STUDI PEMANFAATAN MODAL FILTER KALMAN BERDASARKAN RELE
STUDI PEMANFAATAN MODAL FILTER
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANSI
TUGAS AKHIR
Disusun oleh :
PUTU GEDE WIRAWAN
NRP. 2291 100 113
\K ' \ N
p ~£.
b·~
~Da;
~I("
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
1998
STUD! PEMANFAATAN MODAL FILTER
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANSI
TUGAS AKIITR
Diajukan Guna Memanuhi Sebagian Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Elektro
Pad a
Bidang Studi Teknik Slstem Tenaga
Jurusan Teknlk Elektro
Fakultas Teknologi lndustri
lnstitut Teknologl Sepuluh Nopember
Surabaya
Mangatahul / Menyetujul
Dosen Pemblmblng I
Dosen Pembimbing II
( lr. TEGUH YUWONO )
( lr. MARGO PUJIANTARA. M .T . )
NIP : 1 ~ 0
NIP : 131 925 501
604 244
SURABAYA
Maret 1998
ABSTRAK
Untuk mengatas1 pennasalahan estimasi impedansi yang kurang
baik pada saat gaogguan, dapat digunakan Modal Kalman Filter
(MKF). MKF memanfaatkan semua informasi peogukuran yang
tersedia dari janngan tiga fasa ( rele impedansi digital ) yaitu berupa
tegangan dan arus serta adanya penarnbahan model akibat derau
transien elektromagnetik.
Pada saat te~adi
gangguan pada jaringan transmisi, terjadi derau
transicn cleklromagnetik untuk semua janis gangguan. MKF
mcncocokkan modal derau yang berbeda untuk phasor Clarke, tapi
tidak berubah untuk tiap tipe gangguan. Untuk perbitungan impedansi,
pert.ama pbasor Clarke (ex, 13. 0) ditransformasikan ke komponen
simetri urutan positif dan negatif, hasil tersebut digunakan untuk
mcnghitung impedansi positif. Analisa statistik digunakan untuk
membandingkan antura waktu dan akurasi estimasi untuk jenis
gangguan yang berbeda.
Ill
KATAPENGANTAR
Segala PUJI dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Ida Sanghyang Widhi
Wasa, Tuhan Yang Maha Pengasih dan Penyayang atas segala rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini denganjudul :
STUDI PEMANFAATAN MODAL FILTER
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANST
TU!JliS akhir ini dibuat dcngan maksud untuk memcnuhi sebagian
pcrsyaratan mendapat gelar sarjana Teknik Elek1ro, dalarn bidang studi Teknik
Sistem Tenaga, Fakultas Teknologi lndustri, lnstitut Teknologi Sepuluh
Nopember, dengan beban studi 6 SKS.
Penulis menyadan bahwa tugas akhir ini jauh dari sempuma, karenanya
penulis sangat berbesar hau atas kritikan maupun saran dari pembaca demi
penycmpumaan tugas akhir ini.Semoga karya kecil ini dapat bermanfaat dan bisa
memberi sumbangan pernik iran, dalam perkembangan sistem tenaga.
Surabaya, 8 Maret 1998
Pcnulis
UCAPAN TERIMA KASIH
Dengan selesamya tugas akhir ini, peoulis secara rulus dan rendah hau
menyap1~
banyal.. tenma kas1h dan penghargaan sebesar-besamya kepada :
Bapal. lr Tcguh Yu\\ono sebaga1 pembimbing I dan Bapak lr. Margo
Pujiantara, M.T sebagai pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan
pengarahan sclama penulisan tugas akhir ini.
2. Segcnap Ooscn dan segcnap karyawan Jurusan Teknik Elektro ITS yang Ielah
banyak mcmbantu penulis dalam melaksanakan studi.
3. Ayahanda, Tbunda serta Kakak- kakakku tercinta yang telah memberikan
pcrhatian sclama penulis kuliah dan dorongannya baik moril maupun materiil.
4. Keluarga Jr. Putu Ren~:s
S yang selalu memberikan dorongan dan bantuan
moril dan materiil selama penulis menyclcsaikan tugas akhir ini.
5. Keluarga MA VIO Manyar Indah V I 10 : Gus Deddy, De Gus, Tjatur, Wiedi
dan Puru yang setia menemaru penulis selama menyelesaikan tugas akhir ini.
6. Triono, Aiy N, W1snawa, Jono, Meydik, Mbek, Didit, Cipto dan Hokke aras
segala dorongan semaogat dan bantuannya dalam penulisan ini.
7 Rekan - rckan POWER dan warga Lab. PKDST : Heri, Budi, Rochim dan
lamnya yang udak mungkin penulis sebutkan satu persatu.
8. Scrta semua pihak yang turut membantu demi suksesnya penulisan tugas akhir
101 yang tidak dapat pen ulis sebutkan satu persatu di sini.
Semoga Tuhan Yng Maha Pengasi h meliropahkan rahmat-Nya bagi mercka atas
scgala kcbaikan dan kctulusan yang telah penulis terima.
v
DAFTAR lSI
JUDvL ...... .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.. •
•
•
•
•
•••••
0
•••••••••• ••
••••••••••••••••••
LEMBAR PENGESAHAN .... .... ...... ........ _... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABSTRAK ' ..... ... ..... ................ ..... .. ' .. ' ... ......... ' .. ' .. .
