MAKALAH MACAM MACAM UKURAN STATISTIKA
MAKALAH REVISI
MACAM-MACAM UKURAN STATISTIKA
Dosen Pembimbing :
ZAINAL ABIDIN, S.Pd., M.Pd.I.
Disusun Oleh :
Di susun oleh kelompok 3 :
1. ALFA ULAIYIL UDHAMA
(2012.01.04.0006)
2. SSUROIYAH CHUSNIATI
(2012.01.04.0063)
3. YUNI MAULINDA
(2012.01.04.0113)
FAKULTAS AGAMA ISLAM
UNIVERSITAS DARUL'ULUM JOMBANG
2014
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 1
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 2
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI..............................................................................................................
II
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ........................................................................................
2
B. Rumusan Masalah....................................................................................
2
C. Tujuan.......................................................................................................
2
BAB II PEMBAHASAN
A. Ukuran Gejala Pusat.................................................................................
3
1. Rata-Rata Hitung (Mean)………………………………………………… 3
2. Rata-rata Ukur …………………………………………………………… 4
3. Rata-Rata Harmonik ……………………………………………………. 4
4. Modus …………………………………………………………………… 5
B. Ukuran Letak…………………………………………. ..........................
6
1. Median …………………………………………………………………... 6
2. Kuartil ……………………………………………………………………. 7
3. Desil ……………………………………………………………………... 8
4. Persentil …………………………………………………………………. 9
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ............................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
11
12
Page 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika merupakan disiplin ilmu yang penting ilmu yang berkaitan dengan cara
pengumpulan data, penyajian data, diagram atau grafik, pengolahan data. Dengan demikian ukuran
statistika memiliki beberapa macam ukuran-ukuran. Seperti ukuran gejala pusat yang meneliti setiap
pusat gejala dari data dan ukuran gejala letak merupakan yang meneliti letak gejala yang dibutuhkan
dalam sebuah data.
Sementara setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik, selalu berhubungan dengan data.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia pengertian data adalah keterangan yang benar dan nyata.
Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau informasi yang diperoleh dari
satu pengamatan sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang dapat memberikan
gambaran tentang suatu keadaan.
Dengan demikian, ukuran statistika adalah bilangan yang diperoleh dari sekumpulan data
statistik melalui proses sistimatik tertentu. Digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas
tentang sekumpulan data mengenai sesuatu hal, baik mengenai sampel atau popuasi, selain daripada
data itu disajikan dalam table dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil
kumpulan data tersebut.
Dalam makalah ini penulis akan membahas tentang ukuran gejala pusat dan ukuran letak.
Ukuran gejala pusat meliputi ; rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonic, dan modus. Ukuran
letak meliputi; median, kuartil, desil, persentil.
B. Rumusan Masalah
1. Apa saja macam-macam dari ukuran gejala pusat?
2. Apa saja macam-macam dari ukuran letak?
3. Bagaimana menggunakan mean, media, modus, kuartil, desil, persentil ?
C.
Tujuan
1. Menjelaskan macam-macam dari ukuran gejala pusat
2. Menjelaskan macam-macam dari ukuran letak
3. Menjelasan bagaimana menggunakan menggunakan mean, media, modus, kuartil,
desil, persentil
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 4
BAB II
PEMBAHASAN
A. MACAM-MACAM UKURAN STATISTIK
Ukuran statistik adalah bilangan yang diperoleh dari sekumpulan data statistik melalui proses
sritmatik tertentu. Ukuran yang dihitung dari kumpulan data sampel dinamakan statistic. Apabila
ukuran itu dihitung dari kumpuan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi
dinamakan parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama statistic atau parameter bergantung pada
apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi.
Pada ukuran statistic memiliki alat untuk mengukur yang disebut dengan ukuran gejala pusat
dan ukuran letak. Pada data yang akan diolah, juga dibedakan data terkelompok dan data tidak
terkelompok.
Dan pada kedua ukuran tersebut masing-masing memiliki criteria dalam mengolah dan
mencari sebuah jawaban dari gejala dalam sebuah data grafik maupun table yang bersifat data
kuantitatif.
Sementara data dibagi dalam data terkelompok/ tersusun adalah data yang disajikan dalam
bentuk daftar distribusi frekuensi, karena data cukup besar dan akan mengalami kesulitan dalam
menghitung. Kedua adalah data tidak terke1ompok adalah kebalikan dari data terkelompok, data ini
juga disebut dengan data tidak berbobot yang biasanya menggunakan rumus pada umumnya.1
B. UKURAN GEJALA PUSAT
Suatu ukuran nilai yang diperoleh dari nilai data observasi dan mempunyai kecenderungan
berada di tengah-tengah nilai data observasi. Ukuran gejala pusat dipakai sebagai alat atau sebagai
parameter untuk dapat digunakan sebagai bahan pegangan dalam menafsirkan suatu gejala atau suatu
yang akan diteliti berdasarkan hasil pengolahan data yang dikumpulkan.
