M01207
POLA DISTRIBUSI INTERVAL DENYUT JANTUNG DENGAN
MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG
DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX
Herlina D Tendean1), Hanna A Parhusip2), Suryasatria Trihandaru3), Bambang Susanto4)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2)
Dosen Program Studi Matematika
3)
Dosen Program Studi Fisika
4)
Dosen Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)
[email protected], 2) [email protected] ,3)
[email protected] , 4) [email protected]
Abstrak
Data denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. Data denyut jantung
didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam
fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror
yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut
saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang
diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. Frekuensi terjadinya
jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter berada
pada interval 269.7837
373.7805 dan parameter
berada pada interval 0.0021
0.003
yang diperoleh dari distribusi Gamma.
Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror, Frekuensi,
Distribusi Gamma
Pendahuluan
Model denyut jantung yang pernah diteliti
merupakan sistem persamaan tak linier
yang
berbentuk
� 1 = −( 1 3 − 1 + 2 )
, model denyut
2 = 1−
jantung telah diteliti dengan mengunakan
teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas
titik setimbangnya dan didapatkan bahwa
model
merupakan
jenis
bifurkasi
homoklinik yang siklus periodiknya dapat
muncul dan menghilang apabila parameter
divariasi dengan sifat stabilitas titik
setimbang yang cenderung tidak stabil
(Tendean dkk, 2014). Menurut (Thanom
dan Robert, 2011) model denyut jantung
yang telah diteliti belum tepat dengan data
denyut jantung sehingga perlu dilakukan
modifikasi. Modifikasi model yang
dilakukan dengan ketegangan dalam otot
pada model yang sebelumnya dianggap
sebagai konstata sedangkan pada model
yang baru ketegangan dijadikan sebagai
parameter dalam fungsi waktu, lalu
penambahan
konstanta
yang
mempresentasikan sinyal kontrol pada
pacemaker (Thanom dan Robert, 2011).
Sedangkan pada makalah ini modifikasi
akan dilakukan dengan proses fitting
terhadap data denyut jantung yang telah
ada.
Fitting
dilakukan
dengan
menggunakan
Metode
Nelder-Mead
simplex dengan mengasumsikan bahwa
data sebagai jumlahan pada sebuah periode
gelombang dengan fungsi Gauss
Model
Denyut
Jantung
Dengan
Kombinasi Fungsi Gauss
Data denyut jantung yang diteliti
merupakan data yang terdiri dari banyaknya
jumlah titik-titik sampel dan selalu terjadi
gelombang yang berulang-ulang. Data
merupakan hasil pengukuran denyut
jantung yang diambil selama 120 detik.
Pada awalnya dicari dahulu satu gelombang
dari keseluruhan data yang dimiliki.
1
2.2
1.2
2
1
1.8
0.8
1.6
0.6
y (mV)
y (mV)
R
1.4
0.4
1.2
0.2
1
0
0.8
-0.2
T
P
Q
0
1
2
3
4
5
-0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
t (detik)
S
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 1. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang
(kanan)
kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya
Pada gambar 1 terlihat titik-titik puncak
puncak T bernilai positif apabila puncak T
maksimum lokal dan minimum lokal.
negatif atau terbalik maka bisa terjadi
Puncak-puncak tersebut mempunyai makna
ketidaknormalan pada jantung (Azhar dan
fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S
Suyanto, 2009). Berdasarkan gambar 2
dan T sebagaimana ditunjukan pada
terlihat bahwa posisi puncak-puncak S
Gambar 1 kanan. Irama jantung normal
terhadap potensial selalu berada pada posisi
dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu
negatif sedangkan untuk puncak-puncak T
irama yang terletak pada sekitar Vena Cava
selalu berada pada posisi positif. Data yang
Superior di atrium kanan jantung. Irama
telah diukur merupakan data untuk jantung
jantung yang teratur yang berarti jarak
yang sehat. Pada penelitian ini akan
antara gelombang yang relatif sama dan
ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk
teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S
keseluruhan data yang diukur. Untuk itu,
adalah bertujuan untuk membedakan suatu
diperlukan periode satu gelombang. Untuk
irama jantung, bentuk dan durasi pada
menentukan periode satu gelombang maka
puncak merupakan pembesaran pada atrium
syarat utama dari satu gelombang adalah
jantung. Sedangkan pada puncak-puncak Q,
satu gelombang harus memuat puncakR dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu
puncak P, Q, R, S dan T. Dengan contoh
irama jantung, abnormalitas konduksi.
satu gelombang ditunjukan pada gambar 1
Gelombang T mengambarkan bahwa
kanan.
adanya kembali proses pemompaan
0.3
T
0.2
y (mV)
0.1
0
-0.1
-0.2
S
-0.3
-0.4
0
20
40
60
80
Indeks
100
120
140
160
Gambar 2. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur
2
1.2
R
1
0.8
sR
y (mV)
0.6
AR
0.4
T
0.2
P
sP
0
t0P
-0.2
-0.4
0.1
AP
sT
t0Q
sQ
t0S
AT
t0T
t0R
AS
Q
sS
AQ
S
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 3. Data pada satu gelombang dengan letak �� , 0� dan � pada tiap puncak P,
Q, R, S dan T
Diasumsikan satu gelombang yang
ditentukan dengan bantuan aplikasi
memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang
peakdet.m pada program Matlab R2009a
berbentuk:
untuk mendapatkan hasil �� , 0� dan � pada
−( − 0 � )2
tiap puncak P, Q, R, S dan T yang
= �= , , , , �� � 2 2
(1)
�
ditunjukkan pada Tabel 1.
dengan error
Tabel 1. Daftar hasil program peakdet.m
�=
− �
�
�
2
(2)
dengan
: titik-titik dugaan dengan menggunakan
fungsi Gauss,
: titik-titik pada data denyut jantung,
�
�� : tinggi titik puncak pada gelombang
pada waktu ke �,
0� : waktu yang diperlukan pada saat ke �,
� : lebar setiap puncak pada waktu ke �,
� : menghitung nilai eror,
� : banyaknya jumlahan data.
Setelah mendapatkan titik-titik puncak
maksimum dan minimum dalam satu
gelombang maka selanjutnya pada setiap
puncak P, Q, R, S dan T dicari nilai
parameter �� , 0� dan � yang akan
dijadikan sebagai nilai-nilai parameter awal
yang akan digunakan dalam menyusun
fungsi Gauss. Puncak-puncak yang terjadi
dalam satu gelombang harus memuat
puncak minimum dan puncak maksimum P,
Q, R, S dan T. Posisi P, Q, R, S dan T
Titik puncak
P
Q
R
S
T
��
0.0942
-0.0596
1.0183
-0.3037
0.1748
��
0.3650
0.4800
0.5150
0.5400
0.7400
�
0.0308
0.0308
0.0308
0.0308
0.0308
Puncak-puncak pada tabel 1 dijadikan
sebagai puncak-puncak dugaan dalam
menyusun fungsi Gauss dengan bantuan
metode Nelder-Mead untuk menentukan
nilai parameter �� , 0� dan � yang dapat
meminimumkan nilai eror.
Metode Penelitian
Data
Agar satu gelombang mudah ditentukan
maka posisi satu gelombang dicari
berdasarkan jarak dari puncak R ke puncak
R berikutnya sehingga dari keseluruhan
data yang dimiliki selama 120 detik
sedangkan banyaknya titik puncak R pada
keseluruhan data dengan menggunakan
bantuan peakdet.m.
3
1.2
1.2
R1
R2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
y (mV)
y (mV)
1
R3
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
t (detik)
2
2.5
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (detik)
Gambar 4. Puncak-puncak R pada tiap gelombang (kiri) dan tiap gelombang selalu memiliki
puncak P, Q, R, S dan T (kanan)
Masalah optimasi disini adalah ditentukan
Dalam keseluruhan data dalam waktu 120
∗
∗
detik terdapat 155 titik puncak R dengan
= �� .
� yang meminimumkan
�
selang waktu yang terjadi antara masing
Nelder-Mead
bertujuan
untuk
puncak R rata-rata mencapai 0.7693 detik.
meminimumkan nilai fungsi � ∗ untuk
∗
Pasangan nilai parameter �� , 0� dan �
∈ , dimana ∗ adalah pasangan �� ,
dipakai untuk menentukan titik-titik dengan
0 � , � pada setiap puncak P, Q, R, S dan T.
menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan
Parameter skalar dalam metode Nelderuntuk meminimumkan nilai eror � dengan
Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien
menggunakan metode Nelder-Mead.
dari refleksi � , ekspansi atau perluasan
� , kontraksi � dan penyusutan � .
Metode
Nelder-Mead
untuk
Parameter yang dapat digunakan dalam
meminimumkan fungsi tujuan
Nelder-Mead (Lagarias dkk, 1998)
Gambar 4 (kiri) menujukan bahwa terdapat
� > 0, � > �, 0 < � < 1, dan
3 gelombang dari puncak R ke puncak R
0 � hitung
nilai titik perluasan atau ekspansi
yaitu
−
= +�
(8)
= + ��( − +1 )
Selanjutnya evaluasi � = �( ),
jika � < � maka langkah ini
diterima dan iterasi dihentikan.
Apabila �
� ,maka
diterima
dan iterasi diakhiri
4. Kontraksi
Apabila �
� lakukan proses
kontranksi antara , +1 dan .
a. Tahap satu
Jika �
� < � +1 apabila
lebih baik daripada
+1 ,
kontraksi yang terjadi pada
tahap satu dengan menghitung
= +�
−
(9)
= + �� − +1
Evaluasi � = �
, maka
diterima dan hentikan iterasi
sehingga
dipakai sebagai
parameter baru, apabila tidak
memenuhi lanjutkan ke langkah
5
b. Tahap dua
Jika
�
� +1 ,
lakukan
kontraksi pada
tahap dua
dengan menhitung
(10)
= + � − +1
Evaluasi � = �
, jika
�
� +1 maka � diterima
dan hentikan iterasi sehingga
digunakan
sebagai
parameter baru. Apabila tidak
memenuhi lanjutkan ke langkah
5
5. Langkah terakhir
Langkah terakhir apabila langkah 1
sampai 4 tidak dipenuhi yaitu
dengan menghitung � pada saat
titik ke yaitu
�� = 1 + � � − 1
(11)
dengan � = 1, 2, … , + 1. Titik
puncak untuk iterasi selanjutnya
terdiri dari 1 , �� , … , � +1
Dalam kasus ini
merupakan pasangan
data P, Q, R, S dan T yang memuat �� , 0� ,
� yang terdapat pada puncak maksimum
dan minimum yang dijadikan sebagai titik
dugaan awal (0) pada gelombang pertama
dalam menggunakan metode Nelder-Mead.
0.1111 0.3650 0.0478
−0.0427 0.4800 0.0478
(0)
= 1.0351 0.5150 0.0478
−0.2869 0.5400 0.0478
0.1916 0.7400 0.0478
Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q,
R, S dan T untuk langkah awal dicari
terlebih dahulu
yang dijadikan sebagai
titik-titik dugaan dari parameter-parameter
�� , 0� , � pada puncak-puncak P, Q, R, S
dan T dengan menyusun pada persamaan
(1) pada satu gelombang yang pertama
=
�
�
�
�
�
�
−( − 0 )2
2
2
−( − 0
)2
2 2
−( − 0 )2
2
2
+�
+�
�
�
−( − 0 )2
2
2
−( − 0
2
2
)2
+
+
Setelah mendapatkan titik-titik pada
selanjutnya akan dihitung nilai eror antara
pendekatan
dengan
dengan
1
menggunakan persamaan (2) didapatkan
nilai � untuk gelombang yang pertama
0.0553%.
5
1.2
1
0.8
y (mV)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 5. Pendekatan antara dengan 1
adalah
pendekatan
Gauss
untuk
Pada Gambar 5 terlihat pendekatan antara
keseluruhan gelombang semakin bergeser
dengan 1 dengan bantuan fminsearch
karena parameter �� , 0� dan � pada
dalam fungsi matlab dimana
pada
keseluruhan gelombang hampir sama,
gambar adalah garis lurus yang merupakan
dianggap bahwa satu gelombang pada
pendekatan
dengan
menggunakan
semua gelombang memiliki periode dan
parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan
jarak yang sama.
T pada data dan titik-titik pada gambar
merupakan 1 data pada gelombang yang
Distribusi Gamma untuk frekuensi
pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch
waktu antar puncak ke puncak
pada matlab didapatkan nilai pendekatan
Langkah selanjutnya dicari jarak antara
antara data dengan dugaan yang terdekat
puncak R ke puncak R berikutnya pada
dan didapatkan nilai parameter �� , 0� , �
keseluruhan gelombang dalam waktu 120
yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S
detik. Laju denyut jantung dengan distribusi
dan T
amplitudo denyut jantung yang pernah
Tabel 2. Parameter �� , 0� , � yang baru
diamati antara orang sakit dan orang sehat
pada gelombang pertama
dengan menggunakan analisis wavelet yang
Titik
��
��
�
menunjukan bahwa perbedaan pada time
puncak
series interval denyut jantung pada orang
0.0892
0.3748
0.0190
P
dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak
0.1332
0.5370
0.0126
Q
terletak pada variasi distribusi antar
1.2163
0.5125
0.0091
R
0.1859
0.5332
0.0387
S
gelombang, karena variasi pola variabilitas
0.1625
0.7315
0.0286
T
denyut jantung selama sakit dapat mirip
Parameter baru yang didapatkan merupakan
dengan pada saat sehat(Ivanov dkk, 1998).
parameter yang berdasarkan metode
Pada makalah ini distribusi amplitudo
Nelder-Mead yang meminimumkan nilai
diamati dengan memperhatikan frekuensi
eror. Sedangkan metode Nelder-Mead
dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q,
dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss
R-R, S-S dan T-T).
pada keseluruhan gelombang yang terjadi
6
1
Frekuensi
0.95
y (detik)
0.9
0.85
0.8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
0.75
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.7
0.65
0
50
100
Indeks
150
t (detik)
200
Gambar 6. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi
munculnya pada gelombang
yang diduga pada gelombang denyut
Setelah semua puncak-punck R pada
keseluruhan data didapatkan maka dicari
jantung dimana terdapat data
=
jarak antar masing-masing puncak R ke
[ 1 , 2 , … , ] dengan adalah jarak antar
puncak R berikutnya terdapat 155 puncak R
masing-masing
puncak
data
yang
dengan masing-masing jarak antar puncak
berdistribusi Gamma dengan parameter
R ada 154 titik. Dengan variansi pada
dan maka fungsi densitasnya atau fungsi
masing-masing jarak antar puncak 0.0017.
kepadatan terjadinya peluang dapat
Dari semua jarak antar R yang dijadikan
dirumuskan sebagai
sebagai jarak antar gelombang pada data,
�
, =�
; ,
−1
ditunjukan rata-rata gelombang berkisar
=
� −
0.7693. Frekuensi yang muncul pada
Γ( )
gambar 6 (kanan) yaitu jarak waktu yang
∞
diperlukan antara puncak R ke puncak R
�−1 −
Γ � =
dengan memperhatikan histogram frekuensi
0
yang muncul pada ∆ antar puncak untuk
dengan > 0, > 0 dan > 0.
jantung yang sehat diduga sebagai distribusi
Pada tiap puncak P, Q, R, S dan T
Gamma. Distribusi Gamma pernah
masing-masing dicari jarak antar puncak
digunakan untuk memprediksi periode
yang kemudian dicari frekuensi yang
gelombang air di pantai barat daya India
muncul
∆
pada
tiap
puncak.
