Graf planar - USD Repository

GRAF PLANAR

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  Oleh: Josef Arnoldus Ruba

  NIM : 003114015 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  2007

  Skripsi ini Kupersembahkan untuk:

My Almighty Jesus Christ

yang selalu mendampingiku

  Mama dan Papa tercinta

yang senantiasa mendoakan setiap Langkahku

My Lovely Brother ’s and Sister’s

  

Kakek dan Nenekku

Semua keluarga

dan

Sahabat-sahabatku

  

”Pada hari aku berseru, Engkaupun menjawab aku,

Engkau menambahkan kekuatan dalam jiwa ku ” (Mazmur 138 : 3)

  

ABSTRAK

  Suatu graf G disebut graf planar jika dapat digambarkan pada bidang tanpa adanya ruas yang berpotongan, kecuali simpul dimana mereka bertemu. Dalam tulisan ini akan dibahas karakterisasi graf planar.Salah satunya adalah bahwa sebuah graf G adalah planar jika dan hanya jika G tidak mengandung subgraf yang isomorfik dengan K

  5 atau K 3,3 atau sebuah bagian dari K 5 atau K 3,3.

  

ABSTRACT

  A graph G is called planar graph if it can be drawn in a plane without any edges which is intersected, except at a vertex to which they are incident. In this thesis will be discussed the characterizations of the planar graph. One of them is that a graph G is planar if and only if G contains no subgraph which is isomorphic to K or ₅ K , or a subdivision of K or K . _{3 , 3 5 3 , 3}

  

KATA PENGANTAR

  Dengan mengucap puji dan syukur Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat-Nya sehingga skripsi yang berjudul “Graf Planar” ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma.

  Pada kesempatan ini juga penulis mengucapkan banyak terima kasih pada berbagai pihak yang telah ikut membantu dalam menyelesaikan Makalah ini, khususnya pada:

  1. My hero Jesus Christ dan Holy Mary yang selalu mendampingiku disaat susah maupun senang.

  2. M. V. Any Herawati, S.Si.,M.Si, selaku dosen pembimbing dan Dosen Matematika Universitas Sanata Dharma 3. Y.G. Hartono, S.Si. M.Sc, selaku Kepala Program Studi Matematika.

  4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

  5. Maria Agustiani, S.Si, M.Si.(Alm), selaku Dosen matematika yang selalu memberikan semangat dan dorongan.

  6. Seluruh Dosen Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma

  7. Ibu Warni, Pak Tukijo, dan Ibu Erma selaku staf administrasi FMIPA Universitas Sanata Dharma.

  8. Mama, Papa dan Adik-adikku Kons, Marlin, Lius, Elfrida Atas semua doa, kasih sayang, dan dorongannya. Buat Mama dan Papa terima kasih atas semua kepercayaan dan cinta yang selalu kalian berikan walaupaun terkadang aku selalu mengecewakan kalian.

  9. Tante Mia tercinta yang selalu membrikan doa dan dukungannya.

  10. Tante Elis dan Om Lius atas bantuannya selama ini.

  11. Suster Kristofora KKS dan kongregasi, terimakasih atas tempat tinggal dan dukungannya.

  12. Om Sil Ratu dan keluarga.

  13. My best friend Tika, sahabatku dari pertama kali aku kuliah sampai sekarang.Semangat tik, aku tau suatu hari semua yang kamu cita-citakan akan berhasil,jangan putus asa.

  14. Teman-temanku di matematika angkatan 2000 terimakasih atas kebersamaan kalian dan hari-hari yang indah selama menjalani perkuliahan

  15. Teman-teman tercintaku Sinta(thanx ya atas semua pengertian dan dorongannya, jangan bosen jadi tempat curhatku), Nissa(semangat Nis kamu bisa!!), Devi, Diah, Hendi, Pri, Mayang(terima kasih pinjaman motornya dan bantuin ngedit), Desi( Thanx dah mau menerima semua keadaanku, cepet Pulang kita dugem lagi), Beny(dUgem yok!!), Nadi(Thanx abstracnya).

  16. My best friend Ical thanx ya bro dah selalu support aku, ayo cepet lulus.

  17. Teman-temanku di edutaiment vesta Oktan, Diaz, Ryan, Ebel, Hery, Enox, Agus, Bayu, keep on dancing!!!!.

  18. Untuk semua teman-teman yang belum bisa kusebutkan satu-persatu terimakasih banyak atas semua bantuannya selama ini.

  Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini jauh dari sempurna, oleh sebab itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun. Akhir kata penulis berharap semoga dengan tersusunnya makalah ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa Jurusan matematika khususnya dan bagi Mahasiswa Universitas Sanata Dharma pada umumnya.

  Yogyakarta, 2007 Penulis

  (Josef Arnoldus Ruba)

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 2007 Penulis

  Josef Arnoldus Ruba

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL .....................................................................................................i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...........................................................ii HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................................iii HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................................iv ABSTRAK ....................................................................................................................v ABSTRACT ................................................................................................................vi KATA PENGANTAR ................................................................................................vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................................x DAFTAR ISI .............................................................................................................. xi

  BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................1 A. Latar belakang masalah ..................................................................1 B. Perumusan masalah ........................................................................2 C. Manfaat penulisan ...........................................................................2 D. Metode penulisan ............................................................................2 E. Sistematika penulisan......................................................................3 GRAF....................................................................................................4 BAB II A.Graf....................................................................................................4 B. Perjalanan, perjalanan kecil, lintasan dan putaran........................... 7 C. Derajat suatu graf.......................................................................... 11

  BAB III GRAF PLANAR............................................................................... 27 A. Graf planar ....................................................................................27 B. Formula Euler untuk graf planar....................................................30 C. Karakterisasi dari graf planar........................................................ 40 BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 52 Kesimpulan .........................................................................................52 DAFTAR PUSTAKA

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Dalam berbagai masalah yang berkaitan dengan relasi biner, representasi

  grafik seringkali merupakan bentuk penyajian yang memudahkan. Hal inilah yang mendasari pembelajaran tentang teori graf.

  Secara umum graf dapat digambarkan dengan berbagai macam cara,sebagai contoh graf lengkap K

  4 dan graf bipartite lengkap K 3,3 bisa digambarkan sebagai berikut.

  Dalam menggambarkan suatu graf yang menjadi masalah adalah bagaimana menentukan apakah suatu graf bisa digambarkan pada suatu bidang rata tanpa adanya ruas yang berpotongan. Hal inilah yang mendasari penulis untuk membahas mengenai graf planar. Graf planar merupakan salah satu bagian dari topik teori graf. Seperti yang telah didefinisikan, graf planar ialah suatu

  2 contoh diatas graf lengkap K

  4 merupakan graf planar, sedangkan graf bipartite lengkap K 3,3 merupakan graf non planar.

B. PERUMUSAN MASALAH

  Sifat-sifat apa yang berlaku pada graf planar? C.

MANFAAT PENULISAN

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah untuk memperdalam pemahaman tentang graf planar.

  D. METODE PENULISAN

  Metode yang digunakan adalah metode studi pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan graf planar sehingga didalam skripsi ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

  E. SISTEMATIKA PENULISAN

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Manfaat Penulisan D. Metode Penulisan E. Sistematika Penulisan

  3

  BAB II GRAF A. Graf B. Perjalanan,Perjalanan kecil,Lintasan,dan Putaran C. Derajat suatu Graf BAB III GRAF PLANAR A. Graf Planar B. Formula Euler untuk Graf Planar C. Karakterisasi dari graf planar BAB IV PENUTUP Kesimpulan

BAB II GRAF Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai graf yang menjadi dasar dalam

  mempelajari tentang graf planar pada bab 3. Definisi mengenai graf akan diberikan berikut ini. Pada bab ini juga akan diberikan hal-hal yang berkaitan dengan graf.

  A.Graf Definisi 2.1

  Suatu graf G, lengkapnya G (V,E) terdiri atas 2 himpunan :

  1. Himpunan V , yang elemen-elemennya disebut simpul (vertex).

  Himpunan V elemen-elemennya berhingga tetapi tidak kosong.

  2. Himpunan E , yang merupakan himpunan pasangan tidak terurut dari simpul-simpul elemen V yang disebut ruas (edge).

  3. Setiap ruas terletak antara dua simpul. Graf dapat digambarkan pada bidang datar, simpul digambarkan sebagai simpul, sedangkan ruas digambar sebagai kurva yang menghubungkan dua simpul.

  Banyaknya simpul dari sebuah graf disebut order, ditulis n(G) sedangkan banyaknya ruas dari sebuah graf G disebut ukuran (size), ditulis m(G).Suatu (n,m) graf mempunyai order n dan ukuran(size) m.

  Contoh 2.1 :

  Misal G adalah graf dengan V = {v 1, v 2, v

  3 ,v 4 } dan E = {e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 } dimana e 1 =(v 1 ,v 4 ), e 2 =(v 1 ,v 2 ), e 3 =(v 2 ,v 3 ), e 4 = (v 3 ,v

4 ), e

5 =(v 1 ,v 3 ).n=4 dan m=5

  Definisi 2.2

  Dua atau lebih ruas yang menghubungkan pasangan simpul yang sama disebut

  

ruas ganda , dan sebuah ruas yang menghubungkan suatu simpul dengan simpul

  itu sendiri disebut loop. Suatu graf yang tidak mempunyai loop atau ruas ganda disebut graf sederhana.

  Contoh 2.2 : Dalam gambar 2.2, e dan e adalah ruas ganda sedangkan e adalah loop.

  1

  2

  5 Graf tersebut bukan graf sederhana.

  Definisi 2.3

  Dua simpul yang langsung dihubungkan oleh suatu ruas disebut simpul-simpul yang adjacent (bertetangga).

