Slide CIV 110 Probstat P5 7 PROBABILITAS
PROBABILIT
AS
1
Probabilitas
Pengertian
Probabilitas adalah besarnya kemungkinan terjadinya
suatu peristiwa
Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1
Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan
bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi
Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan
bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi
2
BEBERAPA ISTILAH
Events:
satu atau lebih kemungkinan hasil dari
melakukan suatu tindakan
Experiment: Suatu tindakan yang menghasilkan
akan menghasilkan peristiwa (event).
Sample space: Kumpulan dari semua
kemungkinan hasil dari suatu percobaan
(experiment).
Contoh:
Jika kita melempar sebuah mata uang satu kali, maka
tentukan mana yang disebut experiment, event, dan sample
space?
3
Tiga Pendekatan
Pendekatan
Klasik
Pendekatan ini didefinisikan:
Banyaknya hasil suatu percobaan
Prob suatu hasil
Seluruh kemungkina n hasil
Secara simbolis: Jika a adalah banyaknya
peristiwa A dan b adalah banyaknya
peristiwa bukan A, maka pobabilitas
peristiwa A dapat dinyatakan sebagai
berikut:
a
P(A)
a b
4
Lanjutan ….
Pendekatan
Frekuensi Relatif
Observasi dari suatu kejadian dg banyak
percobaan
Proporsi suatu kejadian dlm jk panjang pada saat
kondisi stabil
Pendekatan
Subyektif
Pendekatan ini berdasarkan kepercayaan seseorang
dalam membuat pernyataan probabilitas suatu peristiwa.
5
Aturan-aturan probabilitas
Simbol probabilitas
P(A) = probabilitas kejadian A akan terjadi
Probabilitas marjinal
Probabilitas yang hanya ada 1 peristiwa
Contoh:
Probabilitas seorang peserta memperoleh gelar
juara 1 dari 20 peserta dalam suatu turnamen
6
Lanjutan….
Diagram Venn
Mutually exclusive events
exclusive events
A
B
Nonmutually
A
B
7
Hukum Penjumlahan
Mutually
Exclusive Events
Probabilitas di mana 2 atau lebih
peristiwa/kejadian/hasil tidak dapat terjadi secara
bersamaan
P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Misalnya dalam sebuah kelompok mahasiswa
beranggotakan Ani, Budi, Candra, dan Eko. Berapa
probabilitas terpilih menjadi ketua kelompok adalah:
a. Ani
b. Budi atau Eko
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)
8
Lanjutan….
Non Mutually Exclusive Events
Probabilitas di mana dua atau lebih kejadian
dapat terjadi bersama-sama
P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Contoh:
Jika sebuah kartu remi diambil sebuah kartu
secara acak, maka berapa probabilitas kartu
yang terambil adalah kartu yang:
a.
berangka 8.
b.
berangka 5 atau yang bergambar hati
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC)
9
P(BC) + P(ABC)
Kasus 1: Aturan
Penjumlahan
Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen
terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A,
B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan
mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan
sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh
informasi sebagai berikut:
30 responden menyatakan pernah membeli A
20 responden menyatakan pernah membeli B
25 responden menyatakan pernah membeli C
7 responden menyatakan pernah membeli A dan B
11 responden menyatakan pernah membeli A dan C
8 responden menyatakan pernah membeli B dan C
3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C
10
Lanjutan soal
Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan
probabilitas seorang responden:
a. pernah membeli barang A atau C
b. pernah membeli barang B atau C
c. pernah membeli barang A atau B atau C
d. tidak pernah membeli barang A atau B atau C.
11
Kasus 2: Aturan
Penjumlahan
Suatu perusahaan melakukan survey mengenai
pendapat konsumen terhadap produk yang ia
hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat
responden terhadap produk tersebut.
Responden
Dewasa (D)
Remaja (R)
Anak-anak (A)
Sangat Puas (SP)
40
20
30
Pendapat
Puas (P)
20
40
10
Kurang Puas (KP)
30
10
50
Jika dipilih seorang responden secara random,
tentukan probabilitas bahwa ia:
a. remaja atau berpendapat sangat puas
b. dewasa atau remaja
12
c. dewasa atau berpendapat kurang puas.
Hukum Perkalian
Independent Events: peristiwa yang satu tidak berhubungan
dengan peristiwa yang lain
Marginal Probability
Probabilitas sederhana dari terjadinya suatu peristiwa
P(A)
Contoh:
Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 1 kali, berapa
probabilitas muncul sisi dadu yang bermata dua?
