PROGRAM PEMBANDING KINERJA DISCRETE FOURIER TRANSFORM DAN DECIMATION IN TIME FAST FOURIER TRANSFORM

PROGRAM PEMBANDING KINERJA

  DISCRETE FOURIER TRANSFORM DAN DECIMATION IN TIME FAST FOURIER TRANSFORM TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Program Studi Teknik Elektro Oleh: Nama : Venantius Andika NIM : 035114033 PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PERFORMANCE COMPARATOR PROGRAM OF

  DISCRETE FOURIER TRANSFORM AND DECIMATION IN TIME FAST FOURIER TRANSFORM FINAL PROJECT Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree In Electrical Engineering Study Program By: Name : Venantius Andika Student Number : 035114033 ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING FACULTY OF SAINS AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  “Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.”

  Yogyakarta, Januari 2009 Venantius Andika

  

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

  Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Venantius Andika Nomor Mahasiswa : 035114033

  Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

  PROGRAM PEMBANDING KINERJA DISCRETE FOURIER TRANSFORM DAN DECIMATION IN TIME FAST FOURIER TRANSFORM beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 24 Januari 2009 Yang menyatakan (Venantius Andika)

HALAMAN PERSEMBAHAN

  

Kupersembahkan karya tulis ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus Pelindungku,

Ayahnda dan Ibunda Tercinta,

  

Kedua saudaraku Lintaka dan Yangkara yang kucintai,

Kekasihku Linda tersayang, dan

Almamaterku Teknik Elektro USD

HALAMAN MOTTO

  Sukses adalah aku Aku adalah sukses

  (Jennie S.Bev) Lebih baik bertempur dan kalah dari pada tidak pernah bertempur sama sekali.

  Terlanjur pasang langkah ke depan Pantang rasanya surut ke belakang

  (Steven & Coconuttreez) Langkah terbaik untuk memprediksi masa depan

  Adalah dengan Menciptakan masa depan itu sendiri

  (Peter Drucker)

  

INTISARI

  Tugas akhir ini mendeskripsikan program pembanding kinerja Discrete

  

Fourier Transform (DFT) dan Decimation In Time Fast Fourier Transform

  (DITFFT). Program membandingkan kinerja DFT dan DITFFT dalam hal kecepatan proses perhitungan dan jumlah adder dan multiplier.

  Program ini menggunakan dua masukan, masukan manual dan masukan sinyal yang berekstensi *.wav. Dalam program ini, masukan manual merupakan aplikasi tambahan. Program utama adalah masukan sinyal. Program akan membatasi sinyal masukan, sesuai dengan jumlah N-poin yang dimasukkan pengguna. Sinyal ini kemudian akan dihitung dengan menggunakan perhitungan DFT dan DITFFT.

  Program pembanding kinerja DFT dan DITFFT telah diamati dan diuji. Kinerja DFT dan DITFFT diamati dari kecepatan proses perhitungan. Hasil yang diperoleh adalah bahwa proses DITFFT lebih cepat dibandingkan dengan DFT.

  Hal ini disebabkan karena jumlah adder dan multiplier DITFFT lebih sedikit. Kata kunci : discrete fourier transform, decimation in time fast fourier transform, adder, multiplier.

  

ABSTRACT

  This final project describes the performance comparator program of Discrete Fourier Transform (DFT) and Decimation In Time Fast Fourier Transform (DITFFT). The program compares the performance of DFT and DITFFT in terms of computation process speed and the amount of adder and multiplier.

  This program used two inputs, manual input and signal input with *.wav extension. In this program, the manual input in an additional application. The main program is the signal input. The program will limit the input signal, according to the amount of N-point which has been inputed by the user. This signal will then be calculated by using a computation of DFT and DITFFT.

  The performance comparator program of DFT and DITFFT had been observed. The result is that the DITFFT process is faster than the DFT. It is caused by the fewer amount of adder and multiplier of the DITFFT. Keyword : discrete fourier transform, decimation in time fast fourier transform, adder, multiplier.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas Anugerah-Nya penulis akhirnya dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik dan lancar.

  Dalam proses penulisan tugas akhir ini penulis menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan perhatian dan bantuan dengan caranya masing- masing sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih antara lain kepada :

  1. Tuhan Yesus atas penyertaan dan perlindungan - Nya.

  2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik.