  Definisi 2.4

  Dua buah graf G(E,V) dan G*(E*,V*) disebut isomorfik, jika G*(E*,V*) dapat diperoleh dengan memberi nama simpulnya lagi, yaitu jika ada korenspondensi satu-satu antara simpul G(E,V) dan simpul G*(E*,V*), sedemikian hingga banyak sisi yang menghubungkan setiap pasang simpul G(E,V) sama dengan banyak sisi yang menhubungkan pasangan simpul yang berkorespondensi di G*(E*,V*). Dua graf G

  1 dan G 2 yang isomorfik dinotasikan dengan G

  1 2 .

  ≈ G

  Contoh 2.3 : v

  4 _{1 4 2 2}

  3

₁

₃ Gambar 2.3

B. Perjalanan, Perjalanan Kecil, Lintasan, dan Putaran Definisi 2.6

  

Perjalanan (walk) pada suatu graf G ialah barisan simpul dan ruas yang

  bergantian, dimulai dan diakhiri dengan simpul, dimana setiap ruas bertemu dengan simpul di kanan kirinya.

  Contoh 2.4 : v

₂

e

₂

e ₁ v e e ₃

³

₄ v v _{1 4} e ₅ e ₇ e ₆ v ₅ Gambar 2.4

  Pada graf G di atas contoh perjalanan ialah lintasan P v e v e v e v dan biasa

  1

  3

  3

  4

  4

  4

  3 Menyajikan suatu perjalanan dapat dilakukan dengan hanya menulis simpul- simpul yang dilaluinya, sehingga perjalanan di atas dapat ditulis v

  1 v 3 v 4 v 3 (ruas- ruas tidak ditulis).

  Dalam suatu perjalanan simpul dan ruas boleh di ulang (dapat muncul lebih dari satu kali).

  Apabila simpul awal sama dengan simpul akhir maka perjalanan itu disebut

  tertutup , contohnya v 1 v 3 v 4 v 3 v 2 v 3 v 1 pada graf G dalam gambar 2.4 diatas. Apabila tidak demikian maka perjalanannya disebut terbuka.

  Definisi 2.7

Perjalanan kecil (trail) adalah perjalanan dimana semua ruas dalam barisan

tersebut berbeda (tidak diulang), tetapi simpul-simpul boleh diulang.

  Contoh 2.5 :

  Perjalanan kecil pada graf G dalam gambar 2.4 di atas adalah v . Tampak

  1 v 2 v 3 v 1 v

  4

  bahwa semua ruas yang dilalui berlainan tetapi v 1 diulang.

  Definisi 2.8

Lintasan (path) ialah suatu perjalanan kecil dimana semua simpul-simpulnya

  berlainan (kecuali jika perjalanan kecil itu itu tertutup sehingga simpul awal sama dengan simpul akhir).

  Contoh 2.6 :

  Lintasan pada graf G dalam gambar 2.4 di atas ialah lintasan Q = v

  1 v 2 v 3 v 4 dan biasa ditulis lintasan v -v .

  1

4 Berdasarkan definisi-definisi diatas maka : Pada suatu perjalanan, simpul maupun

  ruas boleh diulang. Pada suatu perjalan kecil, simpul-simpulnya boleh diulang, namun ruas-ruasnya semua berlainan. Sedangkan pada suatu lintasan, simpul- simpul maupun ruas-ruasnya semua berlainan (kecuali lintasan tertutup).

  Definisi 2.9 Putaran (cycle ) adalah suatu lintasan yang tertutup.

  Jika putaran itu mempunyai 3 ruas maka disebut segitiga.

  Contoh 2.7 :

Gambar 2.5

  Pada graf tersebut salah satu putaran adalah v

  1 v 2 v 3 v 4 v 1.

  Definisi 2.10

Panjang suatu perjalanan ialah banyaknya ruas yang muncul pada perjalanan itu.

  Suatu ruas yang muncul dua atau tiga kali, dihitung dua atau tiga kali juga pada perhitungan panjang perjalanan itu.

  Sebagai catatan bahwa panjang tidak ditentukan dengan menggunakan sentimeter melainkan dengan menggunakan definisi di atas.

  Contoh 2.8 : v

₂

e

₂

e ₁ v e e ₃ ³ ₄ v v _{1 4} e ₅ e ₇ e ₆ v ₅ G

  

Gambar 2.6

  Perjalanan pada graf G dalam gambar 2.6 misalnya v memilki

  1 v 2 v 3 v 1 v 3 v

  4 panjang 5.

  Teorema 2.1 Tiap perjalanan u-v dalam graf mengandung lintasan u-v.

  Bukti:

  Misal W sebuah adalah perjalanan u-w dalam graf G.Jika W tertutup, jelas mengandung lintasan. Diberikan W:u=u ,u

  1 ,u 2 ,…,u k =v sebuah perjalanan terbuka

u -v dari graf G.Jika tidak ada simpul dari G terdapat dalam W lebih dari

  sekali,maka W adalah lintasan u-v. Dilain pihak,jika terdapat simpul dari G yang terdapat dalam W dua kali atau lebih.