1. Rata-Rata Hitung (Mean)
Rata-rata adalah setiap bilangan yang bisa dipakai sebagai wakil dari rentetan nilai
rata-rata itu, wujudnya berupa satu bilangan saja, namun dengan satu bilangan itu akan dapat
tercermin gambaran secara umum mengenai kumpula atau deretan bahan keterangan yang berupa
angka atau bilangan itu.2
Mean (Nilai rata-rata hitung) adalah jumlah dari keseluruhan (bilangan) yang ada
dibagi dengan banyaknya angka bilangan tersebut. Simbul rata-rata untuk sampel ialah ´x (dibaca
1
2
Prioritas Matematika hal.26
Prioritas Matematika hal.30
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 5
eks garis) sedangkan rata-rata untuk poulasi simbul μ (dibaca mu) simbul n untuk ukuran
populasi.
a. Mean data tidak terkelompok
X 1 + X 1 + X 1 +...+ X 1
Rumus x=
n
Contoh :
Nilai UTS statistika yng diperoleh 10 mahasiswa berturut-turut adalah 5, 6, 4, 7, 8, 7, 6, 8,
8, 9. Tentukan nilai rataan hitung nilai tersebut !
Jawab :
x=
∑ x❑
n
=
5+6+ 4+7+ 8+7+6+ 8+8+ 9 68
= 10 = 6,8
10
b. Mean data terkelompok
Rumus
x=x o + p
(
∑ f i ci
∑ fi
)
n : ukuran populasi
x : rata-rata hitung/ nilai rata-rata sampel
p : lebar kelas
x o: nilai tengah dari ∑ f :2
c i : nilai tengah kelas atas dikurangi nilai tengah kelas tengah dibagi lebar kelas
f i : jumlah frekuensi data
Contoh :
No.
Urut
1
2
3
4
Nilai Ujian
fi
xi
ci
f i . ci
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
2
6
8
14
∑ f =¿3
0
46
49
52 = x o
53
-9
-6
0
1
-18
-36
0
14
∑ f i . ci= -40
−40
x=52+3 30 = 52 + 3.-1,3 = 48.1
(
)
Jadi, rata-ratanya adalah 48,1
2. Rata-rata Ukur
Rumus
U =√n x 1 . x 2 . x 3 … x n
U digunakan apabila perbandingan yang relative tetap atau perbandigan(rasio) tetap
sehingga seolah-olah urutan data merupakan barisan geometri.3
Contoh :
Tentukan rata-rata ukur dari data 2, 6, 18, 54
3
Prioritas Matematika hal.24
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 6
Jawab : U =√4 2 . 6 .18 .54 ¿ √4 11.664 = 10,39
3. Rata-Rata Harmonik
Jika diketahui data-data x 1 , x 2 , x 3 ,… x n maka nilai rata-rata harmonis yang diberi
symbol H dapat ditentukan sebagai berikut
Rumus
n
H = 1 + 1 + 1 +…+ 1 atau dapat ditulis secara singkat
x 1 x 2 x3
xn
n
H=
n
1
∑
x
n
i=1
Contoh :
Jarak antara Bandung dan Jakarta 180 km Si A berangkat dengan menggunakan
kendaraan mobil dari bandung menuju Jakarta dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam.
Pulangnya dengan menempuh jalan yang sama dengan kecepatan 90 km/jam. Hitunglah
kecepatan rata-rata pulang pergi !
Jawaban yang salah
Kecepatan rata-rata
80+90
2 = 85 km/jam
Kesalahannya, data ini terdiri dari dua dimensi, yaitu dimensi panjang dan dimensi
waktu. Semua nilai yang terdiri dari lebih dari 1 dimensi tidak dapat diambil rata-rata
begitu saja.