Ill
KATA PENGANTAR .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. ..
1v
l.:CAPAN TERIMA KASIH .. . . .. . .. . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . ..
v
DAFTAR lSI . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . .. . . .. . .. . . .. .. .. . . . ..
VI
DAFTAR GAMDAR . .. . .. .. . . .. .. . .. . . . .. . . . . . . . .. .. . .. . . .. . . . . . . . . . . .
IX
DAFTAR TABEL . . . . .. . . . . . .• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . .. . . . . .. .
XII
DAFTARSIMBOL .. ... .... .. ... .... '.' ......... ' .... ... ... .... .. ' .... ..
XIV
'.'
BAB I
BAB II
11
PENDAHULUAN .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .
1
1.1 LA TAR BELAKANG .. . . .. ... .. .... .. .. .. .. .. .. .. ... . ..
I
1.2 TINJAUAN PUSTAKA . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .
2
1.3 PERMASALAHAN DAN BATASAN MASALAH ....... .
3
14 METODOLOGI PENELITIAN ..... .... .............. .
3
1.5 SISTEMA TIKA PEMBAHASAN .......... . ............. .
4
1.6 TUJUAN
......... ............. ... ..................... .
5
KONSEP DASAR FILTER KALMAN .. .......... ........... . .
6
2. I KONSEP DASAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1. 1 Estimasi .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..
6
2.1.2 Teori Probabilitas .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
8
2 1.2.1 Mean dan Varian .. . .. .. .. .. .. • .. .. .. .. . .. .
8
2.1.2.2 Proses Acak .. .. . .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . . .. .
10
2.1.2.3 Derau Putih . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. ..
12
2.1.3 filter Rekursif ...................... ...... .. ........
13
vi
BAB Ill
2.2 FILTER KALMAN DISKRIT . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . . . .. .. .
16
2 3 FILTER KALMAN KONTINYU .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . .. .
22
2 4 DISKRITISASI SISTEM KONTINYU . . . . . . . . .. . . . . .. .. . .
29
2.5 FILTER KALMAN ADAPTIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6 ALGOR! fMA FILTER KALMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
36
PEMODELAN SISTEM TEGANGAN DAN ARUS PADA
SALURAN TRANSMISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1 UMUM ....... ......... .......... . ... ...............
40
3.2 KOMPONEN- KOMPONEN SIMETRJ ..... ... ......... '
3.2.1 Sintesa Phasor Tak Sirnetris Dari
41
Komponen-Kornponen Sirnetrisnya . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.2 Operator-Operator .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . .
43
3.2.3 Komponen Simctris Phasor Tak Sirnetris . . . . . . . . . . .
44
3.3 PERHITUNGAN GANGGUAN HUBUNG SING KAT . . . .
46
3.3 1 Gangguan Hubung Singkat Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.3 2 GangJ:,ruan Hubung Singkat Fasa Ke Tanah . . . . . . . . . .
49
3.3.3 Gangguan Hubung Singkat Fasa-Fasa . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3.4 Gangguan Hubung Singkat Dua Fasa Ke Tanah . . . . .
54
3.4 PEMODELAN GELOMBANG . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .
58
3 4.1 Model Gelombang Tegangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.4 2 Model Gclombang Arus .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. • ..
61
3.5 PENENTUAN DATAAWAL
........ .. ............ ... ..
66
3.6 'I RANSFORMASI CLARKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.1 Ekivalensi Sistem Tiga Fasa Dan Sistem Dua Fasa . .
70
3.6.2 Transforrnasi Dari Tiga Fasa Ke Surnbu Dua fasa . . .
72
3.7 REPRESENT AS! MODEL ...... .. ...... .. ... . .. .. ..
77
VII
BAB IV
STUD I SIMULASI DAN ANALISA HASIL PERHITUNGAN .
81
4. 1 SIMULASI ALGORITMA MODAL FILTER KALMAN . .
81
4 2 IIASIL PERHITUNGAN SIMULASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2. 1 Data Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.2 Mean Square Error .. . . . . . .. . . . . .. . .. . .. .. .. .. .. . . . .
84
4.2.3 Hasit Perhitungan Simulasi Tegangan dan Analisa . .
85
4 2.4 Hasil Perhitungan Simulasi Arus dan Analisa . . . . . . .
97
4.2.5 Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi dan Analisa
BAJ3 V
PENUTUP ........ .......... .... . ' ... ....... .... .. .......... '
5.1 KESIMPULAN
.. ... .... .... .. ... ........... .........
109
123
. ' ..
123
.... ..... .. ... ... .... ....... .. ... ' ..... .
124
DAFfAR PUSTAKA ....... ., .. .. ....... .. . . ..... .. ... .. ... ... .... .... .
125
5.2 SARAN-SARAN
'
LAMP! RAN
VII I
'
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1
Tiga Jcms Permasalahan Esumasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Gam bar 2.2
Blok Diagram Estimasi dengan Filter Kalman . . . . . . . . . . . . .