  Misal i dan j bilangan positif yang berbeda,dengan i ≤ j, sedemikian hingga

  

u i =u j .Jika u i ,u i+1 ,…,u j-1 dihapus dari W, sebuah perjalanan u-v, diperoleh memiliki

  simpul lebih sedikit dari W. Jika tidak terdapat pengulangan dari simpul-simpul dalam W

  1 , maka W 1 adalah lintasan u-v. Jika terdapat pengulangan simpul dalam

W , lanjutkan langkah di atas sampai akhirnya mendapatkan perjalanan u-v yang

  1 mengandung lintasan u-v.

  ■

C. Derajat Suatu Graf Definisi 2.11 Derajat (degree) suatu simpul adalah banyaknya ruas yang bertemu di simpul itu.

  Sedangkan jumlah derajat semua simpul graf G disebut derajat Graf G.

  

Derajat terkecil dari suatu graf G adalah derajat terkecil dari simpul-simpul dari

  Contoh 2.9 : v

₂

e

₂

e ₁ v

e e

₃

₃

₄ v v _{1 4} e ₅ e ₇ e ₆ v ₅ G

  

Gambar 2.7

  Pada graf G diatas derajat (degree) dari v (disingkat deg v ) adalah 4, deg v = 2,

  

1

  1

  2

  deg v

  3 = 2, deg v 4 = 3, dan deg v 5 = 2. δ(G)=2 dan Δ(G)=4 Teorema 2.2 (The Handshaking Lemma)

  Hasil penjumlahan derajat-derajat dari semua simpul pada setaip graf adalah sama dengan dua kali banyaknya ruas dari graf tersebut.

  Apa bila banyaknya simpul dari graf G di sajikan dengan huruf n dan banyaknya ruas disajikan dengan huruf m ( disingkat suatu (n,m) graf ) maka teorema 2.1 diatas dapat disajikan dengan rumus :

  = 2m

  ∑ deg v i

  Bukti :

  Menurut definisi 2.1 datum 3 tentang konsep graf, setiap ruas terletak antara dua simpul. Sehingga sumbangan tiap ruas pada adalah 2. Karena banyaknya ∑ deg v i ruas adalah m maka di dapat ∑ deg v i = 2m.

  ■

  Definisi 2.12

  Suatu simpul dengan derajat nol disebut simpul terasing (isolated vertex) sedangkan simpul dengan derajat satu disebut simpul akhir (end vertex).

  Definisi 2.13

  Sebuah graf sebuah graf G adalah beraturan dengan derajat r jika deg v=r untuk tiap simpul v dari G.

  Contoh 2.10 :

  Dibawah ini disajikan graf-graf beraturan dengan derajat masing- masing simpul 0, 1, dan 3.

  

Gambar 2.8

  Suatu fakta yang harus diperhatikan adalah bahwa pada suatu putaran, banyaknya simpul = banyaknya ruas.

  Contoh 2.11 :

  : Putaran dengan 5 simpul dan 5 ruas

  C

  5 Gambar 2.9 Definisi 2.14

  Graf G disebut terhubung (connected) jika dan hanya jika setiap dua simpul yang berlainan dihubungkan dengan sekurang-kurangnya satu lintasan.

  Contoh 2.12 :

Gambar 2.10 Definisi 2.15

  Suatu graf G disebut lengkap (complete) jika setiap dua simpulnya bertetangga. Jadi suatu graf lengkap berorder n dan berukuran m adalah sebuah graf beraturan berderajat n-1 dan mempunyai m=n(n-1)/2, dan graf ini ditulis dengan K .

  n Contoh 2.13 :

  

Graf K

  5

  Definisi 2.16

  Suatu graf G disebut bipartite (disingkat bigraf) jika dan hanya jika dipenuhi :

  1. Himpunan simpul-simpul dari G dapat dipisahkan atas dua himpunan V

  1

  dan V

  2 yang saling asing ( V 1 ∩

  V 2 = φ ).

  2. Setiap ruas x dari G menghubungkan simpul di V

  1 dengan simpul di V 2 .

  Sehingga tidak ada simpul-simpul di V

  1 yang terhubungkan satu dengan

  yang lain. Demikian juga dengan simpul-simpul di V 2 . Apabila setiap simpul di V

  1 bertetangga dengan setiap simpul di V 2 maka disebut

  bipartite lengkap graf. Jika V mempunyai m simpul dan V mempunyai n simpul

  1

  2

  maka complete bipartite tersebut disajikan dengan K m,n . Bigraf lengkap K 1,n disebut “star” (bintang).

  Contoh 2.14 :

  Graf bipartite Graf bipartite lengkap

  Gambar 2. 12 Definisi 2.17

  Suatu pohon (tree) adalah graf terhubung yang tidak memuat putaran (cycle).

  Contoh 2.15 :

  Pohon

  Gambar 2.13

  Definisi 2.18

  Misal suatu graf G dengan himpunan simpul V dan himpunan ruas E. Suatu

  subgraf dari G adalah graf yang semua simpulnya menjadi bagian dari V dan semua ruasnya menjadi bagian dari E.