Jawaban yang benar
180 km
Waktu yang diperlukan dari bandung ke Jakarta adalah 80 km/ jam =2,25 jam
Sedangkan waktu yang diperlukan dari Jakarta ke Bandung
180 km
=2 jam
90 km/ jam
Jarak yang ditempuh pulang pergi = 2 x 180 km = 360 km dalam waktu 2,25 + 2 =
4,25 jam
360 km
km 84,71 km
Maka kecepatan rata-rata p.p = 4,25
=
.
jam
jam
Dengan rumus rata-rata harmonis akan lebih cepat lagi. Disini n = 2 yaitu pergi dan
pulang maka;
2
2.80.90
1
1 =
=84,71 km/ jam
H=
170
+
80 90
4. Modus
Modus data kuantitatif duigunakan untuk gejala-gejala yang sering terjdi, diberi
simbol Mo, dan umumnya Mo dipakai sebagai “nilai rata-rata” bagi data kualitatif untuk
digunakan sebagai sebuah kesimpulan.4
4
Metoda Statistika(sudjana) hal.5
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 7
Kematian dibeberapa tempat disebabkan karena wabah malaria, kebanyakan
kecelakaan lalu lintas umumnya karena kecerobohan pengemudi, ini berarti masing-masing
merupakan modus penyebab kematian pada kecelakaan lalu lintas.
a. Modus data tidak terkelompok
Merupakan data yang paling sering muncul atau jumlah frekuensinya terbanyak.
Contoh :
Terdapat sampel dengan nilai data : 12, 34, 24, 12, 24, 12, 12, 34.
Jawab, Frekuensi terbanyak, ialah f = 4, terjadi untuk data bernilai 12. Maka Mo = 12.
b. Modus data terkelompok
Data yang disusun secara terkelompok karena menggunakan daftar distribusi 5.
Biasanya digunakan untuk data yang besar/data yang berbobot maupun data yang tidak berbobot.
Rumus
Mo = b + p
b1
b1 + b 2
( )
b : tepi bawah interval modus
p : panjang kelas
b 1: selisih frekuensi modus dan kelas sebeumnya
b 2 : selisih frekuensi modus dan kelas sesudahnya
Contoh :
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 56
60 - 62
63 - 65
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
Jawab :
Interval modus = 54 – 56
b 1=14−9=5
b 2=14−10=4
5
x=53,5+3 5+ 4 = 53,5 + 3.0,5 = 55
(
)
C. UKURAN LETAK
Ukuran gejala letak dimaksudkan sebgai besaran atau ukuran untuk mendapatkan
gambaran yang lebih jelas berdasarkan letak data dari sekumpulan data yang dipunyai.
5
Proritas Matematika hal.26
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 8
Ukuran ini mengisyaratkan letak pemusatan pengelompokkan data. Oleh karena itu
ukuran-ukuran statistik ini disebut juga Ukuran Letak (Measures of Location). Berikut adalah
macam-macam ukuran gejala letak:
1.
Median
Median merupakan suatu harga yang merupakan titik tengah dari keseluruhan harga
pada suatu satuan data. Oleh karena itu terdapat 50% data yang berada di bawah atau sama
dengan nilai tersebut dan terdapat 50% lagi data yang berada di atas atau sama dengan data
tersebut.6
a.
Median data tidak terkelompok adalah suatu data yang membagi sekelompok data menjadi
dua bagian sama banyaknya.
1
Rumus median bilangan ganjil : Me = data ke 2 (n+1)
1
1
1
Rumus median bilangan genap : Me = 2 (data ke 2 n+data ke 2 n+1 ¿
b.
Median data terkelompok
n
−F
Rumus Me = b + p 2
f
( )
n
b : interval yang memuat data nomor 2 dan tentukan tepi bawahnya.
p : panjang kelas
n
2 : jumlah frekuensi dibagi 2
F : jumlah semua frekuensi dengan tandakelas lebih kecil
f : frekuensi kelas median
Contoh :
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 56
60 - 62
63 - 65
Interval
median 27
Jawab :
54
Interval median : 2 =27 , interval median : 54 – 56
Adapun F = 2 + 6 + 9 =17
Me = 53,5 + 3
6
10
( 27−17
14 )=53,5+ 3 14
= 53,5 + 2,1 = 55,5
Metoda statistika hal.44
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 9
Jadi, mediannya Me = 55,5
2.
Kuartil
Untuk menentukan kuartil dengan cara :
1. Susun data menurut urutan nilainya
2. Tentukan letak kuartil
3. Tentukan nilai kuartil
a.
Kuartil data tidak terkelompok
Merupakan suatu data yang membagi sekelompok data yang sudah diurutkan menjadi
empat bagian yang sama banyaknya, maka akan ditemukan K 1 , K 2 , K 3
Contoh : Data : 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
Q1
Q2
Q3
Q1 = kuartil bawah = 3+4 =3,5
2
Q 2 = kuartil tengah = median = 5+5 =5
2
Q3 = kuartil atas = 6+6 =6
2
b.