13
Lanjutan….
Joint Probability untuk peristiwa yang independen
Simbol joint probability:
P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B)
P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola hijau.
Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut
sampai 3 kali pengambilan dengan pengembalian, tentukan
probabilitas akan terambil bola hijau, biru, dan merah masingmasing satu buah?
14
15
Lanjutan….
Conditional probability
Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi oleh kejadian
sebelumnya.
Untuk peristiwa yang independen, prob terjadinya
peristiwa B dgn syarat peristiwa A sudah terjadi terlebih
dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri
P(B/A) = P(B)
Contoh :
Brp prob muncul sisi gambar pd koin dg syarat muncul
sisi angka pd pelemparan sebelumnya?
16
Lanjutan…
Dependent
Events
Conditional Probability
Suatu kejadian menghasilkan 2 buah kejadian yang saling
tergantung satu sama lain.
P(B/A)
P(B A)
P(A)
Contoh:
Enam puluh persen karyawan perusahaan ABC membaca
koran, 45% membaca tabloid, dan 30% membaca
keduanya. Berapa probabilitas terpilih seorang karyawan
yang membaca koran dengan syarat dia juga membaca
tabloid?
17
Lanjutan…..
Joint Probability
Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dimana
terjadinya peristiwa tersebut dipengaruhi oleh
terjadinya peristiwa lain.
P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B/A)
P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan
3 bola hitam. Jika dari kotak tersebut diambil
sebuah bola berturut-turut sampai 3 kali
pengambilan dengan tanpa pengembalian,
tentukan probabilitas akan terambil bola hitam,
biru, dan merah masing-masing satu buah?
18
Lanjutan…
Marginal
Probability
Probabilitas sederhana dari suatu kejadian
yang dependen
P(A B)
P(A)
P(B/A)
19
P(AB = P(A/B) . P(B)
P(AB = P(B/A) . P(A)
P(B/A) . P(A) = P(A/B) . P(B)
P(A/B) . P(B)
P(B/A)
P(A)
P(A/B) . P(B)
P(A)
P(B/A)
20
Bayes Theorem
Pengembangan konsep probabilitas bersyarat.
P(A \ Bi )P(Bi )
P(Bi \ A)
P(A \ B1 )P(B1 ) P(A \ B2 )P(B 2 ) ... P(A \ Bk )P(B k )
Peristiwa A hanya bisa terjadi jika salah satu dari
n peristiwa yang saling asing B1, B2, …, B3 juga
terjadi
21
Contoh Kasus
Sebuah perusahaan yang memproduksi ban
mobil menggunakan 3 buah mesin dalam
proses produksinya. Mesin 1 memproduksi
20% dari total produk, mesin 2 memproduksi
30%, dan mesin 3 menghasilkan 50%. Produk
rusak yang dihasilkan mesin 1 sebesar 10%,
mesin 2 sebesar 5% dan mesin 3 sebesar 2%.
Jika diambil secara random sebuah ban,
berapa probabilitas yang terpilih adalah ban
yang rusak? Dan jika ban yang terpilih adalah
yang rusak, berapa probabilitas ban tersebut
dihasilkan oleh mesin 3?
22
Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi
n! = n x (n-1) x (n -2) x ….. x 1
Permutasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek
dengan memperhatikan urutannya
Formulasinya:
n!
P
(n - x)!
n
x
Contoh:
Dari 3 calon pemimpin,yaitu A, B, C akan dipilih
2 orang untuk menduduki jabatan ketua dan
wakil ketua. Berapa kemungkinan yang dapat
terjadi?
23
Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek
dengan mengabaikan urutannya.
Formulasinya :
n!
C
x! (n - x)!
n
x
Contoh:
Jika ada 3 orang pemain bulu tangkis akan
dijadikan pemain ganda. Berapa kombinasi
yang dapat disusun?
24
Mathematical
Expectations
Apabila P adalah probabilitas untuk memperoleh
sejumlah Q, maka harapan matematisnya adalah
sebesar PQ.
Formulasinya:
E(X) X.P(X)
Contoh:
Seorang penjual es mendapat laba Rp5000 jika
hari panas. Namun ia akan rugi Rp1000 jika hari
hujan. Berapa harapan matematikanya jika
probabilitas akan turun hujan sebesar 0,4?