(Satheesh dkk, 2005). Distribusi Gamma
Tabel 3. Frekunsi terjadinya ∆ pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma
Histogram (Frekuensi)
Hasil fitting distribusi Gamma
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
puncak P
fitting
10
Density
8
0.6850
0.7065
0.7280
0.7495
0.7710
0.7925
0.8140
0.8355
0.8570
0.8785
0.9000
More
Frekuensi
Puncak
P-P
6
4
2
t (detik)
0
0.7
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
7
40
35
30
25
20
15
10
5
0
10
Puncak Q
fitting
Density
8
6
4
0.6800
0.7040
0.7280
0.7520
0.7760
0.8000
0.8240
0.8480
0.8720
0.8960
0.9200
More
Frekuensi
Q-Q
2
t (detik)
0
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
12
0.9
Puncak R
fitting
10
Density
8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
Frekuensi
R-R
0.7
6
4
2
t (detik)
0
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
12
0.9
Puncak S
fitting
10
Density
8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
Frekuensi
S-S
0.7
6
4
2
t (detik)
0
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
Puncak T
fitting
10
Density
8
0.680
0.703
0.726
0.749
0.772
0.795
0.818
0.841
0.864
0.887
0.910
More
Frekuensi
T-T
0.7
6
4
2
t (detik)
0
Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab
R2009a “dfittool” maka fitting data yang
0.7
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
diduga berdistribusi Gamma dilakukan
dengan fungsi densitas atau fungsi
8
kepadatan terjadinya peluang pada tiap-tiap
∆ pada masing-masing puncak pada
gelombang denyut jantung dan fitting hasil
distribusi
Gamma
terlihat
hampir
menyerupai data frekuensi tiap puncak.
Tabel 4. Parameter dan yang
merupakan hasil fitting distribusi Gamma
Puncak
P-P
Q-Q
R-R
S-S
T-T
332.5077
269.7837
368.1399
373.7805
345.2989
Standar
eror
37.8738
30.7257
41.9344
42.5773
39.3315
0.0023
0.0029
0.0021
0.0021
0.0022
Standar
eror
0.00026
0.0003
0.00023
0.00023
0.00025
Parameter dan merupakan hasil fitting
distribusi Gamma terlihat bahwa data
frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data
denyut jantung merupakan distribusi
Gamma. Parameter berada pada interval
269.7837 a 373.7805 dan parameter
berada pada interval 0.0021
0.003. Sehingga dapat dikatakan bahwa
data denyut jantung berdistribusi Gamma
dengan
dan
memiliki interval yang
tidak terlalu jauh dan histogram yang
terjadi dengan fungsi kepadatan peluang
hampir sama.
Kesimpulan
Data denyut jantung yang telah diukur
merupakan data periodik yang merupakan
fungsi Gauss dengan bantuan metode
Nelder-Mead maka diperoleh parameterparameter pada data yang memenuhi fungsi
Gauss yang meminimumkan nilai eror pada
fungsi Gauss. Nilai eror yang terjadi pada
fungsi Gauss adalah 0.0553%. Frekuensi
pada tiap puncak yang dalam denyut
jantung yang diukur merupakan distribusi
Gamma dengan nilai parameter
berada
pada interval 269.7837 a 373.7805
dan parameter
berada pada interval
0.0021
0.003.
Saran
Perlu adanya data jantung untuk orang yang
tidak sehat untuk dapat mengetahui
perbedaan puncak S dan T antara orang
yang sehat dengan yang tidak sehat lalu ∆
frekuensi antar puncak berdistribusi
Gamma atau tidak.
Ucapan Terima Kasih
Terimakasih kepada sdr. Gill Gaspar Lobo
Pinto atas data denyut jantung yang telah
diberikan sehingga dapat digunakan untuk
penelitian dalam makalah ini.
Daftar Pustaka
[1]. Lagarias. J. C, J. A. Reeds, M. H.
Wright dan P. E. Wright,
“Convergence Properties Of The
Dimension Nelder-Mead Simplex
Method In Low Dimension”, Siam
J. Optim, vol. 9, no. 1 pp 112-147,
1998.
[2]. A. N. Azhar dan Suyanto, “Studi
Identifikasi Sinyal ECG Irama
Myocardial
Ischemia
Dengan
Pendekatan Fuzzy Logic”, Juti, vol.
7, no. 4, pp 193-206, 2009.
[3]. Gao, Funchang dan Lixing Han, “
Implementing The Nelder-Mead
Simplex Algorithm With Adaptive
Parameters”. Springer Science and
Business Media , 2010.
[4]. Tendean, Herlina Dwi, Hanna. A.
Parhusip dan Bambang Susanto,
“Analisis Model denyut Jantung
Dengan
Menggunakan
Teori
Bifurkasi”. Prosiding Seminar
Nasional Pendidikan Matematika
“Peran
Matematika
dan
Pendidikan Matematika sebagai
solusi Problematika Pada Abad ke21”, pp 65-74, 2014, ISBN : 978979-17763-7-0.
[5]. Ivanov. P.Ch, M.G. Rosenblum,
C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin,
H.E. Stanley dan A.L Goldberger,
“Scaling and Universality in Heart
Rate Variability Distribution”,
Elsevier. Physica A 249 pp 587593, 1998.
[6]. Thanom, Witt dan Robert. N. K.
Loh, “Nonlinier Control of
Heartbeat
Models”.
Systemic,
Cybernetics and Informatics, vol. 9,
no. 1, pp 21-27, 2011, ISSN : 16904524.
[7]. Satheesh. S. P, V. K. Praveen, V.
Jagadish Kumar, G. Muraleedhran
dan P. G. Kurup, “Weibul and
Gamma distribution for Wave
Parameter Predictions”. J Ind
9
Geophys Union, vol. 9, no. 1, pp
55-64, 2005.