Kuartil data terkelompok
¿ −F
Rumus K =b+ p 4
i
f
( )
b : batas bawah kelas K ialah kelas interval dimana K i akan terletak
p : panjang kelas
F : jumlah semua frekuensi dengan tandakelas lebih kecil dari tanda kelas K i
f : frekuensi kelas K i
i : 1,2,3
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk menentukan
3
kuartil ketiga K 3 kita perlu 4 X 54 = 40,5 data. Dengan demikian K 3 terletak dalam kelas
interval kelima dan kelas ini merupakan kelas K 3. Dari kelas K 3ini didapatlah b = 56,5;
p=3; f = 10; F = 2+6+9+14= 31; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
K3
Page 10
3 x 54
4 −31
40,5−31
K 3=56,5+ 3
=56,5+ 3
=56,5+2,85=59,35
10
10
(
)
(
)
Ini berarti ada 25% mahasiswa yang mendapatkan nilai ujian paling tinggi 59,35
3.
Desil
Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak, maka tiap bagian disebut
persepuluhan atau disebut desil. Untuk menentukan desil caranya seperti menentukan cara
kuartil.
a.
Desil data tidak terkelompok
D i= X i .(n +1)
Rumus
10
Contoh : data 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
D 3= X 5
Tentukan D 3 ! jawab :n=16
D 3= X 3. ( 16+1 ) =X 51 =X 5 1
10
10
¿ X5+
10
1
1
1
X −X 5 )= X 5+ ( X 6−X 5 )=4 + ( 4 6−4 5 ) = 0,4
10 ( 5
10
10
Ada 70% mahasiswa paling sedikit mendapat nilai ujian 0,4
b.
Desil data terkelompok
n
−F
10
Rumus D =b+ p
i
f
(
)
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk menentukan
10
Desil ketiga K 3 kita perlu 11 X 54 = 49 data. Dengan demikian D3 terletak dalam kelas
interval ketujuh dan kelas ini merupakan kelas D3. Dari kelas D3ini didapatlah b = 62,5;
p=3; f = 10; F = 2+6+9+14+10+7= 48; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
54
10 −48
= 49,72
Di=62,5+ 3
=62,5+−12,78
10
(
4.
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
D3
)
Persentil
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 11
Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1 s/d 99.
a.
Persentil data tidak terkelompok
P = X i .(n +1)
Rumus i
100
Contoh : data 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
P 3= X 5
Tentukan D3 ! jawab :n=16
P3= X 3. ( 16+1 ) =X 51 =X 5 1
100
100
¿ X5+
100
1
1
1
X −X 5 ) = X 5+
X − X 5 )=4 +
4 −4
100 ( 5
010 ( 6
100 ( 6 5 ) = 00,4
Ada 70% mahasiswa paling sedikit mendapat nilai ujian 00,4
b.
Persentil data terkelompok
n
−F
100
Rumus P =b + p
i
f
(
)
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk
100
menentukan Desil ketiga P3 kita perlu 110 X 54 = 49,09 data. Dengan demikian P3
terletak dalam kelas interval ketujuh dan kelas ini merupakan kelas P3. Dari kelas P3
ini didapatlah b = 62,5; p=3; f = 10; F = 2+6+9+14+10+7= 48; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
54
10 −48
= 49,72
P3=62,5+ 3
=62,5+−12,78
10
(
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
P3
)
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 12
BAB III
KESIMPULAN
Ukuran gejala pusat dipakai sebagai alat dalam menafsirkan suatu gejala atau suatu yang
akan diteliti berdasarkan hasil pengolahan data yang dikumpulkan..
Berikut adalah macam-macam ukuran dalam statistika :
1. Mean (Nilai rata-rata hitung), adalah jumlah dari keseluruhan (bilangan) yang ada dibagi
dengan banyaknya angka bilangan tersebut.
2. Modus adalah Merupakan data yang paling sering muncul atau jumah frekuensinya
terbanyak
3. Median adalah suatu data yang membagi sekelompok data menjadi dua bagian sama
banyaknya.
4. Kuartil adalah Merupakan suatu data yang membagi sekelompok data yang sudah
diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyaknya, maka akan ditemukan
K1 , K 2, K3
5. Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak maka tiap bagian
disebut persepuluhan atau disebut desil.
6. Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1 s/d 99.
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 13
DAFTAR PUSTAKA
Sudjana. 1982. Metoda Statistika. Bandung: Tarsiro.
Drs. Wagiman, M.Pd.. 2005. Prioritas Matematika. Surakarta: PT Widya Duta Grafika
Zainal Abidin.. 2014. Buku pegangan Mahasiswa Statistika Dasar. Jombang
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 14
MACAM-MACAM UKURAN STATISTIKA
Dosen Pembimbing :
ZAINAL ABIDIN, S.Pd., M.Pd.I.