  3. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing atas bimbingan, dukungan, saran dan kesabaran bagi penulis dari awal sampai tugas akhir ini bisa selesai.

  4. Bapak Martanto, S.T., M.T., dan Ibu Wuri Harini, S.T., M.T., selaku penguji yang telah bersedia memberikan kritik dan saran.

  5. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.

  6. Ayahnda dan Ibunda tercinta atas kasih sayang, semangat, doa, dan dukungan secara moril maupun materiil, serta dorongan untuk segera menyelesaikan Tugas Akhir ini.

  7. Kedua saudaraku, Lintaka dan Yangkara atas dukungan, cinta, dan bantuan yang sangat berguna.

  9. Teman-teman seperjuanganku: Yudi, Rony, Nendar, Riki, Andre, Yayan dan Kristianto terima kasih atas bantuan dan masukan yang telah diberikan selama ini.

  10. _{Teman-teman elektro yang sudah meninggalkanku: Didit, Dian, Alex, Sukur} serta teman-teman angkatan 2003 dan 2004 yang selalu berbagi ilmu dan pengalaman kuliah.

  11. _{Dan seluruh pihak yang telah ambil bagian dalam proses penulisan tugas akhir ini} yang terlalu banyak jika disebutkan satu-persatu.

  Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.

  Yogyakarta, Januari 2009 Penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman

  JUDUL ..................................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN................................................................................. iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN........................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ...............................vi

HALAMAN PERSEMBAHAN..............................................................................vii

HALAMAN MOTTO.............................................................................................viii

  

INTISARI……………………..................................................................................ix

ABSTRACT………………………………………………………………………...x

KATA PENGANTAR……………………………………………………………..xi

DAFTAR ISI............................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR............................................................................................... xv

DAFTAR TABEL…………………………………………………………………xvii

DAFTAR CONTOH……………………………………………………………..xviii

  BAB I PENDAHULUAN

   1.1 Judul ................................................................................................... 1

  1.2 Latar Belakang Masalah..................................................................... 1

  1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian .......................................................... 2

  1.4 Batasan Masalah ................................................................................ 2

  1.5 Metodologi Penelitian ........................................................................ 3

  1.6 Sistematika Penulisan ........................................................................ 3

  BAB II DASAR TEORI

   2.1 Deret Fourier ..................................................................................... 5

  2.2 Transformasi Fourier......................................................................... 6

  2.3 Discrete Fourier Transform (DFT) ................................................... 8

  2.3.2 Kompleksitas Perhitungan DFT................................................ 15

  2.4 Algoritma Decimation-in-time fast Fourier Transform(DITFFT)..... 16

  2.4.1 Butterfly..................................................................................... 21

  2.4.2 Keuntungan Perhitungan DITFFT ............................................ 23

  

BAB III PERANCANGAN PROGRAM PEMBANDING KINERJA DFT DAN

DITFFT

  3.1 Algoritma Perancangan program ....................................................... 25

  3.2 Perancangan Tampilan Awal ............................................................. 26

  3.3 Pemberian Masukan........................................................................... 27

  3.3.1 Masukan Manual....................................................................... 27

  3.3.2 Masukan Sinyal......................................................................... 29

  3.3.2.1 Masukan N-poin............................................................ 30

  3.3.3 Proses Radix 2........................................................................... 31

  3.4 Proses Penampilan Sinyal dan Waktu Proses DFT dan DITFFT ...... 33

  3.4.1 Perhitungan DFT....................................................................... 34

  3.4.2 Perhitungan DITFFT................................................................. 36

  3.5 Proses Penghitungan Jumlah Adder dan Multiplier untuk DFT dan

  DITFFT ............................................................................................. 38

  3.6 Layout Program ................................................................................. 39

  BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

  4.1 Tampilan Program ............................................................................ 44

  4.1.1 Masukan Manual...................................................................... 48

  4.1.2 Masukan Sinyal dengan Data chimes.wav ............................... 50

  4.2 Perbandingan Kinerja Proses DFT dan DITFFT .............................. 54

  BAB V PENUTUP Kesimpulan ............................................................................................. 59 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 2.1 (a) x(nT) berbanding dengan t, (b) |X(k)| berbanding dengan k

  Ω, dan (c)