  Contoh 2.16 :

  Jika G suatu graf terhubung dibawah ini, dimana V = {v

  1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } dan E = { e ,e ,e ,e ,e } dengan e = (v ,v ), e = (v ,v ), e = (v ,v ), e = (v ,v ),

  1

  2

  3

  4

  5

  1

  1

  2

  

2

  1

  3

  3

  2

  4

  4

  2

  3 e 5 = (v 3 ,v 4 ) maka graf berikut ini adalah subgraf dari G.

  4 Graf G

Gambar 2.14 Gambar 2.15

  V = {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } E = {e 1 ,e 2 ,e 3 } dimana e 1 = (v 1 ,v 3 ), e 2 = (v 2 ,v 3 ), e 3 = (v 3 ,v 4 ) Gambar 2.15 merupakan subgraf dari graf G di atas.

  Definisi 2.19

  Jika U adalah subhimpunan tidak kosong dari himpunan simpul V(G) dari graf G, maka subgraf ⟨U⟩ dari G diinduksi oleh U adalah graf yang memiliki simpul U dan yang himpunan ruasnya terdiri dari ruas-ruas dari G yang bertemu dengan dua anggota dari U.

  Sebuah subgraf H dari G disebut simpul-induksi atau diinduksi sederhana jika H = ⟨U⟩ untuk suatu subhimpunan U dari V(G).

  Contoh 2.17: V (G) = {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 }

  ⟨U⟩ = {v

  1 ,v 2 ,v 5 }

  ⟨U⟩ :

Gambar 2.16 Definisi 2.20

  Graf trivial adalah graf yang tidak memiliki ruas.

  Definisi 2.21

  Misal G suatu graf terhubung. Suatu pohon penyangga (spanning tree) pada G adalah suatu subgraf dari G yang memuat semua simpul dari G dan juga merupakan suatu pohon. Ruas dari pohon disebut cabang (branches).

  Contoh 2.18 :

v w v w

z y x z x y

  graf G pohon penyangga

  Definisi 2.22

  Sebuah simpul dari graf terhubung adalah cut-vertex jika penghapusannya menghasilkan graf yang tidak terhubung.

  Teorema 2.3

  Sebuah simpul v dari graf G disebut cut-vertex jika dan hanya jika terdapat simpul-simpul u dan w (u,w ≠ v) dimana v berada dalam tiap lintasan u-w dari G.

  Bukti:

  Cukup dibuktikan untuk graf terhubung. Misal v sebuah cut-vertex dari G;maka graf G − v tidak terhubung. Jika u dan w simpul-simpul dalam komponen berbeda dari G − v, maka tidak terdapat lintasan u-w dalam G − v. Bagaimanapun,karena G terhubung, terdapat lintasan u-w dalam G. Selanjutnya, tiap lintasan u-w dari G mengandung v.

  Kebalikannya, anggap bahwa terdapat simpul u dan w dalam G yaitu simpul v berada pada tiap lintasan u-w dari G. Maka tidak terdapat lintasan u-w dalam

  G

  − v. Akibatnya G − v tidak terhubung dan v adalah cut-vertex dari G. ■

  Definisi 2.23

  Sebuah graf terhubung yang tidak kosong tanpa cut-vertices disebut graf yang tidak dapat dipisahkan.

  Definisi 2.24

  Sebuah ruas dalam graf terhubung adalah jembatan jika penghapusannya mengakibatkan sebuah graf tidak terhubung.

  Teorema 2.4

  Sebuah ruas e dari graf G adalah jembatan jika dan hanya jika e tidak terdapat dalam putaran dari G.

  Bukti :

  Anggap, tanpa kehilangan keadaan umum,bahwa G adalah terhubung, karena

  e =(u,v) sebuah ruas dari G, dan anggap bahwa e berada pada putaran C dari G .Selanjutnya, diberikan w 1 dan w 2 sembarang simpul-simpul berbeda dari G.Jika e tidak berada pada w 1 -w 2 lintasan P dari G, maka P juga merupakan lintasan w -w dalam G

• w dari G,

  1 2 − e. Jika,bagaimanapun e berada pada lintasan w

  1

  2

  kemudian menggantikan e dengan lintasan u-v (atau lintasan v-u) dan C tidak mengandung e menghasilkan perjalanan w -w dalam G

  

1

2 − e.Dengan teorema 2.1

  terdapat lintasan w

  1 -w 2 dalam G − e. Karena w 1 dan w 2 terhubung dalam G − e sehingga e bukan jembatan.

  Kebalikannya, anggap bahwa e bukan jembatan dari G.Karena G − e terhubung. Oleh karena itu terdapat lintasan u-v dalam G − e; bagaimanapun P bersama dengan e menghasilkan putaran dalam G mengandung e. ■

  Teorema 2.5

  Sebuah graf G yang mempunyai order paling sedikit 3 adalah tidak dapat

  dipisahkan jika dan hanya jika setiap dua simpul dari G berada pada suatu simpul umum dari G.