25
AS
1
Probabilitas
Pengertian
Probabilitas adalah besarnya kemungkinan terjadinya
suatu peristiwa
Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1
Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan
bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi
Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan
bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi
2
BEBERAPA ISTILAH
Events:
satu atau lebih kemungkinan hasil dari
melakukan suatu tindakan
Experiment: Suatu tindakan yang menghasilkan
akan menghasilkan peristiwa (event).
Sample space: Kumpulan dari semua
kemungkinan hasil dari suatu percobaan
(experiment).
Contoh:
Jika kita melempar sebuah mata uang satu kali, maka
tentukan mana yang disebut experiment, event, dan sample
space?
3
Tiga Pendekatan
Pendekatan
Klasik
Pendekatan ini didefinisikan:
Banyaknya hasil suatu percobaan
Prob suatu hasil
Seluruh kemungkina n hasil
Secara simbolis: Jika a adalah banyaknya
peristiwa A dan b adalah banyaknya
peristiwa bukan A, maka pobabilitas
peristiwa A dapat dinyatakan sebagai
berikut:
a
P(A)
a b
4
Lanjutan ….
Pendekatan
Frekuensi Relatif
Observasi dari suatu kejadian dg banyak
percobaan
Proporsi suatu kejadian dlm jk panjang pada saat
kondisi stabil
Pendekatan
Subyektif
Pendekatan ini berdasarkan kepercayaan seseorang
dalam membuat pernyataan probabilitas suatu peristiwa.
5
Aturan-aturan probabilitas
Simbol probabilitas
P(A) = probabilitas kejadian A akan terjadi
Probabilitas marjinal
Probabilitas yang hanya ada 1 peristiwa
Contoh:
Probabilitas seorang peserta memperoleh gelar
juara 1 dari 20 peserta dalam suatu turnamen
6
Lanjutan….
Diagram Venn
Mutually exclusive events
exclusive events
A
B
Nonmutually
A
B
7
Hukum Penjumlahan
Mutually
Exclusive Events
Probabilitas di mana 2 atau lebih
peristiwa/kejadian/hasil tidak dapat terjadi secara
bersamaan
P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Misalnya dalam sebuah kelompok mahasiswa
beranggotakan Ani, Budi, Candra, dan Eko. Berapa
probabilitas terpilih menjadi ketua kelompok adalah:
a. Ani
b. Budi atau Eko
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)
8
Lanjutan….
Non Mutually Exclusive Events
Probabilitas di mana dua atau lebih kejadian
dapat terjadi bersama-sama
P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Contoh:
Jika sebuah kartu remi diambil sebuah kartu
secara acak, maka berapa probabilitas kartu
yang terambil adalah kartu yang:
a.
berangka 8.
b.
berangka 5 atau yang bergambar hati
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC)
9
P(BC) + P(ABC)
Kasus 1: Aturan
Penjumlahan
Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen
terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A,
B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan
mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan
sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh
informasi sebagai berikut:
30 responden menyatakan pernah membeli A
20 responden menyatakan pernah membeli B
25 responden menyatakan pernah membeli C
7 responden menyatakan pernah membeli A dan B
11 responden menyatakan pernah membeli A dan C
8 responden menyatakan pernah membeli B dan C
3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C
10
Lanjutan soal
Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan
probabilitas seorang responden:
a. pernah membeli barang A atau C
b. pernah membeli barang B atau C
c. pernah membeli barang A atau B atau C
d. tidak pernah membeli barang A atau B atau C.
11
Kasus 2: Aturan
Penjumlahan
Suatu perusahaan melakukan survey mengenai
pendapat konsumen terhadap produk yang ia
hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat
responden terhadap produk tersebut.
Responden
Dewasa (D)
Remaja (R)
Anak-anak (A)
Sangat Puas (SP)
40
20
30
Pendapat
Puas (P)
20
40
10
Kurang Puas (KP)
30
10
50
Jika dipilih seorang responden secara random,
tentukan probabilitas bahwa ia:
a. remaja atau berpendapat sangat puas
b. dewasa atau remaja
12
c. dewasa atau berpendapat kurang puas.
Hukum Perkalian
Independent Events: peristiwa yang satu tidak berhubungan
dengan peristiwa yang lain
Marginal Probability
Probabilitas sederhana dari terjadinya suatu peristiwa
P(A)
Contoh:
Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 1 kali, berapa
probabilitas muncul sisi dadu yang bermata dua?