  Ф(k) berbanding dengan kΩ ................................................... 12

Gambar 2.2 Butterfly FFT ....................................................................................... 22Gambar 2.3 Butterfly untuk 8-poin DFT ................................................................ 22Gambar 3.1 Algoritma perancangan program ......................................................... 25Gambar 3.2 Layout program tampilan awal ............................................................ 26Gambar 3.3 Diagram alir layout tampilan awal ...................................................... 27Gambar 3.4 Diagram alir proses masukan manual.................................................. 28Gambar 3.5 Diagram alir proses pemberiasn masukan sinyal ................................ 29Gambar 3.6 Diagram alir proses pemberian masukan N-poin ................................ 30Gambar 3.7 Diagram alir proses Radix 2 ................................................................ 32Gambar 3.8 Diagram alir penampilan sinyal dan waktu proses DFT dan

  DITFFT ............................................................................................... 33

Gambar 3.9 Diagram alir perhitungan DFT ............................................................ 35Gambar 3.10 Diagram alir perhitungan Butterfly.................................................... 36Gambar 3.11 Diagram alir perhitungan jumlah adder dan multiplier DFT dan

  DITFFT............................................................................................... 39

Gambar 3.12 Layout Program ................................................................................. 40Gambar 4.1 Tampilan halaman pembuka program ................................................. 44Gambar 4.2 Tampilan program utama..................................................................... 45Gambar 4.3 Tampilan penyimpanan data................................................................ 46Gambar 4.4 Tampilan Submenu Bantuan ............................................................... 46Gambar 4.5 Message Box keluar program .............................................................. 47Gambar 4.6 Tampilan Waitbar................................................................................ 47Gambar 4.7 Gambar panel masukan manual........................................................... 48Gambar 4.8 Pesan error untuk mengisikan N-poin dengan jumlah 4 – 1024 ......... 48Gambar 4.9 Tampilan masukan............................................................................... 49Gambar 4.10 Keluaran ............................................................................................ 49Gambar 4.11 Gambar panel masukan sinyal........................................................... 50Gambar 4.12 Tampilan pengambilan data berekstensi *.wav................................. 51Gambar 4.13 Tampilan masukan............................................................................. 52Gambar 4.14 Pesan kesalahan ................................................................................. 53Gambar 4.15 Keluaran ............................................................................................ 54Gambar 4.16 Grafik perbandingan waktu proses DFT dan DITFFT ...................... 56Gambar 4.17 Grafik perbandingan jumlah adder DFT dan DITFFT...................... 57Gambar 4.18 Grafik perbandingan jumlah multiplier DFT dan DITFFT ............... 57

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 2.1 Struktur dari 8 poin FFT .......................................................................... 18Tabel 3.1 Bit Reversed untuk N = 8 ......................................................................... 38Tabel 4.1 Hasil waktu proses DFT dan DITFFT .................................................... 55Tabel 4.2 Jumlah Adder dan Multiplier untuk DFT dan DITFFT ........................... 56

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 2.1 Struktur dari 8 poin FFT .......................................................................... 18Tabel 3.1 Bit Reversed untuk N = 8 ......................................................................... 38Tabel 4.1 Hasil waktu proses DFT dan DITFFT .................................................... 55Tabel 4.2 Jumlah Adder dan Multiplier untuk DFT dan DITFFT ........................... 56

                                                           

DAFTAR CONTOH

  Halaman

  

Contoh 1 Perhitungan DFT…………………………………………………………9

Contoh 2 Perhitungan DITFFT…………………………….……………………...23

BAB I PENDAHULUAN

  1.1 Judul

  Program Pembanding Kinerja Discrete Fourier Transform dan Decimation In

  Time Fast Fourier Transform

  1.2 Latar Belakang Masalah

  Metode pembelajaran dalam DSP (digital signal proccessing) telah mengalami berbagai macam perubahan dari tahun ke tahun, diawali dari metode kuliah saja hingga perkuliahan dengan proses pembelajaran yang terintegrasi dengan kegiatan laboratorium (teori dan praktek) dan dengan isu-isu yang diajarkan menggunakan perangkat keras DSP. Agar pembelajaran DSP menjadi efektif, maka komponen pembelajaran harus mampu memanfaatkan secara intensif penjelasan, pemberian contoh dan latihan yang berbasis komputer dan teknologi informasi[1].