  Bukti:

  Diberikan G sebuah graf yang tiap dua dari simpul-simpulnya berada pada putaran.Sehingga G terhubung.Anggap bahwa G dapat dipisahkan.Oleh karena itu

  G mengandung sebuah cut-verrtex v.Dengan teorema 2.3, terdapat simpul u dan w

  sedemikian hingga v berada pada lintasan u-w dalam G. Diberikan C sebuah putaran dari G yang mengandung u dan w. Putaran C menentukan u-w dua lintasan yang berbeda;satu yang tidak mengandung v, berlawanan dengan fakta bahwa tiap lintasan u-w mengandung v. Karena itu, G tidak dapat dipisahkan.

  Sebaliknya, diberikan G sebuah graf yang tidak dapat dipisahkan dengan paling sedikit tiga simpul. Tunjukkan bahwa tiap dua simpul dari G berada pada putaran umum dari G. Diberikan u sebuah simpul sembarang dari G, dan ditulis dengan U himpunan dari semua simpul-simpul yang berada pada sebuah lintasan yang mengandung u. Tunjukkan bahwa U=V=V(G). Anggap bahwa U ≠ V; maka terdapat sebuah

  v ∈ V − U .

  Karena G tidak dapat dipisahkan, sehingga tidak mengandung cut-vertice, dan lebih lanjut,karena derajat dari G paling sedikit 3, graf G tidak mengandung jembatan. Berdasarkan teorema 2.3, setiap ruas dari G berada pada suatu putaran

  

U . Karena G terhubung, terdapat sebuah lintasan u-v, u = u 0, u 1, u 2 , ...,u k =v dalam

∈

  G. Ambil i bilangan bulat terkecil, 2 ≤ i ≤ k, yakni u i ∉U; demikian u i-1 U. Ambil

  

C menjadi sebuah putaran mengandung u dan u i-1 . Karena u i-1 buka cut-vertex

dari G, terdapat suatu lintasan u -u : u = v ,v ,v ,…v = u tidak mengandung u . i i

  1 2 l i-1

  Jika hanya simpul umumnya pada P dan C adalah u, maka terdapat suatu putaran bertetangga pada u dan u i , yang menghasilkan suatu kontradiksi. Karena itu P dan

  

C memiliki sebuah simpul yang umumnya berbeda dari u. Ambil j menjadi

  bilangan bulat terkecil 1 j ≤ ≤ l, yakni v j termasuk pada keduannya P dan C. Suatu putaran mengandung u dan u sekarang dapat di kontruksikan yang awalnya

  i

  dengan u i -v j bagian lintasan dari P, pada sepanjang C dari v j ke u dan lalu ke u i-1 , dan akhirnya mengambil ruas u kembali ke u . Demikian, kontradiksi timbul

i-1 u i i

  lagi, berarti bahwa tidak terdapat simpul v dan bahwa setiap dua simpul berada pada sebuah putaran.

  ■

  Definisi 2.25

  Sebuah blok dari graf G adalah maximal subgraf yang tidak dapat dipisahkan dari G.

  Jika suatu graf terhubung G mengandung sebuah blok, maka G adalah graf yang tidak dapat dipisahkan. Dengan alasan ini, suatu graf yang tidak dapat dipisahkan juga merupakan sebuah blok untuk dirinya sendiri.Tiap dua blok mempunyai paling banyak satu simpul bersama,disebut suatu cut-vertex.

  Pada gambar dibawah ini memiliki lima blok B 1 ≤ i ≤ 5 , yang

  i,

Gambar 2.18 Definisi 2.26

  Setiap graf tidak terhubung dapat dibagi menjadi sejumlah subgraf terhubung yang disebut komponen.

  Nilai dari komponen dari graf G dilambangkan dengan k(G).

  Definisi 2.27

  Sebuah jembatan yang bertemu dengan sebuah simpul akhir disebut ruas melingkar (pendant edge).

  Definisi 2.28

  Sebuah simpul bagian dalam dari lintasan u-v dalam P adalah banyaknya simpul

  Definisi 2.29

  Suatu himpunan {P

  1 ,P 2 ,…,P k } dari lintasan dikatakan memisah secara internal

  jika tiap simpul dari Pi(i=1,2,…,k) tidak berada pada lintasan P (j ≠ i ). Secara

  j

  khusus, dua lintasan u-v disebut memisah secara internal jika mereka tidak memiliki simpul secara umum, selain dari u dan v.

BAB III GRAF PLANAR Dalam bab ini akan dibahas tentang graf planar beserta beberapa metode

  yang berkaitan, dimana diberikan graf yang dapat digambarkan tanpa adanya ruas yang berpotongan. Pada Bab ini juga akan yang diberikan hasil dari metode Euler dan Kuratowski.

  A.Graf Planar

  Secara umum sebuah graf dapat digambarkan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, graf lengkap K dan graf bipartite lengkap K dapat digambarkan sebagai

  4 3,3

  berikut

  Gambar 3.1

  Untuk beberapa graf, seperti K memungkinkan untuk digambarkan tanpa

  4

  berpotongan, akan tetapi untuk yang lain seperti K 3,3 tidak dapat digambarkan tanpa berpotongan. Inilah yang membuat kita membuat definisi berikut ini.