8
Gambar 2 3
Gambaran Sinyal Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Gambar 2.4
Spcktrum Kcrapatan Daya Derau Putih . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Gambar 2.5
Blok Dtagram dari Filter Kalman Kntinyu . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Gam bar 2.6
Bobot .Jumlah Dari Estimasi Filter Koalman . . . . . . . . . . . . . .
34
Gambar 2.7
Dtag:ram Alir dari Estimasi Filter Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Gam bar 3.1
Tiga I Umpunan Phasor Seimbang yang Merupakan
Komponen Simetris dari Tiga Phasor tak Seimbang
43
Gam bar 3.2
Ilubung Singkat Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Gam bar 3.3
llubungan Jala-Jala Urutan Positif untuk
Gangguan Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Gambar 3.4
Gangguan Satu Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Gam bar 3.5
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Hubung Singkat
Satu Fasa kc Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Gambar 3.6
llubung Singkat Fasa-Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Gambar 3.7
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Hubung Singkat Fasa-Fasa
54
Gambar 3.8
Gangguan Dua Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Gam bar 3.9
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Gangguan
Hubung Singkat Dua Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
57
Gam bar 3.10 Diagram Alir untuk Filter Kalman Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Gambar 3 .11 Variansi Si nyal Gangguan saat Terganggu dan
Tidak Terganggu .. . .. .. . . . .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .
68
Gambar 3.12 (i) Dtagrarn Phasor Tiga Fasa
70
(ii) Diagram Phasor Dua Fasa . . .. .
Gambar3. 13 (i) DiagramSpaceVektorTigafasa
(it) Diagram Space Vektor Dua Fasa .. .... .... .
70
Gambar 3. 14 Gambaran Sistem Secara Global dan Baguan yang Dibahas
79
Gambar 4. 1
Algoritma Perhitungan Modal Filter Kalman . . . . . . . • . . . . .
82
Gam bar 4.2
Sinyal Gclombang Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Garnbar 4.3
Hasil Pengukuran Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Garnbar 4.4
Hast! Estimasi Tegangan Cacat I .. . . .. . .. .. .. .. .. . .. .. ..
88
Gam bar 4.5
Smyal Gelombang Tegangan Cacat ll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Gambar 4.6
I lasil Pcngukuran Tegangan Cacat
n . . .. .. . . .. . .. .. . .. . .. .
91
Gambar 4.7
Hasil Estimasi Tegangan Cacat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Gambar 4.8
Sinyal Gelombang Tegangan Cacat m
... . . .. . .. . .. .. . . .. .
94
Gambar 4.9
Basil Pengukuran Tegangan Cacat ill .. .. . . .. .. .. .. . .. .. ..
95
Gambar 4.10 Hasil Estimasi Tegangan Cacat Til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Gambar 4.1 1 Sinyal Ge lombang Arus Cacatl .. . .. . .. . .. .. .. . .. . . . .. . . ..
98
Garnbar 4.1 2 Hast! Penguk-uran Arus Cacat I . . . . . . . .. . . • . . . . . . . . . . . . . . .
99
Gambar 4. 13 Has t! Esttmasi Arus Cacat I .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. . .. .. . . .. .
100
Gambar4.14 Sinya!GelombangArusCacatll . .......... ........... .. . .
102
X
Gam bar 4. 15 Hasil Pcngukuran Arus Cacat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Gambar 4 16 Has1l Esumasi Arus Cacat l1 . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 04
Gambar 4 17 Sinyal Gelombang Arus Cacat Ill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
Gambar4.18 llasiiPengukuranArusCacatlii ..........................
107
Gambar 4. 19 Hasil Estimasi Arus Cacat lll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Gam bar 4.20 Has1l Pengukuran lmpedansi Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
Gambar 4.2 1 Hasil Estimasi lmpedansi Cncat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Gambar 4.22 llasil Pengukuran lmpedansi Cacat U . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .
118
Gam bar 4.23 Hasil Estimasi lmpedansi Cacat U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
Gam bar 4.24 Hasil Pengukuran lmpedansi Cncat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Gambar 4.25 Hasil Esti masi lmpedansi Cacat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
XJ
DAFTAR TABEL
Tabel2.1
Perumusan Pengul'llfan dan Waktu Terbaru
Filter Kalman Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabel2.2
23
Persamaan Rekursifuntuk Pengukuran Terbaru
Filter Kalman Diskrit . . ... . . .. . ............... .
23
Tabel 3. 1
Definisi Variabel Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .
66
Tabel4. 1
Data Awal Simu1asi Modal Filter Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Tabel4.2
Hasi1 Pcrhitungan Simu1asi Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . .
85
Tabel4.3
Hasil Perhitungan Simu1asi Tegangan Cacat TI . . . . . . . . . . . .
89
Tabel 4.4
Hasil Perhitungan Simulasi Tegangan Cacat m
.. . .. .. . .. .
93
Tabcl 4.5
llasil Pcrhitungan Simulasi Arus Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Tabel 4.6
Hasil Perbitungan Simulasi Arus Cacat II . .. .. . .. . .. . .. . ..
101
Tabel4.7
Hasil Perhitungan Simulasi Arus Cacat ill . . . . . . . . .. . . . . . .
105
Tabel4.8
Has1l Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat IFasa A . .. ..
