Penaksiran Titik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk RATAAN Selang Kepercayaan untuk VARIANSI
PENAKSIRAN PENAKSIRAN
P e n a ks ira n Titik P e n a ks ira n S e la n g S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k RATAAN S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k RATAAN S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k VARIAN S I Met ode Penaksiran Met ode Penaksiran Pen aksiran
1 Pen aksiran
2 Titik Selang g
Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d Nilai sesungguhnya dari suatu b d di l melalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1 . Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di
Contoh 2 . Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul Statdas adalah B. mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB Ilust rasi P r m t r P pul si Parameter Populasi σ
2 µ Populasi Sampel σ
2 µ menaksir
? ? titik?? selan g??
Parameter Sampel ? ?
Param eter sam pel m en aksir param eter populasi m mp Penaksiran Tit ik
Statistik yan g digun akan un tuk m en dapatkan k k d b k i f i
4 taksiran titik disebut p e n a ks ir atau fu n gs i ke p u tu s a n .
X
2
2
s
X Apakah dan s
2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi
dan
2 ? Penaksir Takbias dan Paling Ef isien
5 Definisi Statistik dikatakan penaksir takbias parameter
ˆ
-
bila, ˆ
E [ ]
ˆ
Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi
terkecil disebut penaksir terkecil disebut penaksir yang paling efisien yang paling efisien
2
2
2 Penaksir Tak Bias unt uk dan
6
2 Misalkan peubah acak X N(, ) Misalkan peubah acak X ~ N(, ) n
1 X
- n
X penaksir tak bias untuk . i
i i
1
1 n
2
1
2
2 s X
X i i p penaksir takbias untuk .
- 1
1 n i
1 : dengan menunjukkan bahwa,
Bukti E [ X ]
Penaksiran Selang
7 Taksiran selang suatu parameter populasi
1 ˆ ˆ P
Selan g kepercayaan : perhitun gan selan g
1 ˆ ˆ
2
taraf/koefisien keberartian den gan 0 < < 1. taraf/koefisien keberartian
2
1
1 p
1
2
2
:
2 ˆ
1 ˆ
dan : nilai dari peubah acak dan dan dicari sehin gga m em en uhi :
g p p p
1 ˆ
1 ˆ ˆ
2
1 ˆ
2 ˆ
2 ˆ
1 P
Skema Penaksiran
POPU LAS I
2
2
µ σ
2 POPULASI
2 POPULASI
1 POPULASI
2 POPULASI
1 POPULASI
2 POPULASI BERPASANGAN BERPASANGAN
2
2 Tabel b l
n
Tabel D
1 F
D v v
,
1 2
2
2
2
2
tidak id k σ σ
2
2
2
2
2
2
, = σ
1 σ 2 σ
1 σ
2 σ 1 ≠ σ2
diketahui diketahui diketahui tidak diketahui tidak diketahui
Kurva Normal Baku (Z~N(0, 1)) K N l B k (Z N(0 1)) z menghit ung t abel
P(-z ) /2 ≤ Z ≤ z /2
1- 1-
/2 /2 1 1 -
= 0
- z
z
1- /2 /2
1-
(1- /2) = 5% maka z = z =1,96 P(Z ) = 1 – 0,025 = 0,975 ≤ z
1- /2 0,975 0,975
) = 0,025
) = 0
= 2,262 P(T ≤ t 0,025
= t 0,025;9
= 5% dan n =10 maka t /2;n-1
/2
/2
1 t
/2
Kurva t -
/2 ≤ T ≤ t
/2 /2 P(-t
/2 /2 1 -
) menghit ung t abel t
St udent ( T~t v
) Kurva t -
St udent ( T~t
- t
- Kasus 1 populasi,
Selang Kepercayaan (1-
1
2 diketahui
11
) unt uk
1
1 Z z z P
2
2
2 diketahui :
) untuk jika
SK (1-
X P
n z X n z
1
2
1
1
2
Selang Kepercayaan (1- ) unt uk
X
/ N Z n
TLP : ) ( 1 , ~
12
2 Kasus 1 populasi, tidak diketahui •
P t T t
1
2
2
X ~ t n
1 s n
/
s s P X t
X t 1 n n
2
2
2 (1-
SK ) untuk jika tidak diketahui : s s Cont oh 1 Survey tentang waktu maksimum pemakaian y g p
- komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam dan l d
b k d rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.