10
MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG
DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX
Herlina D Tendean1), Hanna A Parhusip2), Suryasatria Trihandaru3), Bambang Susanto4)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2)
Dosen Program Studi Matematika
3)
Dosen Program Studi Fisika
4)
Dosen Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)
[email protected], 2) [email protected] ,3)
[email protected] , 4) [email protected]
Abstrak
Data denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. Data denyut jantung
didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam
fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror
yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut
saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang
diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. Frekuensi terjadinya
jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter berada
pada interval 269.7837
373.7805 dan parameter
berada pada interval 0.0021
0.003
yang diperoleh dari distribusi Gamma.
Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror, Frekuensi,
Distribusi Gamma
Pendahuluan
Model denyut jantung yang pernah diteliti
merupakan sistem persamaan tak linier
yang
berbentuk
� 1 = −( 1 3 − 1 + 2 )
, model denyut
2 = 1−
jantung telah diteliti dengan mengunakan
teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas
titik setimbangnya dan didapatkan bahwa
model
merupakan
jenis
bifurkasi
homoklinik yang siklus periodiknya dapat
muncul dan menghilang apabila parameter
divariasi dengan sifat stabilitas titik
setimbang yang cenderung tidak stabil
(Tendean dkk, 2014). Menurut (Thanom
dan Robert, 2011) model denyut jantung
yang telah diteliti belum tepat dengan data
denyut jantung sehingga perlu dilakukan
modifikasi. Modifikasi model yang
dilakukan dengan ketegangan dalam otot
pada model yang sebelumnya dianggap
sebagai konstata sedangkan pada model
yang baru ketegangan dijadikan sebagai
parameter dalam fungsi waktu, lalu
penambahan
konstanta
yang
mempresentasikan sinyal kontrol pada
pacemaker (Thanom dan Robert, 2011).
Sedangkan pada makalah ini modifikasi
akan dilakukan dengan proses fitting
terhadap data denyut jantung yang telah
ada.
Fitting
dilakukan
dengan
menggunakan
Metode
Nelder-Mead
simplex dengan mengasumsikan bahwa
data sebagai jumlahan pada sebuah periode
gelombang dengan fungsi Gauss
Model
Denyut
Jantung
Dengan
Kombinasi Fungsi Gauss
Data denyut jantung yang diteliti
merupakan data yang terdiri dari banyaknya
jumlah titik-titik sampel dan selalu terjadi
gelombang yang berulang-ulang. Data
merupakan hasil pengukuran denyut
jantung yang diambil selama 120 detik.
Pada awalnya dicari dahulu satu gelombang
dari keseluruhan data yang dimiliki.
1
2.2
1.2
2
1
1.8
0.8
1.6
0.6
y (mV)
y (mV)
R
1.4
0.4
1.2
0.2
1
0
0.8
-0.2
T
P
Q
0
1
2
3
4
5
-0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
t (detik)
S
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 1. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang
(kanan)
kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya
Pada gambar 1 terlihat titik-titik puncak
puncak T bernilai positif apabila puncak T
maksimum lokal dan minimum lokal.
negatif atau terbalik maka bisa terjadi
Puncak-puncak tersebut mempunyai makna
ketidaknormalan pada jantung (Azhar dan
fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S
Suyanto, 2009). Berdasarkan gambar 2
dan T sebagaimana ditunjukan pada
terlihat bahwa posisi puncak-puncak S
Gambar 1 kanan. Irama jantung normal
terhadap potensial selalu berada pada posisi
dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu
negatif sedangkan untuk puncak-puncak T
irama yang terletak pada sekitar Vena Cava
selalu berada pada posisi positif. Data yang
Superior di atrium kanan jantung. Irama
telah diukur merupakan data untuk jantung
jantung yang teratur yang berarti jarak
yang sehat. Pada penelitian ini akan
antara gelombang yang relatif sama dan
ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk
teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S
keseluruhan data yang diukur. Untuk itu,
adalah bertujuan untuk membedakan suatu
diperlukan periode satu gelombang. Untuk
irama jantung, bentuk dan durasi pada
menentukan periode satu gelombang maka
puncak merupakan pembesaran pada atrium
syarat utama dari satu gelombang adalah
jantung. Sedangkan pada puncak-puncak Q,
satu gelombang harus memuat puncakR dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu
puncak P, Q, R, S dan T. Dengan contoh
irama jantung, abnormalitas konduksi.
satu gelombang ditunjukan pada gambar 1
Gelombang T mengambarkan bahwa
kanan.
adanya kembali proses pemompaan
0.3
T
0.2
y (mV)
0.1
0
-0.1
-0.2
S
-0.3
-0.4
0
20
40
60
80
Indeks
100
120
140
160
Gambar 2. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur
2
1.2
R
1
0.8
sR
y (mV)
0.6
AR
0.4
T
0.2
P
sP
0
t0P
-0.2
-0.4
0.1
AP
sT
t0Q
sQ
t0S
AT
t0T
t0R
AS
Q
sS
AQ
S
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 3. Data pada satu gelombang dengan letak �� , 0� dan � pada tiap puncak P,
Q, R, S dan T
Diasumsikan satu gelombang yang
ditentukan dengan bantuan aplikasi
memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang
peakdet.m pada program Matlab R2009a
berbentuk:
untuk mendapatkan hasil �� , 0� dan � pada
−( − 0 � )2
tiap puncak P, Q, R, S dan T yang
= �= , , , , �� � 2 2
(1)
�
ditunjukkan pada Tabel 1.
dengan error
Tabel 1. Daftar hasil program peakdet.m
�=
− �
�
�
2
(2)
dengan
: titik-titik dugaan dengan menggunakan
fungsi Gauss,
: titik-titik pada data denyut jantung,
�
�� : tinggi titik puncak pada gelombang
pada waktu ke �,
0� : waktu yang diperlukan pada saat ke �,
� : lebar setiap puncak pada waktu ke �,
� : menghitung nilai eror,
� : banyaknya jumlahan data.