109
Tabe14.9
Hasil Perbnungan Simulasi lmpedansi Cacat I Fasa B . . . . .
110
Tabel 4. 10
Hasil Perlutungan S1mulasi lmpedansi Cacat I Fasa C . . . . .
110
Tabel 4 II
Hasil Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat II Fasa A
111
Tabel4 12
Hasil Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat 11 Fasa B
112
Tabel 4.13
Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi Cacat II Fasa C
112
Tabcl 4.14
llasi l Pcrhitungan Simulasi lmpedansi Cacat Ill tasa A
113
Tabel 4. 15
Hasil Perhitungan Simulasi Tmpedansi Cacat 1TI Fasa B
114
XJI
Tabel4. 16
Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi Cacat m Fasa C . . .
114
Tabel 4.17
Has1l Perhitungan Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
)(Ill
DAFTAR SIMBOL
Variabel Keadaan
Matrik Trans1si Variabel Keadaan
Pengukuran
Matnk Pengukuran
Derau Putih Pengukuran
Penguat Kalman
Galat Kovarian
Periode Sampling
Autokorelasi Gangguan Sistem
Autokorelasi Gangguan Pengukuran
Variasi Tegangan
Ki
Variasi Arus
Estimasi Variabel Keadaan
'
xi
pi.
Prediksi Variabel Keadaan
I
Matrik ldenritas
ex,, •= 1
Kcadaan Terganggu
ex,
Prediksi Galat Kovarian
1
=2
Kedaan Tak Terganggu
xfk
Estimas1 Variabel Keadaan Saat Terganggu
x Ut
Esumasi Variabel Keadaan Saat Tak Terganggu
v., . V:,
1,
V..o
Tegangan Urutan Positif, NegatifDan Nol Pada Fasa a
V,. . Vb , V,
Tegangan Pada Fasa a, b dan c
V1
Tegangan Gang~:.'l
1. 1 • 1,.1 • 1,.0
Arus Urutan Positif, Negarif dan Nol
t•. lb. 1,
Arus Pada Fasa a, b dane
11
Arus Gangguan
XIV
'.v· I ~
Z1
Arus Gangguan Pada Fasa a, b dan c
Lmpedansi Gangguan
Z1 • Z1 • 20
lmpedansi Urutan Positif, Negatif dan Nol
Z11 • 2 11 , Z,0
Impedansi Urutan Positif, Negatif dan Nol pada Saluran I
V,. V_
Tegangan Tenninal S (Sisi Kirim)/ Tegangan pada Bus I
1,, 1_
Arus dari Tenninal S (Sisi Kirim)
I,·, 1,:
Beda Arus Antara Arus Sebelum Gangguan dan Arus Gangguan
f,"", 1,:1
Arus Konjugasi dari I,'
Z
lmpedansi
Iroses Acal<
Suatu proses discbut acak apabila basil dari proses itu tidak dapat
ditentukan dcngan pasti untuk waktu tertentu sehingga proses acak ini hanya
ditentukan dari bcsarnya nilai probabilitas dan tcrdapat variabel-variabel acak
yang berasosiasi dcngannya.
Selain sinyal acak dikenal pula sinyal detertninistik yang merupakan
smyal yang dapat dttentukan besamya pada suatu waktu tertcntu dengan pash
sebagai contoh m1salnya : x(t)
20 Sm 2m. yang merupakan gelombang smus.
l,;ntuk smyal acak adalah merupakan sinyal yang mempunyai proses acak
schingga besamya tidak dapat ditentukan dengan pasti pada suatu waktu tertentu.
Sebagai contoh smyal x(t}
20 Sin ( 2rrt
fJ) di mana t adalah variabel acak
yang terdistrihusi mcrata antara interval 0 sampai 2n.
12
X (I)
xs
II
12
tJ
14
t5
Gam bar 2.3
(T.)
dt
... ( 2- 73 )
"
dcngan demikian persarnaan (2-72) menj adi :
x~-+
1 = e· 1rx, +
(k+IJ7
f
k1'
cl'
1
1(k+
I J 7 ~•1R(r.)d
r:
Uk
+ wk
... ( 2- 74 )
32
Dengan dua kali pengubahan variabel-variabel (}. =t
) T-.
1 dt dcr
... (2 -79)
AT
Tctapt ktta ketahut bahwa
l•(t)w(cr)' = QS(t - a )
sehingga persamaan (2-79) selanjutnya menJadi :
Q'
(l+t )T
J
('" 1 1 14+
1) /~
l (j
Q G' ei'HI•I)T- r) dt
kl
Dengan dua kali pengubahan variabel seperti di atas, maka diperoleh :
... ( 2 - 80 )
33
T
Q' =f e·''GQ(i1e- 1"tlt
... (2 -81 )
•
Persamaan (2-77}, (2-78) dan (2-81 ) dapat diturunkan kebentuk deret seperti di
bawah ini, dengan menuhskan bebcrapa suku deret penama, yakni :
A'-= I
+Af
2
B ' = 1'1'
' +~ ABT2
~") '
~
/~ +
... (2 -82)
......