  Discrete Fourier Transform (DFT) merupakan salah satu pokok bahasan dalam

  mata kuliah DSP yang harus dijelaskan secara efektif dan efisien karena deretan data yang akan ditransformasikan bisa sangat banyak. DFT adalah suatu algoritma komputasi yang mempunyai fungsi mengubah sinyal dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Algoritma komputasi lain yang mempunyai fungsi sama tetapi mempunyai kinerja yang berbeda dengan DFT yaitu Decimation In Time Fast Fourier Transform (DITFFT).

  Dewasa ini kebutuhan akan kecepatan dalam mengolah data sangat diperlukan. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan algoritma yang efektif dan efisien. Pada penelitian ini, penulis membandingkan kinerja kedua algoritma di atas.

1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian

  Skripsi ini bertujuan untuk untuk membuat program pembanding kinerja DFT dan DITFFT.

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah: 1. Mempermudah mahasiswa untuk mengetahui kinerja DFT dan DITFFT.

  2. Sebagai acuan yang dapat mendukung penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan kinerja DFT dan DITFFT.

  1. 4 Batasan Masalah

  Pada penelitian ini dilakukan pembatasan masalah terhadap program yang akan dibuat. Batasan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut :

  1. _{Masukan dari 4 point – 1024 point.}

  2. _{Menampilkan perbandingan jumlah adder dan multiplier dari proses DFT dan} DITFFT.

  3. _{Menampilkan perbandingan waktu yang diperlukan oleh DFT dan DITFFT} dalam melakukan proses perhitungan.

  4. _{Program dibuat dengan menggunakan MATLAB.}

  1.5 Metodologi Penelitian

  Langkah-langkah yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

  1. Studi pustaka yang berhubungan dengan perhitungan DFT dan DITFFT.

  2. Membuat perangkat lunak, yaitu program untuk membandingkan kinerja DFT dan DITFFT .

  3. Menguji program yang telah dibuat.

  4. Membahas dan menganalisis hasil rancangan yang diperoleh dari program pembanding kinerja DFT dan DITFFT.

  5. Membuat kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis.

  1.6 Sistematika Penulisan

  Sistematika penulisan pada penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

  BAB I : Berisi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metodologi penelitian dan sistematika penulisan tugas akhir.

  BAB II : Berisi teori-teori yang mendasari penulisan tugas akhir ini.

  BAB

  III :Berisi penjelasan dan langkah-langkah perancangan program pembanding kerja DFT dan DITFFT.

  BAB IV : Berisi hasil perhitungan dan pembahasan dari program untuk pembanding kinerja DFT dan DITFFT. BAB V : Berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran yang mungkin berguna untuk pengembangan program lebih lanjut.

BAB II DASAR TEORI Transformasi diskrit adalah transformasi dari kawasan waktu menjadi

  kawasan frekuensi. Transformasi ini dilakukan karena waktu (time) saja masih kurang untuk mengolah sinyal diskrit. Beberapa aplikasi dari sinyal diskrit adalah sebagai berikut [2] 1. Kompresi data (suara, gambar, video).

  2. Pengolahan gambar (image processing).

  3. Peningkatan kecepatan perhitungan.

2.1 Deret Fourier

  Sinyal periodis, f(t), dapat dinyatakan dengan suku sinus dan cosinus tak terhingga. Penjelasan ini menjadi deret Fourier dan dinyatakan sebagai berikut

  ∞ ∞ f ( t ) a a cos( n ω t b t ) (2.1) ) sin( n ω

  = _{n n} ∑ ∑ _{n = 1 n = 1}

• +

  dengan t adalah variabel yang menyatakan waktu. f(t) biasanya berbentuk sinyal perubahan tegangan terhadap waktu, tetapi bisa sinyal dalam bentuk lain.

  ω

  

2 π / T yang biasa disebut fundamental dan berhubungan dengan frekuensi

= _p

  ω = π fundamental, f, sehingga

  2 f . T adalah periode berulang dari sinyal, _{p T / p}

₂

  1

  a = f ( t ) dt (2.2) _o ∫ − T / _p

²

T _p

  T / _p ²

  2

  a f ( t ) cos( n t ) dt _n = ω (2.3) ∫ − T / _p ² T _p

  dan _{T / 2} 2 p

  b = f ( t ) sin( n t ) dt (2.4) _{n T / 2} ω ∫ − _p

  T _p Frekuensi n adalah harmonik ke n dari ω ω .

  Deret ini dapat ditulis menggunakan notasi eksponensial sehingga menjadi lebih sederhana, seperti berikut ini

  ∞ _{jn t} ω f ( t ) = d e (2.5)

_n

_n ∑

  = −∞

  dengan _{T / p 2}

  t − jn ω t d f ( t ) e _n = (2.6)

  ∫ − T / _p ² T _p d mempunyai satuan volt.

  adalah komplek dan _n Magnitudo d adalah _{n n n n} ^{2 2 1 / 2}

  = (2.7) Dan sudut fasa adalah

• d ( a b )

  Φ _n

  − ¹ Φ = − tan ( b / a ) (2.8) _{n n n}

2.2 Transformasi Fourier

  Transformasi Fourier adalah metode penjelasan model matematika dari transformasi Fourier untuk menyederhanakan analisis matematika dari sinyal dan sistem.

  Transformasi Fourier digunakan untuk sinyal non periodis, jadi perlu modifikasi

  = pada deret Fourier. 1 / T ω / _p 2 π , menurun menjadi d ω 2 / π , juga dapat

  menurun menjadi nol. Persamaan ini mengubah dari variabel frekuensi diskret

  n menjadi variabel kontinyu , spektrum amplitudo dan fasa menjadi ω ω

  kontinyu. Jadi d d ( ) dan T → ∞ . Dengan modifikasi ini, persamaan (2.6) _{n p} → ω menjadi

  ∞ d ω _{j ω t}

  −

  ω (2.9)

  d ( ) = f ( t ) e dt ∫ − ∞

  2 π

  Persamaan ini dibagi dengan d / untuk memperoleh ω 2 π

  ∞

  ω

  d ( ) j t − ω

  = F ( j ω ) = f ( t ) e dt (2.10) ∫ − ∞

  ω π

  d /

2 F ( j ω ) adalah komplek dan disebut sebagai integral Fourier, atau lebih dikenal

  sebagai transformasi Fourier. Jika _{j ( )}

  Φ ω

  F ( j ) Re( j ) j Im( j ) | F ( j ) | e (2.11)

  ω = ω ω = ω +

  maka _{2 2 1 / 2} F ( j Re ( j ) Im ( j ) (2.12) ω = ω ω +

  [ ] dan mempunyai satuan volts per hertz. F ( j ω ) adalah amplitude spectral density.

  Sudut fasa Φ ( ω ) adalah ₁

  −

  Φ ( ω ) = tan [Im( j ω ) / Re( j ω )] (2.13)

2.3 Discrete Fourier Transform (DFT)

  

Discrete Fourier Transform (DFT) adalah operasi dasar yang digunakan

  dalam beberapa aplikasi signal processing. DFT digunakan untuk mengubah urutan data dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi .

  Untuk menghasilkan urutan pencuplikan {x(nT)}=x(0), x(T), ...,x[(N-1)T] dari nilai pencuplikan N, gelombang harus dicuplik pada interval waktu yang teratur.

  Dengan n adalah angka hasil pencuplikan dari n=0 sampai n=N-1. DFT dari x(nT) kemudian didefinisikan sebagai urutan nilai-nilai komplek {X(k

  Ω)} = X(0), X(Ω), ..., X[N-1) Ω] dalam domain frekuensi, dengan Ω adalah frekuensi harmonik

  pertama, yaitu Ω = 2π/NT. Jadi X(kΩ) mempunyai komponen real dan imajiner, dengan nilai ke k harmonik

  X(k) = R(k) + jI(k) (2.14)

  sehingga magnitudo X(k) adalah

  2 2 1/2 |X(k)|=[R (k) + I (k)] (2.15)

  dan sudut fasa X(k) adalah

• -1

  [ I(k)/R(k)] (2.16) Ф(k)=tan

  Nilai DFT, X(k), diberikan oleh

  F menunjukkan transformasi Fourier. Dalam persamaan ini, k menggambarkan D

  angka yang harmonik dari komponen transformasi, sesuai persamaan (2.10) saat

  f(t) = 0 untuk t<0 dan t>(N-1) T dengan memakai x(nT)=f(t), k Ω=ω, dan nT=t.

  Jadi kedua transformasi dapat diharapkan untuk mempunyai sifat yang sama. Pergantian ini dimasukkan ke dalam persamaan (2.10), dengan mengubah dt=T dan integral menjadi jumlah, sehingga menjadi _{N 1}

  −

_{jk nT}

− Ω

  ω

  x ( nT ) e T = F ( j ) (2.18) ∑ _n

  =

  untuk 0

  ≤ t ≤ (N-1)T. Kemudian perbandingan persamaan (2.17) dengan (2.18)

  menghasilkan

  F(j (2.19) ω) = TX(k)

  yang menunjukkan bahwa komponen-komponen transformasi Fourier berkaitan dengan komponen DFT dengan interval sampling, dan didapatkan dengan mengalikan komponen DFT dengan interval sampling.

  Contoh 1

  Hitung DFT dari deretan data {1,0,0,1}!

  Jawab x(0) = 1, x(T) = 0, x(2T) = 0, x(3T) = 1, dalam interval waktu T. Jumlah Untuk k = 0, persamaan (2.17) menjadi _{3 j 3}

  −

X ( ) = x ( nT ) e = x ( nT )

_{n n}

∑ ∑

  

= =

  = + + + x ( ) x ( T ) x (

  2 T ) x (

  3 T )

  1

  1 + = + +

  =

  2 jadi X(0) = 2 dan ini adalah real, dengan magnitude 2 dan sudut fasa Φ ( ) = . Untuk k = 1, persamaan (2.17) menjadi _{3 j nT}

  − Ω X (

  1 ) = x ( nT ) e ∑ _n

  = T tidak diberikan, tetapi dapat dieliminasi menggunakan _{3 3} Ω = 2π/NT.

  − j Ω n ^{2 π / N Ω − j 2 π n / N} X (

  1 ) = x ( nT ) e = x ( nT ) e ∑ ∑ _{n = n =}

_j

₂

_{3 / 4 j 3 / 2}

  − π − π

  1 1 e 1 e = = + + + + 3 π

  3 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 cos − j sin =

• = + 1 j

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  2

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  X (

  2 dan −

  1 ) = 1 j dan ini adalah komplek dengan magnitude + Jadi ₁

  sudut fasa Φ ( Ω ) = tan 1 = 45 ° . Untuk k = 2, persamaan (2.17) menjadi _{3 j 2 nT j 3 2 n 2 / N}

  − Ω − π X (

  2 ) = x ( nT ) e = x ( nT ) e

  ∑ ∑

  3 _{j 4 π n / N} −

  = x ( nT ) e

  ∑ _{n = j 4 3 / 4} − π

  1 1 e _{j 3} = + + +

  − π

  = 1 e = + + + 1 − 1 = Jadi X(2)=0, dengan magnitudo 0 dan sudut fasa ( 2 ) .

  Φ = Untuk k = 3, persamaan (2.17) menjadi _{3 j 3 n 2 π / N}

  − X (

  3 ) = x ( nT ) e

  ∑ _{n = j 9 / 2} − π

  1 e 1 j

• = −

  Jadi X(3)=1 - j, besarnya magnitudo

  2 dan sudut fasa Φ (

  3 ) = − 45 ° . Seperti yang sudah terlihat, deret waktu {1,0,0,1} mempunyai DFT dengan dengan urutan komplek {2, 1+j ,0, 1-j}.

  Untuk menampilkan DFT bisa dengan menggambarkan |X(k)| berbanding dengan k

  Ω dan Ф(k) berbanding dengan kΩ. Ini dapat dibuat jika Ω diketahui.

  Untuk menemukan Ω perlu mengetahui nilai T, interval sampling. Diasumsikan

  3 data di atas sudah disampling pada 8 kHz maka T = 1/(8x10 ) = 125 µs.

• 6

  Kemudian ) = 12.57 kHz. Oleh karena itu 2 Ω = 2π/NT = 2π/(4 x 125 x 10 Ω =

  25.14 kHz dan 3 Ω = 37.71 kHz. Gambar 2.1 (a) adalah gambar dari x(nT) berbanding dengan t, Gambar 2.1 (b) adalah gambar dari |X(k)| berbanding dengan k Ω, dan Gambar 2.1 (c) adalah Ф(k) berbanding dengan kΩ.