Setelah mendapatkan titik-titik puncak
maksimum dan minimum dalam satu
gelombang maka selanjutnya pada setiap
puncak P, Q, R, S dan T dicari nilai
parameter �� , 0� dan � yang akan
dijadikan sebagai nilai-nilai parameter awal
yang akan digunakan dalam menyusun
fungsi Gauss. Puncak-puncak yang terjadi
dalam satu gelombang harus memuat
puncak minimum dan puncak maksimum P,
Q, R, S dan T. Posisi P, Q, R, S dan T
Titik puncak
P
Q
R
S
T
��
0.0942
-0.0596
1.0183
-0.3037
0.1748
��
0.3650
0.4800
0.5150
0.5400
0.7400
�
0.0308
0.0308
0.0308
0.0308
0.0308
Puncak-puncak pada tabel 1 dijadikan
sebagai puncak-puncak dugaan dalam
menyusun fungsi Gauss dengan bantuan
metode Nelder-Mead untuk menentukan
nilai parameter �� , 0� dan � yang dapat
meminimumkan nilai eror.
Metode Penelitian
Data
Agar satu gelombang mudah ditentukan
maka posisi satu gelombang dicari
berdasarkan jarak dari puncak R ke puncak
R berikutnya sehingga dari keseluruhan
data yang dimiliki selama 120 detik
sedangkan banyaknya titik puncak R pada
keseluruhan data dengan menggunakan
bantuan peakdet.m.
3
1.2
1.2
R1
R2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
y (mV)
y (mV)
1
R3
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
t (detik)
2
2.5
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (detik)
Gambar 4. Puncak-puncak R pada tiap gelombang (kiri) dan tiap gelombang selalu memiliki
puncak P, Q, R, S dan T (kanan)
Masalah optimasi disini adalah ditentukan
Dalam keseluruhan data dalam waktu 120
∗
∗
detik terdapat 155 titik puncak R dengan
= �� .
� yang meminimumkan
�
selang waktu yang terjadi antara masing
Nelder-Mead
bertujuan
untuk
puncak R rata-rata mencapai 0.7693 detik.
meminimumkan nilai fungsi � ∗ untuk
∗
Pasangan nilai parameter �� , 0� dan �
∈ , dimana ∗ adalah pasangan �� ,
dipakai untuk menentukan titik-titik dengan
0 � , � pada setiap puncak P, Q, R, S dan T.
menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan
Parameter skalar dalam metode Nelderuntuk meminimumkan nilai eror � dengan
Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien
menggunakan metode Nelder-Mead.
dari refleksi � , ekspansi atau perluasan
� , kontraksi � dan penyusutan � .
Metode
Nelder-Mead
untuk
Parameter yang dapat digunakan dalam
meminimumkan fungsi tujuan
Nelder-Mead (Lagarias dkk, 1998)
Gambar 4 (kiri) menujukan bahwa terdapat
� > 0, � > �, 0 < � < 1, dan
3 gelombang dari puncak R ke puncak R
0 � hitung
nilai titik perluasan atau ekspansi
yaitu
−
= +�
(8)
= + ��( − +1 )
Selanjutnya evaluasi � = �( ),
jika � < � maka langkah ini
diterima dan iterasi dihentikan.
Apabila �
� ,maka
diterima
dan iterasi diakhiri
4. Kontraksi
Apabila �
� lakukan proses
kontranksi antara , +1 dan .
a. Tahap satu
Jika �
� < � +1 apabila
lebih baik daripada
+1 ,
kontraksi yang terjadi pada
tahap satu dengan menghitung
= +�
−
(9)
= + �� − +1
Evaluasi � = �
, maka
diterima dan hentikan iterasi
sehingga
dipakai sebagai
parameter baru, apabila tidak
memenuhi lanjutkan ke langkah
5
b. Tahap dua
Jika
�
� +1 ,
lakukan
kontraksi pada
tahap dua
dengan menhitung
(10)
= + � − +1
Evaluasi � = �
, jika
�
� +1 maka � diterima
dan hentikan iterasi sehingga
digunakan
sebagai
parameter baru. Apabila tidak
memenuhi lanjutkan ke langkah
5
5. Langkah terakhir
Langkah terakhir apabila langkah 1
sampai 4 tidak dipenuhi yaitu
dengan menghitung � pada saat
titik ke yaitu
�� = 1 + � � − 1
(11)
dengan � = 1, 2, … , + 1. Titik
puncak untuk iterasi selanjutnya
terdiri dari 1 , �� , … , � +1
Dalam kasus ini
merupakan pasangan
data P, Q, R, S dan T yang memuat �� , 0� ,
� yang terdapat pada puncak maksimum
dan minimum yang dijadikan sebagai titik
dugaan awal (0) pada gelombang pertama
dalam menggunakan metode Nelder-Mead.