. ( 2- 83 )
2'
=( 'Q( ., 1 + (A
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANSI
TUGAS AKHIR
Disusun oleh :
PUTU GEDE WIRAWAN
NRP. 2291 100 113
\K ' \ N
p ~£.
b·~
~Da;
~I("
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
1998
STUD! PEMANFAATAN MODAL FILTER
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANSI
TUGAS AKIITR
Diajukan Guna Memanuhi Sebagian Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Elektro
Pad a
Bidang Studi Teknik Slstem Tenaga
Jurusan Teknlk Elektro
Fakultas Teknologi lndustri
lnstitut Teknologl Sepuluh Nopember
Surabaya
Mangatahul / Menyetujul
Dosen Pemblmblng I
Dosen Pembimbing II
( lr. TEGUH YUWONO )
( lr. MARGO PUJIANTARA. M .T . )
NIP : 1 ~ 0
NIP : 131 925 501
604 244
SURABAYA
Maret 1998
ABSTRAK
Untuk mengatas1 pennasalahan estimasi impedansi yang kurang
baik pada saat gaogguan, dapat digunakan Modal Kalman Filter
(MKF). MKF memanfaatkan semua informasi peogukuran yang
tersedia dari janngan tiga fasa ( rele impedansi digital ) yaitu berupa
tegangan dan arus serta adanya penarnbahan model akibat derau
transien elektromagnetik.
Pada saat te~adi
gangguan pada jaringan transmisi, terjadi derau
transicn cleklromagnetik untuk semua janis gangguan. MKF
mcncocokkan modal derau yang berbeda untuk phasor Clarke, tapi
tidak berubah untuk tiap tipe gangguan. Untuk perbitungan impedansi,
pert.ama pbasor Clarke (ex, 13. 0) ditransformasikan ke komponen
simetri urutan positif dan negatif, hasil tersebut digunakan untuk
mcnghitung impedansi positif. Analisa statistik digunakan untuk
membandingkan antura waktu dan akurasi estimasi untuk jenis
gangguan yang berbeda.
Ill
KATAPENGANTAR
Segala PUJI dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Ida Sanghyang Widhi
Wasa, Tuhan Yang Maha Pengasih dan Penyayang atas segala rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini denganjudul :
STUDI PEMANFAATAN MODAL FILTER
KALMAN BERDASARKAN RELE IMPEDANST
TU!JliS akhir ini dibuat dcngan maksud untuk memcnuhi sebagian
pcrsyaratan mendapat gelar sarjana Teknik Elek1ro, dalarn bidang studi Teknik
Sistem Tenaga, Fakultas Teknologi lndustri, lnstitut Teknologi Sepuluh
Nopember, dengan beban studi 6 SKS.
Penulis menyadan bahwa tugas akhir ini jauh dari sempuma, karenanya
penulis sangat berbesar hau atas kritikan maupun saran dari pembaca demi
penycmpumaan tugas akhir ini.Semoga karya kecil ini dapat bermanfaat dan bisa
memberi sumbangan pernik iran, dalam perkembangan sistem tenaga.
Surabaya, 8 Maret 1998
Pcnulis
UCAPAN TERIMA KASIH
Dengan selesamya tugas akhir ini, peoulis secara rulus dan rendah hau
menyap1~
banyal.. tenma kas1h dan penghargaan sebesar-besamya kepada :
Bapal. lr Tcguh Yu\\ono sebaga1 pembimbing I dan Bapak lr. Margo
Pujiantara, M.T sebagai pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan
pengarahan sclama penulisan tugas akhir ini.
2. Segcnap Ooscn dan segcnap karyawan Jurusan Teknik Elektro ITS yang Ielah
banyak mcmbantu penulis dalam melaksanakan studi.
3. Ayahanda, Tbunda serta Kakak- kakakku tercinta yang telah memberikan
pcrhatian sclama penulis kuliah dan dorongannya baik moril maupun materiil.
4. Keluarga Jr. Putu Ren~:s
S yang selalu memberikan dorongan dan bantuan
moril dan materiil selama penulis menyclcsaikan tugas akhir ini.
5. Keluarga MA VIO Manyar Indah V I 10 : Gus Deddy, De Gus, Tjatur, Wiedi
dan Puru yang setia menemaru penulis selama menyelesaikan tugas akhir ini.
6. Triono, Aiy N, W1snawa, Jono, Meydik, Mbek, Didit, Cipto dan Hokke aras
segala dorongan semaogat dan bantuannya dalam penulisan ini.
7 Rekan - rckan POWER dan warga Lab. PKDST : Heri, Budi, Rochim dan
lamnya yang udak mungkin penulis sebutkan satu persatu.
8. Scrta semua pihak yang turut membantu demi suksesnya penulisan tugas akhir
101 yang tidak dapat pen ulis sebutkan satu persatu di sini.
Semoga Tuhan Yng Maha Pengasi h meliropahkan rahmat-Nya bagi mercka atas
scgala kcbaikan dan kctulusan yang telah penulis terima.
v
DAFTAR lSI
JUDvL ...... .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.. •
•
•
•
•
•••••
0
•••••••••• ••
••••••••••••••••••
LEMBAR PENGESAHAN .... .... ...... ........ _... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABSTRAK ' ..... ... ..... ................ ..... .. ' .. ' ... ......... ' .. ' .. .