Disusun Oleh :
Di susun oleh kelompok 3 :
1. ALFA ULAIYIL UDHAMA
(2012.01.04.0006)
2. SSUROIYAH CHUSNIATI
(2012.01.04.0063)
3. YUNI MAULINDA
(2012.01.04.0113)
FAKULTAS AGAMA ISLAM
UNIVERSITAS DARUL'ULUM JOMBANG
2014
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 1
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 2
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI..............................................................................................................
II
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ........................................................................................
2
B. Rumusan Masalah....................................................................................
2
C. Tujuan.......................................................................................................
2
BAB II PEMBAHASAN
A. Ukuran Gejala Pusat.................................................................................
3
1. Rata-Rata Hitung (Mean)………………………………………………… 3
2. Rata-rata Ukur …………………………………………………………… 4
3. Rata-Rata Harmonik ……………………………………………………. 4
4. Modus …………………………………………………………………… 5
B. Ukuran Letak…………………………………………. ..........................
6
1. Median …………………………………………………………………... 6
2. Kuartil ……………………………………………………………………. 7
3. Desil ……………………………………………………………………... 8
4. Persentil …………………………………………………………………. 9
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ............................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
11
12
Page 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika merupakan disiplin ilmu yang penting ilmu yang berkaitan dengan cara
pengumpulan data, penyajian data, diagram atau grafik, pengolahan data. Dengan demikian ukuran
statistika memiliki beberapa macam ukuran-ukuran. Seperti ukuran gejala pusat yang meneliti setiap
pusat gejala dari data dan ukuran gejala letak merupakan yang meneliti letak gejala yang dibutuhkan
dalam sebuah data.
Sementara setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik, selalu berhubungan dengan data.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia pengertian data adalah keterangan yang benar dan nyata.
Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau informasi yang diperoleh dari
satu pengamatan sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang dapat memberikan
gambaran tentang suatu keadaan.
Dengan demikian, ukuran statistika adalah bilangan yang diperoleh dari sekumpulan data
statistik melalui proses sistimatik tertentu. Digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas
tentang sekumpulan data mengenai sesuatu hal, baik mengenai sampel atau popuasi, selain daripada
data itu disajikan dalam table dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil
kumpulan data tersebut.
Dalam makalah ini penulis akan membahas tentang ukuran gejala pusat dan ukuran letak.
Ukuran gejala pusat meliputi ; rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonic, dan modus. Ukuran
letak meliputi; median, kuartil, desil, persentil.
B. Rumusan Masalah
1. Apa saja macam-macam dari ukuran gejala pusat?
2. Apa saja macam-macam dari ukuran letak?
3. Bagaimana menggunakan mean, media, modus, kuartil, desil, persentil ?
C.
Tujuan
1. Menjelaskan macam-macam dari ukuran gejala pusat
2. Menjelaskan macam-macam dari ukuran letak
3. Menjelasan bagaimana menggunakan menggunakan mean, media, modus, kuartil,
desil, persentil
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 4
BAB II
PEMBAHASAN
A. MACAM-MACAM UKURAN STATISTIK
Ukuran statistik adalah bilangan yang diperoleh dari sekumpulan data statistik melalui proses
sritmatik tertentu. Ukuran yang dihitung dari kumpulan data sampel dinamakan statistic. Apabila
ukuran itu dihitung dari kumpuan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi
dinamakan parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama statistic atau parameter bergantung pada
apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi.
Pada ukuran statistic memiliki alat untuk mengukur yang disebut dengan ukuran gejala pusat
dan ukuran letak. Pada data yang akan diolah, juga dibedakan data terkelompok dan data tidak
terkelompok.
Dan pada kedua ukuran tersebut masing-masing memiliki criteria dalam mengolah dan
mencari sebuah jawaban dari gejala dalam sebuah data grafik maupun table yang bersifat data
kuantitatif.
Sementara data dibagi dalam data terkelompok/ tersusun adalah data yang disajikan dalam
bentuk daftar distribusi frekuensi, karena data cukup besar dan akan mengalami kesulitan dalam
menghitung. Kedua adalah data tidak terke1ompok adalah kebalikan dari data terkelompok, data ini
juga disebut dengan data tidak berbobot yang biasanya menggunakan rumus pada umumnya.1
B. UKURAN GEJALA PUSAT
Suatu ukuran nilai yang diperoleh dari nilai data observasi dan mempunyai kecenderungan
berada di tengah-tengah nilai data observasi. Ukuran gejala pusat dipakai sebagai alat atau sebagai
parameter untuk dapat digunakan sebagai bahan pegangan dalam menafsirkan suatu gejala atau suatu
yang akan diteliti berdasarkan hasil pengolahan data yang dikumpulkan.
1. Rata-Rata Hitung (Mean)
Rata-rata adalah setiap bilangan yang bisa dipakai sebagai wakil dari rentetan nilai
rata-rata itu, wujudnya berupa satu bilangan saja, namun dengan satu bilangan itu akan dapat
tercermin gambaran secara umum mengenai kumpula atau deretan bahan keterangan yang berupa
angka atau bilangan itu.2
Mean (Nilai rata-rata hitung) adalah jumlah dari keseluruhan (bilangan) yang ada
dibagi dengan banyaknya angka bilangan tersebut. Simbul rata-rata untuk sampel ialah ´x (dibaca
1
2
Prioritas Matematika hal.26
Prioritas Matematika hal.30
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 5
eks garis) sedangkan rata-rata untuk poulasi simbul μ (dibaca mu) simbul n untuk ukuran
populasi.
a. Mean data tidak terkelompok
X 1 + X 1 + X 1 +...+ X 1
Rumus x=
n
Contoh :
Nilai UTS statistika yng diperoleh 10 mahasiswa berturut-turut adalah 5, 6, 4, 7, 8, 7, 6, 8,
8, 9. Tentukan nilai rataan hitung nilai tersebut !
Jawab :
x=
∑ x❑
n
=
5+6+ 4+7+ 8+7+6+ 8+8+ 9 68
= 10 = 6,8
10
b. Mean data terkelompok
Rumus
x=x o + p
(
∑ f i ci
∑ fi
)
n : ukuran populasi
x : rata-rata hitung/ nilai rata-rata sampel
p : lebar kelas
x o: nilai tengah dari ∑ f :2
c i : nilai tengah kelas atas dikurangi nilai tengah kelas tengah dibagi lebar kelas
f i : jumlah frekuensi data
Contoh :
No.
Urut
1
2
3
4
Nilai Ujian
fi
xi
ci
f i . ci
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
2
6
8
14
∑ f =¿3
0
46
49
52 = x o
53
-9
-6
0
1
-18
-36
0
14
∑ f i . ci= -40
−40
x=52+3 30 = 52 + 3.-1,3 = 48.1
(
)
Jadi, rata-ratanya adalah 48,1
2. Rata-rata Ukur
Rumus
U =√n x 1 . x 2 . x 3 … x n
U digunakan apabila perbandingan yang relative tetap atau perbandigan(rasio) tetap
sehingga seolah-olah urutan data merupakan barisan geometri.3
Contoh :
Tentukan rata-rata ukur dari data 2, 6, 18, 54
3
Prioritas Matematika hal.24
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 6
Jawab : U =√4 2 . 6 .18 .54 ¿ √4 11.664 = 10,39
3. Rata-Rata Harmonik
Jika diketahui data-data x 1 , x 2 , x 3 ,… x n maka nilai rata-rata harmonis yang diberi
symbol H dapat ditentukan sebagai berikut
Rumus
n
H = 1 + 1 + 1 +…+ 1 atau dapat ditulis secara singkat
x 1 x 2 x3
xn
n
H=
n
1
∑
x
n
i=1
Contoh :
Jarak antara Bandung dan Jakarta 180 km Si A berangkat dengan menggunakan
kendaraan mobil dari bandung menuju Jakarta dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam.
Pulangnya dengan menempuh jalan yang sama dengan kecepatan 90 km/jam. Hitunglah
kecepatan rata-rata pulang pergi !
Jawaban yang salah
Kecepatan rata-rata
80+90
2 = 85 km/jam
Kesalahannya, data ini terdiri dari dua dimensi, yaitu dimensi panjang dan dimensi
waktu. Semua nilai yang terdiri dari lebih dari 1 dimensi tidak dapat diambil rata-rata
begitu saja.
Jawaban yang benar
180 km
Waktu yang diperlukan dari bandung ke Jakarta adalah 80 km/ jam =2,25 jam
Sedangkan waktu yang diperlukan dari Jakarta ke Bandung
180 km
=2 jam
90 km/ jam
Jarak yang ditempuh pulang pergi = 2 x 180 km = 360 km dalam waktu 2,25 + 2 =
4,25 jam
360 km
km 84,71 km
Maka kecepatan rata-rata p.p = 4,25
=
.
jam
jam
Dengan rumus rata-rata harmonis akan lebih cepat lagi. Disini n = 2 yaitu pergi dan
pulang maka;
2
2.80.90
1
1 =
=84,71 km/ jam
H=
170
+
80 90
4. Modus
Modus data kuantitatif duigunakan untuk gejala-gejala yang sering terjdi, diberi
simbol Mo, dan umumnya Mo dipakai sebagai “nilai rata-rata” bagi data kualitatif untuk
digunakan sebagai sebuah kesimpulan.4
4
Metoda Statistika(sudjana) hal.5
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 7
Kematian dibeberapa tempat disebabkan karena wabah malaria, kebanyakan
kecelakaan lalu lintas umumnya karena kecerobohan pengemudi, ini berarti masing-masing
merupakan modus penyebab kematian pada kecelakaan lalu lintas.
a. Modus data tidak terkelompok
Merupakan data yang paling sering muncul atau jumlah frekuensinya terbanyak.
Contoh :
Terdapat sampel dengan nilai data : 12, 34, 24, 12, 24, 12, 12, 34.
Jawab, Frekuensi terbanyak, ialah f = 4, terjadi untuk data bernilai 12. Maka Mo = 12.
b. Modus data terkelompok
Data yang disusun secara terkelompok karena menggunakan daftar distribusi 5.
Biasanya digunakan untuk data yang besar/data yang berbobot maupun data yang tidak berbobot.
Rumus
Mo = b + p
b1
b1 + b 2
( )
b : tepi bawah interval modus
p : panjang kelas
b 1: selisih frekuensi modus dan kelas sebeumnya
b 2 : selisih frekuensi modus dan kelas sesudahnya
Contoh :
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 56
60 - 62
63 - 65
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
Jawab :
Interval modus = 54 – 56
b 1=14−9=5
b 2=14−10=4
5
x=53,5+3 5+ 4 = 53,5 + 3.0,5 = 55
(
)
C. UKURAN LETAK
Ukuran gejala letak dimaksudkan sebgai besaran atau ukuran untuk mendapatkan
gambaran yang lebih jelas berdasarkan letak data dari sekumpulan data yang dipunyai.
5
Proritas Matematika hal.26
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 8
Ukuran ini mengisyaratkan letak pemusatan pengelompokkan data. Oleh karena itu
ukuran-ukuran statistik ini disebut juga Ukuran Letak (Measures of Location). Berikut adalah
macam-macam ukuran gejala letak:
1.
Median
Median merupakan suatu harga yang merupakan titik tengah dari keseluruhan harga
pada suatu satuan data. Oleh karena itu terdapat 50% data yang berada di bawah atau sama
dengan nilai tersebut dan terdapat 50% lagi data yang berada di atas atau sama dengan data
tersebut.6
a.
Median data tidak terkelompok adalah suatu data yang membagi sekelompok data menjadi
dua bagian sama banyaknya.
1
Rumus median bilangan ganjil : Me = data ke 2 (n+1)
1
1
1
Rumus median bilangan genap : Me = 2 (data ke 2 n+data ke 2 n+1 ¿
b.
Median data terkelompok
n
−F
Rumus Me = b + p 2
f
( )
n
b : interval yang memuat data nomor 2 dan tentukan tepi bawahnya.
p : panjang kelas
n
2 : jumlah frekuensi dibagi 2
F : jumlah semua frekuensi dengan tandakelas lebih kecil
f : frekuensi kelas median
Contoh :
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 56
60 - 62
63 - 65
Interval
median 27
Jawab :
54
Interval median : 2 =27 , interval median : 54 – 56
Adapun F = 2 + 6 + 9 =17
Me = 53,5 + 3
6
10
( 27−17
14 )=53,5+ 3 14
= 53,5 + 2,1 = 55,5
Metoda statistika hal.44
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 9
Jadi, mediannya Me = 55,5
2.
Kuartil
Untuk menentukan kuartil dengan cara :
1. Susun data menurut urutan nilainya
2. Tentukan letak kuartil
3. Tentukan nilai kuartil
a.
Kuartil data tidak terkelompok
Merupakan suatu data yang membagi sekelompok data yang sudah diurutkan menjadi
empat bagian yang sama banyaknya, maka akan ditemukan K 1 , K 2 , K 3
Contoh : Data : 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
Q1
Q2
Q3
Q1 = kuartil bawah = 3+4 =3,5
2
Q 2 = kuartil tengah = median = 5+5 =5
2
Q3 = kuartil atas = 6+6 =6
2
b.
