, and matrix u is the time
when machines start working and components start to do production processes,

then it is known weights circuit G(A). Completion for system x = Ax ⊕ bu is
A∗ bu. Circuit weight G(A) will determine the components of the matrix A∗ and
x. After input time is obtained and then let the output y, i.e the production
machine time stopped working. Time of production machine output system is
[
]
y T = 15 24 36 41 61 41 61 .
The results show that the fastest production time of herbal production machine
system is 61 hours.

Key words: production system, max-plus algebra, communication graph, and
circuit weight.

commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MOTO

Jika ingin merubah hidupmu maka ubahlah dirimu
dan jika ingin merubah dirimu maka ubahlah pola pikirmu.

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan untuk
Allaah SWT yang telah memberikan kelancaran dalam pembuatan skripsi ini
melalui cinta, kasih, doa, dan dukungan dari kedua orang tuaku.
Sahabat-sahabat terbaikku, seluruh angkatan 2009 yang selalu kompak

memberikan semangat dan motivasi.

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim.
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini.
Skripsi ini dibagi menjadi lima bagian. Bab 1 berisikan latar belakang
masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2
dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum
dalam metodologi penelitian yang dituliskan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan
tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Bab 5 berisi tentang kesimpulan

dan saran.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai
pihak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si dan
Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas
bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima
kasih kepada semua teman-teman angkatan 2009 yang senantiasa memberikan
dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini
dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang membutuhkan.

Surakarta, Agustus 2013

Penulis

commit to user

vii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Struktur Aljabar Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Teori Graf dalam Aljabar Max-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Sistem Kejadian Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.5

Struktur Aljabar Max-Pluscommit
. . . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.6

Matriks dalam Rmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

viii

perpustakaan.uns.ac.id

2.7

digilib.uns.ac.id

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

III METODE PENELITIAN

15

IV PEMBAHASAN

16

4.1

Profil PT. Putro Kinasih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.2

Penerapan Aljabar Max-Plus pada Sistem Mesin Produksi Jamu .

19

V PENUTUP

33

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

DAFTAR PUSTAKA

34

commit to user

ix

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

2.1

Graf berarah dan strongly connected

. . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Graf dan lintasannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

Graf berbobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4

Graf komunikasi dari matriks A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.1

Proses mesin produksi jamu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.2

Skema mesin produksi jamu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.3

Graf mesin produksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.4

Graf komunikasi dari matriks A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

commit to user

x

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

R

:

himpunan bilangan real

N

:

himpunan bilangan asli

(+)

:

operasi jumlah pada aljabar biasa

(×)

:

operasi perkalian pada aljabar biasa

⊕

:

operasi maksimum pada aljabar max-plus

⊗

:

operasi jumlah pada aljabar max-plus

ε

:

elemen identitas untuk ⊕ dengan ε = −∞

e

:

elemen identitas untuk ⊗ dengan e = 0

e

:

matriks satuan terhadap operasi biner ⊗

Am×n

:

matriks A berukuran m × n

x⊗n

:

pangkat n dari x dalam aljabar max-plus

Rmax

:

R ∪ {−∞}

m×n
Rmax

:

matriks berukuran m × n dengan elemen Rmax

G

:

graf berarah

G(A)

:

graf berarah dari matriks A

V

:

himpunan yang beranggotakan vertex pada graf

E

:

himpunan yang beranggotakan edge atau busur pada graf

(i, j)

:

edge dari titik i ke titik j

Aij

:

bobot edge dari titik j ke titik i

A∗

:

eksistensi A∗

commit to user

xi