Ill
KATA PENGANTAR .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. ..
1v
l.:CAPAN TERIMA KASIH .. . . .. . .. . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . ..
v
DAFTAR lSI . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . .. . . .. . .. . . .. .. .. . . . ..
VI
DAFTAR GAMDAR . .. . .. .. . . .. .. . .. . . . .. . . . . . . . .. .. . .. . . .. . . . . . . . . . . .
IX
DAFTAR TABEL . . . . .. . . . . . .• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . .. . . . . .. .
XII
DAFTARSIMBOL .. ... .... .. ... .... '.' ......... ' .... ... ... .... .. ' .... ..
XIV
'.'
BAB I
BAB II
11
PENDAHULUAN .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .
1
1.1 LA TAR BELAKANG .. . . .. ... .. .... .. .. .. .. .. .. .. ... . ..
I
1.2 TINJAUAN PUSTAKA . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .
2
1.3 PERMASALAHAN DAN BATASAN MASALAH ....... .
3
14 METODOLOGI PENELITIAN ..... .... .............. .
3
1.5 SISTEMA TIKA PEMBAHASAN .......... . ............. .
4
1.6 TUJUAN
......... ............. ... ..................... .
5
KONSEP DASAR FILTER KALMAN .. .......... ........... . .
6
2. I KONSEP DASAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1. 1 Estimasi .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..
6
2.1.2 Teori Probabilitas .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
8
2 1.2.1 Mean dan Varian .. . .. .. .. .. .. • .. .. .. .. . .. .
8
2.1.2.2 Proses Acak .. .. . .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . . .. .
10
2.1.2.3 Derau Putih . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. ..
12
2.1.3 filter Rekursif ...................... ...... .. ........
13
vi
BAB Ill
2.2 FILTER KALMAN DISKRIT . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . . . .. .. .
16
2 3 FILTER KALMAN KONTINYU .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . .. .
22
2 4 DISKRITISASI SISTEM KONTINYU . . . . . . . . .. . . . . .. .. . .
29
2.5 FILTER KALMAN ADAPTIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6 ALGOR! fMA FILTER KALMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
36
PEMODELAN SISTEM TEGANGAN DAN ARUS PADA
SALURAN TRANSMISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1 UMUM ....... ......... .......... . ... ...............
40
3.2 KOMPONEN- KOMPONEN SIMETRJ ..... ... ......... '
3.2.1 Sintesa Phasor Tak Sirnetris Dari
41
Komponen-Kornponen Sirnetrisnya . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.2 Operator-Operator .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . .
43
3.2.3 Komponen Simctris Phasor Tak Sirnetris . . . . . . . . . . .
44
3.3 PERHITUNGAN GANGGUAN HUBUNG SING KAT . . . .
46
3.3 1 Gangguan Hubung Singkat Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.3 2 GangJ:,ruan Hubung Singkat Fasa Ke Tanah . . . . . . . . . .
49
3.3.3 Gangguan Hubung Singkat Fasa-Fasa . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3.4 Gangguan Hubung Singkat Dua Fasa Ke Tanah . . . . .
54
3.4 PEMODELAN GELOMBANG . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .
58
3 4.1 Model Gelombang Tegangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.4 2 Model Gclombang Arus .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. • ..
61
3.5 PENENTUAN DATAAWAL
........ .. ............ ... ..
66
3.6 'I RANSFORMASI CLARKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.1 Ekivalensi Sistem Tiga Fasa Dan Sistem Dua Fasa . .
70
3.6.2 Transforrnasi Dari Tiga Fasa Ke Surnbu Dua fasa . . .
72
3.7 REPRESENT AS! MODEL ...... .. ...... .. ... . .. .. ..
77
VII
BAB IV
STUD I SIMULASI DAN ANALISA HASIL PERHITUNGAN .
81
4. 1 SIMULASI ALGORITMA MODAL FILTER KALMAN . .
81
4 2 IIASIL PERHITUNGAN SIMULASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2. 1 Data Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.2 Mean Square Error .. . . . . . .. . . . . .. . .. . .. .. .. .. .. . . . .
84
4.2.3 Hasit Perhitungan Simulasi Tegangan dan Analisa . .
85
4 2.4 Hasil Perhitungan Simulasi Arus dan Analisa . . . . . . .
97
4.2.5 Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi dan Analisa
BAJ3 V
PENUTUP ........ .......... .... . ' ... ....... .... .. .......... '
5.1 KESIMPULAN
.. ... .... .... .. ... ........... .........
109
123
. ' ..
123
.... ..... .. ... ... .... ....... .. ... ' ..... .
124
DAFfAR PUSTAKA ....... ., .. .. ....... .. . . ..... .. ... .. ... ... .... .... .
125
5.2 SARAN-SARAN
'
LAMP! RAN
VII I
'
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1
Tiga Jcms Permasalahan Esumasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Gam bar 2.2
Blok Diagram Estimasi dengan Filter Kalman . . . . . . . . . . . . .
8
Gambar 2 3
Gambaran Sinyal Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Gambar 2.4
Spcktrum Kcrapatan Daya Derau Putih . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Gambar 2.5
Blok Dtagram dari Filter Kalman Kntinyu . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Gam bar 2.6
Bobot .Jumlah Dari Estimasi Filter Koalman . . . . . . . . . . . . . .