Kuartil data terkelompok
¿ −F
Rumus K =b+ p 4
i
f
( )
b : batas bawah kelas K ialah kelas interval dimana K i akan terletak
p : panjang kelas
F : jumlah semua frekuensi dengan tandakelas lebih kecil dari tanda kelas K i
f : frekuensi kelas K i
i : 1,2,3
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk menentukan
3
kuartil ketiga K 3 kita perlu 4 X 54 = 40,5 data. Dengan demikian K 3 terletak dalam kelas
interval kelima dan kelas ini merupakan kelas K 3. Dari kelas K 3ini didapatlah b = 56,5;
p=3; f = 10; F = 2+6+9+14= 31; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
K3
Page 10
3 x 54
4 −31
40,5−31
K 3=56,5+ 3
=56,5+ 3
=56,5+2,85=59,35
10
10
(
)
(
)
Ini berarti ada 25% mahasiswa yang mendapatkan nilai ujian paling tinggi 59,35
3.
Desil
Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak, maka tiap bagian disebut
persepuluhan atau disebut desil. Untuk menentukan desil caranya seperti menentukan cara
kuartil.
a.
Desil data tidak terkelompok
D i= X i .(n +1)
Rumus
10
Contoh : data 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
D 3= X 5
Tentukan D 3 ! jawab :n=16
D 3= X 3. ( 16+1 ) =X 51 =X 5 1
10
10
¿ X5+
10
1
1
1
X −X 5 )= X 5+ ( X 6−X 5 )=4 + ( 4 6−4 5 ) = 0,4
10 ( 5
10
10
Ada 70% mahasiswa paling sedikit mendapat nilai ujian 0,4
b.
Desil data terkelompok
n
−F
10
Rumus D =b+ p
i
f
(
)
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk menentukan
10
Desil ketiga K 3 kita perlu 11 X 54 = 49 data. Dengan demikian D3 terletak dalam kelas
interval ketujuh dan kelas ini merupakan kelas D3. Dari kelas D3ini didapatlah b = 62,5;
p=3; f = 10; F = 2+6+9+14+10+7= 48; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
54
10 −48
= 49,72
Di=62,5+ 3
=62,5+−12,78
10
(
4.
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
D3
)
Persentil
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 11
Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1 s/d 99.
a.
Persentil data tidak terkelompok
P = X i .(n +1)
Rumus i
100
Contoh : data 2, 3, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7
P 3= X 5
Tentukan D3 ! jawab :n=16
P3= X 3. ( 16+1 ) =X 51 =X 5 1
100
100
¿ X5+
100
1
1
1
X −X 5 ) = X 5+
X − X 5 )=4 +
4 −4
100 ( 5
010 ( 6
100 ( 6 5 ) = 00,4
Ada 70% mahasiswa paling sedikit mendapat nilai ujian 00,4
b.
Persentil data terkelompok
n
−F
100
Rumus P =b + p
i
f
(
)
Contoh :
Pada hasil ujian 54 mahasiswa seperti dalam table dibawah ini; maka untuk
100
menentukan Desil ketiga P3 kita perlu 110 X 54 = 49,09 data. Dengan demikian P3
terletak dalam kelas interval ketujuh dan kelas ini merupakan kelas P3. Dari kelas P3
ini didapatlah b = 62,5; p=3; f = 10; F = 2+6+9+14+10+7= 48; i=3; n=54.
No.Urut
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
45 – 47
48 – 50
51 – 53
54 - 56
57 - 59
60 - 62
63 - 65
54
10 −48
= 49,72
P3=62,5+ 3
=62,5+−12,78
10
(
fi
2
6
9
14
10
7
6
∑ f =¿54
P3
)
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 12
BAB III
KESIMPULAN
Ukuran gejala pusat dipakai sebagai alat dalam menafsirkan suatu gejala atau suatu yang
akan diteliti berdasarkan hasil pengolahan data yang dikumpulkan..
Berikut adalah macam-macam ukuran dalam statistika :
1. Mean (Nilai rata-rata hitung), adalah jumlah dari keseluruhan (bilangan) yang ada dibagi
dengan banyaknya angka bilangan tersebut.
2. Modus adalah Merupakan data yang paling sering muncul atau jumah frekuensinya
terbanyak
3. Median adalah suatu data yang membagi sekelompok data menjadi dua bagian sama
banyaknya.
4. Kuartil adalah Merupakan suatu data yang membagi sekelompok data yang sudah
diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyaknya, maka akan ditemukan
K1 , K 2, K3
5. Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak maka tiap bagian
disebut persepuluhan atau disebut desil.
6. Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1 s/d 99.
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 13
DAFTAR PUSTAKA
Sudjana. 1982. Metoda Statistika. Bandung: Tarsiro.
Drs. Wagiman, M.Pd.. 2005. Prioritas Matematika. Surakarta: PT Widya Duta Grafika
Zainal Abidin.. 2014. Buku pegangan Mahasiswa Statistika Dasar. Jombang
Macam-macam Ukuran Statisti, Kelompok 3
Page 14