13
Lanjutan….
Joint Probability untuk peristiwa yang independen
Simbol joint probability:
P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B)
P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola hijau.
Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut
sampai 3 kali pengambilan dengan pengembalian, tentukan
probabilitas akan terambil bola hijau, biru, dan merah masingmasing satu buah?
14
15
Lanjutan….
Conditional probability
Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi oleh kejadian
sebelumnya.
Untuk peristiwa yang independen, prob terjadinya
peristiwa B dgn syarat peristiwa A sudah terjadi terlebih
dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri
P(B/A) = P(B)
Contoh :
Brp prob muncul sisi gambar pd koin dg syarat muncul
sisi angka pd pelemparan sebelumnya?
16
Lanjutan…
Dependent
Events
Conditional Probability
Suatu kejadian menghasilkan 2 buah kejadian yang saling
tergantung satu sama lain.
P(B/A)
P(B A)
P(A)
Contoh:
Enam puluh persen karyawan perusahaan ABC membaca
koran, 45% membaca tabloid, dan 30% membaca
keduanya. Berapa probabilitas terpilih seorang karyawan
yang membaca koran dengan syarat dia juga membaca
tabloid?
17
Lanjutan…..
Joint Probability
Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dimana
terjadinya peristiwa tersebut dipengaruhi oleh
terjadinya peristiwa lain.
P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B/A)
P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan
3 bola hitam. Jika dari kotak tersebut diambil
sebuah bola berturut-turut sampai 3 kali
pengambilan dengan tanpa pengembalian,
tentukan probabilitas akan terambil bola hitam,
biru, dan merah masing-masing satu buah?
18
Lanjutan…
Marginal
Probability
Probabilitas sederhana dari suatu kejadian
yang dependen
P(A B)
P(A)
P(B/A)
19
P(AB = P(A/B) . P(B)
P(AB = P(B/A) . P(A)
P(B/A) . P(A) = P(A/B) . P(B)
P(A/B) . P(B)
P(B/A)
P(A)
P(A/B) . P(B)
P(A)
P(B/A)
20
Bayes Theorem
Pengembangan konsep probabilitas bersyarat.
P(A \ Bi )P(Bi )
P(Bi \ A)
P(A \ B1 )P(B1 ) P(A \ B2 )P(B 2 ) ... P(A \ Bk )P(B k )
Peristiwa A hanya bisa terjadi jika salah satu dari
n peristiwa yang saling asing B1, B2, …, B3 juga
terjadi
21
Contoh Kasus
Sebuah perusahaan yang memproduksi ban
mobil menggunakan 3 buah mesin dalam
proses produksinya. Mesin 1 memproduksi
20% dari total produk, mesin 2 memproduksi
30%, dan mesin 3 menghasilkan 50%. Produk
rusak yang dihasilkan mesin 1 sebesar 10%,
mesin 2 sebesar 5% dan mesin 3 sebesar 2%.
Jika diambil secara random sebuah ban,
berapa probabilitas yang terpilih adalah ban
yang rusak? Dan jika ban yang terpilih adalah
yang rusak, berapa probabilitas ban tersebut
dihasilkan oleh mesin 3?
22
Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi
n! = n x (n-1) x (n -2) x ….. x 1
Permutasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek
dengan memperhatikan urutannya
Formulasinya:
n!
P
(n - x)!
n
x
Contoh:
Dari 3 calon pemimpin,yaitu A, B, C akan dipilih
2 orang untuk menduduki jabatan ketua dan
wakil ketua. Berapa kemungkinan yang dapat
terjadi?
23
Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek
dengan mengabaikan urutannya.
Formulasinya :
n!
C
x! (n - x)!
n
x
Contoh:
Jika ada 3 orang pemain bulu tangkis akan
dijadikan pemain ganda. Berapa kombinasi
yang dapat disusun?
24
Mathematical
Expectations
Apabila P adalah probabilitas untuk memperoleh
sejumlah Q, maka harapan matematisnya adalah
sebesar PQ.
Formulasinya:
E(X) X.P(X)
Contoh:
Seorang penjual es mendapat laba Rp5000 jika
hari panas. Namun ia akan rugi Rp1000 jika hari
hujan. Berapa harapan matematikanya jika
probabilitas akan turun hujan sebesar 0,4?
25