INFORMASI PLPG TAHUN 2017 | Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Bab 1 Peluang
Peluang
Tim Matematika PLPG 2016
FKIP Unsri
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kaidah Pencacahan
Prinsip Penjumlahan
Jika himpunan pertama memiliki a anggota, himpunan kedua
memiliki b anggota, dan kedua himpunan itu tidak beririsan, maka
banyak anggota kedua himpuan itu adalah a + b.
Contoh:
Jika pada sebuah dealer sepeda motor tersedia 5 jenis Honda, 3
jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki, maka seseorang yang ingin
membeli sebuah sepeda motor memiliki pilihan sebanyak
5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Bila tempat pertama dapat diisi dengan n1 cara, tempat kedua n2
cara, dan seterusnya hingga tempat ke-k dengan nk cara, maka
banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah
n1 × n2 × · · · × nk .
Contoh:
Jika Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana, maka Alya mempunyai
5 × 3 = 15 cara memakai baju dan celana tersebut.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Pelemparan satu mata uang dan satu dadu:
G
A
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
1
G1
A1
G
1
2
3
4
5
6
G1
G2
G3
G4
G5
G6
A
1
2
3
4
5
6
A1
A2
A3
A4
A5
A6
2
G2
A2
3
G3
A3
4
G4
A4
5
G5
A5
6
G6
A6
FKIP Unsri
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, berapa banyak bilangan 4
angka yang dapat disusun bila
a) angka tidak boleh berulang?
b) angka boleh berulang?
Penyelesaian:
Bila angka tidak boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi
posisi ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6
6
5
4
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun
adalah
6 × 6 × 5 × 4 = 720.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Bila angka boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi posisi
ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6
7
7
7
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun
adalah
6 × 7 × 7 × 7 = 2058.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi
Definisi
Permutasi adalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
n Pr
=
n!
.
(n − r )!
Di sini n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 dan 0! := 1.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi
Definisi
Permutasi adalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
n Pr
=
n!
.
(n − r )!
Di sini n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 dan 0! := 1.
Contoh: Banyaknya cara mengambil 5 kartu dari 52 kartu bila
urutan pengambilan diperhatikan adalah
52!
= 52 · 51 · 50 · 49 · 48 = 311.875.200.
52 P5 =
(52 − 5)!
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 objek
jenis 1, n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
.
n1 ! · n2 ! · · · · · nk !
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 objek
jenis 1, n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
.
n1 ! · n2 ! · · · · · nk !
Contoh: Banyaknya permutasi berbeda dari kata MISSISSIPPI
adalah
11!
= 34.650.
4! · 4! · 2!
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kombinasi
Definisi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan
urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya kombinasi n objek yang diambil r objek sekaligus adalah
n Cr
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
n!
.
r ! · (n − r )!
FKIP Unsri
Kombinasi
Definisi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan
urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya kombinasi n objek yang diambil r objek sekaligus adalah
n Cr
=
n!
.
r ! · (n − r )!
Contoh: Banyak cara memilih 6 siswa perempuan dari kelas yang
memiliki 25 siswa perempuan adalah
25 C6
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
25!
= 177.100.
6! · (25 − 6)!
FKIP Unsri
Kombinasi dengan Pengulangan
Dari n objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r −1 Cr
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
(n + r − 1)!
.
r ! · (n − 1)!
FKIP Unsri
Kombinasi dengan Pengulangan
Dari n objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r −1 Cr
=
(n + r − 1)!
.
r ! · (n − 1)!
Contoh: Banyak kombinasi dari huruf a, b, c, dan d yang diambil
3 huruf dengan pengulangan adalah
6 C3
=
6!
= 20,
3! · (6 − 3)!
yaitu: aaa, aab, aac, aad,abb, abc, abd,acc, acd, add, bbb, bbc,
bbd, bcc,bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, dan ddd.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Ruang Sampel
Percobaan adalah kegiatan melakukan sesuatu untuk diamati.
Percobaan acak adalah percobaan yang semua hasilnya
diketahui, tetapi hasil mana yang terjadi tidak bisa ditentukan
sebelum percobaan dilakukan.
Ruang Sampel adalah semua hasil yang mungkin dari sebuah
percobaan acak; notasi yang biasa digunakan adalah S atau Ω.
Contoh:
Ruang sampel percobaan melempar sebuah mata uang adalah
S = {A, G }.
Ruang sampel percobaan melempar dua mata uang adalah
S = {AA, AG , GA, GG }.
Ruang sampel percobaan melempar satu dadu adalah
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh:
Percobaan
Ruang sampel
Kejadian
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
:
:
:
Melempar dua mata uang.
S = {AA, AG , GA, GG }.
A = {AA, GG } (muka yang sama)
B = {AG , GA} (muncul muka yang bebeda)
C = {AG , GA, GG } (paling sedikit satu gambar)
FKIP Unsri
Jenis Kejadian
Kejadian A dan B disebut:
saling lepas apabila A ∩ B = ∅.
Contoh: Munculnya mata dadu ganjil dan munculnya mata
dadu genap pada pelemparan satu dadu.
saling meniadakan apabila kejadian A membuat B tidak
mungkin terjadi atau sebaliknya.
Contoh: Munculnya gambar meniadakan munculnya angka
pada pelemparan sebuah mata uang.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Kejadian
Definisi
Peluang kejadian A adalah rasio banyak anggota A dan banyak
anggota ruang sampel S dan ditulis sebagai
P(A) =
n(A)
.
n(S)
Disini n(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Kejadian
Definisi
Peluang kejadian A adalah rasio banyak anggota A dan banyak
anggota ruang sampel S dan ditulis sebagai
P(A) =
n(A)
.
n(S)
Disini n(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Contoh: Percobaan melempar sebuah dadu mempunyai ruang
sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian muncul mata dadu genap
adalah A = {2, 4, 6}. Jadi
3
P(A) =
6
.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Sifat-sifat Peluang
Untuk semua A, B ⊂ S:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Jika A dan B kejadian saling lepas, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Jika A′ melambangkan bukan kejadian A, P(A′ ) = 1 − P(A).
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Bersyarat
Definisi
Peluang A setelah B terjadi adalah
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Perhatikan bahwa P(A ∩ B) = P(A|B)P(B). Kejadian A dan B
disebut saling bebas apabila P(A|B) = P(A) sehingga jika A dan
B saling bebas,
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Contoh:
Pada pelemparan satu dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, dan C = {2, 3, 5}.
Maka:
A dan B saling lepas.
A ∩ C : muncul mata dadu prima ganjil: P(A ∩ C ) = 62 .
2
2/6
P(A|C ) =
= .
3/6
3
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Tim Matematika PLPG 2016
FKIP Unsri
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kaidah Pencacahan
Prinsip Penjumlahan
Jika himpunan pertama memiliki a anggota, himpunan kedua
memiliki b anggota, dan kedua himpunan itu tidak beririsan, maka
banyak anggota kedua himpuan itu adalah a + b.
Contoh:
Jika pada sebuah dealer sepeda motor tersedia 5 jenis Honda, 3
jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki, maka seseorang yang ingin
membeli sebuah sepeda motor memiliki pilihan sebanyak
5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Bila tempat pertama dapat diisi dengan n1 cara, tempat kedua n2
cara, dan seterusnya hingga tempat ke-k dengan nk cara, maka
banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah
n1 × n2 × · · · × nk .
Contoh:
Jika Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana, maka Alya mempunyai
5 × 3 = 15 cara memakai baju dan celana tersebut.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Pelemparan satu mata uang dan satu dadu:
G
A
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
1
G1
A1
G
1
2
3
4
5
6
G1
G2
G3
G4
G5
G6
A
1
2
3
4
5
6
A1
A2
A3
A4
A5
A6
2
G2
A2
3
G3
A3
4
G4
A4
5
G5
A5
6
G6
A6
FKIP Unsri
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, berapa banyak bilangan 4
angka yang dapat disusun bila
a) angka tidak boleh berulang?
b) angka boleh berulang?
Penyelesaian:
Bila angka tidak boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi
posisi ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6
6
5
4
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun
adalah
6 × 6 × 5 × 4 = 720.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Bila angka boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi posisi
ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6
7
7
7
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun
adalah
6 × 7 × 7 × 7 = 2058.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi
Definisi
Permutasi adalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
n Pr
=
n!
.
(n − r )!
Di sini n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 dan 0! := 1.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi
Definisi
Permutasi adalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
n Pr
=
n!
.
(n − r )!
Di sini n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 dan 0! := 1.
Contoh: Banyaknya cara mengambil 5 kartu dari 52 kartu bila
urutan pengambilan diperhatikan adalah
52!
= 52 · 51 · 50 · 49 · 48 = 311.875.200.
52 P5 =
(52 − 5)!
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 objek
jenis 1, n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
.
n1 ! · n2 ! · · · · · nk !
