1 Rules of Mixture for Elastic Properties

  • =
  • =
  • − = − + = + = " # " #
  • + V

  $ % V f

  V V V ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

  V V

  V V V ρ ρ ρ ρ m m f f m f f f m m f f

  " !!! + + + = c c b b a a

  # "

  ρ ρ ρ ρ

  • =

  V v c c b b a a

  V v V v

  !!!

  ρ ! "

  V M M M b a c b a

  V M

  V M

  !!! !!!

  ! "

  !

  m =

  & ! !' ! !( ρ

  ) ρ

  • # $ % # $ & ' (

  ) )

  $

  , & # $ "

  # &

  E , E fibre direction 1 || transverse direction

  E , E

  2 ! - & .

  / 01 # , $

  & & ( & " 2 3

  &

  2 4 $ & 2 5

  6 &

  !

  • $
  • ) 1 $"

  &" #

  &" σ σ σ

  • & ε ε ε "
  • 7
    • ' :: '

  $

  !

  ε ε ε

  $

  4

  !

  ! +"

  8

  7

  8 ) " 9 & &

  ≈ & ' ! !' ! !( +, - . / ! !' ! !( +, - . / 1 $ $ 2 %

  !

  3

  σ σ

  # "

  $ $$ * 3 $ $$ $ $ * % % *2 # σ = σ = σ "! 2 f m * .

  $$ % % )) % $ 4 3!

  ) -

  • )

  σ σ

  • )

  σ σ

  • + δ = δ δ

  # &

  2 f m "

  • )
    • + ε L = ε L ε L

  2 2 f f m m 5 σ = σ = σ $

  6 2 f m

  ε = ε (L / L ) + ε (L / L ) 2 f f 2 m m

  2

  5 L / L = V

  3 L / L = V = 1 V

  f 2 f m 2 m f E E V # −

  V " f m f f

  E =

  • =

  V ε (1 V ) + ε = ε

  E

  V E # − V " E E E m f f f f m

  • 2 f f m f

  3 / E = σ

  σ + V / E σ (1 V ) / E

  2 2 f f f m f m

  ! " ( ' ' % - 2 .

  )

  88 ' ) * ! " ( 4/ $$ 2 .

  # 9 " ' ! ! !& !' ! ! !7 !( ≈ ) * ! ! !& !' ! ! !7 !( $ 2 % / / $ $ : 9 !

  )

  $: $ * 3 / $ $ 3 * 3 - ) 88 $ /* $ 3 2 3 ) ) -

  • )

  . 3 $ : // 3 2 * 3 ) 2 2

  6 ) % * !

  # &

  " #

  3

  7

  4 8 &

  " "

  E = + η E

  V E (V ) L f f m f

  • 7 " ) ;

  / 4 % % ) % # η " % - 3 : 3

  L ; 48

  8 η 8 !; ** % // ! : 3 3

  L < % *2 $ $ = % ) - $ 2 ) % / / 4

  3 ) // / ) * . $ .2 $$ $ $ 3 % 2 4 - η and η .

  L o

  • =

  ( ( &

  • =

  ' ( >

  > − = ν $ ) - ) % 3 * $ 4 2 / * % *2 $ $ $ $ -/ $$ * ) - $

  /= $ = // - : % % / /

  4 3 / $ % 2 2 $ 3 * 3 2 * / - )) % $! ) // = 4 1 $ 4 : $ -/ %%

  $ * $ ) $ 2 % 2/ / $ % % $ $6 = 3 ?+,@ : / $ % /% /

  3 /

&

'

! !' ! !( +, - . / ! !' ! !( +, - . / 1 $ $ 2 % & '

  • ,
  • ,
    • . / +, 1 $ $ 2 % +, 2/ = :
    • . / 3 *

  ! !& ! !7

  #$ ' ( ' (

  !' ! ! !7

  $" ! % !

  & ' $ % /

  '

  9 / $

  <= & > 6

  ' & &

  / % . %

  % % % %

  7

  8 %

  • %

  2

  • =

  ' ( $

  % %! ) 2 % / $

  7

  8 =

  ( V # − V "

  ? " f f = +

  G G G f m

  ν ν V ν # V "

  4 1 " = − +

  f f m f

  # & "

  α # α E V α E V " [ − ] + = f f f m m f

  E α α V # ν " α # V "# ν " α ν

  • = − −

  f f f m f m