  Definisi 3.1

  Suatu graf G adalah graf planar jika dapat digambarkan pada bidang datar tanpa

  Contoh 3.1 :

  Graf K 4 di atas adalah graf planar. Sebagai catatan dalam mempelajari graf planar, kita bisa membatasi perhatian kita pada graf sederhana.

  Jika graf planar mempunyai ruas ganda atau loop-loop, kita sederhanakan ruas ganda menjadi satu ruas dan menghilangkan loop-loop. Setelah menggambarkan hasil dari graf sederhana tanpa berpotongan, kita dapat kemudian memasukkan loop-loop dan ruas ganda.

  A Masukan

  A A B A B loop-loop

  Hapus loop Gambar dan dan tanpa

  Ruas Memotong

  Ruas D

  Ganda Ganda

  C D B B D C C C

Gambar 3.2 Definisi 3.2

  Penggambaran dari graf planar dimana tanpa ada ruas yang berpotongan disebut graf bidang.

  Setiap graf bidang dari graf planar G membagi bidang menjadi beberapa bagian yang disebut region.

  Definisi 3.3

  

Batas setiap sisi region terdiri dari sebuah barisan ruas yang membentuk sebuah

perjalanan tertutup.

  Derajat dari suatu region (dinotasikan dengan deg r) adalah panjang dari perjalanan tertutup disekitarnya yang membatasi region tersebut.

  JIka semua region mempunyai derajat yang sama (sebutlah g), maka G disebut graf dengan region yang teratur berderajat g.

  Contoh 3.2

Gambar 3.3

  Jika graf G seperti pada gambar diatas, maka G memiliki empat region. Pada tiap gambar diperoleh deg r

  1 = 3, deg r 2 =

  4 , deg r

  

3 = 9, deg r

4 = 8 Terema 3.1 (HandShaking lemma untuk Graf Planar):

  Jumlah derajat semua region adalah sama dengan dua kali banyaknya ruas pada graf G.

  ∑ deg r i = 2m

  Bukti: dalam sebuah region yang akan di hitung dua kali dalam menunjukkan derajat dari sebuah region.

  ■

  B.Formula Euler untuk Graf Planar Teorema 3.2 (Rumus Euler’s)

  Jika G suatu graf planar terhubung, dan diberikan n, m, dan r menunjukan masing- masing adalah banyaknya simpul, ruas dan region pada graf bidang dari G. Maka

  n – m + r = 2 Bukti :

  Setiap graf terhubung G dapat dibentuk dengan mengambil sebuah spanning tree dan menambahkan ruas, sampai graf G terbentuk. Kita buktikan hasilnya dengan menunjukan bahwa :

  a) untuk sebuah pohon penyangga, n – m +r = 2;

  b) pada tiap tingkatan, penjumlahan dari suatu ruas tidak berubah nilainya dari n – m + r.

  Pertama, kita buktikan a) Jika T adalah sebuah pohon penyangga dari G, kita bisa gambarkan T pada bidang, sebagai contoh :

  Gambar 3.4 Karena T mempunyai n simpul dan n-1 ruas, dan hanya ada 1 region, kita punya

  n – m + r= n - (n-1) + 1 = 2 sebagai hasil.

  Kedua akan dibuktikan b) Bila kita menabahkan sebuah ruas, sedemikian hingga sebuah ruas harus menghubungkan dua simpul yang berbeda, atau menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya sendiri (bila itu adalah loop), maka pada kasus kedua ruas tersebut memotong region tersebut menjadi dua region,seperti ditunjukan oleh gambar dibawah :

  

Gambar 3.5

  Ini tidak mengubah n, m bertambah 1, dan r bertambah 1, karena itu n - m + r tidak berubah. Karena n - m + r = 2 sepanjang proses tersebut,pernyataan b) terbukti. Menggunakan rumus Euler, kita bisa memperoleh sejumlah hasil yang bermanfaat.

  Pada kasus khusus kita bisa memberikan bukti alternatif dari kenyataan bahwa K

  5 dan K 3,3 adalah non planar.

  ■

Gambar 3.6 Teorema 3.3

  Jika G suatu graf planar sederhana terhubung dengan n ≥ 3 simpul dan m ruas, maka m=3n-6.

  Bukti :

  Untuk graf bidang dari G dengan r region.Batas dari tiap region adalah sebuah segitiga,dan tiap ruas adalah batas dari dua region.Oleh karena itu,jika banyaknya ruas pada batas suatu region di jumlahkan semua,hasilnya adalah 3r.Pada sisi lain,

  2 penjumlahan tersebut menghitung ruas dua kali,jadi 3r =2m,diperoleh r = m .Ini 3 dikombinasikan dengan rumus Euler’s r = m – n +2,diperoleh m – n + 2

  2 = m ,sehingga m = 3n-6.