34
Gambar 2.7
Dtag:ram Alir dari Estimasi Filter Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Gam bar 3.1
Tiga I Umpunan Phasor Seimbang yang Merupakan
Komponen Simetris dari Tiga Phasor tak Seimbang
43
Gam bar 3.2
Ilubung Singkat Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Gam bar 3.3
llubungan Jala-Jala Urutan Positif untuk
Gangguan Tiga Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Gambar 3.4
Gangguan Satu Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Gam bar 3.5
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Hubung Singkat
Satu Fasa kc Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Gambar 3.6
llubung Singkat Fasa-Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Gambar 3.7
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Hubung Singkat Fasa-Fasa
54
Gambar 3.8
Gangguan Dua Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Gam bar 3.9
Hubungan Jala-Jala Urutan untuk Gangguan
Hubung Singkat Dua Fasa ke Tanah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
57
Gam bar 3.10 Diagram Alir untuk Filter Kalman Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Gambar 3 .11 Variansi Si nyal Gangguan saat Terganggu dan
Tidak Terganggu .. . .. .. . . . .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .
68
Gambar 3.12 (i) Dtagrarn Phasor Tiga Fasa
70
(ii) Diagram Phasor Dua Fasa . . .. .
Gambar3. 13 (i) DiagramSpaceVektorTigafasa
(it) Diagram Space Vektor Dua Fasa .. .... .... .
70
Gambar 3. 14 Gambaran Sistem Secara Global dan Baguan yang Dibahas
79
Gambar 4. 1
Algoritma Perhitungan Modal Filter Kalman . . . . . . . • . . . . .
82
Gam bar 4.2
Sinyal Gclombang Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Garnbar 4.3
Hasil Pengukuran Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Garnbar 4.4
Hast! Estimasi Tegangan Cacat I .. . . .. . .. .. .. .. .. . .. .. ..
88
Gam bar 4.5
Smyal Gelombang Tegangan Cacat ll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Gambar 4.6
I lasil Pcngukuran Tegangan Cacat
n . . .. .. . . .. . .. .. . .. . .. .
91
Gambar 4.7
Hasil Estimasi Tegangan Cacat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Gambar 4.8
Sinyal Gelombang Tegangan Cacat m
... . . .. . .. . .. .. . . .. .
94
Gambar 4.9
Basil Pengukuran Tegangan Cacat ill .. .. . . .. .. .. .. . .. .. ..
95
Gambar 4.10 Hasil Estimasi Tegangan Cacat Til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Gambar 4.1 1 Sinyal Ge lombang Arus Cacatl .. . .. . .. . .. .. .. . .. . . . .. . . ..
98
Garnbar 4.1 2 Hast! Penguk-uran Arus Cacat I . . . . . . . .. . . • . . . . . . . . . . . . . . .
99
Gambar 4. 13 Has t! Esttmasi Arus Cacat I .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. . .. .. . . .. .
100
Gambar4.14 Sinya!GelombangArusCacatll . .......... ........... .. . .
102
X
Gam bar 4. 15 Hasil Pcngukuran Arus Cacat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Gambar 4 16 Has1l Esumasi Arus Cacat l1 . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 04
Gambar 4 17 Sinyal Gelombang Arus Cacat Ill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
Gambar4.18 llasiiPengukuranArusCacatlii ..........................
107
Gambar 4. 19 Hasil Estimasi Arus Cacat lll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Gam bar 4.20 Has1l Pengukuran lmpedansi Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
Gambar 4.2 1 Hasil Estimasi lmpedansi Cncat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Gambar 4.22 llasil Pengukuran lmpedansi Cacat U . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .
118
Gam bar 4.23 Hasil Estimasi lmpedansi Cacat U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
Gam bar 4.24 Hasil Pengukuran lmpedansi Cncat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Gambar 4.25 Hasil Esti masi lmpedansi Cacat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
XJ
DAFTAR TABEL
Tabel2.1
Perumusan Pengul'llfan dan Waktu Terbaru
Filter Kalman Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabel2.2
23
Persamaan Rekursifuntuk Pengukuran Terbaru
Filter Kalman Diskrit . . ... . . .. . ............... .
23
Tabel 3. 1
Definisi Variabel Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .
66
Tabel4. 1
Data Awal Simu1asi Modal Filter Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Tabel4.2
Hasi1 Pcrhitungan Simu1asi Tegangan Cacat I . . . . . . . . . . . . .
85
Tabel4.3
Hasil Perhitungan Simu1asi Tegangan Cacat TI . . . . . . . . . . . .
89
Tabel 4.4
Hasil Perhitungan Simulasi Tegangan Cacat m
.. . .. .. . .. .
93
Tabcl 4.5
llasil Pcrhitungan Simulasi Arus Cacat I . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Tabel 4.6
Hasil Perbitungan Simulasi Arus Cacat II . .. .. . .. . .. . .. . ..
101
Tabel4.7
Hasil Perhitungan Simulasi Arus Cacat ill . . . . . . . . .. . . . . . .
105
Tabel4.8
Has1l Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat IFasa A . .. ..