• 45
• 45

  12.57 25.14 37.71 k Ω(kHz)

  Ω − = ¹ ) ( ) ( ^N _n ^{nT jk} e nT x k

  ∑ − =

  Dapat ditarik kesimpulan jika komponen ke- k dari DFT, X(k), dibandingkan dengan komponen ke (k + N), X(k + N), melalui pembuktian sebagai berikut:

  k Ω, dan (c) Ф(k) berbanding dengan kΩ.

Gambar 2.1 (a) x(nT) berbanding dengan t, (b) |X(k)| berbanding dengan

  50.28

  (c) Ф(k)(º)

  x(nT)

  50.28 (b)

  |X(k)|

  2 12.57 25.14 37.71 k Ω(kHz)

  2

  (a)

  1 125 250 375 t(µs)

  X dan _{N 1}

  

−

− −

X ( k N ) = x ( nT ) e e

^{jk π 2 n / N jN 2 π n / N} _{N 1 n =}

∑

• − − jk ^{2 π n / N − j 2 π n}

  x ( nT ) e e =

  ∑ _{n N} = ₁ − _{jk 2 π n / N} − = x ( nT ) e = X ( k )

  ∑ _n =

• -j2 πn selama n adalah integral, jadi e = 1.

  Fakta bahwa X(k + N) = X(k) dan menunjukkan bahwa DFT berkala dengan periode N. Ini merupakan sifat melingkar dari DFT. Simetris di N/2 jika

  1 harmonik Ω = dan Ω N =

• k k

2.3.1 Sifat-sifat dari DFT

  DFT mempunyai sejumlah sifat-sifat matematik yang dapat digunakan untuk menyederhanakan masalah-masalah atau yang membawa ke aplikasi yang berguna. Beberapa dari itu tercantum di bawah. Urutan data x(nT) ditulis x(n).

  (1) _Simetri

  Re[X(N-k)] = ReX(k) (2.20)

  (dengan Re merupakan bagian real) menyatakan simetri dari spektrum

   Im[X(N-k)] =-Im[X(k)] (2.21)

  (dengan Im merupakan bagian imajiner) menyatakan simetri dari spektrum fasa.

  (2) Fungsi genap ( even function) Jika x(n) adalah fungsi genap x e (n), sehingga x e (n)=x e (-n), maka _{N 1}

  − F [ x ( n )] = _{D e e e} X ( k ) = x ( n ) cos( k Ω nT ) (2.22)

  ∑ _{n =}

  (3) Fungsi Ganjil (odd function) Jika x(n) adalah sebuah fungsi ganjil x (n), sehingga x (n)=-x (-n), maka _{N 1}

  − F [ x ( n )] = _D X ( k ) = − j x ( n ) sin( k Ω nT ) (2.23)

  ∑ _n =

  (4) Teorema Parseval Energi ternormalisasi dalam sinyal dinyatakan dengan _{N 1 N 1}

  

− −

_{2 2}

  1

  (2.24)

  x ( n ) = X ( k )

∑ ∑

_{n N k}

  

= =

  (5) Fungsi Delta

  F [ ( nT )]

  1 _D δ = (2.25) (6) Cross-correlation linear dari urutan dua data bisa dihitung menggunakan DFT.

  ∞

  1 r ( j ) = x ( n ) x ( n j ), −∞ ≤ j ≤ ∞ (2.26) _{x 1 x 2 1 2}

• N _n

  ∑

  = −∞

  Ini juga perlu untuk mendefinisikan korelasi sirkular dari urutan finite length _{N 1}

  −

  1 _{x 1 x 2 1 2} + r ( j ) = x ( n ) x ( n j ), j = ,...., N = 1 (2.27) ∑

  N _{n =}

  karena korelasi sirkular dapat diuji menggunakan DFT. Jadi

  − ¹

^*

=

  (2.28)

  r ( j ) F [ _{x 1 x 2 D}

X ( k )

₁

X ( k )] ₂

2.3.2 Kompleksitas Perhitungan DFT

  Untuk 8-poin DFT, penjabaran untuk X(k) menjadi (dari persamaan 2.17) _{7 jk n / 8}

  − Ω X ( k ) = x ( n ) e , k = ,....,

  7 ∑ _n

  =

  jika k2

  π/8 = K, maka _{jK jK 1 jK 2 jK 3 jK 4} − − − − −

  X ( k ) = x ( ) e x ( _{jK 5 jK} 1 ) e x ( + + + + _{6 jK} 2 ) e x ( ₇ 3 ) e x ( 4 ) e − − − x (