  ■

  3 Akibat 3.1 Jika G suatu graf planar sederhana terhubung dengan n

  ≥ 3 simpul dan m ruas,

  Bukti :

  Untuk graf bidang dari G dengan r region, berdasarkan handshaking lemma untuk graf planar bahwa 2m ≥ 3r (karena derajat dari tiap region dari graf sederhana ₂ paling sedikit 3)., diperoleh r m. Ini dikombinasikan dengan rumus Euler’s r

  ≤ _{3 2} = m – n + 2, diperoleh m – n + 2 m, dan oleh karena itu m

  ≤ ≤ 3n – 6. ■ ₃ Contoh 3.3 :

  K 5 adalah graf nonplanar.

  Bukti : Andaikan bahwa K

  5 graf planar sederhana terhubung adalah graf planar. Karena K

5 mempunyai lima simpul dan sepuluh ruas, berdasarkan akibat 3. 1 bahwa m =

  10 dan 3n – 6 = 9,jadi m > 3n-6. Kontradiksi ini menunjukan bahwa K

  5 adalah non planar.

  Akibat 3. 1 tidak dapat digunakan untuk membuktikan bahwa K adalah

  3,3 non planar. Akan tetapi, kita dapat menggunakan akibat berikut ini.

  Akibat 3.2

  Jika G adalah graf planar sederhana terhubung dengan n simpul dan m ruas, dan tidak memuat segi tiga maka m ≤ 2n-4.

  Bukti : Untuk gambar bidang dari G dengan r region, berdasarkan handshaking lemma

  1

  tanpa segitiga paling sedikit 4), sehingga r . Ini dikombinasikan dengan ≤ m _{2 1} formula Euler r= m – n + 2, diperoleh m – n + 2 , dan oleh karena itu m

  ≤ m ≤ 2n – ₂ 4.

  ■

  Contoh 3.4 : K 3,3 adalah non planar.

  Bukti :

  Kita tahu K 3,3 bahwa adalah graf sederhana terhubung. Karena K 3,3 mempunyai enam simpul dan sembilan ruas dan tidak memuat segitiga, berdasarkan dari akibat 2 bahwa 9

  3,3 adalah non

  ≤ (2 x 6) – 4 = 8. Kontradiksi ini menunjukan bahwa K planar. ■

  Akibat 3.3:

  Jika G adalah graf planar sederhana terhubung.Maka G mempunyai sekurangnya satu simpul berderajat 5 atau kurang.

  Bukti :

  Berdasarkan akibat 3.1, kita peroleh m ≤ 3n-6.Andaikan bahwa setiap simpul pada G mempunyai derajat 6 atau lebih.Maka kita peroleh 2m ≥ 6n ( karena 2m adalah penjumlahan dari derajat-derajat simpul ),sehingga m

  ≥ 3n. Kontradiksi ini menunjukan bahwa sedikitnya satu simpul mempunyai derajat 5 atau kurang. ■ Sekarang kita gunakan rumus Euler’s untuk menunjukkan mengapa hanya ada lima polyhedra konvex beraturan yaitu tetrahedron, kubus, octahedron, dodecahedron, and icosahedron. tetrahedron kubus octahedron icosahedron dodecahedron

Gambar 3.7 Definisi 3.4

  Suatu polyhedron dikatakan konvex jika setiap garis lurus yang menghubungkan

  Kita gunakan kenyataan bahwa kita dapat menyajikan tiap polyhedron sebagai suatu graf planar dengan memproyeksikan pada suatu bidang.Hal ini tampak seperti gambar dibawah ini :

  Gambar 3.8 Metode dari proyeksi ini di kenal sebagai stereographic projection, dan telah digunakan oleh A.L Cauchy pada 1813 dalam papernya Recherches surles

  

polyedres (Researches on polyhedra).Dalam paper ini dia mengambil perumusan

  tentang graf planar dari rumus Euler, dan menggunakan itu untuk membuktikan bahwa hanya ada lima polyhedra cembung beraturan.

  Torema 3.3 (Rumus Euler Untuk Polyhedron)

  Jika V,E dan R adalah banyaknya titik, ruas dan region dari sebuah polyhedron , maka

  

V – E + R = 2

  Bukti untuk teorema ini sama dengan teorema 3.1

  Teorema 3.4 Jika P adalah sebuah polyhedron dan jika G adalah graf yang mewakilinya.

  Andaikan P mempunyai V titik, E ruas dan R region.Untuk tiap k, V k adalah banyaknya titik dengan derajat k dan R k adalah banyaknya region yang dibatasi oleh suatu k-putaran,maka

  kV = 2E = kR _{k k} ∑ ∑ _{k k}

  ≥3 ≥3 Bukti :

  Karena tiap ruas dari suatu polyhedron tepat menyentuh dua titik dan dua region berbeda maka ruas tersebut di hitung dua kali dalam perhitungan banyaknya titik berderajat k dan banyaknya ruas yang membatasi suatu region,sehingga diperoleh

  

kV = 2E = kR

_{k k ■} ∑ ∑ _{k k}

  ≥3 ≥3 Teorema 3.5

  Paling sedikit ada satu region dari tiap polyhedron dibatasi oleh sebuah k-

  Bukti :

  Andaikan, untuk kebalikannya, bahwa R

  3 = R 4 = R 5 = 0.Dengan menggunakan