109
Tabe14.9
Hasil Perbnungan Simulasi lmpedansi Cacat I Fasa B . . . . .
110
Tabel 4. 10
Hasil Perlutungan S1mulasi lmpedansi Cacat I Fasa C . . . . .
110
Tabel 4 II
Hasil Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat II Fasa A
111
Tabel4 12
Hasil Perbitungan Simulasi Impedansi Cacat 11 Fasa B
112
Tabel 4.13
Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi Cacat II Fasa C
112
Tabcl 4.14
llasi l Pcrhitungan Simulasi lmpedansi Cacat Ill tasa A
113
Tabel 4. 15
Hasil Perhitungan Simulasi Tmpedansi Cacat 1TI Fasa B
114
XJI
Tabel4. 16
Hasil Perhitungan Simulasi lmpedansi Cacat m Fasa C . . .
114
Tabel 4.17
Has1l Perhitungan Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
)(Ill
DAFTAR SIMBOL
Variabel Keadaan
Matrik Trans1si Variabel Keadaan
Pengukuran
Matnk Pengukuran
Derau Putih Pengukuran
Penguat Kalman
Galat Kovarian
Periode Sampling
Autokorelasi Gangguan Sistem
Autokorelasi Gangguan Pengukuran
Variasi Tegangan
Ki
Variasi Arus
Estimasi Variabel Keadaan
'
xi
pi.
Prediksi Variabel Keadaan
I
Matrik ldenritas
ex,, •= 1
Kcadaan Terganggu
ex,
Prediksi Galat Kovarian
1
=2
Kedaan Tak Terganggu
xfk
Estimas1 Variabel Keadaan Saat Terganggu
x Ut
Esumasi Variabel Keadaan Saat Tak Terganggu
v., . V:,
1,
V..o
Tegangan Urutan Positif, NegatifDan Nol Pada Fasa a
V,. . Vb , V,
Tegangan Pada Fasa a, b dan c
V1
Tegangan Gang~:.'l
1. 1 • 1,.1 • 1,.0
Arus Urutan Positif, Negarif dan Nol
t•. lb. 1,
Arus Pada Fasa a, b dane
11
Arus Gangguan
XIV
'.v· I ~
Z1
Arus Gangguan Pada Fasa a, b dan c
Lmpedansi Gangguan
Z1 • Z1 • 20
lmpedansi Urutan Positif, Negatif dan Nol
Z11 • 2 11 , Z,0
Impedansi Urutan Positif, Negatif dan Nol pada Saluran I
V,. V_
Tegangan Tenninal S (Sisi Kirim)/ Tegangan pada Bus I
1,, 1_
Arus dari Tenninal S (Sisi Kirim)
I,·, 1,:
Beda Arus Antara Arus Sebelum Gangguan dan Arus Gangguan
f,"", 1,:1
Arus Konjugasi dari I,'
Z
lmpedansi
Iroses Acal<
Suatu proses discbut acak apabila basil dari proses itu tidak dapat
ditentukan dcngan pasti untuk waktu tertentu sehingga proses acak ini hanya
ditentukan dari bcsarnya nilai probabilitas dan tcrdapat variabel-variabel acak
yang berasosiasi dcngannya.
Selain sinyal acak dikenal pula sinyal detertninistik yang merupakan
smyal yang dapat dttentukan besamya pada suatu waktu tertcntu dengan pash
sebagai contoh m1salnya : x(t)
20 Sm 2m. yang merupakan gelombang smus.
l,;ntuk smyal acak adalah merupakan sinyal yang mempunyai proses acak
schingga besamya tidak dapat ditentukan dengan pasti pada suatu waktu tertentu.
Sebagai contoh smyal x(t}
20 Sin ( 2rrt
fJ) di mana t adalah variabel acak
yang terdistrihusi mcrata antara interval 0 sampai 2n.
12
X (I)
xs
II
12
tJ
14
t5
Gam bar 2.3
(T.)
dt
... ( 2- 73 )
"
dcngan demikian persarnaan (2-72) menj adi :
x~-+
1 = e· 1rx, +
(k+IJ7
f
k1'
cl'
1
1(k+
I J 7 ~•1R(r.)d
r:
Uk
+ wk
... ( 2- 74 )
32
Dengan dua kali pengubahan variabel-variabel (}. =t
) T-.
1 dt dcr
... (2 -79)
AT
Tctapt ktta ketahut bahwa
l•(t)w(cr)' = QS(t - a )
sehingga persamaan (2-79) selanjutnya menJadi :
Q'
(l+t )T
J
('" 1 1 14+
1) /~
l (j
Q G' ei'HI•I)T- r) dt
kl
Dengan dua kali pengubahan variabel seperti di atas, maka diperoleh :
... ( 2 - 80 )
33
T
Q' =f e·''GQ(i1e- 1"tlt
... (2 -81 )
•
Persamaan (2-77}, (2-78) dan (2-81 ) dapat diturunkan kebentuk deret seperti di
bawah ini, dengan menuhskan bebcrapa suku deret penama, yakni :
A'-= I
+Af
2
B ' = 1'1'
' +~ ABT2
~") '
~
/~ +
... (2 -82)
......
. ( 2- 83 )
2'
=( 'Q( ., 1 + (A