  7 Dari persamaan di atas terdapat 8 perkalian kompleks dan 7 penjumlahan

  5 ) e x ( + + + 6 ) e x ( 7 ) e , k = ,...,

  2

  kompleks untuk satu nilai k. Jadi untuk perhitungan 8-poin DFT memerlukan 8 = 64 perkalian kompleks dan 8 x 7 = 56 penjumlahan kompleks. Sehingga untuk N-

  2 poin DFT terdapat N perkalian dan N(N-1) penjumlahan kompleks.

2.4 Algoritma Decimation-in-time fast Fourier Transform

  Dalam bagian ini akan ditunjukkan bagaimana kelebihan penghitungan dalam DFT digunakan untuk mengurangi angka keperluan penghitungan, sehingga mempercepat penghitungan. Algoritma yang dapat mencapai ini diberi nama fast Fourier Transform atau disingkat FFT. Ketika diaplikasikan dalam domain waktu, algoritmanya mengacu sebagai decimation-in-time (DIT) FFT.

  Pertama notasinya akan disederhanakan dan beberapa hubungan matematis akan dibangun. Jadi persamaan (2.17) akan ditulis kembali sebagai _{N 1}

  − − j ^{2 π nk / N} X ( k ) x e , k ,...., N 1 (2.29) _{1 n}

= = −

  ∑ _n =

• -j2 π/N

  Juga, faktor e akan ditulis sebagai W N , menjadi

• -j2

  π/N

  W N = e (2.30)

  Sehingga persamaan (2.29) menjadi _{N 1}

  − _kn X ( k ) = x W , k = ,...., N − _{1 n N} 1 (2.31)

  ∑ _{n =}

  Beberapa hubungan meliputi W N . Pertama, _{2 − j 2 / N 2 − j 2 /( N / 2 )}

  π π = = =

  W ( e ) e W (2.32) _{N N / 2} Kedua,

• ^{( k N / 2 ) k N / 2 k j (}

  − − ^{2 π / N )( N / 2 ) k j π}

W = W W = W e = W e

_{N N N N N k}

  = − W (2.33) _N

  Didapatkan ringkasan hasil mengenai W N sebagai berikut

• -j2

  π/N

  W = e (2.33a)

  N

• ( k Nn / ^{2 ) k}

  W = − W (2.33c) _{N N}

  Dalam penghitungan yang ditunjukkan oleh persamaan (2.33), urutan data dibagi menjadi dua urutan yang sama, satu data genap dan satu data ganjil. Agar urutan mempunyai panjang yang sama, maka jumlah data harus genap. Jika jumlah data ganjil, maka nol harus ditambahkan untuk memberikan angka data genap. Proses selanjutnya, DFT, X (k), ditulis dalam dua DFT, X (k) dan X (k).

  1

  11

  12 Dengan

  X 11 (k) dan X 12 (k) adalah DFT dari data nilai genap dan dari data nilai ganjil. Jadi DFT N-point diubah menjadi dua DFT masing-masing N/2 poin.

  Proses ini kemudian diulang sampai X

  1 (k) menjadi N/2 DFT, masing-masing dua poin, kedua-duanya data inisial.

  Akhiran n pada persamaan (2.31) adalah n=0 sampai n=N-1, sesuai dengan nilai data x , x

  1 , x 2 , x 3 , …, x N-1 . Urutan genap adalah x , x 2 , x 4 ,…,x N-2 , dan

  urutan ganjil adalah x

  1 , x 3 ,…,x N-1 . Kedua urutan itu mengandung N/2 poin.

  Hubungan-hubungan dengan urutan genap ditunjukkan x 2n dengan n=0 sampai n=N/2-1 sementara pada urutan ganjil menjadi x 2n+1 . Lalu persamaan (2.31) dapat ditulis kembali sebagai berikut _{N / 2 1 N / 2 1}

  − − ^{2 nk ( 2 n 1 ) k}

  X ( k ) = x W x W ¹ + ^{2 n N}

^{2 n}

^{1 N} ∑ ∑ _{n = n = N / 2 1 N /} urutan genap urutan ganjil _{2 1}