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 objek
jenis 1, n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
.
n1 ! · n2 ! · · · · · nk !
Contoh: Banyaknya permutasi berbeda dari kata MISSISSIPPI
adalah
11!
= 34.650.
4! · 4! · 2!
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kombinasi
Definisi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan
urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya kombinasi n objek yang diambil r objek sekaligus adalah
n Cr
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
n!
.
r ! · (n − r )!
FKIP Unsri
Kombinasi
Definisi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan
urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positif n dan r , dengan r ≤ n,
banyaknya kombinasi n objek yang diambil r objek sekaligus adalah
n Cr
=
n!
.
r ! · (n − r )!
Contoh: Banyak cara memilih 6 siswa perempuan dari kelas yang
memiliki 25 siswa perempuan adalah
25 C6
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
25!
= 177.100.
6! · (25 − 6)!
FKIP Unsri
Kombinasi dengan Pengulangan
Dari n objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r −1 Cr
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
=
(n + r − 1)!
.
r ! · (n − 1)!
FKIP Unsri
Kombinasi dengan Pengulangan
Dari n objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r −1 Cr
=
(n + r − 1)!
.
r ! · (n − 1)!
Contoh: Banyak kombinasi dari huruf a, b, c, dan d yang diambil
3 huruf dengan pengulangan adalah
6 C3
=
6!
= 20,
3! · (6 − 3)!
yaitu: aaa, aab, aac, aad,abb, abc, abd,acc, acd, add, bbb, bbc,
bbd, bcc,bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, dan ddd.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Ruang Sampel
Percobaan adalah kegiatan melakukan sesuatu untuk diamati.
Percobaan acak adalah percobaan yang semua hasilnya
diketahui, tetapi hasil mana yang terjadi tidak bisa ditentukan
sebelum percobaan dilakukan.
Ruang Sampel adalah semua hasil yang mungkin dari sebuah
percobaan acak; notasi yang biasa digunakan adalah S atau Ω.
Contoh:
Ruang sampel percobaan melempar sebuah mata uang adalah
S = {A, G }.
Ruang sampel percobaan melempar dua mata uang adalah
S = {AA, AG , GA, GG }.
Ruang sampel percobaan melempar satu dadu adalah
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh:
Percobaan
Ruang sampel
Kejadian
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
:
:
:
Melempar dua mata uang.
S = {AA, AG , GA, GG }.
A = {AA, GG } (muka yang sama)
B = {AG , GA} (muncul muka yang bebeda)
C = {AG , GA, GG } (paling sedikit satu gambar)
FKIP Unsri
Jenis Kejadian
Kejadian A dan B disebut:
saling lepas apabila A ∩ B = ∅.
Contoh: Munculnya mata dadu ganjil dan munculnya mata
dadu genap pada pelemparan satu dadu.
saling meniadakan apabila kejadian A membuat B tidak
mungkin terjadi atau sebaliknya.
Contoh: Munculnya gambar meniadakan munculnya angka
pada pelemparan sebuah mata uang.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Kejadian
Definisi
Peluang kejadian A adalah rasio banyak anggota A dan banyak
anggota ruang sampel S dan ditulis sebagai
P(A) =
n(A)
.
n(S)
Disini n(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Kejadian
Definisi
Peluang kejadian A adalah rasio banyak anggota A dan banyak
anggota ruang sampel S dan ditulis sebagai
P(A) =
n(A)
.
n(S)
Disini n(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Contoh: Percobaan melempar sebuah dadu mempunyai ruang
sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian muncul mata dadu genap
adalah A = {2, 4, 6}. Jadi
3
P(A) =
6
.
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Sifat-sifat Peluang
Untuk semua A, B ⊂ S:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Jika A dan B kejadian saling lepas, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Jika A′ melambangkan bukan kejadian A, P(A′ ) = 1 − P(A).
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Peluang Bersyarat
Definisi
Peluang A setelah B terjadi adalah
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Perhatikan bahwa P(A ∩ B) = P(A|B)P(B). Kejadian A dan B
disebut saling bebas apabila P(A|B) = P(A) sehingga jika A dan
B saling bebas,
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri
Contoh:
Pada pelemparan satu dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, dan C = {2, 3, 5}.
Maka:
A dan B saling lepas.
A ∩ C : muncul mata dadu prima ganjil: P(A ∩ C ) = 62 .
2
2/6
P(A|C ) =
= .
3/6
3
Tim Matematika PLPG 2016
Peluang
FKIP Unsri