0.1111 0.3650 0.0478
−0.0427 0.4800 0.0478
(0)
= 1.0351 0.5150 0.0478
−0.2869 0.5400 0.0478
0.1916 0.7400 0.0478
Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q,
R, S dan T untuk langkah awal dicari
terlebih dahulu
yang dijadikan sebagai
titik-titik dugaan dari parameter-parameter
�� , 0� , � pada puncak-puncak P, Q, R, S
dan T dengan menyusun pada persamaan
(1) pada satu gelombang yang pertama
=
�
�
�
�
�
�
−( − 0 )2
2
2
−( − 0
)2
2 2
−( − 0 )2
2
2
+�
+�
�
�
−( − 0 )2
2
2
−( − 0
2
2
)2
+
+
Setelah mendapatkan titik-titik pada
selanjutnya akan dihitung nilai eror antara
pendekatan
dengan
dengan
1
menggunakan persamaan (2) didapatkan
nilai � untuk gelombang yang pertama
0.0553%.
5
1.2
1
0.8
y (mV)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (detik)
0.7
0.8
0.9
Gambar 5. Pendekatan antara dengan 1
adalah
pendekatan
Gauss
untuk
Pada Gambar 5 terlihat pendekatan antara
keseluruhan gelombang semakin bergeser
dengan 1 dengan bantuan fminsearch
karena parameter �� , 0� dan � pada
dalam fungsi matlab dimana
pada
keseluruhan gelombang hampir sama,
gambar adalah garis lurus yang merupakan
dianggap bahwa satu gelombang pada
pendekatan
dengan
menggunakan
semua gelombang memiliki periode dan
parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan
jarak yang sama.
T pada data dan titik-titik pada gambar
merupakan 1 data pada gelombang yang
Distribusi Gamma untuk frekuensi
pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch
waktu antar puncak ke puncak
pada matlab didapatkan nilai pendekatan
Langkah selanjutnya dicari jarak antara
antara data dengan dugaan yang terdekat
puncak R ke puncak R berikutnya pada
dan didapatkan nilai parameter �� , 0� , �
keseluruhan gelombang dalam waktu 120
yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S
detik. Laju denyut jantung dengan distribusi
dan T
amplitudo denyut jantung yang pernah
Tabel 2. Parameter �� , 0� , � yang baru
diamati antara orang sakit dan orang sehat
pada gelombang pertama
dengan menggunakan analisis wavelet yang
Titik
��
��
�
menunjukan bahwa perbedaan pada time
puncak
series interval denyut jantung pada orang
0.0892
0.3748
0.0190
P
dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak
0.1332
0.5370
0.0126
Q
terletak pada variasi distribusi antar
1.2163
0.5125
0.0091
R
0.1859
0.5332
0.0387
S
gelombang, karena variasi pola variabilitas
0.1625
0.7315
0.0286
T
denyut jantung selama sakit dapat mirip
Parameter baru yang didapatkan merupakan
dengan pada saat sehat(Ivanov dkk, 1998).
parameter yang berdasarkan metode
Pada makalah ini distribusi amplitudo
Nelder-Mead yang meminimumkan nilai
diamati dengan memperhatikan frekuensi
eror. Sedangkan metode Nelder-Mead
dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q,
dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss
R-R, S-S dan T-T).
pada keseluruhan gelombang yang terjadi
6
1
Frekuensi
0.95
y (detik)
0.9
0.85
0.8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
0.75
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.7
0.65
0
50
100
Indeks
150
t (detik)
200
Gambar 6. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi
munculnya pada gelombang
yang diduga pada gelombang denyut
Setelah semua puncak-punck R pada
keseluruhan data didapatkan maka dicari
jantung dimana terdapat data
=
jarak antar masing-masing puncak R ke
[ 1 , 2 , … , ] dengan adalah jarak antar
puncak R berikutnya terdapat 155 puncak R
masing-masing
puncak
data
yang
dengan masing-masing jarak antar puncak
berdistribusi Gamma dengan parameter
R ada 154 titik. Dengan variansi pada
dan maka fungsi densitasnya atau fungsi
masing-masing jarak antar puncak 0.0017.
kepadatan terjadinya peluang dapat
Dari semua jarak antar R yang dijadikan
dirumuskan sebagai
sebagai jarak antar gelombang pada data,
�
, =�
; ,
−1
ditunjukan rata-rata gelombang berkisar
=
� −
0.7693. Frekuensi yang muncul pada
Γ( )
gambar 6 (kanan) yaitu jarak waktu yang
∞
diperlukan antara puncak R ke puncak R
�−1 −
Γ � =
dengan memperhatikan histogram frekuensi
0
yang muncul pada ∆ antar puncak untuk
dengan > 0, > 0 dan > 0.
jantung yang sehat diduga sebagai distribusi
Pada tiap puncak P, Q, R, S dan T
Gamma. Distribusi Gamma pernah
masing-masing dicari jarak antar puncak
digunakan untuk memprediksi periode
yang kemudian dicari frekuensi yang
gelombang air di pantai barat daya India
muncul
∆
pada
tiap
puncak.
(Satheesh dkk, 2005). Distribusi Gamma
Tabel 3. Frekunsi terjadinya ∆ pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma
Histogram (Frekuensi)
Hasil fitting distribusi Gamma
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
puncak P
fitting
10
Density
8
0.6850
0.7065
0.7280
0.7495
0.7710
0.7925
0.8140
0.8355
0.8570
0.8785
0.9000
More
Frekuensi
Puncak
P-P
6
4
2
t (detik)
0
0.7
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
7
40
35
30
25
20
15
10
5
0
10
Puncak Q
fitting
Density
8
6
4
0.6800
0.7040
0.7280
0.7520
0.7760
0.8000
0.8240
0.8480
0.8720
0.8960
0.9200
More
Frekuensi
Q-Q
2
t (detik)
0
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
12
0.9
Puncak R
fitting
10
Density
8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
Frekuensi
R-R
0.7
6
4
2
t (detik)
0
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
12
0.9
Puncak S
fitting
10
Density
8
0.695
0.7175
0.74
0.7625
0.785
0.8075
0.83
0.8525
0.875
0.8975
0.92
More
Frekuensi
S-S
0.7
6
4
2
t (detik)
0
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
Puncak T
fitting
10
Density
8
0.680
0.703
0.726
0.749
0.772
0.795
0.818
0.841
0.864
0.887
0.910
More
Frekuensi
T-T
0.7
6
4
2
t (detik)
0
Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab
R2009a “dfittool” maka fitting data yang
0.7
0.75
0.8
Data
0.85
0.9
diduga berdistribusi Gamma dilakukan
dengan fungsi densitas atau fungsi
8
kepadatan terjadinya peluang pada tiap-tiap
∆ pada masing-masing puncak pada
gelombang denyut jantung dan fitting hasil
distribusi
Gamma
terlihat
hampir
menyerupai data frekuensi tiap puncak.
Tabel 4. Parameter dan yang
merupakan hasil fitting distribusi Gamma
Puncak
P-P
Q-Q
R-R
S-S
T-T
332.5077
269.7837
368.1399
373.7805
345.2989
Standar
eror
37.8738
30.7257
41.9344
42.5773
39.3315
0.0023
0.0029
0.0021
0.0021
0.0022
Standar
eror
0.00026
0.0003
0.00023
0.00023
0.00025
Parameter dan merupakan hasil fitting
distribusi Gamma terlihat bahwa data
frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data
denyut jantung merupakan distribusi
Gamma. Parameter berada pada interval
269.7837 a 373.7805 dan parameter
berada pada interval 0.0021
0.003. Sehingga dapat dikatakan bahwa
data denyut jantung berdistribusi Gamma
dengan
dan
memiliki interval yang
tidak terlalu jauh dan histogram yang
terjadi dengan fungsi kepadatan peluang
hampir sama.
Kesimpulan
Data denyut jantung yang telah diukur
merupakan data periodik yang merupakan
fungsi Gauss dengan bantuan metode
Nelder-Mead maka diperoleh parameterparameter pada data yang memenuhi fungsi
Gauss yang meminimumkan nilai eror pada
fungsi Gauss. Nilai eror yang terjadi pada
fungsi Gauss adalah 0.0553%. Frekuensi
pada tiap puncak yang dalam denyut
jantung yang diukur merupakan distribusi
Gamma dengan nilai parameter
berada
pada interval 269.7837 a 373.7805
dan parameter
berada pada interval
0.0021
0.003.
Saran
Perlu adanya data jantung untuk orang yang
tidak sehat untuk dapat mengetahui
perbedaan puncak S dan T antara orang
yang sehat dengan yang tidak sehat lalu ∆
frekuensi antar puncak berdistribusi
Gamma atau tidak.
Ucapan Terima Kasih
Terimakasih kepada sdr. Gill Gaspar Lobo
Pinto atas data denyut jantung yang telah
diberikan sehingga dapat digunakan untuk
penelitian dalam makalah ini.
Daftar Pustaka
[1]. Lagarias. J. C, J. A. Reeds, M. H.
Wright dan P. E. Wright,
“Convergence Properties Of The
Dimension Nelder-Mead Simplex
Method In Low Dimension”, Siam
J. Optim, vol. 9, no. 1 pp 112-147,
1998.
[2]. A. N. Azhar dan Suyanto, “Studi
Identifikasi Sinyal ECG Irama
Myocardial
Ischemia
Dengan
Pendekatan Fuzzy Logic”, Juti, vol.
7, no. 4, pp 193-206, 2009.
[3]. Gao, Funchang dan Lixing Han, “
Implementing The Nelder-Mead
Simplex Algorithm With Adaptive
Parameters”. Springer Science and
Business Media , 2010.
[4]. Tendean, Herlina Dwi, Hanna. A.
Parhusip dan Bambang Susanto,
“Analisis Model denyut Jantung
Dengan
Menggunakan
Teori
Bifurkasi”. Prosiding Seminar
Nasional Pendidikan Matematika
“Peran
Matematika
dan
Pendidikan Matematika sebagai
solusi Problematika Pada Abad ke21”, pp 65-74, 2014, ISBN : 978979-17763-7-0.
[5]. Ivanov. P.Ch, M.G. Rosenblum,
C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin,
H.E. Stanley dan A.L Goldberger,
“Scaling and Universality in Heart
Rate Variability Distribution”,
Elsevier. Physica A 249 pp 587593, 1998.
[6]. Thanom, Witt dan Robert. N. K.
Loh, “Nonlinier Control of
Heartbeat
Models”.
Systemic,
Cybernetics and Informatics, vol. 9,
no. 1, pp 21-27, 2011, ISSN : 16904524.
[7]. Satheesh. S. P, V. K. Praveen, V.
Jagadish Kumar, G. Muraleedhran
dan P. G. Kurup, “Weibul and
Gamma distribution for Wave
Parameter Predictions”. J Ind
9
Geophys Union, vol. 9, no. 1, pp
55-64, 2005.
10