Dengan menggunakan taraf keberartian 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya ! Cont oh 2 Survey tentang waktu maksimum pemakaian
- komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet p (j ) gg di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan dengan simpangan baku 10 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya ! Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan
15 Contoh 1 Contoh 2
Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10
2,33 t
X
X S t
S t
X
X z
2,326
z
0,01;49
t
/2;n-1
0,99
55 X
z
1-/2
= 2,326 Jawab : z
0 01;49
= t
/2;n 1
= 2,33 t
0 99
= z
1 /2
2 tidak diketahui, Jawab : z
2 diketahui, kasus menaksir dengan
55 X Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02) Jenis kasus : kasus menaksir dengan
Solusi Cont oh 1 dan 2 Selang Kepercayaan unt uk
2 diketah i
2 tidak diketah i
1 Jika
10
50
51,711 58,290
50 51,705 58,295
50
50
50
10 55 2,33 55 2,33
2 Jika
10 55 2,326 55 2,326
10
2. Jika 2 tidak diketahui.
1. Jika 2 diketahui.
50
-
-
2
)
2
2
, σ
2
~ N (µ
2
X
)
1
2 dan
, σ
1
~ N (µ
1
17 X
2 Kasus 2 populasi
1
) unt uk
Selang Kepercayaan (1-
) unt uk
Selang Kepercayaan (1-
2 diketahui
1. SK (1- ) untuk (
-
1
X X Z
X X Z
( ) ( )
2 1 / 2
1
2
1
2 1 / 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2 ) jika
-
2 tidak diketahui dan
) unt uk
1
2 Selang Kepercayaan (1
) unt uk
1
2 Kasus 2 populasi
18
Selang Kepercayaan (1-
2
2 ≠
2
, 2. SK (1- ) untuk (
2
2
2
2
2
1
2
s s
1
2
2
X X t
2
2
1
1
2
2
dimana ( / ) ( / ) n n s n s n
X X t n n n n
s s s s1
1
1
2
2 ) jika
2
2
2
2
1
2
2
1 2 ; / 2
1
2
1-
1
2
1
2
( ) ( )
1 2 ; / 2
-
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
S n n
2
2 p
2 dimana
1
2
1
n S n S S dan v = n
2 ( 1) ( 1) dimana
2
1
1
1
2
2
1
X X
p
2
2
atau1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
n
1
X X n dan v n
X X n
n n n n
2
2
X X S n n JK JK
1
2 ) jika
3. SK (1- ) untuk ( 1-
19
2 Kasus 2 populasi
1
2 g p y ( )
2
2 =
2 tidak diketahui dan
2 tidak diketahui dan
2
2
1
2 ) jika
1
3 SK (1- ) untuk (
2
1
) unt uk
Selang Kepercayaan (1-
1 ,
1
( ) ( ) p p n n n n
2
1
2
1
1 2 ; / 2
2
1
1 2 ; / 2
2
X X t s
X X t s
1 ( ) ( ) p p
1
1
1
1 2 ; / 2
2
1
1 2 ; / 2
- + n
- 2
Ciri-ciri: Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang
- pengamatan Data berasal dari satu populasi yang sama
- Contoh
Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan
- 2000
Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)
d d d
SK un tuk selisih pen gam atan berpasan gan SK un tuk selisih pen gam atan berpasan gan den gan rataan dan sim pan gan baku S : d s s s s d d d t d t
1;
1; n D n n n
2
2
dimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.
d1
2 merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data. d Kurva khi kuadrat (x ~
)
2
Kurva khi kuadrat (x ) menghit ung t abel v
2
/2
/2 /2
2
2
1
2
1 X P
2
2
= 5% dan n =10 maka,
n
2
2 1 ,
2 , 025 9 ;
19
023 ,
2
1 -
1
2
2
1
2
2
2
- Kasus 1 populasi
2
2 Selang Kepercayaan (1 ) untuk σ
23
1
2
Selang Kepercayaan (1-) untuk σ
2
1 X P
2
2 / 2 1 / 2
2 :
SK (1 - ) 100% untuk
2
( 1) ( 1)
n s n s
2
2
2
1 n s n s P
( 1) ( 1)
2
2
2
2
2
X
2
2
1
2
2
2
( 1) ( 1)
2
( 1) ~ n n s Kurva f isher (F ~
) F
2
2
f
2
1
f 1 -
1 , 1 ;
2
1
2 n n
2
36 ,
n n n n f f
4
8 , , 025 9 ; 1 ,
1 ;
2
2
1
f f n n
= 5% , n
1 = 10 dan n
Kurva f isher (F ) menghit ung t abel
2
F
2
1
,v v F
/2
/2 /2
1
1
1
1
2
1 , ;
2 , ; 2 1 v v v v
F f f P
1 , 1 ; 1 , 1 ;
2
1
1
2
2
1
2 = 9 maka, dan
- Kasus 2 populasi
2
2 ; ,
2
2
2
2 ; ,
2
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
1 v v v v s s P f s f s
SK (1 ) 100% t k
2
1 s s f
1
1
1
2
2
2 :
2
2 /
1
SK (1 - ) 100% untuk
2
/
Selang Kepercayaan (1-) untuk
s F f
2
1
2 2 2 1
2
25
2
1 /
2 Selang Kepercayaan (1 ) untuk
2
2 /
1
1
1
1 s s
2
2
2
2
~ v v s F f s
2
, ;
1
2 1 2 2 , ,
2
1
F f f P
2 1 v v v v
2 , ;
Ref erensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and
- Analysis of Data , USA: Duxbury Press, 1997.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. P ib U S 2007 C t t K li h Bi t ti tik
- Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first
- Course in Data Analysis and Inference , USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang
dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan y , Edisi 4, Bandung: g
Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs